Linear Momentum · ⁨線形運動量⁩

AP Physics 1 · ⁨AP物理学 1⁩ · Topic 4 · ⁨トピック 4⁩

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4.1

Linear Momentum · ⁨直線運動量⁩

Syllabus · ⁨シラバス⁩

English

Learning Objective 4.1.A: Describe the linear momentum of an object or system.

4.1.A.1 Linear momentum is defined by the equation $\vec{p} = m\vec{v}$.
- Equation: $\vec{p} = m\vec{v}$
4.1.A.2 Momentum is a vector quantity and has the same direction as the velocity.
4.1.A.3 Momentum can be used to analyze collisions and explosions.
- 4.1.A.3.i A collision is a model for an interaction where the forces exerted between the involved objects in the system are much larger than the net external force exerted on those objects during the interaction.
- 4.1.A.3.ii As only the initial and final states of a collision are analyzed, the object model may be used to analyze collisions.
- 4.1.A.3.iii An explosion is a model for an interaction in which forces internal to the system move objects within that system apart.

Boundary statement: Unless otherwise stated, the general term "momentum" will refer specifically to linear momentum.

日本語

学習目標 4.1.A: 物体や系の線形運動量を説明せよ。

4.1.A.1 線形運動量は方程式 $\vec{p} = m\vec{v}$ で定義される。
- 式: $\vec{p} = m\vec{v}$
4.1.A.2 運動量はベクトル量であり、速度と同じ方向を持つ。
4.1.A.3 衝突や爆発の解析には運動量を使用できる。
- 4.1.A.3.i 衝突とは、相互作用中に系内の対象物間に働く力が、その対象物に働く正味の外力よりもはるかに大きい相互作用のモデルである。
- 4.1.A.3.ii 衝突の初期状態と最終状態のみを解析するため、質点モデルを用いて衝突を解析することができる。
- 4.1.A.3.iii 爆発とは、系内部の力が系内の対象物を互いに離すように動かす相互作用のモデルである。

境界文: 特記しない限り、一般的な用語「運動量」は「線形運動量」を指す。

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨出典: College Board AP コースおよび試験説明書⁩

English

Linear momentum 动量 is mass times velocity – a vector pointing the same way as the velocity:

$$\vec{p}=m\vec{v}.$$

It measures "how hard it is to stop" a moving object. A heavy slow truck and a light fast ball can have the same momentum. Its unit is $\text{kg m/s}$, the same as $\text{N s}$.

日本語

直線運動量は質量に速度を掛けたものであり、速度と同じ方向を向くベクトルである：

$$\vec{p}=m\vec{v}.$$

これは「動いている物体を止めるのがどれだけ難しいか」を表す指標である。重くて遅いトラックと軽くて速いボールは、同じ運動量を持つことができる。その単位は $\text{kg m/s}$ であり、これは $\text{N s}$ と同じである。

4.2

Change in Momentum and Impulse · ⁨運動量の変化とインパルス⁩

Syllabus · ⁨シラバス⁩

English

Learning Objective 4.2.A: Describe the impulse delivered to an object or system.

4.2.A.1 The rate of change of momentum is equal to the net external force exerted on an object or system.
- Equation: $\vec{F}_{\text{net}} = \dfrac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}$
4.2.A.2 Impulse is defined as the product of the average force exerted on a system and the time interval during which that force is exerted on the system.
- Equation: $\vec{J} = \vec{F}_{\text{avg}} \Delta t$
4.2.A.3 Impulse is a vector quantity and has the same direction as the net force exerted on the system.
4.2.A.4 The impulse delivered to a system by a net external force is equal to the area under the curve of a graph of the net external force exerted on the system as a function of time.
4.2.A.5 The net external force exerted on a system is equal to the slope of a graph of the momentum of the system as a function of time.

Learning Objective 4.2.B: Describe the relationship between the impulse exerted on an object or a system and the change in momentum of the object or system.

4.2.B.1 Change in momentum is the difference between a system's final momentum and its initial momentum.
- Equation: $\Delta \vec{p} = \vec{p} - \vec{p}_0$
4.2.B.2 The impulse–momentum theorem relates the impulse exerted on a system and the system's change in momentum.
- Equation: $\vec{J} = \vec{F}_{\text{avg}} \Delta t = \Delta \vec{p}$
4.2.B.3 Newton's second law of motion is a direct result of the impulse–momentum theorem applied to systems with constant mass.
- Equation: $\vec{F}_{\text{net}} = \dfrac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} = m\dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = m\vec{a}$

Boundary statement: AP Physics 1 does not require students to quantitatively analyze systems in which the mass of the system changes with respect to time.

日本語

学習目標 4.2.A: 物体や系に与えられたインパルスを説明せよ。

4.2.A.1 運動量の時間変化率は、物体や系に働く正味の外力に等しい。
- 式: $\vec{F}_{\text{net}} = \dfrac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}$
4.2.A.2 インパルスとは、系に働く平均力とその力が系に作用する時間の区間の積として定義される。
- 式: $\vec{J} = \vec{F}_{\text{avg}} \Delta t$
4.2.A.3 インパルスはベクトル量であり、系に働く正味の力と同じ方向を持つ。
4.2.A.4 正味の外力による系へのインパルスは、正味の外力を横軸、時間を縦軸としたグラフの曲线下の面積に等しい。
4.2.A.5 系に働く正味の外力は、運動量を横軸、時間を縦軸としたグラフの傾きに等しい。

学習目標 4.2.B: 物体や系に与えられたインパルスと、その物体や系の運動量の変化との関係を説明せよ。

4.2.B.1 運動量の変化とは、系の最終運動量から初期運動量を引いた差である。
- 式: $\Delta \vec{p} = \vec{p} - \vec{p}_0$
4.2.B.2 インパルス-運動量定理は、系に与えられたインパルスと系の変化運動量の関係を示す。
- 式: $\vec{J} = \vec{F}_{\text{avg}} \Delta t = \Delta \vec{p}$
4.2.B.3 ニュートンの第二法則は、インパルス-運動量定理を質量が一定の系に適用した結果である。
- 式: $\vec{F}_{\text{net}} = \dfrac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} = m\dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = m\vec{a}$

境界文: AP Physics 1では、質量が時間とともに変化する系に関する定量的な解析は学生に求められない。

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨出典: College Board AP コースおよび試験説明書⁩

English

A net force acting over time changes momentum. The impulse 冲量 delivered is

$$\vec{J}=\vec{F}\,\Delta t=\Delta\vec{p}.$$

This is the impulse–momentum theorem: impulse equals the change in momentum. On a force–time graph, impulse is the area under the curve. It explains why airbags and follow-through help – spreading the same momentum change over a longer time reduces the force.

Worked example. A $0.15\ \text{kg}$ ball hits a wall at $20\ \text{m/s}$ and bounces straight back at $15\ \text{m/s}$. The contact lasts $0.020\ \text{s}$. Find the average force on the ball. Take the rebound direction as positive, so $u=-20\ \text{m/s}$ and $v=+15\ \text{m/s}$:

$$\Delta p=m(v-u)=0.15\big(15-(-20)\big)=5.25\ \text{kg m/s},\qquad F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{5.25}{0.020}=260\ \text{N}.$$

The sign work matters: forgetting that the velocity reverses is the most common mistake here.

日本語

時間にわたって作用する合力は運動量を変化させる。与えられるインパルスは

$$\vec{J}=\vec{F}\,\Delta t=\Delta\vec{p}.$$

これが インパルス-運動量定理 である：インパルスは運動量の増分に等しい。力-時間グラフにおいて、インパルスは曲線以下の面積である。エアバッグやフォロースルーが有効な理由もこれによって説明できる—同じ運動量の変化をより長い時間に分散させれば、力を小さくできる。

インパルスは力-時間曲線以下の面積であり、平均力と接触時間の積に等しい — インパルスは力-時間曲線の下の面積であり、平均力と接触時間の積に等しい

** worked example.** $0.15\ \text{kg}$ のボールが $20\ \text{m/s}$ の速度で壁に衝突し、真逆方向に $15\ \text{m/s}$ の速度で跳ね返る。接触時間は $0.020\ \text{s}$ である。ボールにかかる平均力を求めよ。跳ね返りの方向を正とするので、$u=-20\ \text{m/s}$ および $v=+15\ \text{m/s}$ ：

$$\Delta p=m(v-u)=0.15\big(15-(-20)\big)=5.25\ \text{kg m/s},\qquad F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{5.25}{0.020}=260\ \text{N}.$$

符号の扱いが重要である：速度が反転することを忘れるのが、ここで最もよく見られるミスである。

Vocabulary · ⁨語彙⁩ Train · ⁨練習する⁩

English	日本語
Linear momentum/ˈlɪnɪə məʊˈmentəm/	直線運動量
impulse/ˈɪmpʌls/	lv ra
conserved/kənˈsɜːvd/	保存されている
collisions/kəˈlɪʒnz/	衝突
center-of-mass velocity/ˈsentə ɒv mæs vəˈlɒsɪti/	重心速度
elastic collision/ɪˈlæstɪk kəˈlɪʒn/	弾性衝突
inelastic collision/ɪnɪˈlæstɪk kəˈlɪʒn/	非弾性衝突
recoil/rɪˈkɔɪl/	後座

4.3

Conservation of Linear Momentum · ⁨直線運動量の保存⁩

Syllabus · ⁨シラバス⁩

English

Learning Objective 4.3.A: Describe the behavior of a system using conservation of linear momentum.

4.3.A.1 A collection of objects with individual momenta can be described as one system with one center-of-mass velocity.
- 4.3.A.1.i For a collection of objects, the velocity of a system's center of mass can be calculated using the equation $\vec{v}_{\text{cm}} = \dfrac{\sum \vec{p}_i}{\sum m_i} = \dfrac{\sum m_i \vec{v}_i}{\sum m_i}$.
- 4.3.A.1.ii The velocity of a system's center of mass is constant in the absence of a net external force.
4.3.A.2 The total momentum of a system is the sum of the momenta of the system's constituent parts.
4.3.A.3 In the absence of net external forces, any change to the momentum of an object within a system must be balanced by an equivalent and opposite change of momentum elsewhere within the system. Any change to the momentum of a system is due to a transfer of momentum between the system and its surroundings.
- 4.3.A.3.i The impulse exerted by one object on a second object is equal and opposite to the impulse exerted by the second object on the first. This is a direct result of Newton's third law.
- 4.3.A.3.ii A system may be selected so that the total momentum of that system is constant.
- 4.3.A.3.iii If the total momentum of a system changes, that change will be equivalent to the impulse exerted on the system.
  - Equation: $\vec{J} = \Delta \vec{p}$
4.3.A.4 Correct application of conservation of momentum can be used to determine the velocity of a system immediately before and immediately after collisions or explosions.

Boundary statement: AP Physics 1 includes a quantitative and qualitative treatment of conservation of momentum in one dimension and a semiquantitative treatment of conservation of momentum in two dimensions. Exam questions involving solution of simultaneous equations are not included in AP Physics 1, but the AP Physics 1 Exam may include questions that assess whether students can set up the equations properly and reason about how changing a given mass, speed, or angle would affect other quantities. AP Physics 2 includes a full treatment of conservation of momentum in two dimensions for problems that include one unknown final velocity.

Learning Objective 4.3.B: Describe how the selection of a system determines whether the momentum of that system changes.

4.3.B.1 Momentum is conserved in all interactions.
4.3.B.2 If the net external force on the selected system is zero, the total momentum of the system is constant.
4.3.B.3 If the net external force on the selected system is nonzero, momentum is transferred between the system and the environment.

日本語

学習目標 4.3.A: 線形運動量の保存則を用いて、系の挙動を説明せよ。

4.3.A.1 個別の運動量を持つ複数の対象物の集合体は、一つの系として、一つの重心速度で記述できる。
- 4.3.A.1.i 複数の対象物の集合体について、系の重心の速度は方程式 $\vec{v}_{\text{cm}} = \dfrac{\sum \vec{p}_i}{\sum m_i} = \dfrac{\sum m_i \vec{v}_i}{\sum m_i}$ を用いて計算できる。
- 4.3.A.1.ii 正味の外力が存在しない場合、系の重心の速度は一定である。
4.3.A.2 系の全運動量は、系を構成する各部分の運動量の和である。
4.3.A.3 正味の外力が存在しない場合、系内の物体の運動量に変化が生じれば、それは系内の他箇所で等しく逆の運動量の変化によって相殺される。系の運動量の変化は、系と環境との間での運動量の移動によるものである。
- 4.3.A.3.i 第一の物体が第二の物体に与えるインパルスは、第二の物体が第一の物体に与えるインパルスと大きさが等しく向きが逆向きである。これはニュートンの第三法則の直接的な結果である。
- 4.3.A.3.ii 系の全運動量が一定となるような系を選択できる。
- 4.3.A.3.iii 系の全運動量に変化が生じた場合、その変化量は系に作用した沖合と等しい。
  - 数式: $\vec{J} = \Delta \vec{p}$
4.3.A.4 運動量の保存則の適切な適用により、衝突や爆発の直前および直後の系の速度を求めることができる。

境界声明: AP Physics 1では、一次元における運動量の保存則について定量的かつ定性的な扱いを行い、二次元における運動量の保存則については半定量的な扱いを行う。連立方程式を解くことを要求する試験問題はAP Physics 1には含まれないが、AP Physics 1の試験では、学生が方程式を適切に設定でき、与えられた質量、速さ、または角度の変更がいかに他の物理量に影響するかについて論理思考ができるかを評価する問題が含まれる可能性がある。AP Physics 2では、最終的な未知の速度が1つである問題を対象に、二次元における運動量の保存則を完全に取り扱う。

学習目標 4.3.B: 系の選択が、その系の運動量の変化の有無を決定する方法を説明する。

4.3.B.1 運動量はあらゆる相互作用において保存される。
4.3.B.2 選択した系に働く合力がゼロの場合、系の全運動量は一定である。
4.3.B.3 選択した系に働く合力がゼロでない場合、運動量は系と環境の間でやり取りされる。

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨出典: College Board AP コースおよび試験説明書⁩

English

If the net external force on a system is zero, its total momentum is conserved 守恒:

$$\sum \vec{p}_{\text{before}}=\sum \vec{p}_{\text{after}}.$$

Internal forces (like the push between two colliding carts) come in third-law pairs and cancel, so they cannot change the total momentum. This is the key tool for collisions 碰撞 and explosions – apply it separately in the $x$ and $y$ directions.

Worked example (recoil 反冲). A $60\ \text{kg}$ skater, initially at rest on frictionless ice, throws a $2.0\ \text{kg}$ ball at $8.0\ \text{m/s}$. Find her recoil speed. The total momentum starts at zero and stays zero:

$$0=(60)v+(2.0)(8.0)\;\Rightarrow\;v=-\frac{16}{60}=-0.27\ \text{m/s},$$

so she moves at $0.27\ \text{m/s}$ in the opposite direction to the ball – the principle behind rockets and guns.

A whole collection of objects can be described by a single center-of-mass velocity 质心速度:

$$\vec{v}_{\text{cm}}=\frac{\sum m_i\vec{v}_i}{\sum m_i}=\frac{\vec{p}_{\text{total}}}{M_{\text{total}}}.$$

Since total momentum is conserved when no net external force acts, $\vec{v}_{\text{cm}}$ then stays constant – a $v_{\text{cm}}$-versus-time graph is flat unless an outside force acts. An internal collision or explosion never changes it, however violently the parts fly apart.

日本語

系に作用する合力（外合力）がゼロであれば、その全運動量は保存される：

$$\sum \vec{p}_{\text{before}}=\sum \vec{p}_{\text{after}}.$$

内部力（衝突する2つのカート間の押し合いなど）は第三法則の対の形をとって互いに打ち消し合うため、全運動量を変えることはできない。これは衝突や爆発における重要なツールである。$x$ 方向と $y$ 方向に分けてそれぞれ適用する。

正面衝突：衝突前の全運動量は衝突後の全運動量に等しい

** worked example (反動).** $60\ \text{kg}$ のスケート選手が、摩擦のない氷上で静止状態から $2.0\ \text{kg}$ のボールを $8.0\ \text{m/s}$ の速度で投げた。彼女の反動速度を求める。全運動量は当初ゼロであり、その後もゼロのまま維持される：

$$0=(60)v+(2.0)(8.0)\;\Rightarrow\;v=-\frac{16}{60}=-0.27\ \text{m/s},$$

したがって、彼女は $0.27\ \text{m/s}$ の速度でボールとは逆向きに動く—ロケットや銃の原理である。

多数の物体の集合体は、単一の重心速度によって記述できる：

$$\vec{v}_{\text{cm}}=\frac{\sum m_i\vec{v}_i}{\sum m_i}=\frac{\vec{p}_{\text{total}}}{M_{\text{total}}}.$$

外合力が働かない限り全運動量は保存されるため、$\vec{v}_{\text{cm}}$ は一定を保つ—外力が働かない限り、$v_{\text{cm}}$ -時間グラフは水平（平坦）となる。内部衝突や爆発では、部品が激しく飛び散っても、これを変化させることはない。

Explore · ⁨探索⁩

Collide two carts and conserve momentum · ⁨2台の cart を衝突させて運動量を保存する⁩

In any collision the total momentum $\sum mv$ before equals the total after. Set the masses and speeds and check the momentum bookkeeping. · ⁨いかなる衝突でも、衝突前の総運動量 $\sum mv$ は衝突後のそれと等しい。質量と速度を設定して、運動量の計算を確認せよ。⁩

4.4

Elastic and Inelastic Collisions · ⁨弾性衝突と非弾性衝突⁩

Syllabus · ⁨シラバス⁩

English

Learning Objective 4.4.A: Describe whether an interaction between objects is elastic or inelastic.

4.4.A.1 An elastic collision between objects is one in which the initial kinetic energy of the system is equal to the final kinetic energy of the system.
4.4.A.2 In an elastic collision, the final kinetic energies of each of the objects within the system may be different from their initial kinetic energies.
4.4.A.3 An inelastic collision between objects is one in which the total kinetic energy of the system decreases.
4.4.A.4 In an inelastic collision, some of the initial kinetic energy is not restored to kinetic energy but is transformed by nonconservative forces into other forms of energy.
4.4.A.5 In a perfectly inelastic collision, the objects stick together and move with the same velocity after the collision.

日本語

学習目標 4.4.A: 物体間の相互作用が弾性か非弾性かを説明する。

4.4.A.1 弾性衝突とは、系の初期運動エネルギーが最終運動エネルギーと等しい衝突のことである。
4.4.A.2 弾性衝突においては、系内の各物体の最終運動エネルギーは、初期運動エネルギーと異なることがある。
4.4.A.3 非弾性衝突とは、系の全運動エネルギーが減少する衝突のことである。
4.4.A.4 非弾性衝突では、初期運動エネルギーの一部が運動エネルギーとして戻されず、保存力以外の力によって他の形のエネルギーに変換される。
4.4.A.5 完全に非弾性衝突では、衝突後に物体同士がくっついて同じ速度で動く。

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨出典: College Board AP コースおよび試験説明書⁩

English

Conservation of momentum in a collision

Momentum is conserved in every collision (with no external force). Kinetic energy is not:

In an elastic collision 弹性碰撞, kinetic energy is also conserved (objects bounce apart cleanly).
In an inelastic collision 非弹性碰撞, some kinetic energy becomes heat or deformation. In a perfectly inelastic collision the objects stick together and move with one common velocity afterward.

Strategy: always write momentum conservation; add energy conservation only if the collision is stated to be elastic. One elastic fact worth memorising: in a 1D elastic collision between equal masses, the two objects simply swap velocities (a moving ball striking an identical stationary one stops dead, and the target flies off at the incoming speed).

Worked example. A $1000\ \text{kg}$ car moving at $20\ \text{m/s}$ runs into a stationary $1500\ \text{kg}$ car and they lock together. Find their common speed, and the kinetic energy lost. Momentum conservation gives

$$1000\times20=(1000+1500)\,v\;\Rightarrow\;v=\frac{20000}{2500}=8.0\ \text{m/s}.$$

Kinetic energy before is $\tfrac12(1000)(20^2)=2.0\times10^{5}\ \text{J}$; after is $\tfrac12(2500)(8.0^2)=8.0\times10^{4}\ \text{J}$. So $1.2\times10^{5}\ \text{J}$ (about $60\%$) is lost to crumpling and heat – momentum is still conserved, but kinetic energy is not.

日本語

衝突における運動量の保存

運動量は、外部力がない限りすべての衝突において保存される。しかし、運動エネルギーは保存されない：

斜め衝突：2つの直交軸に沿って分解された図 — 斜め衝突、2つの直交軸に分解した形

弾性衝突では、運動エネルギーも保存される（物体がきれいに跳ね返る）。
非弾性衝突では、一部の運動エネルギーが熱や変形に変換される。完全に非弾性衝突では、物体がくっついて一体的に動き続ける。

戦略: 常に運動量保存則を記述する。衝突が弾性であると明言されている場合にのみ、エネルギー保存則を追加する。覚えるべき弾性衝突の重要な事実の1つ：1Dの弾性衝突において質量が等しい場合、2つの物体は単に速度を交換する（動いているボールが同じ静止したボールに衝突すると止まり、ターゲットは入射速度で飛び出す）。

計算例。 $1000\ \text{kg}$の質量を持つ車が速度$20\ \text{m/s}$で走行中、静止している$1500\ \text{kg}$の質量を持つ車に衝突し、両車は一体となった。共通の速度と失われた運動エネルギーを求めよ。運動量保存則より

$$1000\times20=(1000+1500)\,v\;\Rightarrow\;v=\frac{20000}{2500}=8.0\ \text{m/s}.$$

衝突前の運動エネルギーは$\tfrac12(1000)(20^2)=2.0\times10^{5}\ \text{J}$、後には$\tfrac12(2500)(8.0^2)=8.0\times10^{4}\ \text{J}$となる。したがって、約$1.2\times10^{5}\ \text{J}$（$60\%$について）がへこみや熱として散逸した——運動量は依然として保存されているが、運動エネルギーは保存されていない。

ニュートンの揺り玉：5つのスチールボールが一直線に吊るされた様子 — ニュートンの揺り玉は、ほぼ弾性衝突において一列のボールを通じて運動量と運動エネルギーが伝わる様子を示す

Explore · ⁨探索⁩

Compare elastic and inelastic collisions · ⁨弾性衝突と非弾性衝突を比較する⁩

Momentum is always conserved, but kinetic energy is only conserved in an elastic collision. In an inelastic one the carts stick and some energy becomes heat. · ⁨運動量は常に保存されるが、運動エネルギー は 弾性衝突 のみで保存される。非弾性衝突 では cart がくっつき、一部のエネルギーが熱となる。⁩

4.4

Exam tips · ⁨試験対策⁩

English

Momentum is a vector — assign $+$/$-$ signs before adding; a ball that rebounds reverses its velocity, giving a large $\Delta p$.
Momentum is conserved in every collision (no external force); kinetic energy is conserved only if the collision is stated to be elastic.
In a perfectly inelastic collision the objects stick and move with one common velocity.
Impulse $=F\,\Delta t=\Delta p$ = the area under a force–time graph; spreading a collision over a longer time reduces the force (airbags, bending knees).
For recoil/explosions, set the total momentum equal before and after (often zero before).

日本語

運動量はベクトル量である——加算前に$+$/$-$の符号を割り当てる；跳ね返るボールは速度の向きが変わるため、大きな$\Delta p$が生じる。
運動量はあらゆる衝突において保存される（外力がない場合）；運動エネルギーは衝突が弾性であると明記されている場合にのみ保存される。
完全に非弾性衝突では物体がくっついて一つの共通速度で動く。
沖動$=F\,\Delta t=\Delta p$ = 力-時間グラフの下の面積；衝突をより長い時間に分散させると力が小さくなる（エアバッグ、膝を曲げる）。
反動/爆発については、衝突前後の全運動量を等しいとする（通常は衝突前がゼロ）。

Interactive lessons on this topic · ⁨このトピックのインタラクティブ授業⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨一歩ずつ進め、即時チェック付きの問題で学習します。⁩

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