Matemática Pura 1

Uma quadrática 二次式 é uma expressão da forma $ax^2 + bx + c$, onde $a \neq 0$. As letras $a$, $b$, $c$ são os coeficientes 系数 (os números fixos). gran parte desta seção trata de resolver a equação $ax^2 + bx + c = 0$.

Completando o quadrado

Completar o quadrado 配方 significa escrever a quadrática na forma

Essa forma é útil: mostra o vértice 顶点 (ponto de inversão) da curva em $(-p,\ q)$, e fornece um método rápido para resolver a equação.

Exemplo resolvido. Escreva $9x^2 - 36x + 8$ na forma $p(x + q)^2 + r$.

Tire o fator $9$ dos dois primeiros termos, depois complete o quadrado dentro:

Assim $p = 9$, $q = -2$, $r = -28$.

O discriminante

O discriminante 判别式 de $ax^2 + bx + c$ é

Ele diz quantas raízes reais 实根 (soluções reais) a equação $ax^2 + bx + c = 0$ tem:

Discriminante	Raízes
$b^2 - 4ac > 0$	duas raízes reais distintas 相异
$b^2 - 4ac = 0$	uma raiz real repetida
$b^2 - 4ac < 0$	nenhuma raiz real

Exemplo resolvido. Encontre os valores da constante $k$ para os quais $3kx^2 + (k + 8)x + 3 = 0$ tem duas raízes reais distintas.

Aqui $a = 3k$, $b = k + 8$, $c = 3$. Para duas raízes reais distintas você precisa $b^2 - 4ac > 0$:

Fatorizar: $(k - 4)(k - 16) > 0$, logo $k < 4$ ou $k > 16$. Você também precisa $a \neq 0$, logo $k \neq 0$.

Equações e desigualdades quadráticas

Para resolver uma equação quadrática 二次方程, fatorar, completar o quadrado ou usar a fórmula

Para resolver uma desigualdade quadrática 二次不等式 como $(k - 4)(k - 16) > 0$, encontre as duas raízes e depois decida qual lado de cada raiz torna a afirmação verdadeira. Um esboço da parábola 抛物线 ajuda: a curva está acima do eixo $x$ (positivo) fora das raízes e abaixo dele (negativo) entre elas.

Equações simultâneas

Para resolver um par de equações simultâneas 联立方程 onde uma é linear e a outra é quadrática, use substituição 代入: reorganize a equação linear para uma letra, depois insira-a na quadrática. Isso resulta em uma única equação quadrática para resolver.

Equações que são quadráticas disfarçadas

Algumas equações são quadráticas em alguma função de $x$. Por exemplo, $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ é quadrática em $x^2$: deixe $u = x^2$, resolva $u^2 - 5u + 4 = 0$, depois volte para $x$. Você usará essa ideia novamente em trigonometria.

Uma função 函数 é uma regra que envia cada entrada para exatamente uma saída. Escreva-a como $f(x)$. A composição de funções 复合函数 $fg(x)$ significa aplicar $g$ primeiro, depois aplicar $f$ ao resultado.

• O domínio 定义域 é o conjunto de entradas permitidas $x$.
• O contradomínio (ou imagem/alcance) 值域 é o conjunto de saídas que a função realmente produz.

Uma função é injetora (um-para-um) 一一对应 se entradas diferentes sempre produzirem saídas diferentes. (Nenhuma saída se repete.) Apenas uma função injetora possui uma função inversa 反函数 $f^{-1}$, que inverte a regra.

A composição 复合 de duas funções significa fazer uma após a outra. $fg(x)$ significa "faça $g$ primeiro, depois $f$": $fg(x) = f(g(x))$. A função composta $fg$ existe apenas quando o contradomínio de $g$ está contido no domínio de $f$.

Encontrando uma inversa

Para encontrar $f^{-1}$: escreva $y = f(x)$, deixe $x$ como tema (sujeito), depois troque as letras.

Exemplo resolvido. A função $f(x) = (x + 3)^2 - 12$ está definida para $x \geqslant 0$. Encontre $f^{-1}(x)$.

Escreva $y = (x + 3)^2 - 12$ e resolva para $x$:

Você tira a raiz positiva porque $x \geqslant 0$ significa $x + 3 \geqslant 3 > 0$. Então

Gráficos de inversas e transformações

O gráfico de $y = f^{-1}(x)$ é o reflexo 反射 de $y = f(x)$ na linha $y = x$.

Você deve conhecer essas transformações 变换 de $y = f(x)$:

Nova equação	Efeito no gráfico
$y = f(x) + a$	translação 平移 para cima em $a$
$y = f(x + a)$	translação para a esquerda em $a$
$y = a\,f(x)$	alongamento 伸缩 na direção do eixo $y$, fator de escala $a$
$y = f(ax)$	alongamento na direção do eixo $x$, fator de escala $\tfrac{1}{a}$

Quando duas transformações são combinadas, a ordem pode importar. Descreva cada uma completamente (tipo, direção e quantidade).

Geometria analítica 坐标几何 estuda retas e círculos usando suas equações.

Retas

A declive (inclinação) 斜率 da reta que liga $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ é

Você pode escrever a equação de uma reta 直线方程 em qualquer uma destas formas: Duas retas são paralelas 平行 quando seus declives são iguais, e perpendiculares 垂直 (em ângulo reto) quando o produto dos seus declives é $-1$.

Círculos

O círculo 圆 com centro 圆心 $(a, b)$ e raio 半径 $r$ tem equação

Uma forma expandida como $x^2 + y^2 - 6x + 10y - 27 = 0$ é o mesmo círculo: complete o quadrado em $x$ e em $y$ para encontrar o centro e o raio.

Uma tangente 切线 a um círculo toca-o em um único ponto e é perpendicular ao raio naquele ponto. Este fato do ângulo reto resolve a maioria dos problemas de círculos.

Exemplo resolvido. Os pontos $P(1, 1)$ e $Q(7, 11)$ são as extremidades de um diâmetro 直径 de um círculo. Encontre a equação do círculo.

O centro é o ponto médio de $PQ$:

O raio é metade do comprimento de $PQ$: Então o círculo é $(x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 34$.

Radianos

Um radiano 弧度 é outra forma de medir ângulos. Um radiano é o ângulo no centro de um círculo que subdivide um arco 弧 igual em comprimento ao raio. A relação entre radianos e graus 度 é

Portanto, para converter graus em radianos, multiplique por $\dfrac{\pi}{180}$; para converter radianos em graus, multiplique por $\dfrac{180}{\pi}$.

Comprimento de arco e área de setor

Para um setor 扇形 com raio $r$ e ângulo $\theta$ em radianos:

Uma corda 弦 divide o setor em um triângulo e um segmento 弓形. A área do segmento é a área do setor menos a área do triângulo:

Exemplo resolvido. Um setor tem centro $O$ e o ângulo em $O$ é $\tfrac{2}{3}\pi$ radianos. Mostre que a área do segmento cortado pela corda é cerca de $0.614 r^2$.

Gráficos e valores exatos

Você precisa saber o formato dos gráficos das funções seno 正弦, cosseno 余弦 e tangente 正切 (escritas $\sin$, $\cos$, $\tan$). Os gráficos do seno e cosseno oscilam entre $-1$ e $1$ e se repetem a cada $360^\circ$ ($2\pi$). Aprenda estes valores exatos:

$\theta$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$
$\sin\theta$	$\tfrac12$	$\tfrac{1}{\sqrt2}$	$\tfrac{\sqrt3}{2}$
$\cos\theta$	$\tfrac{\sqrt3}{2}$	$\tfrac{1}{\sqrt2}$	$\tfrac12$
$\tan\theta$	$\tfrac{1}{\sqrt3}$	$1$	$\sqrt3$

As notações $\sin^{-1}x$, $\cos^{-1}x$, $\tan^{-1}x$ significam o ângulo invertido (o valor principal 主值).

Identidades

Uma identidade 恒等式 é verdadeira para todo valor do ângulo. As duas que você deve saber são

Use-as para reescrever uma equação para que contenha apenas uma função trigonométrica.

Resolvendo equações trigonométricas

Para resolver uma equação trigonométrica 三角方程, primeiro reduza-a a uma única função, depois encontre todas as soluções no intervalo dado.

Exemplo resolvido. Resolva $6\sin\theta = 1 + \dfrac{2}{\sin\theta}$ para $-180^\circ < \theta < 180^\circ$.

Multiplique toda a expressão por $\sin\theta$ para eliminar a fração. Isso cria uma quadrática em $\sin\theta$:

Então $\sin\theta = \tfrac23$ ou $\sin\theta = -\tfrac12$.

• $\sin\theta = \tfrac23$: $\theta = 41.8^\circ$ ou $\theta = 180^\circ - 41.8^\circ = 138.2^\circ$.
• $\sin\theta = -\tfrac12$: $\theta = -30^\circ$ ou $\theta = -150^\circ$.

As quatro soluções são $\theta = -150^\circ,\ -30^\circ,\ 41.8^\circ,\ 138.2^\circ$.

Expansão binomial

Para um inteiro positivo $n$, a expansão binomial 二项展开式 é

onde $\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n - r)!}$ é um coeficiente binomial 二项式系数.

Exemplo resolvido. Encontre os primeiros três termos, em potências crescentes de $x$, de $(2 - px)^5$.

Progressões aritméticas e geométricas

Uma progressão 数列 (sequência) é uma lista de termos seguindo uma regra.

• Uma progressão aritmética 等差数列 (PA) adiciona uma diferença comum 公差 fixa $d$ a cada etapa. O $n$º termo 项 é $u_n = a + (n - 1)d$, e a soma dos primeiros $n$ termos é $S_n = \tfrac{n}{2}\big(2a + (n - 1)d\big)$.
• Uma progressão geométrica 等比数列 (PG) multiplica por uma razão comum 公比 fixa $r$ a cada etapa. O $n$º termo é $u_n = ar^{\,n-1}$, e $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$.

Uma PG é convergente — ela converge 收敛 (assenta-se num limite) — quando $|r| < 1$. Então ela tem uma soma ao infinito 无穷和

Exemplo resolvido. O terceiro termo de uma PG é $18$ e a soma dos primeiros três termos é $26$. A razão comum é negativa. Encontre a soma ao infinito.

De $ar^2 = 18$ você obtém $a = \dfrac{18}{r^2}$. Coloque isso em $a(1 + r + r^2) = 26$:

A razão é negativa, então $r = -\tfrac34$ e $a = \dfrac{18}{(3/4)^2} = 32$. Então

Diferenciação 微分 encontra o declive de uma curva 曲线斜率 em cada ponto. O declive é o limite 极限 dos declives de cordas cada vez menores, chamado de derivada 导数.

As regras

Escreva a derivada como $f'(x)$ ou $\dfrac{dy}{dx}$. A regra básica é

Diferencie somas termo a termo, e use a regra da cadeia 链式法则 para uma função dentro de outra função: Diferenciar novamente resulta na derivada segunda 二阶导数 $f''(x)$ ou $\dfrac{d^2y}{dx^2}$.

Usando a derivada

• Tangente e normal. A inclinação da curva num ponto é a inclinação da tangente nesse ponto. A normal 法线 é perpendicular à tangente, logo sua inclinação é $-\dfrac{1}{\text{(tangent gradient)}}$.
• Crescente ou decrescente. A função é uma função crescente 增函数 onde $\dfrac{dy}{dx} > 0$, e uma função decrescente 减函数 onde $\dfrac{dy}{dx} < 0$.
• Taxa de variação. Uma derivada é uma taxa de variação 变化率. Taxas ligadas usam a regra da cadeia, ex: $\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}$.

Pontos estacionários

Um ponto estacionário 驻点 é onde $\dfrac{dy}{dx} = 0$. Teste sua natureza com a derivada segunda: $f''(x) > 0$ indica um ponto de mínimo 极小值点, e $f''(x) < 0$ indica um ponto de máximo 极大值点. Quando $f''(x) = 0$ o teste é inconclusivo: o ponto pode ser um ponto de inflexão 拐点, onde a curva muda de concavidade (o sentido em que se curva) – verifique o sinal de $\dfrac{dy}{dx}$ pouco antes e depois para decidir.

Exemplo resolvido. A curva $y = 4x^{1/2} - x$ tem um ponto de máximo em $x = a$. Encontre $a$.

Assim $a = 4$.

Integração 积分 é o inverso da diferenciação. Inverter a regra da potência resulta em

A $+\,C$ é a constante de integração 积分常数. Se você conhece um ponto na curva, substitua-o para encontrar $C$.

Integrais definidas e área

Uma integral definida 定积分 possui limites e resulta em um número:

A área da região 区域 entre uma curva e o eixo $x$, de $x = p$ a $x = q$, é $\displaystyle\int_p^q y \, dx$. Para a área entre duas curvas, integre (curva superior $-$ menos curva inferior).

Exemplo resolvido. A curva $y = 4x^{1/2} - x$ cruza o eixo $x$ novamente em $x = 16$. Encontre a área entre a curva e o eixo $x$ de $x = 0$ a $x = 4$.

Uma integral imprópria 广义积分 tem um limite infinito ou uma extremidade onde o integrando não está definido; avalie-a como um limite. Por exemplo,

e $\displaystyle\int_0^{1}x^{-1/2}\, dx=\left[2x^{1/2}\right]_0^{1}=2$, que é finito mesmo quando o integrando tende ao infinito em $x=0$.

Volume de revolução

Quando uma região gira completamente em torno de um eixo, ela varre um sólido. O volume de revolução 旋转体体积 em torno do eixo $x$ é

e em torno do eixo $y$ é $V = \pi \displaystyle\int x^2 \, dy$. Por exemplo, a região sob $y = \sqrt{x}$ de $x = 0$ a $x = 4$, girada em torno do eixo $x$, tem volume $\pi\displaystyle\int_0^4 x\, dx = \pi\big[\tfrac{x^2}{2}\big]_0^4 = 8\pi$.

• Mostre todas as linhas de álgebra — perdem-se pontos de método ao pular etapas; use o discriminante $b^2 - 4ac$ para determinar o número de raízes reais.
• Trabalhe em radianos para medidas circulares (arco $= r\theta$, área de setor $= \frac{1}{2}r^2\theta$) e para cálculo de funções trigonométricas.
• Para diferenciação, igualize $\frac{dy}{dx} = 0$ para pontos estacionários e use a derivada segunda para classificá-los.
• Para integração, adicione $+ c$ a uma integral indefinida e use limites para área; uma área abaixo do eixo resulta em uma integral negativa.