Matemática do A-Level

Uma quadrática 二次式 é uma expressão da forma $ax^2 + bx + c$, onde $a \neq 0$. As letras $a$, $b$, $c$ são os coeficientes 系数 (os números fixos). gran parte desta seção trata de resolver a equação $ax^2 + bx + c = 0$.

Completando o quadrado

Completar o quadrado 配方 significa escrever a quadrática na forma

Essa forma é útil: mostra o vértice 顶点 (ponto de inversão) da curva em $(-p,\ q)$, e fornece um método rápido para resolver a equação.

Exemplo resolvido. Escreva $9x^2 - 36x + 8$ na forma $p(x + q)^2 + r$.

Tire o fator $9$ dos dois primeiros termos, depois complete o quadrado dentro:

Assim $p = 9$, $q = -2$, $r = -28$.

O discriminante

O discriminante 判别式 de $ax^2 + bx + c$ é

Ele diz quantas raízes reais 实根 (soluções reais) a equação $ax^2 + bx + c = 0$ tem:

Discriminante	Raízes
$b^2 - 4ac > 0$	duas raízes reais distintas 相异
$b^2 - 4ac = 0$	uma raiz real repetida
$b^2 - 4ac < 0$	nenhuma raiz real

Exemplo resolvido. Encontre os valores da constante $k$ para os quais $3kx^2 + (k + 8)x + 3 = 0$ tem duas raízes reais distintas.

Aqui $a = 3k$, $b = k + 8$, $c = 3$. Para duas raízes reais distintas você precisa $b^2 - 4ac > 0$:

Fatorizar: $(k - 4)(k - 16) > 0$, logo $k < 4$ ou $k > 16$. Você também precisa $a \neq 0$, logo $k \neq 0$.

Equações e desigualdades quadráticas

Para resolver uma equação quadrática 二次方程, fatorar, completar o quadrado ou usar a fórmula

Para resolver uma desigualdade quadrática 二次不等式 como $(k - 4)(k - 16) > 0$, encontre as duas raízes e depois decida qual lado de cada raiz torna a afirmação verdadeira. Um esboço da parábola 抛物线 ajuda: a curva está acima do eixo $x$ (positivo) fora das raízes e abaixo dele (negativo) entre elas.

Equações simultâneas

Para resolver um par de equações simultâneas 联立方程 onde uma é linear e a outra é quadrática, use substituição 代入: reorganize a equação linear para uma letra, depois insira-a na quadrática. Isso resulta em uma única equação quadrática para resolver.

Equações que são quadráticas disfarçadas

Algumas equações são quadráticas em alguma função de $x$. Por exemplo, $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ é quadrática em $x^2$: deixe $u = x^2$, resolva $u^2 - 5u + 4 = 0$, depois volte para $x$. Você usará essa ideia novamente em trigonometria.

Uma função 函数 é uma regra que envia cada entrada para exatamente uma saída. Escreva-a como $f(x)$. A composição de funções 复合函数 $fg(x)$ significa aplicar $g$ primeiro, depois aplicar $f$ ao resultado.

• O domínio 定义域 é o conjunto de entradas permitidas $x$.
• O contradomínio (ou imagem/alcance) 值域 é o conjunto de saídas que a função realmente produz.

Uma função é injetora (um-para-um) 一一对应 se entradas diferentes sempre produzirem saídas diferentes. (Nenhuma saída se repete.) Apenas uma função injetora possui uma função inversa 反函数 $f^{-1}$, que inverte a regra.

A composição 复合 de duas funções significa fazer uma após a outra. $fg(x)$ significa "faça $g$ primeiro, depois $f$": $fg(x) = f(g(x))$. A função composta $fg$ existe apenas quando o contradomínio de $g$ está contido no domínio de $f$.

Encontrando uma inversa

Para encontrar $f^{-1}$: escreva $y = f(x)$, deixe $x$ como tema (sujeito), depois troque as letras.

Exemplo resolvido. A função $f(x) = (x + 3)^2 - 12$ está definida para $x \geqslant 0$. Encontre $f^{-1}(x)$.

Escreva $y = (x + 3)^2 - 12$ e resolva para $x$:

Você tira a raiz positiva porque $x \geqslant 0$ significa $x + 3 \geqslant 3 > 0$. Então

Gráficos de inversas e transformações

O gráfico de $y = f^{-1}(x)$ é o reflexo 反射 de $y = f(x)$ na linha $y = x$.

Você deve conhecer essas transformações 变换 de $y = f(x)$:

Nova equação	Efeito no gráfico
$y = f(x) + a$	translação 平移 para cima em $a$
$y = f(x + a)$	translação para a esquerda em $a$
$y = a\,f(x)$	alongamento 伸缩 na direção do eixo $y$, fator de escala $a$
$y = f(ax)$	alongamento na direção do eixo $x$, fator de escala $\tfrac{1}{a}$

Quando duas transformações são combinadas, a ordem pode importar. Descreva cada uma completamente (tipo, direção e quantidade).

Geometria analítica 坐标几何 estuda retas e círculos usando suas equações.

Retas

A declive (inclinação) 斜率 da reta que liga $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ é

Você pode escrever a equação de uma reta 直线方程 em qualquer uma destas formas: Duas retas são paralelas 平行 quando seus declives são iguais, e perpendiculares 垂直 (em ângulo reto) quando o produto dos seus declives é $-1$.

Círculos

O círculo 圆 com centro 圆心 $(a, b)$ e raio 半径 $r$ tem equação

Uma forma expandida como $x^2 + y^2 - 6x + 10y - 27 = 0$ é o mesmo círculo: complete o quadrado em $x$ e em $y$ para encontrar o centro e o raio.

Uma tangente 切线 a um círculo toca-o em um único ponto e é perpendicular ao raio naquele ponto. Este fato do ângulo reto resolve a maioria dos problemas de círculos.

Exemplo resolvido. Os pontos $P(1, 1)$ e $Q(7, 11)$ são as extremidades de um diâmetro 直径 de um círculo. Encontre a equação do círculo.

O centro é o ponto médio de $PQ$:

O raio é metade do comprimento de $PQ$: Então o círculo é $(x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 34$.

Radianos

Um radiano 弧度 é outra forma de medir ângulos. Um radiano é o ângulo no centro de um círculo que subdivide um arco 弧 igual em comprimento ao raio. A relação entre radianos e graus 度 é

Portanto, para converter graus em radianos, multiplique por $\dfrac{\pi}{180}$; para converter radianos em graus, multiplique por $\dfrac{180}{\pi}$.

Comprimento de arco e área de setor

Para um setor 扇形 com raio $r$ e ângulo $\theta$ em radianos:

Uma corda 弦 divide o setor em um triângulo e um segmento 弓形. A área do segmento é a área do setor menos a área do triângulo:

Exemplo resolvido. Um setor tem centro $O$ e o ângulo em $O$ é $\tfrac{2}{3}\pi$ radianos. Mostre que a área do segmento cortado pela corda é cerca de $0.614 r^2$.

Gráficos e valores exatos

Você precisa saber o formato dos gráficos das funções seno 正弦, cosseno 余弦 e tangente 正切 (escritas $\sin$, $\cos$, $\tan$). Os gráficos do seno e cosseno oscilam entre $-1$ e $1$ e se repetem a cada $360^\circ$ ($2\pi$). Aprenda estes valores exatos:

$\theta$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$
$\sin\theta$	$\tfrac12$	$\tfrac{1}{\sqrt2}$	$\tfrac{\sqrt3}{2}$
$\cos\theta$	$\tfrac{\sqrt3}{2}$	$\tfrac{1}{\sqrt2}$	$\tfrac12$
$\tan\theta$	$\tfrac{1}{\sqrt3}$	$1$	$\sqrt3$

As notações $\sin^{-1}x$, $\cos^{-1}x$, $\tan^{-1}x$ significam o ângulo invertido (o valor principal 主值).

Identidades

Uma identidade 恒等式 é verdadeira para todo valor do ângulo. As duas que você deve saber são

Use-as para reescrever uma equação para que contenha apenas uma função trigonométrica.

Resolvendo equações trigonométricas

Para resolver uma equação trigonométrica 三角方程, primeiro reduza-a a uma única função, depois encontre todas as soluções no intervalo dado.

Exemplo resolvido. Resolva $6\sin\theta = 1 + \dfrac{2}{\sin\theta}$ para $-180^\circ < \theta < 180^\circ$.

Multiplique toda a expressão por $\sin\theta$ para eliminar a fração. Isso cria uma quadrática em $\sin\theta$:

Então $\sin\theta = \tfrac23$ ou $\sin\theta = -\tfrac12$.

• $\sin\theta = \tfrac23$: $\theta = 41.8^\circ$ ou $\theta = 180^\circ - 41.8^\circ = 138.2^\circ$.
• $\sin\theta = -\tfrac12$: $\theta = -30^\circ$ ou $\theta = -150^\circ$.

As quatro soluções são $\theta = -150^\circ,\ -30^\circ,\ 41.8^\circ,\ 138.2^\circ$.

Expansão binomial

Para um inteiro positivo $n$, a expansão binomial 二项展开式 é

onde $\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n - r)!}$ é um coeficiente binomial 二项式系数.

Exemplo resolvido. Encontre os primeiros três termos, em potências crescentes de $x$, de $(2 - px)^5$.

Progressões aritméticas e geométricas

Uma progressão 数列 (sequência) é uma lista de termos seguindo uma regra.

• Uma progressão aritmética 等差数列 (PA) adiciona uma diferença comum 公差 fixa $d$ a cada etapa. O $n$º termo 项 é $u_n = a + (n - 1)d$, e a soma dos primeiros $n$ termos é $S_n = \tfrac{n}{2}\big(2a + (n - 1)d\big)$.
• Uma progressão geométrica 等比数列 (PG) multiplica por uma razão comum 公比 fixa $r$ a cada etapa. O $n$º termo é $u_n = ar^{\,n-1}$, e $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$.

Uma PG é convergente — ela converge 收敛 (assenta-se num limite) — quando $|r| < 1$. Então ela tem uma soma ao infinito 无穷和

Exemplo resolvido. O terceiro termo de uma PG é $18$ e a soma dos primeiros três termos é $26$. A razão comum é negativa. Encontre a soma ao infinito.

De $ar^2 = 18$ você obtém $a = \dfrac{18}{r^2}$. Coloque isso em $a(1 + r + r^2) = 26$:

A razão é negativa, então $r = -\tfrac34$ e $a = \dfrac{18}{(3/4)^2} = 32$. Então

Diferenciação 微分 encontra o declive de uma curva 曲线斜率 em cada ponto. O declive é o limite 极限 dos declives de cordas cada vez menores, chamado de derivada 导数.

As regras

Escreva a derivada como $f'(x)$ ou $\dfrac{dy}{dx}$. A regra básica é

Diferencie somas termo a termo, e use a regra da cadeia 链式法则 para uma função dentro de outra função: Diferenciar novamente resulta na derivada segunda 二阶导数 $f''(x)$ ou $\dfrac{d^2y}{dx^2}$.

Usando a derivada

• Tangente e normal. A inclinação da curva num ponto é a inclinação da tangente nesse ponto. A normal 法线 é perpendicular à tangente, logo sua inclinação é $-\dfrac{1}{\text{(tangent gradient)}}$.
• Crescente ou decrescente. A função é uma função crescente 增函数 onde $\dfrac{dy}{dx} > 0$, e uma função decrescente 减函数 onde $\dfrac{dy}{dx} < 0$.
• Taxa de variação. Uma derivada é uma taxa de variação 变化率. Taxas ligadas usam a regra da cadeia, ex: $\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}$.

Pontos estacionários

Um ponto estacionário 驻点 é onde $\dfrac{dy}{dx} = 0$. Teste sua natureza com a derivada segunda: $f''(x) > 0$ indica um ponto de mínimo 极小值点, e $f''(x) < 0$ indica um ponto de máximo 极大值点. Quando $f''(x) = 0$ o teste é inconclusivo: o ponto pode ser um ponto de inflexão 拐点, onde a curva muda de concavidade (o sentido em que se curva) – verifique o sinal de $\dfrac{dy}{dx}$ pouco antes e depois para decidir.

Exemplo resolvido. A curva $y = 4x^{1/2} - x$ tem um ponto de máximo em $x = a$. Encontre $a$.

Assim $a = 4$.

Integração 积分 é o inverso da diferenciação. Inverter a regra da potência resulta em

A $+\,C$ é a constante de integração 积分常数. Se você conhece um ponto na curva, substitua-o para encontrar $C$.

Integrais definidas e área

Uma integral definida 定积分 possui limites e resulta em um número:

A área da região 区域 entre uma curva e o eixo $x$, de $x = p$ a $x = q$, é $\displaystyle\int_p^q y \, dx$. Para a área entre duas curvas, integre (curva superior $-$ menos curva inferior).

Exemplo resolvido. A curva $y = 4x^{1/2} - x$ cruza o eixo $x$ novamente em $x = 16$. Encontre a área entre a curva e o eixo $x$ de $x = 0$ a $x = 4$.

Uma integral imprópria 广义积分 tem um limite infinito ou uma extremidade onde o integrando não está definido; avalie-a como um limite. Por exemplo,

e $\displaystyle\int_0^{1}x^{-1/2}\, dx=\left[2x^{1/2}\right]_0^{1}=2$, que é finito mesmo quando o integrando tende ao infinito em $x=0$.

Volume de revolução

Quando uma região gira completamente em torno de um eixo, ela varre um sólido. O volume de revolução 旋转体体积 em torno do eixo $x$ é

e em torno do eixo $y$ é $V = \pi \displaystyle\int x^2 \, dy$. Por exemplo, a região sob $y = \sqrt{x}$ de $x = 0$ a $x = 4$, girada em torno do eixo $x$, tem volume $\pi\displaystyle\int_0^4 x\, dx = \pi\big[\tfrac{x^2}{2}\big]_0^4 = 8\pi$.

• Mostre todas as linhas de álgebra — perdem-se pontos de método ao pular etapas; use o discriminante $b^2 - 4ac$ para determinar o número de raízes reais.
• Trabalhe em radianos para medidas circulares (arco $= r\theta$, área de setor $= \frac{1}{2}r^2\theta$) e para cálculo de funções trigonométricas.
• Para diferenciação, igualize $\frac{dy}{dx} = 0$ para pontos estacionários e use a derivada segunda para classificá-los.
• Para integração, adicione $+ c$ a uma integral indefinida e use limites para área; uma área abaixo do eixo resulta em uma integral negativa.

O módulo

O módulo 绝对值 $|x|$ é o tamanho de um número sem seu sinal, logo $|x| \geqslant 0$ sempre. O gráfico de $y = |ax + b|$ tem formato de "V" que reflete no eixo $x$. Duas regras úteis para resolver equações e desigualdades são

Exemplo resolvido. Resolva $|3x + 8| < 9$.

Usando a segunda regra com a desigualdade escrita como $-9 < 3x + 8 < 9$:

Divisão polinomial e os teoremas do fator e do resto

Um polinômio 多项式 é uma soma de potências de $x$, tal como $2x^4 + 3x^2 - 5$. Seu grau 次数 é a maior potência. Ao dividir um polinômio por outro, obtém-se um quociente 商 e um resto 余数.

• Teorema do resto 余数定理: o resto quando $p(x)$ é dividido por $(x - a)$ é $p(a)$.
• Teorema do fator 因式定理: $(x - a)$ é um fator de $p(x)$ exatamente quando $p(a) = 0$.

Exemplo resolvido. O polinômio $p(x) = 2x^4 + kx^3 + kx^2 + 17x + 18$ tem o fator $(x + 2)$. Encontre $k$.

Pelo teorema do fator $p(-2) = 0$:

Um logaritmo responde à pergunta "qual potência?". Se $a^x = y$ então $x = \log_a y$. Logaritmos e índices 指数 (potências) são ideias inversas. As leis dos logaritmos 对数定律 são

A função exponencial $e^x$ e o logaritmo natural 自然对数 $\ln x$ são funções inversas, logo $\ln(e^x) = x$ e $e^{\ln x} = x$. Quando a incógnita está no expoente, aplique logaritmos em ambos os lados.

Exemplo resolvido. Resolva $4^x < 0.05$.

Forma linear 线性形式: uma relação como $y = Ax^n$ torna-se uma linha reta se tirar logaritmos: $\ln y = \ln A + n\ln x$. Plotar $\ln y$ contra $\ln x$ resulta em uma linha com inclinação $n$ e interceptação $\ln A$, permitindo encontrar as constantes desconhecidas.

Existem três funções adicionais, cada uma sendo o recíproco de uma que você já conhece: a secante 正割 $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$, a cossecante 余割 $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$ e a cotangente 余切 $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta}$.

Você deve conhecer estas identidades trigonométricas 三角恒等式 e escolher a correta para cada problema:

Você também usa as fórmulas de ângulo composto 复合角 para $\sin(A \pm B)$, $\cos(A \pm B)$, $\tan(A \pm B)$, as fórmulas de ângulo duplo 二倍角 e a fórmula R 辅助角公式 $a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \alpha)$, onde $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ e $\tan\alpha = \dfrac{b}{a}$.

Exemplo resolvido. Resolva $2\tan^2\theta + 3\sec\theta = 18$ para $-180^\circ < \theta < 180^\circ$.

Substitua $\tan^2\theta$ por $\sec^2\theta - 1$ para obter uma única função:

Assim $\sec\theta = \tfrac52$ ou $\sec\theta = -4$, resultando em $\cos\theta = \tfrac25$ ou $\cos\theta = -\tfrac14$. As soluções são $\theta = \pm 66.4^\circ$ e $\theta = \pm 104.5^\circ$.

Aprenda estas derivadas padrão:

Para um produto ou quociente de duas funções, use:

• a regra do produto 乘积法则: $(uv)' = u'v + uv'$;
• a regra do quociente 商法则: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.

Quando uma curva é dada por equações paramétricas 参数方程 $x = x(t)$, $y = y(t)$, a inclinação é $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$. Quando $y$ está definida implicitamente 隐式 (não isolada), diferencie todos os termos em relação a $x$, usando a regra da cadeia nos termos $y$, e resolva para $\dfrac{dy}{dx}$.

Exemplo resolvido. Dado $y = 6x\cos(x^2 + 1)$, encontre $\dfrac{dy}{dx}$.

Use a regra do produto com $u = 6x$ e $v = \cos(x^2 + 1)$ (e a regra da cadeia para $v$):

A integração é diferenciação reversa — inverta cada nova derivada; integrais mais difíceis podem exigir integração por substituição 换元积分 (desenvolvida em Pure 3). Para uma função linear interna $(ax + b)$:

Para integrar uma potência de $\sin$ ou $\cos$, primeiro use uma identidade para remover a potência. Quando não for possível integrar exatamente, a regra do trapézio 梯形法则 estima uma integral definida:

Exemplo resolvido. Encontre $\displaystyle\int 6\sin^2 x\,dx$.

Use $\sin^2 x = \tfrac12(1 - \cos 2x)$:

Muitas equações não podem ser resolvidas exatamente. Duas ideias ajudam a encontrar uma raiz 根 (uma solução).

• Troca de sinal 变号: se $f(a)$ e $f(b)$ têm sinais opostos (e o gráfico não tem interrupções entre eles), uma raiz está entre $a$ e $b$.
• Iteração 迭代: reorganize a equação na forma $x = F(x)$, depois use a fórmula iterativa 迭代公式 $x_{n+1} = F(x_n)$. Comece com uma primeira estimativa $x_0$ e repita. Se os valores forem convergentes, eles se estabilizam e convergem 收敛 para uma raiz. Continue até que a resposta esteja estável na precisão solicitada.

Exemplo resolvido. Uma raiz $\beta$ de uma equação satisfaz $x = \sqrt[3]{-2x - 4.5}$, e $-1.4 < \beta < -1.0$. Use a iteração $x_{n+1} = \sqrt[3]{-2x_n - 4.5}$ com $x_0 = -1.2$.

Os valores estabilizam perto de $-1.26$, então $\beta = -1.26$ (3 s.f.).

• Use as leis dos logaritmos para resolver equações; lembre-se que $\ln$ e $e^x$ são inversas.
• Para métodos numéricos, mostre uma troca de sinal para localizar uma raiz, apresente a iteração claramente e dê a resposta com a precisão declarada.
• Aprenda as regras da cadeia, produto e quociente e identifique qual a função requer.
• Resolva equações de módulo $|f(x)| = g(x)$ considerando os casos positivo e negativo, e esboce para verificar.

Duas novas ferramentas se juntam à álgebra da Pure 2.

Frações parciais

Uma única fração com um denominador fatorado pode ser dividida em uma soma de frações mais simples. Isso é chamado de escrevê-la em frações parciais 部分分式, e torna uma função racional 有理函数 (uma fração de polinômios) fácil de integrar ou expandir. Combine a forma com o denominador:

Primeiro verifique se o numerador tem grau menor que o denominador. Se não for ("numeriador pesado"), divida o polinômio primeiro: a divisão resulta em um quociente 商 mais um resto 余数 sobre o denominador original, e você divide apenas essa fração própria restante.

Uma fração com denominador fatorado se divide em uma soma de frações mais simples.

Exemplo resolvido. Expresse $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)}$ em frações parciais.

Escreva $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{B}{x-2}$, então $x + 4 = A(x-2) + B(x+1)$. Substitua $x = 2$: $6 = 3B$, então $B = 2$. Substitua $x = -1$: $3 = -3A$, então $A = -1$. Logo

A expansão binomial para uma potência racional

A expansão binomial 二项展开式 também funciona quando a potência é uma fração ou negativa, desde que $|x| < 1$:

Por exemplo $(1 + x)^{1/2} = 1 + \tfrac12 x - \tfrac18 x^2 + \cdots$ para $|x| < 1$.

Os subtópicos 3.2, 3.3 e 3.6 são as mesmas habilidades encontradas na Pure 2: as leis dos logaritmos com $e^x$ e $\ln x$; as identidades $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ e $\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$, as fórmulas de ângulo composto e duplo, e a forma $R$ de $a\sin\theta + b\cos\theta$; e resolver uma equação numericamente por uma mudança de sinal 变号 e uma fórmula iterativa 迭代公式 $x_{n+1} = F(x_n)$. Use-as exatamente como antes.

As três novas funções trigonométricas são os recíprocos 倒数 das conhecidas: a secante 正割 $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$, a cossecante 余割 $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$ e a cotangente 余切 $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$. (Dica mnemônica: combine a terceira letra — sec vai com cosine.) As duas identidades pitagóricas acima vêm diretamente de dividir $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$ por $\cos^2\theta$ ou $\sin^2\theta$. Para um método numérico, uma iteração $x_{n+1}=F(x_n)$ converge 收敛 para a raiz quando valores sucessivos se aproximam uns dos outros.

Os métodos são os da Pure 2 (regra do produto, quociente e cadeia, com curvas paramétricas e implícitas). Uma derivada é adicionada — a tangente inversa 反正切:

Exemplo resolvido. Derive $y = \tan^{-1}(3x)$.

Use a regra da cadeia com o resultado acima: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1 + (3x)^2} \times 3 = \dfrac{3}{1 + 9x^2}.$

Pure 3 adiciona vários métodos poderosos.

• Uma nova integral padrão: $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$.
• Frações parciais: divida uma função racional primeiro, depois integre cada parte como um logaritmo.
• O padrão $\dfrac{k\,f'(x)}{f(x)}$: isso integra para $k\ln|f(x)| + C$. Por exemplo $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1) + C$.
• Integração por partes 分部积分, usada para um produto: $\displaystyle\int u\,\frac{dv}{dx}\,dx = uv - \int v\,\frac{du}{dx}\,dx$.
• Integração por substituição 换元积分: uma mudança de variável dada transforma uma integral difícil em uma fácil.

Exemplo resolvido. Encontre $\displaystyle\int x\cos x\,dx$.

Use integração por partes com $u = x$ e $\dfrac{dv}{dx} = \cos x$, então $\dfrac{du}{dx} = 1$ e $v = \sin x$:

Um vetor 向量 tem tanto magnitude quanto direção. Escreva-o como uma coluna, ou como $x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$, ou como $\overrightarrow{AB}$.

• A magnitude 模长 (comprimento) de $\mathbf{v} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ é $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
• Um vetor unitário 单位向量 tem magnitude $1$; divida um vetor pela sua magnitude para criar um.
• Um vetor posição 位置向量 dá o lugar de um ponto em relação à origem; um vetor deslocamento 位移向量 $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$ vai de um ponto a outro. Multiplicar por um escalar 标量 (um número comum) estica um vetor.

Linhas e o produto escalar

Uma linha reta pelo ponto $\mathbf{a}$ na direção $\mathbf{b}$ tem a equação vetorial $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$. Duas linhas podem ser paralelas 平行, podem intersecionar 相交 em um ponto, ou podem ser linhas reversas/esquisitas 异面直线 (não paralelas e nunca se encontrando).

O produto escalar 数量积 (produto ponto) de $\mathbf{a}$ e $\mathbf{b}$ é

onde $\theta$ é o ângulo entre eles. Então $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$ significa que os vetores são perpendiculares.

Exemplo resolvido. Encontre o ângulo entre $\mathbf{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$ e $\mathbf{b} = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}$.

Então $\cos\theta = \dfrac{8}{3\times 3} = \dfrac{8}{9}$, dando $\theta = 27.3^\circ$.

Uma equação diferencial 微分方程 conecta uma quantidade à sua taxa de variação. Para resolver uma equação de primeira ordem cujas variáveis são separáveis 可分离变量, coloque todos os termos $y$ de um lado e todos os termos $x$ do outro, depois integre ambos os lados. Isso fornece a solução geral 通解, que contém uma constante. Uma condição inicial 初始条件 (um valor conhecido) fixa a constante e fornece a solução particular 特解.

Exemplo resolvido. Resolva $\dfrac{dy}{dx} = xy$, dado que $y = 1$ quando $x = 0$.

Separe as variáveis e integre:

Usando $y = 1$ em $x = 0$ dá $A = 1$, então $y = e^{x^2/2}$.

Um número complexo 复数 tem a forma $z = x + iy$, onde $i^2 = -1$. Aqui $x$ é a parte real 实部 e $y$ é a parte imaginária 虚部. Esta $x + iy$ é a forma cartesiana 直角坐标形式. Dois números complexos são iguais apenas quando suas partes reais coincidem e suas partes imaginárias coincidem.

• O conjugado 共轭 de $z = x + iy$ é $z^* = x - iy$. Para um polinômio com coeficientes reais, quaisquer raízes não-real vem em pares conjugados.
• O módulo 模 é $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ (sua distância da origem) e o argumento 辐角 é o ângulo que o ponto faz, medido a partir do eixo real positivo.
• Você pode plotar $z$ como um ponto em um diagrama de Argand 阿干图 (o plano complexo).
• A forma polar 极坐标形式 é $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$, onde $r = |z|$ e $\theta$ é o argumento. Multiplicar multiplica os módulos e soma os argumentos.
• Os loci de pontos satisfazendo uma condição em $z$ são desenhados no diagrama de Argand — ex. $|z - a| = r$ é um círculo, $|z - a| = |z - b|$ uma mediatriz, e $\arg(z - a) = \theta$ um semirraio. As raízes quadradas de um número complexo vêm de resolver $w^2 = z$.

Para dividir, multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.

Exemplo resolvido. Escreva $\dfrac{3 + i}{1 - i}$ na forma $x + iy$.

Uma equação ou desigualdade em $z$ descreve um lugar geométrico/locus 轨迹 (um caminho ou região) no diagrama de Argand. Por exemplo $|z - a| = r$ é um círculo de raio $r$ centrado em $a$.

• Divida uma função racional em frações parciais antes de integrar ou expandir.
• Escolha a técnica de integração correta (substituição, por partes ou frações parciais) baseada na forma do integrando.
• Use o produto escalar (ponto) para o ângulo entre vetores e para testar perpendicularidade; escreva uma linha como $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$.
• Dê números complexos na forma solicitada (cartesiana ou módulo-argumento) e mostre-os em um diagrama de Argand.

Uma força 力 é um empurrão ou puxão. É um vetor, portanto tem tamanho e direção. Por ser um vetor, você pode dividir uma força em componentes 分量 (geralmente horizontal e vertical), e pode somar várias forças em uma resultante 合力.

Uma partícula está em equilíbrio 平衡 quando as forças estão equilibradas: a soma vetorial das forças é zero. Na prática, isso significa que as componentes em qualquer direção somam zero.

Atrito

Quando duas superfícies se tocam, a força de contato 接触力 entre elas tem duas partes: a reação normal 法向反作用力 $R$, em ângulo reto com a superfície, e o atrito 摩擦力 $F$, ao longo da superfície, que se opõe ao deslizamento. Uma superfície "lisa" é um modelo sem atrito.

O atrito só pode crescer até um máximo. Nesse máximo o corpo está em equilíbrio limite 极限平衡, prestes a escorregar, e o atrito é atrito limite 最大静摩擦力. O máximo é definido pelo coeficiente de atrito 摩擦系数 $\mu$:

Pela terceira lei de Newton 牛顿第三定律, as duas superfícies exercem forças iguais e opostas uma sobre a outra.

Exemplo resolvido. Um bloco de peso $20\text{ N}$ repousa sobre uma mesa horizontal rugosa com coeficiente de atrito $\mu = 0.4$. Encontre a maior força horizontal que pode ser aplicada antes que o bloco deslize.

A reação normal da mesa equilibra o peso, logo $R = 20\text{ N}$. O bloco está no limiar de deslizamento quando o atrito atinge seu valor máximo $F = \mu R = 0.4 \times 20 = 8\text{ N}$. Em equilíbrio, a força aplicada é igual ao atrito, logo a maior força que ele pode resistir é $8\text{ N}$.

Distância 距离 and velocidade escalar 速率 são grandezas escalares (apenas magnitude). Deslocamento 位移, velocidade vetorial 速度 and aceleração 加速度 são grandezas vetoriais (magnitude e direção).

Em um gráfico velocidade-tempo 速度时间图, a área sob a curva é o deslocamento e a inclinação é a aceleração (uma aceleração negativa é uma desaceleração 减速度). Em um gráfico deslocamento-tempo, a inclinação é a velocidade. De modo geral, derive em relação ao tempo para ir do deslocamento à velocidade e depois à aceleração, e integre para voltar.

Para movimentos com aceleração constante 匀加速, use estas fórmulas (as equações "suvat"):

Exemplo resolvido. Um carro parte do repouso e acelera a $2.5\ \text{m s}^{-2}$ durante $4\ \text{s}$. Encontre sua velocidade e a distância percorrida.

O momento linear 动量 de um corpo é $\text{mass} \times \text{velocity}$. É uma grandeza vetorial. Em uma colisão direta entre dois corpos, o momento total permanece inalterado. Esta é a conservação do momento linear 动量守恒:

Exemplo resolvido. Um corpo de massa $2\ \text{kg}$ movendo-se a $3\ \text{m s}^{-1}$ colide com um corpo estacionário de massa $1\ \text{kg}$, e eles se unem. Encontre a velocidade comum deles depois disso.

As leis de Newton do movimento 牛顿运动定律 conectam força e aceleração. A principal delas é: força resultante $=$ massa 质量 $\times$ aceleração,

O peso 重力 de um corpo é a força da gravidade atuando sobre ele: $W = mg$. Forças em um problema podem incluir peso, atrito, tensão 张力 em uma corda, empuxo 推力 (empurrão) em uma barra, e resistência do ar 空气阻力.

Para movimento em um plano inclinado 斜面, decomponha cada força em uma componente paralela ao declive e uma perpendicular a ele, então aplique $F = ma$ ao longo do declive. Para partículas conectadas 连接质点 (unidas por uma corda), aplique $F = ma$ a cada corpo ou ao sistema todo.

Exemplo resolvido. Um bloco de massa $12\ \text{kg}$ é puxado para cima de um plano rugoso por uma corda paralela à rampa. O plano está a $20^\circ$ em relação à horizontal, o coeficiente de atrito é $0.4$, e a aceleração é $2\ \text{m s}^{-2}$. Encontre a tensão na corda.

A reação normal é $R = mg\cos 20^\circ = 120\cos 20^\circ = 112.8\ \text{N}$, logo o atrito é $F = \mu R = 0.4 \times 112.8 = 45.1\ \text{N}$. Ao longo da rampa, $T - mg\sin 20^\circ - F = ma$:

O trabalho realizado 功 por uma força constante é o produto escalar de força e deslocamento — a força vezes a distância percorrida na direção da força: $W = Fd\cos\theta$, onde $\theta$ é o ângulo entre a força e o movimento. O trabalho é medido em joules (J).

A energia vem em formas que você pode calcular:

• Energia cinética 动能 (energia de movimento): $\text{KE} = \tfrac12 mv^2$.
• Energia potencial gravitacional 重力势能 (energia de altura): $\text{PE} = mgh$.

O trabalho feito pelas forças externas é igual à mudança na energia total. Quando não há atrito, a energia total permanece a mesma — a conservação de energia 能量守恒.

Potência 功率 é a taxa de realização de trabalho. Para uma força puxando na direção do movimento, $P = Fv$ (potência $=$ força $\times$ velocidade). A potência é medida em watts (W).

Exemplo resolvido. O motor de um carro opera a $12\ \text{kW}$ enquanto o carro se move a $20\ \text{m s}^{-1}$ em uma estrada plana. Encontre a força motriz.

• Desenhe um diagrama de forças claro e decomponha em componentes perpendiculares; para o equilíbrio, cada direção soma zero.
• Use SUVAT apenas para aceleração constante e mantenha uma direção positiva consistente.
• Aplique $F = ma$ ao longo da direção do movimento, incluindo o atrito ($F = \mu R$) em uma superfície rugosa.
• Enuncie suas suposições (corda leve e inextensível, polia lisa, partícula) — elas frequentemente valem uma marca.