Probabilitas & Statistik Lanjutan

Variabel kontinu $X$ dijelaskan oleh fungsi kepadatan probabilitas $f(x)$, yang mungkin didefinisikan secara berselang-seling. Probabilitas dalam suatu rentang adalah area di bawah $f$, dan rata-rata dari setiap fungsi dari $X$ adalah

Fungsi distribusi kumulatif $F(x) = P(X \leqslant x)$ adalah total berjalan: $F(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$, dan $f(x) = F'(x)$. Gunakan $F$ untuk menemukan probabilitas dan persentil (misalnya, median menyelesaikan $F(x) = 0.5$).

Contoh terpecahkan. Sebuah variabel memiliki $f(x) = \tfrac12 x$ untuk $0 \leqslant x \leqslant 2$. Temukan median.

Fungsi distribusi kumulatif adalah $F(x) = \displaystyle\int_0^x \tfrac12 t\,dt = \tfrac14 x^2$. Tetapkan $F(m) = 0.5$:

Distribusi variabel terkait. Jika $Y=g(X)$, temukan distribusi $Y$ melalui fungsi kumulatifnya. Untuk $Y=X^2$: $F_Y(y)=P(X^2\leqslant y)=P(-\sqrt y\leqslant X\leqslant\sqrt y)=F_X(\sqrt y)-F_X(-\sqrt y)$, kemudian turunkan untuk $f_Y=F_Y'$. Ketika $g$ monoton naik terdapat jalan pintas, $F_Y(y)=F_X\big(g^{-1}(y)\big)$.

Contoh terpecahkan. Dengan $f_X(x)=\tfrac12 x$ pada $[0,2]$ (sehingga $F_X(x)=\tfrac14 x^2$), misalkan $Y=X^2$. Untuk $0\leqslant y\leqslant 4$, $F_Y(y)=F_X(\sqrt y)=\tfrac14 y$, sehingga $f_Y(y)=F_Y'(y)=\tfrac14$ – yaitu, $Y$ bersifat seragam pada $[0,4]$.

Ketika sampel kecil dan varians populasi tidak diketahui, dasar uji hipotesis Anda pada distribusi $t$ daripada normal. Ide yang sama memberikan interval kepercayaan untuk rata-rata:

di mana $t$ berasal dari tabel $t$ dengan $n - 1$ derajat kebebasan. Untuk membandingkan dua populasi, gunakan uji-$t$ dua-sampel (2-sampel) atau sampel berpasangan, setelah menemukan estimasi gabungan dari varians bersama yang sesuai.

Contoh terpecahkan. Sebuah sampel $n = 10$ memiliki rata-rata $\bar{x} = 50$ dan simpangan baku $s = 4$. Temukan interval kepercayaan $95\%$ untuk rata-rata (gunakan $t = 2.262$ untuk derajat kebebasan $9$).

Uji $\chi^2$ (uji chi-kuadrat) membandingkan jumlah observasi $O$ dengan jumlah ekspektasi $E$ dari distribusi teoritis:

Bandingkan ini dengan nilai tabel untuk jumlah derajat kebebasan yang benar. Dua penggunaan: uji kesesuaian (apakah data mengikuti model yang diusulkan?), dan uji ketergantungan dua variabel dalam tabel kontingensi.

Contoh terpecahkan. Empat kategori yang setara kemungkinan memberikan jumlah observasi $20, 30, 25, 25$ (sehingga setiap jumlah ekspektasi adalah $25$). Uji kesesuaian pada tingkat $5\%$.

Dengan $4 - 1 = 3$ derajat kebebasan nilai tabel adalah $7.815$. Karena $2 < 7.815$, tolak model.

Uji non-parametrik tidak mengasumsikan data berdistribusi normal, sehingga berguna ketika asumsi tersebut tidak terpenuhi. Uji dasar meliputi:

• uji tanda: hitung berapa banyak nilai yang berada di atas dan di bawah median yang diusulkan, lalu uji jumlah tersebut dengan model binomial;
• uji Wilcoxon bertanda-berperingkat (uji pasangan cocok untuk data berpasangan), yang juga menggunakan besaran selisihnya, bukan hanya tandanya;
• uji Wilcoxon penjumlahan peringkat, untuk membandingkan dua sampel terpisah.

Contoh terpecahkan. Uji apakah sebuah median adalah $5$. Dalam sampel $10$ nilai (tidak ada yang sama dengan $5$), $9$ terletak di atas $5$ dan $1$ terletak di bawahnya. Ujilah pada tingkat $5\%$ (dua sisi).

Di bawah $H_0$ (median $= 5$) jumlah nilai di atas mengikuti $B(10, 0.5)$. Hasil yang diamati ($9$ di atas) bersifat ekstrem, sehingga cari $P(X \geq 9) = \binom{10}{9}(0.5)^{10} + (0.5)^{10} = \dfrac{11}{1024} = 0.0107$. Untuk uji dua sisi, bandingkan dengan $\tfrac{1}{2}(5\%) = 0.025$. Karena $0.0107 < 0.025$, tolak $H_0$: terdapat bukti bahwa median bukan $5$.

Fungsi pembangkit peluang dari variabel diskrit $X$ adalah

Fungsi ini memadatkan seluruh distribusi ke dalam satu fungsi. Rata-rata dan varians diperoleh dari turunannya di $t = 1$: $E(X) = G'(1)$ dan $\mathrm{Var}(X) = G''(1) + G'(1) - \big(G'(1)\big)^2$. Selain itu, PGF dari penjumlahan variabel independen adalah hasil kali PGF masing-masing variabel.

Contoh terpecahkan. $X$ memiliki $P(X=0) = 0.5$, $P(X=1) = 0.3$, $P(X=2) = 0.2$. Temukan $E(X)$ menggunakan PGF.

Di sini $G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t^2$, sehingga $G'(t) = 0.3 + 0.4t$ dan

• Untuk variabel acak kontinu, pdf terintegrasi menjadi $1$ sepanjang rentangnya, dan $E(X) = \int x f(x)\,dx$.
• Gunakan distribusi-$t$ jika sampel kecil dan varians populasi tidak diketahui; nyatakan derajat kebebasannya.
• Untuk uji chi-squared hitung $\sum (O-E)^2/E$, bandingkan dengan nilai kritis pada derajat kebebasan yang sesuai, dan gabungkan kelas dengan $E < 5$.
• Nyatakan $H_0$ dan $H_1$ serta berikan kesimpulan dalam konteks untuk setiap uji.