AP Calculus BC · ⁨קלקולוס BC - AP⁩

Tips · ⁨טיפים⁩

קורס AP Calculus BC כולל את כל החומר של AB ומוסיף פונקציות פרמטריות, קוטביות ופונקציות ערך-וקטורי, טכניקות אינטגרציה מתקדמות, אינטגרלים לא רגילים, צמיחה לוגיסטית ובנוסף הגדולה ביותר — סדרות אינסופיות וסידורים, כולל סדרות טיילור ומקלורן עם גבולי שגיאה.

הסדרות הן הקטע שבו נכסה או מובסת הבחינה. מבחני ההתכנסות יש לבחור באופן אסטרטגי ולא לנסות אותם בסדר: על בוחן לדעת תוך שניות איזה מבחן מתאים לצורת הסדרה, ולדעת להציג את שם המבחן ולהוכיח שהתנאים שלו מתקיימים.

BC גם מוציא ציון משנה ל-AB, כך שהחומר של AB נשאר מוסר לחלוטין לבחינה ואינו יכול להיות מושאם.

העמודים מכסים את חומרי AB ו-BC לפי סדר CED, תוך הענקת מקום מספק לסדרות. במאגר זמינים מבחנים ישנים. מכיוון שציון המשנה של AB מגיע מאותו מבחן, היחידות של AB נשארות בעמודים בעומק מלא במקום שתועדו בקיצור.

Train all vocabulary · ⁨תרגול כל המילים⁩

Past Papers · ⁨מבחני עבר⁩

Limits and Continuity · ⁨גבולות רציפות⁩

Watch lesson · ⁨צפה בשיעור⁩

Open this topic on its own page · ⁨פתח נושא זה בדף עצמאי⁩

1.1

Introducing Calculus: Can Change Occur at an Instant?

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-1): Calculus allows us to generalize knowledge about motion to diverse problems involving change.

Learning Objective CHA-1.A: Interpret the rate of change at an instant in terms of average rates of change over intervals containing that instant.

CHA-1.A.1 Calculus uses limits to understand and model dynamic change.
CHA-1.A.2 Because an average rate of change divides the change in one variable by the change in another, the average rate of change is undefined at a point where the change in the independent variable would be zero.
CHA-1.A.3 The limit concept allows us to define instantaneous rate of change in terms of average rates of change.

עברית

הבנה מתמשכת (CHA-1): קלקולוס מאפשר לנו לשכלל ידע על תנועה לבעיות מגוונות הכוללות שינוי.

מטרות למידה CHA-1.A: פרש את קצב השינוי ברגע נתון בהתייחס לקצבי שינוי ממוצעים בתחומים המכילים רגע זה.

CHA-1.A.1 קלקולוס משתמש בגבולות כדי להבין ולמודל שינוי דינמי.
CHA-1.A.2 מכיוון שקצב שינוי ממוצע מחלק את השינוי במשתנה אחד בשינוי במשתנה אחר, קצב השינוי הממוצע אינו מוגדר בנקודה שבה השינוי במשתנה התלוי יהיה אפס.
CHA-1.A.3 מושג הגבול מאפשר לנו להגדיר קצב שינוי מיידי בהתייחס לקצבי שינוי ממוצעים.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

Calculus is the mathematics of change 变化 and of accumulation 累积. It answers two big questions: how fast is something changing right now, and how much has piled up so far? Unit 1 builds the one tool both questions rest on – the limit 极限.

Start with a puzzle. A car's speedometer reads $60$ km/h. What does that mean at a single instant 瞬间? Speed is distance over time. But at one instant no time passes and no distance is covered, so the fraction looks like $\tfrac{0}{0}$ – undefined.

The average rate of change 平均变化率 uses a whole interval 区间: the change in one quantity divided by the change in another. It divides by zero, and so is undefined, when the change in the input would be zero.
The instantaneous rate of change 瞬时变化率 is what we want at a point. It is the value the average rate approaches 趋近 as the interval shrinks toward zero length.

The clever move is not to plug in zero (undefined), but to watch what the average rate approaches as the interval gets smaller and smaller. That approaching value is a limit. So calculus lets us describe change at an instant – as a limit of average rates over ever-shorter intervals. This one idea powers the derivative 导数 (Unit 2) and, run in reverse, the integral 积分 (Unit 6). Everything else in this unit defines limits carefully and computes them reliably.

Explore · ⁨חקור⁩

Explore the slope at an instant · ⁨חקירה של השיפוע ברגע נתון⁩

y = bx² + d

Slide the point along the curve. The tangent line shows the exact rate of change $\frac{dy}{dx}$ there — the value the average rates approach as the interval shrinks to a single instant. The slope changes with position, so change does have a value at each instant. · ⁨החלק את הנקודה לאורך העקומה. המשיק מראה את קצב השינוי המדויק $\frac{dy}{dx}$ שם — הערך אליו הקצבים הממוצעים שואפים ככל שהתחום מתכווץ ל-רגע יחיד. השיפוע משתנה לפי המיקום, ולכן שינוי יש לו ערך בכל רגע.⁩

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
change/tʃeɪndʒ/	שינוי
accumulation/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn/	צבירה
limit/ˈlɪmɪt/	גבול
at a single instant/ætə ˈsɪŋɡl ˈɪnstənt/	ברגע יחיד
average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/	ממוצע קצב השינוי
interval/ˈɪntəvl/	interval
instantaneous rate of change/ˌɪnstənˈteɪnɪəs reɪt ɒv tʃeɪndʒ/	קצב שינוי רגעי
approaches/əˈprəʊtʃɪz/	מתקרבת ל
derivative/dɪˈrɪvətɪv/	נגזרת
integral/ˈɪntɪɡrəl/	אינטגרל
hole/həʊl/	חור

1.2

Defining Limits and Using Limit Notation

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (LIM-1): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about limits.

Learning Objective LIM-1.A: Represent limits analytically using correct notation.

LIM-1.A.1 Given a function $f$, the limit of $f(x)$ as $x$ approaches $c$ is a real number $R$ if $f(x)$ can be made arbitrarily close to $R$ by taking $x$ sufficiently close to $c$ (but not equal to $c$). If the limit exists and is a real number, then the common notation is $\lim_{x \to c} f(x) = R$.
- Exclusion statement: The epsilon-delta definition of a limit is not assessed on the AP Calculus AB or BC Exam. However, teachers may include this topic in the course if time permits.

Learning Objective LIM-1.B: Interpret limits expressed in analytic notation.

LIM-1.B.1 A limit can be expressed in multiple ways, including graphically, numerically, and analytically.

עברית

הבנה נמשכת (LIM-1): נימוקים בעזרת הגדרות, משפטים ותכונות יכולים לשמש להוכחת טענות לגבי גבולות.

מטרת למידה LIM-1.A: נציג גבולות אנליטית באמצעות סימון תקין.

LIM-1.A.1 נתונה פונקציה $f$, הגבול של $f(x)$ כאשר $x$ מתקרית ל$c$ הוא מספר ממשי $R$ אם $f(x)$ יכול להיות קרוב ככל שנדרש ל$R$ על ידי לקיחת $x$ קרוב כפי שהנדרש ל$c$ (אך לא שווה ל$c$). אם הגבול קיים והוא מספר ממשי, הסימון הנפוץ הוא $\lim_{x \to c} f(x) = R$.
- הצהרת בלילה: ההגדרה אפסילון-דלתא של גבול אינה נבדקת במבחן AP Calculus AB או BC. עם זאת, מורים יכולים לכלול נושא זה בקורס אם יש זמן.

מטרת למידה LIM-1.B: פרש גבולות המופעים בסימון אנליטי.

LIM-1.B.1 גבול ניתן לביטוי במגוון דרכים, כולל גרפית, מספרית ואנליטית.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

A smooth bridge curve: limits describe the value a graph approaches as we zoom in

Given a function $f$, the limit of $f(x)$ as $x$ approaches $c$ is a real number $R$ if $f(x)$ can be made arbitrarily 任意地 close to $R$ by taking $x$ sufficiently 足够 close to $c$ – but not equal to $c$. We write

$$\lim_{x \to c} f(x) = R$$

and read it: "the limit of $f(x)$, as $x$ approaches $c$, equals $R$."

The last words are the heart of a limit: it describes the behavior 行为 of $f$ near $c$, not the value at $c$. The function may be undefined at $c$, or defined but equal to something else – the limit does not care.

A limit can be shown in three ways: graphically 用图象, numerically 用数值 (a table), and analytically 用解析式 (algebra). Learning to move between these representations is a core skill.

(Note: the epsilon-delta definition of a limit is not tested on the AP Exam, so this handout does not use it.)

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
arbitrarily/ˌɑːbɪˈtrerɪli/	ללא הגבלה
sufficiently/səˈfɪʃəntli/	באופן מספק
behavior/bɪˈheɪvjə/	התנהגות
graphically/ˈɡræfɪkli/	גרפית
numerically/njuːˈmerɪkli/	מספרית
analytically/ˌænəˈlɪtɪkli/	אנליטית

1.3

Estimating Limit Values from Graphs

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (LIM-1): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about limits.

Learning Objective LIM-1.C: Estimate limits of functions.

LIM-1.C.1 The concept of a limit includes one sided limits.
LIM-1.C.2 Graphical information about a function can be used to estimate limits.
LIM-1.C.3 Because of issues of scale, graphical representations of functions may miss important function behavior.
LIM-1.C.4 A limit might not exist for some functions at particular values of $x$. Some ways that the limit might not exist are if the function is unbounded, if the function is oscillating near this value, or if the limit from the left does not equal the limit from the right.
- Illustrative examples for LIM-1.C.4:
  - $\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} = \infty$
  - $\lim_{x \to 0} \dfrac{|x|}{x}$ does not exist.
  - $\lim_{x \to 0} \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ does not exist.
  - $\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x}$ does not exist.

עברית

הבנה נמשכת (LIM-1): נימוקים בעזרת הגדרות, משפטים ותכונות יכולים לשמש להוכחת טענות לגבי גבולות.

מטרת למידה LIM-1.C: הערך גבולות של פונקציות.

LIM-1.C.1 מושג הגבול כולל גם גבולות חד-כיווניים.
LIM-1.C.2 ניתן להשתמש במידע גרפי על פונקציה כדי להעריך גבולות.
LIM-1.C.3 בשל בעיות קנה מידה, ייצוגים גרפיים של פונקציות עשויים לפספס התנהגות חשובה של הפונקציה.
LIM-1.C.4 ייתכן שגבול לא קיים עבור חלק מהפונקציות בערכים מסוימים של $x$. כמה צורות בהן הגבול עשוי שלא להתקיים הן אם הפונקציה אינה מוגבלת, אם הפונקציה מתנדנדת בסביבת הערך הזה, או אם הגבול מצד שמאל אינו שווה לגבול מצד ימין.
- דוגמאות להמחשה עבור LIM-1.C.4:
  - $\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} = \infty$
  - $\lim_{x \to 0} \dfrac{|x|}{x}$ אינו קיים.
  - $\lim_{x \to 0} \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ אינו קיים.
  - $\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x}$ אינו קיים.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

A graph is often the fastest way to read a limit. To find $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)$, run your finger along the curve toward $x = c$ from each side and ask: what height is the curve heading for?

Trace from the left (inputs smaller than $c$): this gives the left-hand limit 左极限, $\displaystyle \lim_{x \to c^-} f(x)$.
Trace from the right (inputs larger than $c$): this gives the right-hand limit 右极限, $\displaystyle \lim_{x \to c^+} f(x)$.
These are the one-sided limits 单侧极限. If both head to the same height $R$, then the two-sided limit exists and $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = R$.

Crucially, ignore the point itself. Graphs mark the difference between the limit and the value:

An open circle 空心圆 marks a height the curve approaches but does not reach – a "hole" 空洞.
A closed circle 实心圆 marks the actual value $f(c)$.

So a curve may approach $R = 3$ from both sides (limit is $3$) while a filled dot sits at height $5$ (value $f(c) = 5$). The limit is $3$; the two need not match.

A limit does not exist (often written DNE) when the two sides disagree (a jump 跳跃), when the function is unbounded 无界 (grows without limit), or when it oscillates 振荡 forever near $c$. For example:

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}\ \text{DNE}, \qquad \lim_{x \to 0} \sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\ \text{DNE}.$$

Watch the scale 比例 of a graph: a zoomed-out picture can hide important behavior near a point, so confirm with algebra when you can.

A limit exists at x=2 even though the function value f(2) is different — The open circle is the height the curve approaches (the limit); the filled dot is the actual value $f(2)$ -- they need not agree.

Explore · ⁨חקור⁩

Read a limit off the graph · ⁨קרא גבול מהגרף⁩

y = ax² + bx + c

The limit as $x\to c$ is the height the curve heads toward from both sides — it is about where the function is going, not its value at $c$. Follow the curve toward an $x$ and read the $y$ it approaches. · ⁨הגבול ב-$x\to c$ הוא הגובה שאליו הכיפה שואפת משני הצדדים — מדובר בכיוון שבו הפונקציה מתכוונת, ולא בערכה ב-$c$. עקוב אחר הכיפה כפי she is heading toward an $x$ וקרא את ה$y$ אליו היא מתקרבת.⁩

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
left-hand limit/left hænd ˈlɪmɪt/	גבול משמאל
right-hand limit/raɪt hænd ˈlɪmɪt/	גבול מימין
one-sided limits/wʌn ˈsaɪdɪd ˈlɪmɪts/	גבולות חד-צדדיים
open circle/ˈəʊpən ˈsɜːkl/	מעגל פתוח
closed circle/kləʊzd ˈsɜːkl/	מעגל סגור
jump/dʒʌmp/	קפיצה
unbounded/ʌnˈbaʊndɪd/	בלתי מוגבל
oscillates/ˈɒsɪleɪts/	מתנודדת
scale/skeɪl/	קנה מידה

1.4

Estimating Limit Values from Tables

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (LIM-1): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about limits.

Learning Objective LIM-1.C: Estimate limits of functions.

LIM-1.C.5 Numerical information can be used to estimate limits.

עברית

הבנה נמשכת (LIM-1): נימוקים בעזרת הגדרות, משפטים ותכונות יכולים לשמש להוכחת טענות לגבי גבולות.

מטרת למידה LIM-1.C: הערך גבולות של פונקציות.

LIM-1.C.5 ניתן להשתמש במידע מספרי כדי להעריך גבולות.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

When you have data or a formula but no picture, a table 表格 of values estimates a limit numerically. Choose inputs that creep toward $c$ from both sides and watch the outputs.

For example, to estimate $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ (which is $\tfrac{0}{0}$ at $x=2$):

$x$	$1.9$	$1.99$	$1.999$	$\to 2 \leftarrow$	$2.001$	$2.01$	$2.1$
$f(x)$	$3.9$	$3.99$	$3.999$	?	$4.001$	$4.01$	$4.1$

Both sides march toward $4$, so we estimate the limit is $4$. A table only suggests a value – it is a numerical estimate, not a proof.

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
table/ˈteɪbl/	טבלה

1.5

Determining Limits Using Algebraic Properties of Limits

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (LIM-1): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about limits.

Learning Objective LIM-1.D: Determine the limits of functions using limit theorems.

LIM-1.D.1 One-sided limits can be determined analytically or graphically.
LIM-1.D.2 Limits of sums, differences, products, quotients, and composite functions can be found using limit theorems.

עברית

הבנה נמשכת (LIM-1): נימוקים בעזרת הגדרות, משפטים ותכונות יכולים לשמש להוכחת טענות לגבי גבולות.

מטרת למידה LIM-1.D: קבע את גבולות הפונקציות באמצעות משפטי גבולות.

LIM-1.D.1 ניתן לקבוע גבולות חד-כיווניים אנליטית או גרפית.
LIM-1.D.2 ניתן למצוא גבולות של סכומים, הפרשים, מכפלות, מנה ופונקציות מורכבות באמצעות משפטי גבולות.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

Most limits are found analytically using limit theorems 极限定理. If $\lim_{x\to c} f(x)$ and $\lim_{x\to c} g(x)$ both exist, the limit of a combination is the same combination of the limits:

Sum / difference: $\displaystyle \lim_{x\to c}\big[f(x)\pm g(x)\big] = \lim_{x\to c}f(x) \pm \lim_{x\to c}g(x)$
Product: $\displaystyle \lim_{x\to c}\big[f(x)\,g(x)\big] = \lim_{x\to c}f(x)\cdot\lim_{x\to c}g(x)$
Quotient: $\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)}$, provided the bottom limit is not $0$.
Composite 复合函数: if $g$ is continuous at $\lim_{x\to c} f(x)$, then $\displaystyle \lim_{x\to c} g\big(f(x)\big) = g\!\left(\lim_{x\to c} f(x)\right)$.

The practical rule: for a function built from polynomials, roots, and the like, first try direct substitution 直接代入 – put $x = c$ in. If you get a real number, that is the limit. One-sided limits obey the same theorems, read from one direction only.

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
limit theorems/ˈlɪmɪt ˈθɪərəmz/	משפטיות גבול
Composite/ˈkɒmpəzɪt/	פונקציה מורכבת
direct substitution/daɪˈrekt ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/	הצבה ישירה

1.6

Determining Limits Using Algebraic Manipulation

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (LIM-1): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about limits.

Learning Objective LIM-1.E: Determine the limits of functions using equivalent expressions for the function or the squeeze theorem.

LIM-1.E.1 It may be necessary or helpful to rearrange expressions into equivalent forms before evaluating limits.
- Illustrative examples for LIM-1.E.1:
  - Factoring and dividing common factors of rational functions
  - Multiplying by an expression involving the conjugate of a sum or difference in order to simplify functions involving radicals
  - Using alternate forms of trigonometric functions

עברית

הבנה נמשכת (LIM-1): נימוקים בעזרת הגדרות, משפטים ותכונות יכולים לשמש להוכחת טענות לגבי גבולות.

מטרת למידה LIM-1.E: קבע את גבולות הפונקציות באמצעות ביטויים מקבילים לפונקציה או באמצעות משפט הסחיפה.

LIM-1.E.1 ייתכן שתהיה צורך או שהיה נוח לשנות את הביטוי לצורות מקבילות לפני חישוב הגבולות.
- דוגמאות להמחשה עבור LIM-1.E.1:
  - פירוק ושילוח גורמים משותפים בפונקציות רציונליות
  - כפל באיבר המכיל את המלווה של סכום או הפרש כדי לפשט פונקציות הכוללות שורשים
  - שימוש בצורות חלופיות של פונקציות טריגונומטריות

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

Direct substitution sometimes gives the indeterminate form 未定式 $\tfrac{0}{0}$. This does not mean the limit fails – it means you must rewrite the function into an equivalent form 等价形式 that removes the trouble, then substitute. Three standard moves:

Factor and cancel 因式分解并约分 a rational function 有理函数. Example: $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4$.
Multiply by the conjugate 共轭 to simplify a radical 根式. Example: $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{x\big(\sqrt{x+1}+1\big)} = \frac{1}{2}$.
Use alternate forms of trigonometric functions (identities) to simplify.

The cancelled factor is why the original graph had a hole: the two functions agree everywhere except at $x=c$, so they share the same limit there.

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
indeterminate form/ˌɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːm/	צורה לא מוגדרת
equivalent form/ɪˈkwɪvələnt fɔːm/	צורה שקולה
Factor and cancel/ˈfæktə ænd ˈkænsl/	גורמי שיתוף וביטול
rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/	פונקציה רציונלית
conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/	זוגי
radical/ˈrædɪkl/	שורש

1.7

Selecting Procedures for Determining Limits

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

This topic is intended to focus on the skill of selecting an appropriate procedure for determining limits. Students should be given opportunities to practice when and how to apply all learning objectives relating to determining limits.

עברית

נושא זה נועד להתמקד במיומנות בחירת הליך מתאים לקביעת גבולות. יש לספק לתלמידים הזדמנויות לתרגול מתי וכיצד להשתמש בכל מטרת הלמידה הקשורה לקביעת גבולות.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

This is a skill topic, not new content: choose the right tool for the limit in front of you.

Try direct substitution first. A real answer means you are done.
Getting $\tfrac{0}{0}$? Rewrite – factor and cancel, or use the conjugate, or a trig identity – then substitute.
A non-zero number over $0$ (like $\tfrac{5}{0}$)? The limit is infinite or DNE – check the sign from each side (see vertical asymptotes below).
As $x\to\pm\infty$? Compare the dominant 主导 terms (see limits at infinity).
Trapped between two functions? The squeeze theorem may apply.

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
dominant/ˈdɒmɪnənt/	דומיננטי

1.8

Determining Limits Using the Squeeze Theorem

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (LIM-1): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about limits.

Learning Objective LIM-1.E: Determine the limits of functions using equivalent expressions for the function or the squeeze theorem.

LIM-1.E.2 The limit of a function may be found by using the squeeze theorem.
- Illustrative examples for LIM-1.E.2: The squeeze theorem can be used to show $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ and $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = 0$.

עברית

הבנה נמשכת (LIM-1): נימוקים בעזרת הגדרות, משפטים ותכונות יכולים לשמש להוכחת טענות לגבי גבולות.

מטרת למידה LIM-1.E: קבע את גבולות הפונקציות באמצעות ביטויים מקבילים לפונקציה או באמצעות משפט הסחיפה.

LIM-1.E.2 ניתן למצוא את הגבול של פונקציה על ידי שימוש במשפט הסחיפה.
- דוגמאות מדגמות ל-LIM-1.E.2: משפט הסחיפה יכול לשמש להראי $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ ו$\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = 0$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

The squeeze theorem 夹逼定理 (also called the sandwich theorem) finds a limit by trapping the function between two others. If $g(x) \le f(x) \le h(x)$ near $c$, and

$$\lim_{x\to c} g(x) = \lim_{x\to c} h(x) = L,$$

then $f$ is squeezed to the same place: $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x) = L$.

The two famous results proved this way, both used throughout calculus, are:

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1 \qquad\text{and}\qquad \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x} = 0.$$

The Squeeze Theorem traps x squared sin(1/x) between minus x squared and x squared

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
squeeze theorem/skwiːz ˈθɪərəm/	משפט הדחקה

1.9

Connecting Multiple Representations of Limits

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

This topic is intended to focus on connecting representations. Students should be given opportunities to practice when and how to apply all learning objectives relating to limits and translating mathematical information from a single representation or across multiple representations.

עברית

נושא זה נועד להתמקד בחיבור בין ייצוגים. יש לספק לתלמידים הזדמנויות לתרגול מתי וכיצד להשתמש בכל מטרת הלמידה הקשורה לגבולות ולהמרת מידע מתמטי מייצוג אחד או בין מספר ייצוגים.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

Another skill topic: the same limit lives in a graph, a table, and an algebraic form, and you should be able to translate between them. A graph shows the shape and any holes or jumps; a table gives numerical evidence; algebra gives an exact value and a reason. Strong answers use one representation to confirm another.

1.10

Exploring Types of Discontinuities

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (LIM-2): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about continuity.

Learning Objective LIM-2.A: Justify conclusions about continuity at a point using the definition.

LIM-2.A.1 Types of discontinuities include removable discontinuities, jump discontinuities, and discontinuities due to vertical asymptotes.

עברית

הבנה מתמשכת (LIM-2): ניתן להשתמש בניתוח עם הגדרות, משפטים ותכונות כדי להסביר טענות לגבי רציפות.

מטרת למידה LIM-2.A: הסבר מסקנות לגבי רציפות בנקודה באמצעות ההגדרה.

LIM-2.A.1 סוגי אי-רציפות כוללים אי-רציפות ניתנת לפיקוח, אי-רציפות קפיצה ואי-רציפות עקב אסימפטוטות אנכיות.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

A function is discontinuous 间断 at $c$ when its graph "breaks" there. There are three types:

Removable discontinuity 可去间断 – a single hole. The two-sided limit exists, but the point is missing or misplaced.
Jump discontinuity 跳跃间断 – the two one-sided limits exist but disagree, so the curve jumps.
Infinite discontinuity 无穷间断 – the function blows up to $\pm\infty$ at a vertical asymptote 垂直渐近线.

The three types of discontinuity: removable, jump, and infinite

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
discontinuous/dɪskənˈtɪnjuːəs/	בלתי רציף
Removable discontinuity/rɪˈmuːvəbl dɪskɒntɪˈnjuːɪti/	ניתוק הילד
Jump discontinuity/dʒʌmp dɪskɒntɪˈnjuːɪti/	ניתוק קפיצה
Infinite discontinuity/ˈɪnfɪnət dɪskɒntɪˈnjuːɪti/	ניתוק אינסופי
vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/	אסימפטוטה אנכית

1.11

Defining Continuity at a Point

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (LIM-2): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about continuity.

Learning Objective LIM-2.A: Justify conclusions about continuity at a point using the definition.

LIM-2.A.2 A function $f$ is continuous at $x = c$ provided that $f(c)$ exists, $\lim_{x \to c} f(x)$ exists, and $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$.

עברית

הבנה מתמשכת (LIM-2): ניתן להשתמש בניתוח עם הגדרות, משפטים ותכונות כדי להסביר טענות לגבי רציפות.

מטרת למידה LIM-2.A: הסבר מסקנות לגבי רציפות בנקודה באמצעות ההגדרה.

LIM-2.A.2 פונקציה $f$ רציפה בנקודה $x = c$ בתנאי ש$f(c)$ קיים, $\lim_{x \to c} f(x)$ קיים, ו$\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

Continuity is defined by a three-part test. A function $f$ is continuous 连续 at $x=c$ exactly when all three hold:

$$\boxed{\;f(c)\text{ exists}\quad\text{and}\quad \lim_{x\to c} f(x)\text{ exists}\quad\text{and}\quad \lim_{x\to c} f(x) = f(c)\;}$$

In words: the point is there, the limit is there, and the two agree. If any one fails, $f$ is discontinuous at $c$. This test is the backbone of nearly every continuity question, so learn it as a checklist.

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
continuous/kənˈtɪnjuːəs/	רציף

1.12

Confirming Continuity over an Interval

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (LIM-2): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about continuity.

Learning Objective LIM-2.B: Determine intervals over which a function is continuous.

LIM-2.B.1 A function is continuous on an interval if the function is continuous at each point in the interval.
LIM-2.B.2 Polynomial, rational, power, exponential, logarithmic, and trigonometric functions are continuous on all points in their domains.

עברית

הבנה מתמשכת (LIM-2): ניתן להשתמש בניתוח עם הגדרות, משפטים ותכונות כדי להסביר טענות לגבי רציפות.

מטרת למידה LIM-2.B: קביעת מרווחים עליהם פונקציה היא רציפה.

LIM-2.B.1 פונקציה היא רציפה במרווח אם היא רציפה בכל נקודה בתוך המרווח.
LIM-2.B.2 פונקציות פולינומיות, רציונליות, חזקה, מעריכיות, לוגריתמיות וטריגונומטריות הן רציפות בכל הנקודות בתחום ההגדרה שלהן.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

A function is continuous on an interval 在区间上连续 if it is continuous at every point of that interval. You rarely check point by point, because whole families are continuous on their domains:

Polynomial, rational, power, exponential 指数, logarithmic 对数, and trigonometric 三角 functions are continuous at every point of their domains.

So a rational function is continuous everywhere except where its denominator is zero; $\ln x$ is continuous for $x>0$; and so on. Knowing this lets you declare continuity quickly and correctly.

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
continuous on an interval/kənˈtɪnjuːəs ɒn ən ˈɪntəvl/	רציף על קטע
exponential/ˌekspəˈnenʃl/	אקספוננציאלית
logarithmic/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk/	לוגריתמי
trigonometric/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk/	טריגונומטרי

1.13

Removing Discontinuities

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (LIM-2): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about continuity.

Learning Objective LIM-2.C: Determine values of $x$ or solve for parameters that make discontinuous functions continuous, if possible.

LIM-2.C.1 If the limit of a function exists at a discontinuity in its graph, then it is possible to remove the discontinuity by defining or redefining the value of the function at that point, so it equals the value of the limit of the function as $x$ approaches that point.
LIM-2.C.2 In order for a piecewise-defined function to be continuous at a boundary to the partition of its domain, the value of the expression defining the function on one side of the boundary must equal the value of the expression defining the other side of the boundary, as well as the value of the function at the boundary.

עברית

הבנה מתמשכת (LIM-2): ניתן להשתמש בניתוח עם הגדרות, משפטים ותכונות כדי להסביר טענות לגבי רציפות.

מטרת למידה LIM-2.C: קביעת ערכים של $x$ או פתרון עבור פרמטרים הופכים פונקציות לא רציפות לרציפות, אם это אפשרי.

LIM-2.C.1 אם הגבול של פונקציה קיים בנקודת אי-רציפות בגרף שלה, אז ניתן להסיר את האי-רציפות על ידי הגדרה או שינוי הגדרה של הערך של הפונקציה בנקודה זו, כך שהוא יתאים לערך הגבול של הפונקציה כאשר $x$ מתקרית לנקודה זו.
LIM-2.C.2 כדי שפונקציה המוגדרת בחלקים תהיה רציפה בגבול החלוקה של התחום שלה, הערך של הביטוי המגדיר את הפונקציה באחד מצדי הגבול חייב להתאים לערך הביטוי המגדיר את הצד השני של הגבול, ainsi que לערך הפונקציה עצמו בנקודת הגבול.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

If the limit exists at a hole, the discontinuity is removable: redefine the function at that one point to equal the limit, and the graph is repaired. Formally, set the missing value to $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x)$.

For a piecewise-defined function 分段函数, continuity at a boundary $x=c$ needs the two pieces to meet: the left piece's value, the right piece's value, and $f(c)$ must all be equal. This is a common exam setup – you solve for a parameter 参数 (an unknown constant) that makes the pieces match:

$$\lim_{x\to c^-} f(x) = \lim_{x\to c^+} f(x) = f(c).$$

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
piecewise-defined function/ˈpiːswaɪz dɪˈfaɪnd ˈfʌŋkʃn/	פונקציה מוגדרת לפי מקרים
parameter/pəˈræmɪtə/	פרמטר

1.14

Connecting Infinite Limits and Vertical Asymptotes

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (LIM-2): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about continuity.

Learning Objective LIM-2.D: Interpret the behavior of functions using limits involving infinity.

LIM-2.D.1 The concept of a limit can be extended to include infinite limits.
LIM-2.D.2 Asymptotic and unbounded behavior of functions can be described and explained using limits.

עברית

הבנה מתמשכת (LIM-2): ניתן להשתמש בניתוח עם הגדרות, משפטים ותכונות כדי להסביר טענות לגבי רציפות.

מטרת למידה LIM-2.D: פרשן את התנהגות הפונקציות באמצעות גבולות המעורבים באינסוף.

LIM-2.D.1 מושג הגבול יכול להיות מורחב כדי לכלול גבולות אינסופיים.
LIM-2.D.2 התנהגות אסימפטוטית ולא מוגבלת של פונקציות יכולה להיות מתוארת ומוסברת באמצעות גבולות.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

The idea of a limit extends to infinite limits 无穷极限. When a function grows without bound near $x=c$, we write $\lim_{x\to c} f(x) = \pm\infty$. This describes a vertical asymptote at $x=c$: the graph hugs the vertical line $x=c$ and shoots off toward $\pm\infty$.

This happens where a non-zero number is divided by something approaching $0$, such as at a zero of a denominator that does not cancel. Always check each side separately – the two sides can shoot opposite ways (one to $+\infty$, one to $-\infty$).

An infinite limit at a vertical asymptote x = c, where the two sides shoot to opposite infinities — Near a vertical asymptote the graph hugs the line $x=c$, and the two sides can shoot to opposite infinities.

Explore · ⁨חקור⁩

Explore an infinite limit at a vertical asymptote · ⁨חקירה של גבול אינסופי באסימפטוטה אנכית⁩

y = a/(x − b) + c

As $x \to 0$ the curve $y=\frac{1}{x}$ shoots to $+\infty$ from the right and $-\infty$ from the left — the line $x=0$ is a vertical asymptote the graph hugs but never touches. · ⁨כאשר $x \to 0$, העקומה $y=\frac{1}{x}$ זוקפת ל-$+\infty$ מימין ו-$-\infty$ משמאל — הקו $x=0$ הוא אסימפטוטה אנכית שהגרף צמוד אליה אך לעולם לא נוגע בה.⁩

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
infinite limits/ˈɪnfɪnət ˈlɪmɪts/	גבולות אינסופיים

1.15

Connecting Limits at Infinity and Horizontal Asymptotes

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (LIM-2): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about continuity.

Learning Objective LIM-2.D: Interpret the behavior of functions using limits involving infinity.

LIM-2.D.3 The concept of a limit can be extended to include limits at infinity.
LIM-2.D.4 Limits at infinity describe end behavior.
LIM-2.D.5 Relative magnitudes of functions and their rates of change can be compared using limits.

עברית

הבנה מתמשכת (LIM-2): ניתן להשתמש בניתוח עם הגדרות, משפטים ותכונות כדי להסביר טענות לגבי רציפות.

מטרת למידה LIM-2.D: פרשן את התנהגות הפונקציות באמצעות גבולות המעורבים באינסוף.

LIM-2.D.3 מושג הגבול יכול להיות מורחב כדי לכלול גבולות באינסוף.
LIM-2.D.4 גבולות באינסוף מתארים התנהגות בקצוות.
LIM-2.D.5 גדלים יחסיים של פונקציות וקצבי השינוי שלהן יכולים להיות מושווים באמצעות גבולות.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

We can also let the input grow: limits at infinity 无穷远处的极限 describe the end behavior 末端行为 of a function as $x\to\pm\infty$. If the outputs settle toward a finite value $L$, then $y=L$ is a horizontal asymptote 水平渐近线.

For a rational function, compare the degrees 次数 of the top and bottom:

top degree < bottom degree $\Rightarrow$ limit is $0$ (asymptote $y=0$);
top degree = bottom degree $\Rightarrow$ limit is the ratio of the leading coefficients 首项系数之比;
top degree > bottom degree $\Rightarrow$ the function is unbounded (no horizontal asymptote).

More generally, we compare the relative magnitudes 相对大小 (relative growth rates) of functions: far out, an exponential beats any polynomial, and a polynomial beats any logarithm. On the exam, "as $t\to\infty$, which quantity is larger/where does the rate settle?" is answered with a limit at infinity.

A limit at infinity produces a horizontal asymptote

Explore · ⁨חקור⁩

Explore end behavior and a horizontal asymptote · ⁨חקירה של התנהגות בקצוות ואסימפטוטה אופקית⁩

y = a/(x − b) + c

Far out to the left and right the curve levels off toward $y=\mathbf{c}$ — that is $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)$, the horizontal asymptote. Change $\mathbf{c}$ to move the level it settles at. · ⁨רחוק מאוד שמאלה וימינה, העקומה הופכת שטוחה לכיוון $y=\mathbf{c}$ — כלומר $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)$, האסימפטורה האופקית. שינוי $\mathbf{c}$ יזיז את הרמה בה היא מתבססת.⁩

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
limits at infinity/ˈlɪmɪts æt ɪnˈfɪnɪti/	גבולים באינסוף
end behavior/end bɪˈheɪvjə/	התנהגות בקצוות
horizontal asymptote/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈæsɪmptəʊt/	אסימפטורה אופקית
degrees/dɪˈɡriːz/	מעלות
ratio of the leading coefficients/ˈreɪʃɪəʊ ɒvðə ˈliːdɪŋ ˌkəʊɪˈfɪʃənts/	יחס המקדמים המובילים
relative magnitudes/ˈrelətɪv ˈmæɡnɪtjuːdz/	גודלים יחסיים

1.16

Working with the Intermediate Value Theorem (IVT)

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

Enduring Understanding	Learning Objective	Essential Knowledge
FUN-1 Existence theorems allow us to draw conclusions about a function's behavior on an interval without precisely locating that behavior.	FUN-1.A Explain the behavior of a function on an interval using the Intermediate Value Theorem.	FUN-1.A.1 If $f$ is a continuous function on the closed interval $[a, b]$ and $d$ is a number between $f(a)$ and $f(b)$, then the Intermediate Value Theorem guarantees that there is at least one number $c$ between $a$ and $b$, such that $f(c) = d$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

The Intermediate Value Theorem 介值定理 is an existence theorem 存在性定理 – it guarantees a value exists without telling you where:

Opposite signs of f(a) and f(b) trap a root between a and b

If $f$ is continuous on the closed interval $[a,b]$, and $d$ is any number between $f(a)$ and $f(b)$, then there is at least one number $c$ in $(a,b)$ with $f(c)=d$.

An unbroken curve cannot skip a height between its endpoints – it must pass through every one.

Exam skill – how to justify with the IVT. These questions appear almost every year (for example, "Must there be a value $c$ with $R(c)=155$?" or "Is there a time when $r'(t)=-6$?"). A full-credit justification has three moves:

State continuity. Say the function is continuous on $[a,b]$ (often because it is differentiable, or given continuous).
Show $d$ is trapped. Compute the two endpoint values and show the target $d$ lies between them, e.g. $f(a) < d < f(b)$.
Conclude by name. "By the Intermediate Value Theorem, there is a $c$ in $(a,b)$ with $f(c)=d$."

Skipping the continuity statement, or not showing $d$ is between the endpoints, loses the point – the theorem requires both conditions.

Worked example. Evaluate $\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2-5}{2x^2+x}$. Divide top and bottom by the highest power, $x^2$: $\dfrac{3-5/x^2}{2+1/x}\to\dfrac{3-0}{2+0}=\dfrac{3}{2}$. Because the limit is a finite number, the line $y=\tfrac{3}{2}$ is a horizontal asymptote of the graph.

The Intermediate Value Theorem: a continuous curve hits every height between f(a) and f(b) — A continuous curve from $(a,f(a))$ to $(b,f(b))$ must cross every height $d$ in between at least once.

Explore · ⁨חקור⁩

Why a continuous curve can't skip a value · ⁨למה כיפה רציפה לא יכולה לדלג על ערך⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

The Intermediate Value Theorem: a function continuous on $[a,b]$ takes every $y$ between $f(a)$ and $f(b)$ at some point inside. An unbroken curve cannot leap over a height — it must pass through it. · ⁨משפט הערך הביניים: פונקציה רציפה על $[a,b]$ לוקחת כל ערך בין $y$ בין $f(a)$ לבין $f(b)$ בנקודה כלשהי בפנים. עקומה רציפה לא יכולה לקפוץ מעל גובה — היא חייבת לעבור דרכו.⁩

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
Intermediate Value Theorem/ˌɪntəˈmiːdɪət ˈvæljuː ˈθɪərəm/	משער הערכים האמצעיים
existence theorem/eɡˈzɪstəns ˈθɪərəm/	משפט קיום

1.16

Exam tips

A limit describes what $f(x)$ approaches, which need not equal $f(a)$ — the two-sided limit exists only if both sides agree.
Try direct substitution first; for a $\tfrac00$ form, factor and cancel or rationalise before substituting.
A function is continuous at $a$ when the limit exists, $f(a)$ is defined, and they are equal.
Use the Intermediate Value Theorem to guarantee a root: a continuous function that changes sign on $[a,b]$ takes every value between.
Read horizontal asymptotes from end behaviour (limits at $\pm\infty$) and vertical asymptotes where the denominator (not the numerator) is zero.

Differentiation: Definition and Fundamental Properties · ⁨גזירה: הגדרה ומאפיינים בסיסיים⁩

Watch lesson · ⁨צפה בשיעור⁩

Open this topic on its own page · ⁨פתח נושא זה בדף עצמאי⁩

2.1

Average and Instantaneous Rates of Change at a Point · ⁨קצבי שינוי ממוצעים ורגעיים בנקודה⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-2): Derivatives allow us to determine rates of change at an instant by applying limits to knowledge about rates of change over intervals.

Learning Objective CHA-2.A: Determine average rates of change using difference quotients.

CHA-2.A.1 The difference quotients $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ and $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ express the average rate of change of a function over an interval.

Learning Objective CHA-2.B: Represent the derivative of a function as the limit of a difference quotient.

CHA-2.B.1 The instantaneous rate of change of a function at $x=a$ can be expressed by $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ or $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$, provided the limit exists. These are equivalent forms of the definition of the derivative and are denoted $f'(a)$.

עברית

הבנה עומדת (CHA-2): נגזרות מאפשרות לנו לקבוע קצבי שינוי ברגע נתון על ידי יישום גבולות על ידע אודות קצבי שינוי בתחומים.

מטרת לימוד CHA-2.A: קביעת קצבי שינוי ממוצע באמצעות מנת ההפרש.

CHA-2.A.1 מנות ההפרש $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ ו$\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ מבטאות את קצב השינוי הממוצע של פונקציה בתחום.

מטרת לימוד CHA-2.B: היצוג הנגזרת של פונקציה כגבול של מנת ההפרש.

CHA-2.B.1 קצב השינוי הרגעי של פונקציה ב$x=a$ ניתן לבטא על ידי $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ או $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$, בהנחה שהגבול קיים. אלו הן צורות שקולות להגדרת הנגזרה ומסומנות כ$f'(a)$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

The derivative from first principles

Unit 1 built the limit. Unit 2 uses it to define the derivative 导数 – the exact rate of change at a point.

Over an interval, the average rate of change is a difference quotient 差商. Two equivalent forms appear:

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \qquad\text{and}\qquad \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$

The first uses a step of size $h$ from $a$; the second uses two points $x$ and $a$. Both compute $\dfrac{\text{change in output}}{\text{change in input}}$ over the interval.

The instantaneous 瞬时 rate of change at $x=a$ is what the difference quotient approaches as the interval shrinks to zero. This limit is the derivative at $a$, written $f'(a)$:

$$f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},$$

provided the limit exists.

עברית

מסלול הרים על גבעת הרמה: הנגזרת מדדדת את הקצב הרעי

הנגזרת מעקרונות ראשונים

יחידה 1 בנתה את הגבול. יחידה 2 משתמשת בו כדי להגדיר את ה-נגזרת – קצב השינוי המדויק בנקודה.

על פני מרווח, קצב השינוי הממוצע הוא מנה הפרשים. מופיעים שני צורות שקולות:

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \qquad\text{and}\qquad \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$

הראשונה משתמשת בצעד בגודל $h$ מ-$a$; השנייה משתמשת בשתי נקודות $x$ ו-$a$. שתיהן מחשבות את $\dfrac{\text{change in output}}{\text{change in input}}$ על פני המרווח.

קצב השינוי הרגעי בנקודה $x=a$ הוא לעבר מהו מנה ההפרשים כשהמרווח מתכווץ לאפס. גבול זה הוא הנגזרת בנקודה $a$, הכתובה $f'(a)$:

$$f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},$$

בהנחה שהגבול קיים.

Explore · ⁨חקור⁩

From average rate to instantaneous rate · ⁨מקצב ממוצע למקצב מיידי⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

Slide the point: the secant through two nearby points tips toward the tangent as they merge. The tangent's slope is the derivative — the instantaneous rate of change. · ⁨זז את הנקודה: המיתר העובר דרך שתי נקודות קרובות נוטה למשיק כשהן מתמזגות. שיפוע המשיק הוא הנגזרת — המקצב המיידי של השינוי.⁩

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
derivative/dɪˈrɪvətɪv/	נגזרת
difference quotient/ˈdɪfrəns ˈkwəʊʃənt/	מנת ההפרש
instantaneous/ˌɪnstənˈteɪnɪəs/	תנאי מיידי
first principles/fɜːst ˈprɪnsɪplz/	הגדרות בסיסיות
notations/nəʊˈteɪʃnz/	סמנויות
slope/sləʊp/	שיפוע
tangent line/ˈtændʒənt laɪn/	משיק

2.2

Defining the Derivative and Reading Its Notation · ⁨הגדרת הנגזרת וקריאת סימניה⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-2): Derivatives allow us to determine rates of change at an instant by applying limits to knowledge about rates of change over intervals.

Learning Objective CHA-2.B: Represent the derivative of a function as the limit of a difference quotient.

CHA-2.B.2 The derivative of $f$ is the function whose value at $x$ is $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, provided this limit exists.
CHA-2.B.3 For $y=f(x)$, notations for the derivative include $\dfrac{dy}{dx}$, $f'(x)$, and $y'$.
CHA-2.B.4 The derivative can be represented graphically, numerically, analytically, and verbally.

Learning Objective CHA-2.C: Determine the equation of a line tangent to a curve at a given point.

CHA-2.C.1 The derivative of a function at a point is the slope of the line tangent to a graph of the function at that point.

עברית

מטרת לימוד CHA-2.B: היצוג הנגזרת של פונקציה כגבול של מנת ההפרש.

CHA-2.B.2 הנגזרת של $f$ היא הפונקציה שערךה ב$x$ הוא $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, בתנאי שהגבול קיים.
CHA-2.B.3 עבור $y=f(x)$, סימוני הנגזרת כוללים $\dfrac{dy}{dx}$, $f'(x)$ ו$y'$.
CHA-2.B.4 לנגזרת יש ייצוג גרפי, מספרי, אנליטי ובעל מילוליות.

מטרה לימודית CHA-2.C: קביעת משוואת הקו המשיק לעקומה בנקודה נתונה.

CHA-2.C.1 הנגזרת של פונקציה בנקודה היא השיפוע של הקו המשי לגרף הפונקציה בנקודה זו.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

Let the point $a$ vary and the derivative becomes a new function:

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

This is the definition of the derivative (sometimes called differentiating "by first principles" 用定义求导). Its value at each $x$ is the instantaneous rate of change there.

Common notations 记号 for the derivative of $y=f(x)$ are:

$$\frac{dy}{dx}, \qquad f'(x), \qquad y'.$$

The derivative can be represented graphically, numerically, analytically, and verbally – be ready to move between them.

Geometric meaning. The derivative at a point is the slope 斜率 of the tangent line 切线 to the graph there. So the tangent line at $x=a$ passes through $\big(a, f(a)\big)$ with slope $f'(a)$:

$$y - f(a) = f'(a)\,(x-a).$$

Writing this line is a routine exam task, so keep the point-slope form ready.

עברית

תן לנקודה $a$ להשתנות והנגזרת הופכת ל-פונקציה חדשה:

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

זוהי ההגדרה של הנגזרת (לעיתים מכונה "דיפרנציאלציה מעקרונות ראשונים"). הערך שלה בכל $x$ הוא קצב השינוי הרגעי שם.

סימונים נפוצים לנגזרת של $y=f(x)$ הם:

$$\frac{dy}{dx}, \qquad f'(x), \qquad y'.$$

את הנגזרת ניתן לייצג גרפית, מספרית, אנליטית ובמילים – היכן שאתה מוכן לעבור ביניהן.

משמעות גיאומטרית. הנגזרת בנקודה היא השיפוע של המשיק לגרף שם. לכן המשיק ב$x=a$ עובר דרך $\big(a, f(a)\big)$ עם שיפוע $f'(a)$:

$$y - f(a) = f'(a)\,(x-a).$$

כתיבת משוואת קו זה היא משימה שוטפת במבחנים, ולכן יש להחזיק את צורת נקודה-שיפוע מוכנה.

שיפועי הסיבסטר נערכים לשיפוע המשיק: הנגזרת היא הגבול של קצבי התנודות — שיפועי המיתר מתקרבים לשיפוע המשיק: הנגזרת היא הגבול של קצבי השינוי הממוצעים

2.3

Estimating a Derivative at a Point · ⁨הערכת נגזרת בנקודה⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-2): Derivatives allow us to determine rates of change at an instant by applying limits to knowledge about rates of change over intervals.

Learning Objective CHA-2.D: Estimate derivatives.

CHA-2.D.1 The derivative at a point can be estimated from information given in tables or graphs.
CHA-2.D.2 Technology can be used to calculate or estimate the value of a derivative of a function at a point.

עברית

מטרה לימודית CHA-2.D: הערכת נגזרות.

CHA-2.D.1 ניתן להעריך את הנגזרה בנקודה מתוך מידע הנתון בטבלאות או בגרפים.
CHA-2.D.2 ניתן להשתמש בטכנולוגיה לחישוב או להערכת ערך הנגזרה של פונקציה בנקודה.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

You do not always have a formula. When a function is given by a table 表格 or a graph, estimate the derivative $f'(a)$ with a difference quotient over a small interval around $a$. A table with values on both sides of $a$ gives the best estimate:

$$f'(a) \approx \frac{f(b)-f(c)}{b-c},\qquad \text{where } c < a < b \text{ are the closest table inputs}.$$

Technology (a calculator) can also estimate a derivative at a point.

Exam skill (appears almost every year). Questions such as "Approximate $M'(7.5)$ using the average rate of change of $M$ over the interval $5 \le t \le 10$" ask for exactly this difference quotient. Show the setup:

$$M'(7.5) \approx \frac{M(10)-M(5)}{10-5}.$$

Full credit needs the numbers plugged in and the correct units 单位 (output units per input unit), since these come from real-world models.

עברית

לא תמיד יש לנו פורמולה. כאשר הפונקציה נתונה בטבלה או בגרף, ניתן להעריך את הנגזרת $f'(a)$ באמצעות מנת ההפרש על מרווח קטן סביב $a$. טבלה עם ערכים משני צדי $a$ מספקת את ההערכה הטובה ביותר:

$$f'(a) \approx \frac{f(b)-f(c)}{b-c},\qquad \text{where } c < a < b \text{ are the closest table inputs}.$$

טכנולוגיה (כמו מחשבון) יכולה גם היא להעריך נגזרת בנקודה.

מיומנות למבחן (מופיעה כמעט בכל שנה). שאלות כמו "הערכו את $M'(7.5)$ באמצעות קצב התנודות הממוצע של $M$ על המרווח $5 \le t \le 10$" מבקשות בדיוק את מנת ההפרש הזו. הצגו את ההגדרה:

$$M'(7.5) \approx \frac{M(10)-M(5)}{10-5}.$$

קבלת ציון מלא דורשת החדלת המספרים וגם יחידות הנכונות (יחידות יציאה ליחידת כניסה), שכן אלו נובעות מדגמים בעולם האמיתי.

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
table/ˈteɪbl/	טבלה
units/ˈjuːnɪts/	יחידות מידה
differentiable/ˈdɪfərenʃɪəbl/	דיפרנציאלי
continuous/kənˈtɪnjuːəs/	רציף
corner/ˈkɔːnə/	פינה
vertical tangent/ˈvɜːtɪkl ˈtændʒənt/	משיק אנכי
power rule/ˈpaʊə ruːl/	כלל החזקות
Constant multiple/ˈkɒnstənt ˈmʌltɪpl/	כפולה קבועה
polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/	פולינום
product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/	כלל המכפלה
quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/	כלל המנה
identities/aɪˈdentɪtiz/	זהויות
second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/	גזירה שנייה

2.4

Differentiability and Continuity: When a Derivative Exists · ⁨נגזירות ורציפות: מתי נגזרת קיימת⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-2): Recognizing that a function's derivative may also be a function allows us to develop knowledge about the related behaviors of both.

Learning Objective FUN-2.A: Explain the relationship between differentiability and continuity.

FUN-2.A.1 If a function is differentiable at a point, then it is continuous at that point. In particular, if a point is not in the domain of $f$, then it is not in the domain of $f'$.
FUN-2.A.2 A continuous function may fail to be differentiable at a point in its domain.
- Illustrative examples for FUN-2.A.2:
  - The left hand and right hand limits of the difference quotient are not equal, as in $f(x)=|x|$ at $x=0$.
  - The tangent line is vertical and has no slope, as in $f(x)=\sqrt[3]{x}$ at $x=0$.

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-2): ההבנה כי נגזרת של פונקציה יכולה להיות גם כן פונקציה מאפשרת לנו לפתח ידע על התנהגויות הקשורות של שניהם.

מטרה לימודית FUN-2.A: הסבר על הקשר בין תכללות לקטינות.

FUN-2.A.1 אם פונקציה תכלילה בנקודה, אזי היא רציפה בנקודה זו. במיוחד, אם נקודה אינה שייכת לתחום ההגדרה של $f$, היא אינה שייכת לתחום ההגדרה של $f'$.
FUN-2.A.2 פונקציה רציפה עשויה לא להיות תכלילה בנקודה בתחום ההגדרה שלה.
- דוגמאות מדגמיים ל-FUN-2.A.2:
  - הגבול השמאלי והגבול הימני של מנה ההפרש אינם שווים, כמו ב$f(x)=|x|$ ב$x=0$.
  - הקו המשי אנכי ואינו בעל שיפוע, כמו ב$f(x)=\sqrt[3]{x}$ ב$x=0$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

Differentiability is stronger than continuity. The key relationship:

If $f$ is differentiable 可导 at a point, then $f$ is continuous 连续 there.

So differentiability implies continuity. The reverse is false: a continuous function can fail to be differentiable. Two ways this happens:

A corner 尖点: the left and right difference-quotient limits disagree, as with $f(x)=|x|$ at $x=0$.
A vertical tangent 垂直切线: the slope is infinite (no real number), as with $f(x)=\sqrt[3]{x}$ at $x=0$.

Also, a point outside the domain of $f$ cannot be in the domain of $f'$. Use the contrapositive on the exam: if $f$ is not continuous at $a$, then $f$ is not differentiable at $a$.

עברית

נגזרות חזקה יותר מרציפות. הקשר המרכזי:

אם $f$ נגזרת בנקודה, אזי $f$ רציפה שם.

לכן נגזרות מ imply רציפות. ההפך אינו נכון: פונקציה רציפה עשויה לא להיות נגזרת. שתי דרכים לכך:

פינה: גבולות מנות ההפרש מימין ומשמאל אינם תואמים, כפי שקורה עם $f(x)=|x|$ ב$x=0$.
משיק אנכי: השיפוע הוא אינסופי (אין מספר ממשי), כפי שקורה עם $f(x)=\sqrt[3]{x}$ ב$x=0$.

שתי דרכים שבהן פונקציה רציפה אינה נגזרת: פינה ומשיק אנכי

כמו כן, נקודה מחוץ לתחום ההגדרה של $f$ לא יכולה להיות בתחום ההגדרה של $f'$. השתמש במשלל באמחן: אם $f$ אינה רציפה ב-$a$, אזי $f$ אינה נגזרת ב-$a$.

2.5

The Power Rule · ⁨חוק החזקות⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.A: Calculate derivatives of familiar functions.

FUN-3.A.1 Direct application of the definition of the derivative and specific rules can be used to calculate the derivative for functions of the form $f(x)=x^{r}$.

עברית

הבנה עומדת (FUN-3): זיהוי הזדמנויות ליישום כללי נגזירות יכול לפשט תהליך הנגזור.

מטרה לימודית FUN-3.A: חישוב נגזרות של פונקציות מוכרות.

FUN-3.A.1 ניתן להשתמש בהגדרה הישירה של הנגזרת ובחוקי נגזרה ספציפיים כדי לחשב את הנגזר של פונקציות מהצורה $f(x)=x^{r}$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

From here we use rules instead of the limit definition each time. The power rule 幂法则 handles any power of $x$:

$$\frac{d}{dx}\,x^{r} = r\,x^{\,r-1}\qquad\text{for any real } r.$$

It works for whole-number powers, negative powers ($\tfrac{1}{x}=x^{-1}$), and roots ($\sqrt{x}=x^{1/2}$) – rewrite as a power first, then apply the rule.

עברית

מהשלב הזה אנו משתמשים ב-כללים במקום בהגדרת הגבול בכל פעם. כלל החזקה מטפל בכל חזקה של $x$:

$$\frac{d}{dx}\,x^{r} = r\,x^{\,r-1}\qquad\text{for any real } r.$$

הנוסחה פועלת עבור חזקות של מספרים שלמים, חזקות שליליות ($\tfrac{1}{x}=x^{-1}$), ושורשים ($\sqrt{x}=x^{1/2}$) – יש לכתוב תחילה כחזקה ולאחר מכן להחיל את הכלל.

Explore · ⁨חקור⁩

A power function and its steepening slope · ⁨פונקציית חזקה ומשיקה מתחדדת⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

The power rule $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ drops the exponent as a factor. For $x^3$ the slope grows quickly as $x$ leaves 0 — the curve steepens. · ⁨כלל החזקות $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ מסיר את המעריך כגורם. עבור $x^3$ השיפוע גדל במהירות ככל שה-$x$ מתרחק מ-0 — העקומה הופכת לתלולה יותר.⁩

2.6

Constant, Sum, Difference, and Constant Multiple Rules · ⁨כללי קבוע, סכום, הפרש והכפלה בקבוע⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.A: Calculate derivatives of familiar functions.

FUN-3.A.2 Sums, differences, and constant multiples of functions can be differentiated using derivative rules.
FUN-3.A.3 The power rule combined with sum, difference, and constant multiple properties can be used to find the derivatives for polynomial functions.

עברית

הבנה עומדת (FUN-3): זיהוי הזדמנויות ליישום כללי נגזירות יכול לפשט תהליך הנגזור.

מטרה לימודית FUN-3.A: חישוב נגזרות של פונקציות מוכרות.

FUN-3.A.2 ניתן לגזור סכומים, הפרשים וכפילות בקבוע של פונקציות באמצעות חוקי נגזרה.
FUN-3.A.3 ניתן להשתמש בחוק החזקה בשילוב עם תכונות הסכום, ההפרש והכפילה בקבוע כדי למצוא את הנגזרים של פונקציות פולינומיות.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

These rules let you differentiate term by term:

Constant: $\dfrac{d}{dx}\,k = 0$ (a constant does not change).
Constant multiple 常数倍: $\dfrac{d}{dx}\big[k\,f(x)\big] = k\,f'(x)$.
Sum / difference: $\dfrac{d}{dx}\big[f(x)\pm g(x)\big] = f'(x)\pm g'(x)$.

Combined with the power rule, they differentiate any polynomial 多项式 term by term. Example:

$$\frac{d}{dx}\big(4x^3 - 5x + 7\big) = 12x^2 - 5.$$

עברית

כללים אלו מאפשרים לך לגזור איבר-איבר:

קבוע: $\dfrac{d}{dx}\,k = 0$ (קבוע אינו משתנה).
כפולה בקבוע: $\dfrac{d}{dx}\big[k\,f(x)\big] = k\,f'(x)$.
סכום / הפרש: $\dfrac{d}{dx}\big[f(x)\pm g(x)\big] = f'(x)\pm g'(x)$.

בשילוב עם כלל החזקה, הם מגזרים כל איבר פולינומי איבר-איבר. לדוגמה:

$$\frac{d}{dx}\big(4x^3 - 5x + 7\big) = 12x^2 - 5.$$

2.7

Derivatives of cos x, sin x, e^x, and ln x · ⁨נגזרות של cos x, sin x, e^x, ו- ln x⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.A: Calculate derivatives of familiar functions.

FUN-3.A.4 Specific rules can be used to find the derivatives for sine, cosine, exponential, and logarithmic functions.

Enduring Understanding (LIM-3): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to determine a limit.

Learning Objective LIM-3.A: Interpret a limit as a definition of a derivative.

LIM-3.A.1 In some cases, recognizing an expression for the definition of the derivative of a function whose derivative is known offers a strategy for determining a limit.

עברית

הבנה עומדת (FUN-3): זיהוי הזדמנויות ליישום כללי נגזירות יכול לפשט תהליך הנגזור.

מטרה לימודית FUN-3.A: חישוב נגזרות של פונקציות מוכרות.

FUN-3.A.4 ניתן להשתמש בחוקי נגזרה ספציפיים כדי למצוא את הנגזרים של פונקציות סינוס, קוסינוס, אקספוננציאליות ולוגריתמיות.

הבנה מתמשכת (LIM-3): ניתן להשתמש במסקרים, משפטים וחוקים כדי לקבוע גבול.

מטרת לימוד LIM-3.A: לפרש גבול כהגדרה של נגזר.

LIM-3.A.1 במקרים מסוימים, זיהוי ביטוי המייצג הגדרת הנגזר של פונקציה שנגזרה שלה ידועה מציע אסטרטגיה לקביעת גבול.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

Learn these four building-block derivatives by heart:

$$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \qquad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x,$$

$$\frac{d}{dx}e^{x} = e^{x}, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}\ \ (x>0).$$

Note the minus sign on the derivative of cosine, and that $e^{x}$ is its own derivative.

A limit that is really a derivative (LIM-3.A.1). Sometimes a limit is secretly the definition of a known derivative. If you recognize

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

for a function $f$ whose derivative you know, just evaluate $f'(a)$. For example, $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}+h\big)-1}{h} = \left.\frac{d}{dx}\sin x\right|_{x=\pi/2} = \cos\tfrac{\pi}{2} = 0$.

עברית

למד ארבע הגזרות הבסיסיות הללו בעל פה:

$$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \qquad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x,$$

$$\frac{d}{dx}e^{x} = e^{x}, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}\ \ (x>0).$$

שים לב לסימן הפחות בגזירה של קוסינוס, ולעובדה ש- $e^{x}$ היא גזירה עצמה.

גבול שהוא למעשה גזירה (LIM-3.A.1). לעיתים גבול הוא בסוד ההגדרה של גזירה ידועה. אם תזהה

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

עבור פונקציה $f$ שגזרתה אתה מכיר, פשוט חשב ערך $f'(a)$. לדוגמה, $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}+h\big)-1}{h} = \left.\frac{d}{dx}\sin x\right|_{x=\pi/2} = \cos\tfrac{\pi}{2} = 0$.

Explore · ⁨חקור⁩

The shape of sin x (whose slope is cos x) · ⁨צורת sin x (ששיפועה הוא cos x)⁩

y = asin(bx + c) + d

The derivative of $\sin x$ is $\cos x$: the slope of the sine curve is largest where sine crosses zero and zero at its peaks. Watch the curve to feel where its slope is steep or flat. · ⁨הנגזרת של $\sin x$ היא $\cos x$: שיפוע הכיפה של הסינוס גדול ביותר כאשר סינוס חוצה אפס ואפס בשיאיה. צפה בכיפה כדי להרגיש היכן השיפוע תלול או שטוח.⁩

2.8

The Product Rule · ⁨כלל המכפלה⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.B: Calculate derivatives of products and quotients of differentiable functions.

FUN-3.B.1 Derivatives of products of differentiable functions can be found using the product rule.

עברית

הבנה עומדת (FUN-3): זיהוי הזדמנויות ליישום כללי נגזירות יכול לפשט תהליך הנגזור.

מטרת לימוד FUN-3.B: חישוב נגזרות של מכפלות ומכסמים של פונקציות ניתנות לנגזור.

FUN-3.B.1 ניתן למצוא נגזרות של מכפלות של פונקציות הניתנות לגזירה באמצעות חוק המכפלה.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

A product of two functions is not differentiated by multiplying the derivatives. Use the product rule 乘积法则:

$$\frac{d}{dx}\big[u\,v\big] = u'v + uv'.$$

"Derivative of the first times the second, plus the first times the derivative of the second." Example:

$$\frac{d}{dx}\big(x^2 e^{x}\big) = 2x\,e^{x} + x^2 e^{x}.$$

Exam questions often build a new function from given pieces, e.g. $k'(x) = \big(f(x)\big)^2 g(x)$, and ask you to combine rules while reading values from a table.

עברית

מכפלה של שתי פונקציות לא מגוזרת על ידי כפל הגזרות. השתמש ב-כלל המכפלה:

$$\frac{d}{dx}\big[u\,v\big] = u'v + uv'.$$

"גזרת הראשונה כפול השנייה, פלוס הראשונה כפול גזרת השנייה." לדוגמה:

$$\frac{d}{dx}\big(x^2 e^{x}\big) = 2x\,e^{x} + x^2 e^{x}.$$

שאלות במבחנים בונות לעיתים פונקציה חדשה מחלקי נתונים, כמו $k'(x) = \big(f(x)\big)^2 g(x)$, ומבקשות ממך לשלב כללים תוך קריאת ערכים מטבלה.

2.9

The Quotient Rule · ⁨כלל המנה⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.B: Calculate derivatives of products and quotients of differentiable functions.

FUN-3.B.2 Derivatives of quotients of differentiable functions can be found using the quotient rule.

עברית

הבנה עומדת (FUN-3): זיהוי הזדמנויות ליישום כללי נגזירות יכול לפשט תהליך הנגזור.

מטרת לימוד FUN-3.B: חישוב נגזרות של מכפלות ומכסמים של פונקציות ניתנות לנגזור.

FUN-3.B.2 ניתן למצוא נגזרות של מנות של פונקציות הניתנות לגזירה באמצעות חוק המנה.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

For a quotient, use the quotient rule 商法则:

$$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{u}{v}\right] = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}.$$

"Bottom times derivative of top, minus top times derivative of bottom, all over bottom squared." The order matters because of the minus sign, so write the numerator carefully. Example:

$$\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{\cos x}\right) = \frac{1\cdot\cos x - x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos x + x\sin x}{\cos^2 x}.$$

עברית

עבור מנה, השתמש ב-כלל המנה:

$$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{u}{v}\right] = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}.$$

"המכנה כפול גזרת המונה, מינוס המונה כפול גזרת המכנה, הכל חלקי המכנה בריבוע." הסדר חשוב בשל סימן הפחות, ולכן יש לכתוב את המונה בזהירות. לדוגמה:

$$\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{\cos x}\right) = \frac{1\cdot\cos x - x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos x + x\sin x}{\cos^2 x}.$$

2.10

Derivatives of Tangent, Cotangent, Secant, and Cosecant · ⁨נגזרות של טנג'נט, קוטנג'נט, סקאנט וקוסקאנט⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.B: Calculate derivatives of products and quotients of differentiable functions.

FUN-3.B.3 Rearranging tangent, cotangent, secant, and cosecant functions using identities allows differentiation using derivative rules.

עברית

הבנה עומדת (FUN-3): זיהוי הזדמנויות ליישום כללי נגזירות יכול לפשט תהליך הנגזור.

מטרת לימוד FUN-3.B: חישוב נגזרות של מכפלות ומכסמים של פונקציות ניתנות לנגזור.

FUN-3.B.3 עיבוד מחדש של פונקציות טנגנס, קוטנגנס, צ'קנטנס וקוסקנטנס באמצעות זהויות מאפשר נגזור באמצעות כללי נגזור.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

The remaining trigonometric derivatives are not memorized separately – you rewrite them with identities 恒等式 and apply the quotient (or product) rule. For instance, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, so the quotient rule gives

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cos x - \sin x(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.$$

The same method (writing $\cot x=\tfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\tfrac{1}{\cos x}$, $\csc x=\tfrac{1}{\sin x}$) gives $-\csc^2 x$, $\sec x\tan x$, and $-\csc x\cot x$.

Higher-order derivatives. Differentiating $f'$ again gives the second derivative 二阶导数 $f''(x)$ (or $\tfrac{d^2y}{dx^2}$) – the rate of change of the rate of change. An exam part like "Find $k''(3)$" just means differentiate twice, then substitute. You can also estimate a second derivative from a table by applying the average-rate-of-change method to the $f'$ values.

Worked example. Differentiate $g(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ with the quotient rule $\left(\tfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$: take $u=\sin x$, $v=x$, giving $g'(x)=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}$. Keep the order $u'v-uv'$ in the numerator — swapping the terms flips the sign and loses the mark.

עברית

הנגזרות הטריגונומטריות הנותרות אינן נחשבות בנפרד – משתמשים בזהויות כדי לכתוב אותן מחדש ומיישמים את כלל המנה (או מכפלה). לדוגמה, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, ולכן כלל המנה נותן

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cos x - \sin x(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.$$

אותה שיטה (כתיבת $\cot x=\tfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\tfrac{1}{\cos x}$, $\csc x=\tfrac{1}{\sin x}$) נותנת $-\csc^2 x$, $\sec x\tan x$ ו-$-\csc x\cot x$.

נגזרות מסדר גבוה. גזירת $f'$ פעם נוספת נותנת את ה-נגזרת השנייה $f''(x)$ (או $\tfrac{d^2y}{dx^2}$) – קצב השינוי של קצב השינוי. חלק מבחן כמו "מצאו $k''(3)$" פשוט אומר לגזור פעמיים ואז להציב. ניתן גם להעריך נגזרת שנייה מטבלה על ידי יישום שיטת קצב שינוי ממוצע על ערכי ה-$f'$.

דוגמה פתורה. גזור $g(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ באמצעות כלל המנה $\left(\tfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$: חשב $u=\sin x$, $v=x$, והקבלה לתוצאה $g'(x)=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}$. שמור על הסדר $u'v-uv'$ במונה — החלפת האיברים הופכת את הסימן ומאבדת את הנקודות.

2.10

Exam tips · ⁨טיפים לבחינות⁩

English

The derivative is the slope of the tangent — the limit of the secant slope $\tfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ as $h\to0$.
Memorise the rules: power, product, quotient, and the derivatives of $\sin$, $\cos$, $e^x$, and $\ln x$.
Differentiability implies continuity, but not the reverse (a corner or cusp is continuous yet not differentiable).
Distinguish average rate of change (secant slope over an interval) from instantaneous rate (the derivative at a point).
Give a tangent-line equation as $y-f(a)=f'(a)(x-a)$.

עברית

הנגזרת היא שיפוע המשיק – הגבול של שיפוע המיתר $\tfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ כאשר $h\to0$.
זכרו את הכללים: חזקה, מכפלה, מנה, ואת הנגזרות של $\sin$, $\cos$, $e^x$ ו-$\ln x$.
ההבדליה implicates רציפות, אך לא ההפך (פינה או קוצ' הם רציפים אך לא הבדליים).
הבדילו בין קצב שינוי ממוצע (שיפוע מיתר על פני מרווח) לבין קצב שינוי מיידי (הנגזרת בנקודה).
נתנו משוואת קו המשיק כ-$y-f(a)=f'(a)(x-a)$.

Differentiation: Composite, Implicit, and Inverse Functions · ⁨גזירה: פונקציות מורכבות, איplcit ופונקציות הפוכות⁩

Watch lesson · ⁨צפה בשיעור⁩

Open this topic on its own page · ⁨פתח נושא זה בדף עצמאי⁩

3.1

The Chain Rule

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.C: Calculate derivatives of compositions of differentiable functions.

FUN-3.C.1 The chain rule provides a way to differentiate composite functions.

עברית

הבנה עומדת (FUN-3): זיהוי הזדמנויות ליישום כללי נגזירות יכול לפשט תהליך הנגזור.

מטרת לימוד FUN-3.C: לחשב נגזרות של הרכבות של פונקציות הניתנות לגזירה.

FUN-3.C.1 חוק השרשרת מספק דרך לגזור פונקציות מורכבות.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

A mountain path: composite functions nest rates of change (chain rule)

The chain rule

Unit 2 differentiated single functions. Unit 3 differentiates functions built inside other functions. The chain rule 链式法则 differentiates a composite function 复合函数 $f\big(g(x)\big)$:

$$\frac{d}{dx}\,f\big(g(x)\big) = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).$$

"Derivative of the outer function (leaving the inside alone), times the derivative of the inside." The inner derivative $g'(x)$ is the piece students forget, so always ask "what is the inside, and what is its derivative?" Example:

$$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.$$

In Leibniz notation, with $y=f(u)$ and $u=g(x)$, the rule reads $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ – the intermediate $du$ appears to "cancel." Exam questions often give a table for $f$, $g$, $f'$, $g'$ and ask for $h'(a)$ where $h(x)=f\big(g(x)\big)$; evaluate $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$ by reading values.

Worked example. Differentiate $h(x)=(2x^2+1)^5$. The outer function is "(something)$^5$" and the inner is $2x^2+1$:

$$h'(x)=5(2x^2+1)^4\cdot 4x=20x(2x^2+1)^4.$$

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
chain rule/tʃeɪn ruːl/	כלל שרשרת
composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/	פונקציה מורכבת

3.2

Implicit Differentiation

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.D: Calculate derivatives of implicitly defined functions.

FUN-3.D.1 The chain rule is the basis for implicit differentiation.

עברית

הבנה עומדת (FUN-3): זיהוי הזדמנויות ליישום כללי נגזירות יכול לפשט תהליך הנגזור.

מטרת לימוד FUN-3.D: לחשב נגזרות של פונקציות המוגדרות אינפליסיטית.

FUN-3.D.1 חוק השרשרת הוא הבסיס לגזירה אינפליסיטית.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

Some curves are defined implicitly – by an equation in $x$ and $y$ that is not solved for $y$, such as $x^2+y^2=25$. Implicit differentiation 隐函数求导 finds $\dfrac{dy}{dx}$ without solving for $y$ first. It is just the chain rule, treating $y$ as a function of $x$.

The method: differentiate both sides with respect to $x$; every time you differentiate a $y$-term, multiply by $\dfrac{dy}{dx}$ (the chain rule); then solve algebraically for $\dfrac{dy}{dx}$. For $x^2+y^2=25$:

$$2x + 2y\frac{dy}{dx}=0 \;\Longrightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.$$

Worked example. Find the tangent to $x^2+y^2=25$ at $(3,4)$. Here $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{4}$, so the tangent line is $y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3)$ – perpendicular to the radius, as geometry predicts.

Implicit differentiation gives the tangent to a circle, perpendicular to the radius

Exam skill – "Show that $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$". This exact prompt appears most years (e.g. "Show that $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$"). Because the target is given, you must show every algebra step cleanly: differentiate both sides, use the product/chain rules on mixed $xy$ terms, collect all $\dfrac{dy}{dx}$ terms on one side, factor, and divide. A correct final line that skips the algebra earns little. Follow-up parts then ask for a tangent line, or where the tangent is horizontal ($\tfrac{dy}{dx}=0$, so the numerator is $0$) or vertical (the denominator is $0$).

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
Implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/	גזירה איזומית

3.3

Differentiating Inverse Functions

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.E: Calculate derivatives of inverse and inverse trigonometric functions.

FUN-3.E.1 The chain rule and definition of an inverse function can be used to find the derivative of an inverse function, provided the derivative exists.

עברית

הבנה עומדת (FUN-3): זיהוי הזדמנויות ליישום כללי נגזירות יכול לפשט תהליך הנגזור.

מטרות למידה FUN-3.E: חשבנו נגזרות של פונקציות הפוכות ופונקציות טריגונומטריות הפוכות.

FUN-3.E.1 ניתן להשתמש בכלל השרשרת ובהגדרה של פונקציה הפוכה כדי לחשב את הנגזרת של פונקציה הפוכה, בתנאי שהנגזרת קיימת.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

If $g$ is the inverse function 反函数 of $f$ (so $f(g(x))=x$), the chain rule links their derivatives:

$$g'(x) = \frac{1}{f'\big(g(x)\big)},\qquad\text{provided } f'\big(g(x)\big)\neq 0.$$

In words: the derivative of the inverse at a point is the reciprocal 倒数 of the derivative of the original function at the matching point. A common exam setup gives a table and a point $(a,b)$ on $f$ (so $(b,a)$ is on $g$), then asks for $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$.

Worked example. If $f(2)=5$ and $f'(2)=3$, and $g$ is the inverse of $f$, then $(5,2)$ lies on $g$ and $g'(5)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{3}$.

The inverse function is the mirror image of the function in the line y = x

Explore · ⁨חקור⁩

An exponential and its inverse the log · ⁨פונקציה אקספוננציאלית והופכה שלה, הלוגריתם⁩

y = a·e^(bx) + c

Inverse functions mirror across $y=x$ and their slopes are reciprocals. Where one is steep, its inverse is shallow. · ⁨פונקציות הפוכות משתקפות סביב $y=x$ והשיפועים שלהן הם הדברים ההפוכים. במקום שבו אחת תלולה, ההפוכה שלה תהיה שטוחה.⁩

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/	פונקציה הפוכה
reciprocal/rɪˈsɪprəkl/	הופכי

3.4

Differentiating Inverse Trigonometric Functions

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.E: Calculate derivatives of inverse and inverse trigonometric functions.

FUN-3.E.2 The chain rule applied with the definition of an inverse function, or the formula for the derivative of an inverse function, can be used to find the derivatives of inverse trigonometric functions.

עברית

הבנה עומדת (FUN-3): זיהוי הזדמנויות ליישום כללי נגזירות יכול לפשט תהליך הנגזור.

מטרות למידה FUN-3.E: חשבנו נגזרות של פונקציות הפוכות ופונקציות טריגונומטריות הפוכות.

FUN-3.E.2 ניתן להשתמש בכלל השרשרת בשילוב עם הגדרת פונקציה הפוכה, או בנוסחה לנגזרת של פונקציה הפוכה, כדי לחשב את הנגזרות של פונקציות טריגונומטריות הפוכות.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

The same idea gives the derivatives of the inverse trigonometric functions 反三角函数. The three you should know:

$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}, \quad \frac{d}{dx}\text{arcsec}\,x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$

Combine these with the chain rule when the input is itself a function, e.g. $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$.

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
inverse trigonometric functions/ɪnˈvɜːs ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ˈfʌŋkʃnz/	פונקציות טריגונומטריות הפוכות

3.5

Selecting Procedures for Calculating Derivatives

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

This topic is intended to focus on the skill of selecting an appropriate procedure for calculating derivatives. Students should be given opportunities to practice when and how to apply all learning objectives relating to calculating derivatives.

עברית

נושא זה מיועד להתמקד במיומנות בחירת הליך מתאים לחישוב נגזרות. יש לתת לסטודנטים הזדמנויות לאמן את המועד והדרך ליישום כל מטרות הלמידה הקשורות לחישוב נגזרות.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

A skill topic: real derivatives mix several rules, so read the structure of the expression first, from the outside in.

Is it a sum? Differentiate term by term.
A product or quotient? Apply that rule, and expect to use the chain rule inside.
A composite (something inside something)? Chain rule.
Given implicitly? Implicit differentiation.

Name the outermost operation, apply its rule, and recurse inward. Neatness prevents the sign and bookkeeping errors that cost marks.

3.6

Calculating Higher-Order Derivatives

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.F: Determine higher order derivatives of a function.

FUN-3.F.1 Differentiating $f'$ produces the second derivative $f''$, provided the derivative of $f'$ exists; repeating this process produces higher-order derivatives of $f$.
FUN-3.F.2 Higher-order derivatives are represented with a variety of notations. For $y = f(x)$, notations for the second derivative include $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$, $f''(x)$, and $y''$. Higher-order derivatives can be denoted $\dfrac{d^n y}{dx^n}$ or $f^{(n)}(x)$.

עברית

הבנה עומדת (FUN-3): זיהוי הזדמנויות ליישום כללי נגזירות יכול לפשט תהליך הנגזור.

מטרות למידה FUN-3.F: קבעו נגזרות של דרגה גבוהה לפונקציה.

FUN-3.F.1 גזירה $f'$ מניבה את הנגזרה השנייה $f''$, בתנאי שהנגזרת של $f'$ קיימת; חזרה על תהליך זה מניבה נגזרות של דרגה גבוהה יותר של $f$.
FUN-3.F.2 נגזרות של דרגה גבוהה מיוצגות באמצעות מגוון סימונים. עבור $y = f(x)$, הסימונים לנגזרה השנייה כוללים $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$, $f''(x)$ ו-$y''$. נגזרות של דרגה גבוהה יותר יכולות להיות מסומנות ב-$\dfrac{d^n y}{dx^n}$ או $f^{(n)}(x)$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

Differentiating $f'$ produces the second derivative 二阶导数 $f''$; repeating gives higher-order derivatives. The notations:

$$f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=y'', \qquad\text{and in general}\qquad f^{(n)}(x)=\frac{d^n y}{dx^n}.$$

The second derivative measures how the slope is changing; it drives concavity 凹凸性 and acceleration in later units. To find $f''$ implicitly, differentiate the expression for $\dfrac{dy}{dx}$ again (with the quotient and chain rules), then substitute $\dfrac{dy}{dx}$ back in.

Explore · ⁨חקור⁩

The second derivative is the slope of the slope · ⁨הנגזרת השנייה היא השיפוע של השיפוע⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

Differentiating again gives $f''$, the rate the slope changes. Where the slope is increasing the curve bends upward. · ⁨גזירה נוספת נותנת $f''$, קצב השינוי של השיפוע. כאשר השיפוע עולה, העקומה מתכופפת כלפי מעלה.⁩

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/	גזירה שנייה
concavity/kənˈkævɪti/	קעירות

3.6

Exam tips

Use the chain rule for composite functions — differentiate the outside, then multiply by the derivative of the inside (the most-forgotten factor).
For implicit differentiation, differentiate both sides with respect to $x$ and attach $\tfrac{dy}{dx}$ each time $y$ is differentiated, then solve.
Get the second derivative by differentiating twice (velocity → acceleration).
Combine rules carefully in layered expressions (chain inside product, etc.).
The inverse function's graph is the reflection in $y=x$; its slope is the reciprocal of the original's at the matching point.

Contextual Applications of Differentiation · ⁨יישומים בהקשר לגזירה⁩

Watch lesson · ⁨צפה בשיעור⁩

Open this topic on its own page · ⁨פתח נושא זה בדף עצמאי⁩

4.1

Interpreting the Meaning of the Derivative in Context · ⁨פרשנות המשמעות של הנגזרת בהקשר⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

Enduring Understanding	Learning Objective	Essential Knowledge
CHA-3 Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.	CHA-3.A Interpret the meaning of a derivative in context.	CHA-3.A.1 The derivative of a function can be interpreted as the instantaneous rate of change with respect to its independent variable. CHA-3.A.2 The derivative can be used to express information about rates of change in applied contexts. CHA-3.A.3 The unit for $f'(x)$ is the unit for $f$ divided by the unit for $x$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

Once you can compute derivatives, you use them to describe the real world. The derivative $f'(x)$ is the instantaneous rate of change of $f$ with respect to its input. Reading and reporting this rate correctly is a graded skill.

Units matter. The unit of $f'(x)$ is the unit of $f$ divided by the unit of $x$. If $C(t)$ is a number of acres and $t$ is in weeks, then $C'(t)$ is in acres per week. On the exam, "Using correct units, interpret the meaning of $g'(140)$" wants a full sentence: the value, the quantity, the rate word "per", and the moment. For example: "$g'(140)=2.3$ means that at $x=140$, the quantity is increasing at about $2.3$ units per unit of $x$."

עברית

ברגע שתוכל לחשב נגזרות, תשתמש בהן כדי לתאר את העולם האמיתי. הנגזרת $f'(x)$ هي קצב השינוי המיידי של $f$ ביחס לקלט שלה. קריאה ודיווח על קצב זה בצורה נכונה הם מיומנות שמוקדמת עליהן נקודות.

היחידות חשובות. היחידה של $f'(x)$ היא יחידת ה-$f$ מחולקת ביחידת ה-$x$. אם $C(t)$ הוא מספר דונמים ו$t$ הוא בשבועות, אזי $C'(t)$ הוא בדונמים לשבוע. במבחן, "השתמש ביחידות נכונות, פרש את המשמעות של $g'(140)$" דורש משפט מלא: ה-ערך, ה-כמות, מילת הקצב לכל, וה-רגע. לדוגמה: "$g'(140)=2.3$ אומר שב-$x=140$, הכמות עולה בכ-$2.3$ יחידות לכל יחידת $x$."

4.2

Straight-Line Motion: Position, Velocity, and Acceleration · ⁨תנועה בקו ישר: מיקום, מהירות ואצה⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.B: Calculate rates of change in applied contexts.

CHA-3.B.1 The derivative can be used to solve rectilinear motion problems involving position, speed, velocity, and acceleration.

עברית

הבנה נשארית (CHA-3): נגזרות מאפשרות לנו לפתור בעיות מהעולם האמיתי הקשורות לקצבי שינוי.

מטרות למידה CHA-3.B: חשבו קצבי שינוי בהקשרים אפליקטיביים.

CHA-3.B.1 ניתן להשתמש בנגזרת כדי לפתור בעיות תנועה מלבנית הקשורות למיקום, מהירות, וקטור מהירות ותאוצה.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

For a particle moving on a line, three functions of time are linked by differentiation:

position 位置 $s(t)$;
velocity 速度 $v(t)=s'(t)$ – signed; its sign gives direction;
acceleration 加速度 $a(t)=v'(t)=s''(t)$.

Key readings (frequent exam parts):

The particle is at rest 静止 when $v(t)=0$.
It moves right/up when $v(t)>0$ and left/down when $v(t)<0$; it changes direction where $v$ changes sign.
Speed 速率 is $|v(t)|$. Speed is increasing when $v$ and $a$ have the same sign (the particle is speeding up), and decreasing when they have opposite signs.

Distinguish carefully between velocity (has direction) and speed (does not) – the exam tests this exact difference.

Worked example. A particle moves with $s(t)=t^3-6t^2+9t$. Then $v(t)=3(t-1)(t-3)$, so it is at rest at $t=1$ and $t=3$ and changes direction at each. At $t=2$, $v=-3<0$ and $a(2)=6(2)-12=0$; just after, $a>0$ while $v<0$, so the particle is slowing down there.

עברית

לחלקיק הנע על קו, שלושה פונקציות של הזמן מקושרות על ידי נגזירה:

בגרף מהירות-זמן, השטח הוא הסחה והשיפוע הוא האצה — בגרף מהירות-זמן, השטח הוא הזזה והשיפוע הוא תאוצה

מיקום $s(t)$;
מהירות $v(t)=s'(t)$ – ממוספרת; הסימן שלה נותן כיוון;
תאוצה $a(t)=v'(t)=s''(t)$.

קריאות עיקריות (חלקים נפוצים בשאלוני מבחן):

החלקיק נמצא במצב רכינה כאשר $v(t)=0$.
הוא נע ימינה/למעלה כאשר $v(t)>0$ ושמאלה/למטה כאשר $v(t)<0$; הוא משנה כיוון במקום שבו $v$ משנה סימן.
מהירות קטנאה היא $|v(t)|$. המהירות הקטנאה גדלה כאשר $v$ ו$a$ הם בעלי סימן זהה (החלקיק מאיץ), וקטנה כאשר להם סימנים הפוכים.

הבדל היטב בין מהירות (יש לה כיוון) לבין קצב (אין לו כיוון) – המבחן בודק בדיוק הבדל זה.

דוגמה פתורה. חלקיק נע עם $s(t)=t^3-6t^2+9t$. אזי $v(t)=3(t-1)(t-3)$, ולכן הוא נמצא במנוחה ב$t=1$ וב$t=3$ ומשנה כיוון בכל אחת מהן. ב$t=2$, $v=-3<0$ ו$a(2)=6(2)-12=0$; מיד אחר כך, $a>0$ בעוד שה$v<0$, ולכן החלקיק מאיט שם.

Explore · ⁨חקור⁩

Velocity is the slope of position · ⁨מהירות היא שיפוע המיקום⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

For straight-line motion, velocity is the derivative (slope) of position and acceleration the derivative of velocity. Slide the point to read the instantaneous velocity. · ⁨בתנועה בקו ישר, מהירות היא הנגזרת (השיפוע) של המיקום ותאוצה היא הנגזרת של המהירות. הזז את הנקודה כדי לקרוא את המהירות המיידית.⁩

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
position/pəˈzɪʃn/	מיקום
velocity/vəˈlɒsɪti/	מהירות וקטורית
acceleration/əkˌseləˈreɪʃn/	תאוצה
at rest/æt rest/	במצב רוגע
Speed/spiːd/	מהירות

4.3

Rates of Change in Applied Contexts Other Than Motion · ⁨קצבי שינוי בהקשרים יישומיים אחרים מניעה⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.C: Interpret rates of change in applied contexts.

CHA-3.C.1 The derivative can be used to solve problems involving rates of change in applied contexts.

עברית

הבנה נשארית (CHA-3): נגזרות מאפשרות לנו לפתור בעיות מהעולם האמיתי הקשורות לקצבי שינוי.

מטרות למידה CHA-3.C: פרש קצבי שינוי בהקשרים יישומיים.

CHA-3.C.1 הנגזרת יכולה לשמש לפתרון בעיות הקשורות בקצבי שינוי בהקשרים יישומיים.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

The same derivative idea models any changing quantity: a draining tank, a spreading population, a cooling cup. Whenever a problem says "the rate at which...", it is describing a derivative. Read the units to know which quantity's rate you have, then interpret in context.

עברית

אותו עיקרון של נגזרות מדגל כל כמות משתנה: מיכל שנשחק, אוכלוסייה שהתפשטת, כוס מתקררת. בכל פעם שהבעיה אומרת "הקצב שבו...", היא מתארת נגזרת. קראו את היחידות כדי לדעת האילו קצב יש לכם, ואז פרשו בהקשר.

4.4

Introduction to Related Rates · ⁨מבוא לקצבים מקושרים⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.D: Calculate related rates in applied contexts.

CHA-3.D.1 The chain rule is the basis for differentiating variables in a related rates problem with respect to the same independent variable.
CHA-3.D.2 Other differentiation rules, such as the product rule and the quotient rule, may also be necessary to differentiate all variables with respect to the same independent variable.

עברית

הבנה נשארית (CHA-3): נגזרות מאפשרות לנו לפתור בעיות מהעולם האמיתי הקשורות לקצבי שינוי.

מטרות למידה CHA-3.D: חשב קצבים תלויים בהקשרים יישומיים.

CHA-3.D.1 כלל השרשרת הוא הבסיס לגזירה של משתנים בבעיה על קצבים תלויים ביחס למשתנה עצמאי זהה.
CHA-3.D.2 כללי גזירה נוספים, כגון כלל המכפלה וכלל המנה, עשויים להיות נדרשים גם כדי לגזור את כל המשתנים ביחס למשתנה עצמאי זהה.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

In a related rates 相关变化率 problem, several quantities change together over time, and you know some rates but want another. The engine is the chain rule: differentiate a relationship with respect to time $t$. Every variable becomes a function of $t$, so each derivative picks up a "$\,/\,dt$" factor. Product and quotient rules may also be needed.

עברית

רכבת הרים: קצבים קשורים מקשרים את מהירות השינוי של כמות קשורה אחת לאחרת — מסלול הרים: קצבים מקושרים מחברים את קצב השינוי של כמותות קשורות יחד

בבעיית קצבים מקושרים, כמה כמויות משתנות יחד לאורך זמן, ויש לכם קצבים מסוימים אך אתם רוצים קצב אחר. המנוע הוא כלל השרשרת: גזרו קשר לפי זמן $t$. כל משתנה הופך לפונקציה של $t$, ולכן כל נגזרת לוקחת פקטור "$\,/\,dt$". ייתכן שתצטרכו גם כללי מכפלה ומחלקה.

בלון עולה: קצבים מקושרים מקשרים איך מהירות השינוי של הרדיוס, הנפח וגובה משתנים יחד

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
related rates/rɪˈleɪtɪd reɪts/	קצבים קשורים
local linearity/ˈləʊkl lɪˈnɪərɪti/	ליניאריות מקומית
linear approximation/ˈlɪnɪə əˌprɒksɪˈmeɪʃn/	הקרבה ליניארית
concavity/kənˈkævɪti/	קעירות
underestimate/ˌʌndəˈrestɪmət/	הערכת חסר
overestimate/ˌəʊvəˈrestɪmət/	הערכת יתר
indeterminate form/ˌɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːm/	צורה לא מוגדרת
L'Hospital's Rule/ˈelhɒspɪtlz ruːl/	כלל ל'ופיטל

4.5

Solving Related Rates Problems · ⁨פתירת בעיות קצבים מקושרים⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.E: Interpret related rates in applied contexts.

CHA-3.E.1 The derivative can be used to solve related rates problems; that is, finding a rate at which one quantity is changing by relating it to other quantities whose rates of change are known.

עברית

הבנה נשארית (CHA-3): נגזרות מאפשרות לנו לפתור בעיות מהעולם האמיתי הקשורות לקצבי שינוי.

מטרות למידה CHA-3.E: פרש קצבים תלויים בהקשרים יישומיים.

CHA-3.E.1 הנגזרת יכולה לשמש לפתרון בעיות על קצבים תלויים, כלומר, מציאת קצב שבו כמות נתונה משתנה על ידי קישורה לכמויות אחרות whose קצבי השינוי שלהן ידועים.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

A reliable procedure – and a full-credit template on the exam:

Name the variables and write down the given rates and the unknown rate (e.g. "$\dfrac{dh}{dt}=-2$ cm/day, find $\dfrac{dV}{dt}$").
Write an equation relating the quantities (often a geometric or volume formula).
Differentiate both sides with respect to $t$ (chain rule) – before substituting numbers.
Substitute the known values at the instant of interest, and solve for the unknown rate.
State the answer with units and the correct sign (a decreasing quantity has a negative rate).

Substituting numbers too early is the classic error: differentiate the general relationship first, then plug in.

Worked example. A spherical balloon's volume grows at $\dfrac{dV}{dt}=100\ \text{cm}^3/\text{s}$. From $V=\tfrac43\pi r^3$, differentiate first: $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$. At $r=5$, $100=4\pi(25)\dfrac{dr}{dt}$, so $\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{1}{\pi}\approx0.32\ \text{cm/s}$.

עברית

procedure אמין – ותבנית מלאה לנקודות מלאות במבחן:

הגדירו את המשתנים וכתבו את הקצבים הנתונים ואת הקצב המבוקש (למשל "$\dfrac{dh}{dt}=-2$ ס"מ/יום, מצאו $\dfrac{dV}{dt}$").
כתוב משוואה המקשרת בין הכמויות (לרוב נוסחה גיאומטרית או לנופח).
גזר שני האגפים לפי $t$ (כלל השרשרת) – לפני הצבת מספרים.
הצב את הערכים הידועים ברגע הרלוונטי, ופתור עבור הקצב המבוקש.
ציין תשובה עם יחידות מידה והסימן הנכון (כמות יורדת בעלת קצב שלילי).

הצבת מספרים מוקדמת מדי היא שגיאה קלאסית: נגזרו תחילה את הקשר הכללי, ואז הצביעו.

דוגמה מפורטת. נפח כדור האוויר גדל בקצב של $\dfrac{dV}{dt}=100\ \text{cm}^3/\text{s}$. מ$V=\tfrac43\pi r^3$, גזרו פעם אחת: $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$. ב$r=5$, $100=4\pi(25)\dfrac{dr}{dt}$, ולכן $\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{1}{\pi}\approx0.32\ \text{cm/s}$.

בלון מתנפח מקשר בין dV/dt ל-dr/dt דרך כלל השרשרת

4.6

Approximating Values Using Local Linearity and Linearization · ⁨קירוב ערכים באמצעות ליניאריות מקומית וליניאריזציה⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.F: Approximate a value on a curve using the equation of a tangent line.

CHA-3.F.1 The tangent line is the graph of a locally linear approximation of the function near the point of tangency.
CHA-3.F.2 For a tangent line approximation, the function's behavior near the point of tangency may determine whether a tangent line value is an underestimate or an overestimate of the corresponding function value.

עברית

הבנה נשארית (CHA-3): נגזרות מאפשרות לנו לפתור בעיות מהעולם האמיתי הקשורות לקצבי שינוי.

מטרות למידה CHA-3.F: הערך ערך על גרף באמצעות משוואת המשיק.

CHA-3.F.1 המשיק הוא הגרף של הערכה ליניארית מקומית של הפונקציה בסמוך לנקודת המשיק.
CHA-3.F.2 עבור הערכה במשיק, התנהגות הפונקציה בסמוך לנקודת המשיק עשויה לקבוע האם ערך המשיק הוא הערכה תחתונה או עליונה לערך המתאים של הפונקציה.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

Local linearity and linearisation

Near a point of tangency, a smooth curve looks like its tangent line – this is local linearity 局部线性. So the tangent line gives a linear approximation 线性近似 (linearization) of the function near that point:

$$f(x) \approx L(x) = f(a) + f'(a)(x-a).$$

Use it to estimate $f$ at an $x$ close to $a$.

Over- or underestimate? The answer follows from concavity 凹凸性. If the graph is concave up near $a$ (it curves above its tangent), the tangent-line value is an underestimate 低估. If it is concave down, the tangent line lies above the curve, giving an overestimate 高估. Exam parts test this reasoning, so justify with the sign of $f''$.

עברית

ליניאריות מקומית וליניאריזציה

קרוב לנקודת מגע, עקום חלק נראה כמו המשיק שלו – זהו ליניאריות מקומית. לכן, המשיק מספק הערכת ליניארית (ליניאריזציה) של הפונקציה בסביבת נקודה זו:

$$f(x) \approx L(x) = f(a) + f'(a)(x-a).$$

השתמש בה כדי להעריך $f$ ב-$x$ קרוב ל-$a$.

הערכת יתר או הערכת חסר? התשובה נובעת מ-קמירות. אם הגרף קמור כלפי מעלה סמוך ל-$a$ (הוא מתכופף מעל המשיק), ערך המשיק הוא הערת חסר. אם הוא קמור כלפי מטה, המשיק נמצא מעל העקומה, ומספק הערת יתר. חלקי מבחן בודקים הסבר זה, ולכן יש להסביר באמצעות סימן ה-$f''$.

המשיק הוא קירוי ליניארי מקומי; הקמירות קובעת הערת יתר או חסר

Explore · ⁨חקור⁩

Approximate a curve with its tangent line · ⁨לקרב כיפה עם קו המשיק שלה⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

Local linearity: near a point a smooth curve looks like its tangent line, so the tangent gives a good linear approximation of nearby values. · ⁨ליניאריות מקומית: סמוך לנקודה, כיפה חלקה נראית כמו קו המשיק שלה, ולכן המשיק מספק קירוי ליניארי טוב לערכים סמוכים.⁩

4.7

Using L'Hospital's Rule for Indeterminate Forms · ⁨שימוש בחוק ל'הופיטל לצורות לא מוגדרות⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

Enduring Understanding	Learning Objective	Essential Knowledge
LIM-4 L'Hospital's Rule allows us to determine the limits of some indeterminate forms.	LIM-4.A Determine limits of functions that result in indeterminate forms.	LIM-4.A.1 When the ratio of two functions tends to $\dfrac{0}{0}$ or $\dfrac{\infty}{\infty}$ in the limit, such forms are said to be indeterminate. Exclusion statement: There are many other indeterminate forms, such as $\infty - \infty$, for example, but these will not be assessed on either the AP Calculus AB or BC Exam. However, teachers may include these topics, if time permits. LIM-4.A.2 Limits of the indeterminate forms $\dfrac{0}{0}$ or $\dfrac{\infty}{\infty}$ may be evaluated using L'Hospital's Rule.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

When direct substitution in a quotient of limits gives the indeterminate form 未定式 $\dfrac{0}{0}$ or $\dfrac{\infty}{\infty}$, you may use L'Hospital's Rule 洛必达法则:

$$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)},$$

provided the right-hand limit exists. Differentiate the top and bottom separately (this is not the quotient rule), then try the limit again. First confirm the form really is $\tfrac{0}{0}$ or $\tfrac{\infty}{\infty}$ – applying the rule to any other form is a mistake.

Worked example. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$ gives $\tfrac00$, so differentiate top and bottom: $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}=1$. And $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}$ is also $\tfrac00$; it becomes $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2e^{2x}}{1}=2$.

עברית

כשצבת ישירה במנה של גבולות נותנת את צורה לא מיודדת של $\dfrac{0}{0}$ או $\dfrac{\infty}{\infty}$, ניתן להשתמש ב-חוק לופיטל:

$$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)},$$

בתנאי שהגבול מצד ימין קיים. גזר את המונה והמכנה בנפרד (זו אינה כלל המנה), ולאחר מכן נסה לחשב את הגבול שוב. תחילה ודא שהצורה אכן היא $\tfrac{0}{0}$ או $\tfrac{\infty}{\infty}$ – יישום החוק לכל צורה אחרת הוא שגיאה.

דוגמה מוצגת. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$ נותן $\tfrac00$, ולכן נגזור את המונה והמכנה: $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}=1$. וגם $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}$ הוא גם כן $\tfrac00$; הוא הופך ל-$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2e^{2x}}{1}=2$.

4.7

Exam tips · ⁨טיפים לבחינות⁩

English

In motion problems: velocity is the derivative of position, acceleration the derivative of velocity; speed increases when velocity and acceleration share a sign.
For related rates, differentiate the relating equation with respect to time, then substitute the given values last.
Use the tangent line for a linear approximation near a known point; it is accurate only close by.
Read the sign of a rate: positive means the quantities move together, negative means opposite.
Always state units and interpret the answer in context.

עברית

בבעיות תנועה: מהירות היא הנגזרת של מיקום, תאוצה היא הנגזרת של המהירות; מהירות עולה כאשר למהירות ולתאוצה יש אותו סימן.
עבור קצבים קשורים, נגזור את המשוואה המקשרת לפי זמן, ולאחר מכן נציב את הערכים הנתונים בסוף.
השתמש בקו המשיק ל-הערכה ליניארית סמוך לנקודה ידועה; הוא מדויק רק בקרבתה.
קרא את הסימן של הקצב: חיובי פירונו שהכמויות נעות בכיוון זהה, שלילי פירונו בכיוונים הפוכים.
תמיד ציין יחידות ופרשן את התשובה בהקשר.

Analytical Applications of Differentiation · ⁨יישומים אנליטיים של נגזרת⁩

Watch lesson · ⁨צפה בשיעור⁩

Open this topic on its own page · ⁨פתח נושא זה בדף עצמאי⁩

5.1

Using the Mean Value Theorem

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-1): Existence theorems allow us to draw conclusions about a function's behavior on an interval without precisely locating that behavior.

Learning Objective FUN-1.B: Justify conclusions about functions by applying the Mean Value Theorem over an interval.

FUN-1.B.1 If a function $f$ is continuous over the interval $[a, b]$ and differentiable over the interval $(a, b)$, then the Mean Value Theorem guarantees a point within that open interval where the instantaneous rate of change equals the average rate of change over the interval.

עברית

הבנה נמשכת (FUN-1): משפטי קיום מאפשרים לנו להסיק מס关于 התנהגות הפונקציה על מרווח ללא מיקום מדויק של התנהגות זו.

מטרת הלמידה FUN-1.B: להצדיק מסקנות לגבי פונקציות על ידי יישום משפט הערך הממוצע על מרווח.

FUN-1.B.1 אם פונקציה $f$ רציפה במרווח $[a, b]$ וניתנת לנגזירה במרווח $(a, b)$, אזי משפט הערך הממוצע מבטיח קיום נקודה בתוך המרווח הפתוח שבה הקצב המיידי השווה לקצב הממוצע במרווח.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

The Mean Value Theorem

The Mean Value Theorem 中值定理 (MVT) links the average rate of change to an instantaneous one:

If $f$ is continuous on $[a,b]$ and differentiable on $(a,b)$, then there is at least one point $c$ in $(a,b)$ where
$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

In words: somewhere inside the interval, the instantaneous rate equals the average rate. Geometrically, some tangent line is parallel to the line joining the endpoints.

The Mean Value Theorem: some tangent is parallel to the secant over the interval

Exam skill. Like the IVT, the MVT is an existence theorem, and questions ask you to justify. Full credit needs: (1) state $f$ is continuous on $[a,b]$ and differentiable on $(a,b)$; (2) compute the average rate $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$; (3) conclude "by the MVT there is a $c$ in $(a,b)$ with $f'(c)$ equal to that value." Both hypotheses must be named.

Worked example. For $f(x)=x^2$ on $[1,3]$ the average rate is $\dfrac{9-1}{2}=4$; setting $f'(c)=2c=4$ gives $c=2$, which lies in $(1,3)$ – the guaranteed point.

Explore · ⁨חקור⁩

The Mean Value Theorem in action · ⁨משפט הערך הממוצע בפעולה⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

The Mean Value Theorem guarantees a point where the tangent is parallel to the secant across an interval — the instantaneous rate equals the average rate somewhere inside. · ⁨משפט הערך הממוצע מבטיח נקודה שבה המשיק מקביל לחוטך על פני מרווח — הקצב המיידי שווה לקצב הממוצע באיזושהי נקודה בתוך המרווח.⁩

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
Mean Value Theorem/miːn ˈvæljuː ˈθɪərəm/	משפט ערך הממוצע

5.2

Extreme Values, Global vs Local Extrema, and Critical Points

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-1): Existence theorems allow us to draw conclusions about a function's behavior on an interval without precisely locating that behavior.

Learning Objective FUN-1.C: Justify conclusions about functions by applying the Extreme Value Theorem.

FUN-1.C.1 If a function $f$ is continuous over the interval $(a, b)$, then the Extreme Value Theorem guarantees that $f$ has at least one minimum value and at least one maximum value on $[a, b]$.
FUN-1.C.2 A point on a function where the first derivative equals zero or fails to exist is a critical point of the function.
FUN-1.C.3 All local (relative) extrema occur at critical points of a function, though not all critical points are local extrema.

עברית

הבנה נמשכת (FUN-1): משפטי קיום מאפשרים לנו להסיק מס关于 התנהגות הפונקציה על מרווח ללא מיקום מדויק של התנהגות זו.

מטרת הלמידה FUN-1.C: להצדיק מסקנות לגבי פונקציות על ידי יישום משפט הערך הקיצוני.

FUN-1.C.1 אם פונקציה $f$ רציפה במרווח $(a, b)$, אזי משפט הערך הקיצוני מבטיח כי $f$ יש לה לפחות ערך מינימום אחד ולפחות ערך מקסימום אחד ב $[a, b]$.
FUN-1.C.2 נקודה בפונקציה שבה הנגזרת הראשונה שווה לאפס או שאינה קיימת היא נקודה קריטית של הפונקציה.
FUN-1.C.3 כל הקיצונים המקומיים (יחסיים) מתרחשים בנקודות קריטיות של פונקציה, אך לא כל הנקודות הקריטיות הן קיצונים מקומיים.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

A mountain peak: extrema and critical points mark highest and lowest values

The Extreme Value Theorem 极值定理 (EVT) guarantees extremes exist: a function continuous on a closed interval $[a,b]$ attains both an absolute maximum and an absolute minimum on it.

At a maximum or minimum the derivative is zero

A critical point 临界点 is an interior point where $f'(x)=0$ or $f'(x)$ does not exist. All local (relative) extrema 局部极值 occur at critical points – but not every critical point is an extremum. So critical points are the candidates; you must test each.

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
Extreme Value Theorem/ekˈstriːm ˈvæljuː ˈθɪərəm/	משפט הערך הקיצוני
critical point/ˈkrɪtɪkl pɔɪnt/	נקודה קריטית
local (relative) extrema/ˈləʊkl ekˈstremə/	אקסטרימות מקומיות (יחסיות)

5.3

Where a Function Increases or Decreases

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.

FUN-4.A.1 The first derivative of a function can provide information about the function and its graph, including intervals where the function is increasing or decreasing.

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-4): ניתן להשתמש בנגזרת של פונקציה כדי להבין חלק מההתנהגות שלה.

מטרת למידה FUN-4.A: להסביר מסקנות לגבי התנהגותה של פונקציה על בסיס התנהגות הנגזרות שלה.

FUN-4.A.1 הנגזרת הראשונה של פונקציה יכולה לספק מידע על הפונקציה ועל הגרף שלה, כולל תחומים שבהם הפונקציה עולה או יורדת.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

The first derivative tells you where $f$ rises or falls:

$f'(x) > 0$ on an interval $\Rightarrow$ $f$ is increasing 递增 there;
$f'(x) < 0$ $\Rightarrow$ $f$ is decreasing 递减.

On the exam, "find the intervals where $f$ is increasing" means: find the critical points, then test the sign of $f'$ between them, and justify with the sign of $f'$ (a stated reason, not just an interval).

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
increasing/ɪnˈkriːsɪŋ/	עולה
decreasing/ˈdiːkriːsɪŋ/	ירידתי

5.4

The First Derivative Test for Local Extrema

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.

FUN-4.A.2 The first derivative of a function can determine the location of relative (local) extrema of the function.

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-4): ניתן להשתמש בנגזרת של פונקציה כדי להבין חלק מההתנהגות שלה.

מטרת למידה FUN-4.A: להסביר מסקנות לגבי התנהגותה של פונקציה על בסיס התנהגות הנגזרות שלה.

FUN-4.A.2 הנגזרת הראשונה של פונקציה יכולה לקבוע את המיקום של האקסטרומים היחסיים (המקומיים) שלה.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

To classify a critical point $x=c$ as a local max, local min, or neither, check how $f'$ changes sign there:

$f'$ changes $+$ to $-$ at $c$ $\Rightarrow$ local maximum 极大值;
$f'$ changes $-$ to $+$ at $c$ $\Rightarrow$ local minimum 极小值;
$f'$ does not change sign $\Rightarrow$ neither.

Always state the sign change as your justification.

Worked example. For $f(x)=x^3-3x^2$, $f'(x)=3x(x-2)$ is zero at $x=0,2$. Signs give $+,-,+$, so $x=0$ is a local maximum ($f=0$) and $x=2$ a local minimum ($f=-4$).

The sign of f-prime sets where a function increases or decreases and locates its local extrema — Where $f' > 0$ the graph rises and where $f' < 0$ it falls; a local max sits where $f'$ turns $+$ to $-$, a local min where it turns $-$ to $+$.

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
local maximum/ˈləʊkl ˈmæksɪməm/	מקסימום מקומי
local minimum/ˈləʊkl ˈmɪnɪməm/	מינימום מקומי

5.5

The Candidates Test for Absolute Extrema

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.

FUN-4.A.3 Absolute (global) extrema of a function on a closed interval can only occur at critical points or at endpoints.

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-4): ניתן להשתמש בנגזרת של פונקציה כדי להבין חלק מההתנהגות שלה.

מטרת למידה FUN-4.A: להסביר מסקנות לגבי התנהגותה של פונקציה על בסיס התנהגות הנגזרות שלה.

FUN-4.A.3 אקסטרומים מוחלטים (גלובליים) של פונקציה בתחום סגור יכולים להתקבל רק בנקודות קריטיות או בקצוות.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

On a closed interval, absolute (global) extrema occur only at critical points or endpoints. The candidates test:

List all critical points in $[a,b]$ and the two endpoints.
Evaluate $f$ at each candidate.
The largest output is the absolute maximum; the smallest is the absolute minimum.

Show the table of values – the comparison is the argument.

5.6

Concavity and Points of Inflection

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.

FUN-4.A.4 The graph of a function is concave up (down) on an open interval if the function's derivative is increasing (decreasing) on that interval.
FUN-4.A.5 The second derivative of a function provides information about the function and its graph, including intervals of upward or downward concavity.
FUN-4.A.6 The second derivative of a function may be used to locate points of inflection for the graph of the original function.

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-4): ניתן להשתמש בנגזרת של פונקציה כדי להבין חלק מההתנהגות שלה.

מטרת למידה FUN-4.A: להסביר מסקנות לגבי התנהגותה של פונקציה על בסיס התנהגות הנגזרות שלה.

FUN-4.A.4 גרף של פונקציה הוא קמור כלפי מעלה (מטה) בתחום פתוח אם נגזרת הפונקציה עולה (יורדת) בתחום זה.
FUN-4.A.5 הנגזרת השנייה של פונקציה מספקת מידע על הפונקציה ועל הגרף שלה, כולל תחומי קמירות כלפי מעלה או כלפי מטה.
FUN-4.A.6 ניתן להשתמש בנגזרת השנייה של פונקציה כדי למקם נקודות אינפלקציה בגרף הפונקציה המקורית.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

The second derivative describes bending:

$f'' > 0$ $\Rightarrow$ $f$ is concave up 上凹 (curving like a cup; $f'$ is increasing);
$f'' < 0$ $\Rightarrow$ $f$ is concave down 下凹 ($f'$ is decreasing).

A point of inflection 拐点 is where concavity changes, i.e. where $f''$ changes sign (not merely where $f''=0$). Report its $x$-coordinate and justify with the sign change of $f''$.

Concavity comes from the sign of the second derivative; it flips at an inflection point

Explore · ⁨חקור⁩

Find where concavity flips · ⁨מצאו היכן הכיול מתהפך⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

Concavity is the sign of the second derivative: concave up where the curve holds water, concave down where it spills. A point of inflection is where it switches. · ⁨כיול הוא הסימן של הנגזרת השנייה: כיול כלפי מעלה כאשר העקומה מחזיקה מים, כיול כלפי מטה כאשר היא זורמת. נקודת קיצון היא המקום שבו זה מתחלף.⁩

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
concave up/kɒnˈkeɪv ʌp/	קעור כלפי מעלה
concave down/kɒnˈkeɪv daʊn/	קעור כלפי מטה
point of inflection/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/	נקודת התבונה

5.7

The Second Derivative Test for Extrema

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.

FUN-4.A.7 The second derivative of a function may determine whether a critical point is the location of a relative (local) maximum or minimum.
FUN-4.A.8 When a continuous function has only one critical point on an interval on its domain and the critical point corresponds to a relative (local) extremum of the function on the interval, then that critical point also corresponds to the absolute (global) extremum of the function on the interval.

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-4): ניתן להשתמש בנגזרת של פונקציה כדי להבין חלק מההתנהגות שלה.

מטרת למידה FUN-4.A: להסביר מסקנות לגבי התנהגותה של פונקציה על בסיס התנהגות הנגזרות שלה.

FUN-4.A.7 הנגזרת השנייה של פונקציה יכולה לקבוע האם נקודה קריטית היא מקום האקסטרום היחסי (המקומי) של מקסימום או מינימום.
FUN-4.A.8 כאשר לפונקציה רציפה יש רק נקודה קריטית אחת בתחום בתחום ההגדרה שלה, והנקודה הקריטית מתאימה לאקסטרום יחסי (מקומי) של הפונקציה בתחום, אז הנקודה הקריטית הזו מתאימה גם לאקסטרום מוחלט (גלובלי) של הפונקציה בתחום.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

An alternative way to classify a critical point $c$ where $f'(c)=0$:

$f''(c) > 0$ $\Rightarrow$ concave up $\Rightarrow$ local minimum;
$f''(c) < 0$ $\Rightarrow$ concave down $\Rightarrow$ local maximum;
$f''(c) = 0$ $\Rightarrow$ the test is inconclusive – fall back on the first derivative test.

Special case: if a continuous function has only one critical point on an interval and it is a local extremum, that point is also the absolute extremum there.

5.8

Sketching a Function and Its Derivative

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

Enduring Understanding	Learning Objective	Essential Knowledge
FUN-4 A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.	FUN-4.A Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.	FUN-4.A.9 Key features of functions and their derivatives can be identified and related to their graphical, numerical, and analytical representations. FUN-4.A.10 Graphical, numerical, and analytical information from $f'$ and $f''$ can be used to predict and explain the behavior of $f$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

Key features of $f$, $f'$, and $f''$ mirror each other. To sketch or read graphs:

$f$ increasing $\Leftrightarrow$ $f'$ above the axis; $f$ has a local max $\Leftrightarrow$ $f'$ crosses from $+$ to $-$.
$f$ concave up $\Leftrightarrow$ $f'$ increasing $\Leftrightarrow$ $f''$ above the axis; $f$ has an inflection point $\Leftrightarrow$ $f'$ has a local extremum $\Leftrightarrow$ $f''$ crosses zero.

5.9

Connecting $f$, $f'$, and $f''$

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.

FUN-4.A.11 Key features of the graphs of $f$, $f'$, and $f''$ are related to one another.

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-4): ניתן להשתמש בנגזרת של פונקציה כדי להבין חלק מההתנהגות שלה.

מטרת למידה FUN-4.A: להסביר מסקנות לגבי התנהגותה של פונקציה על בסיס התנהגות הנגזרות שלה.

FUN-4.A.11 מאפיינים מרכזיים של גרפי $f$, $f'$ ו$f''$ קשורים זה לזה.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

This is the skill of reading one graph to describe another. A very common exam setup gives the graph of $f'$ and asks about $f$: where is $f$ increasing (where $f'>0$), where are $f$'s extrema (where $f'$ crosses zero, with a sign change), where is $f$ concave up (where $f'$ is increasing). Answer questions about $f$ using the height and slope of the $f'$ graph.

Explore · ⁨חקור⁩

Read slope and bend off the graph · ⁨קראו שיפוע וכיול מהגרף⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

Where $f'>0$ the function rises; where $f''>0$ it bends upward. Slide the tangent to connect the shape of $f$ to the signs of its first and second derivatives. · ⁨כאשר $f'>0$ הפונקציה עולה; כאשר $f''>0$ היא מתכופפת כלפי מעלה. הזיזו את המשיק כדי לקשר בין צורת $f$ לבין סימני הנגזרות הראשונה והשנייה שלה.⁩

5.10

Introduction to Optimization Problems

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.B: Calculate minimum and maximum values in applied contexts or analysis of functions.

FUN-4.B.1 The derivative can be used to solve optimization problems; that is, finding a minimum or maximum value of a function on a given interval.

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-4): ניתן להשתמש בנגזרת של פונקציה כדי להבין חלק מההתנהגות שלה.

מטרת הלמידה FUN-4.B: לחשב ערכים מינימליים ומקסימליים בהקשרים יישומיים או באנליזה של פונקציות.

FUN-4.B.1 הנגזרת יכולה לשמש לפתרון בעיות אופטימיזציה; כלומר, למצוא ערך מינימלי או מקסימלי של פונקציה על מרווח נתון.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

Optimisation: the best box

Optimization 最优化 uses the derivative to find the largest or smallest value of a quantity on an interval. It is the candidates/derivative-test machinery applied to a real goal.

Fenced enclosures: optimization finds the dimensions that maximise area for a fixed fence length

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
Optimization/ˌɒptɪmaɪˈzeɪʃn/	אופטימיזציה

5.11

Solving Optimization Problems

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.C: Interpret minimum and maximum values calculated in applied contexts.

FUN-4.C.1 Minimum and maximum values of a function take on specific meanings in applied contexts.

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-4): ניתן להשתמש בנגזרת של פונקציה כדי להבין חלק מההתנהגות שלה.

מטרת הלמידה FUN-4.C: לפרש ערכים מינימליים ומקסימליים שחושבו בהקשרים יישומיים.

FUN-4.C.1 לערכים מינימליים ומקסימליים של פונקציה יש משמעויות ספציפיות בהקשרים יישומיים.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

A dependable procedure:

Write the quantity to optimize as a function of one variable (use a constraint equation to eliminate extras).
State the interval of allowed inputs.
Find critical points ($f'=0$ or undefined) and test them (first- or second-derivative test, or candidates test if the interval is closed).
Answer the question asked, with units and interpretation in context – the maximum area, the minimum cost, etc.

Worked example. With $100\ \text{m}$ of fence for a rectangular pen against a wall (only three sides fenced), let the ends be $x$ and the far side $y=100-2x$. The area $A(x)=x(100-2x)=100x-2x^2$ has $A'(x)=100-4x=0$ at $x=25$; since $A''=-4<0$ this is the maximum, giving $y=50$ and $A=1250\ \text{m}^2$.

5.12

Exploring Behaviors of Implicit Relations

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.D: Determine critical points of implicit relations.

FUN-4.D.1 A point on an implicit relation where the first derivative equals zero or does not exist is a critical point of the function.

Learning Objective FUN-4.E: Justify conclusions about the behavior of an implicitly defined function based on evidence from its derivatives.

FUN-4.E.1 Applications of derivatives can be extended to implicitly defined functions.
FUN-4.E.2 Second derivatives involving implicit differentiation may be relations of $x$, $y$, and $\dfrac{dy}{dx}$.

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-4): ניתן להשתמש בנגזרת של פונקציה כדי להבין חלק מההתנהגות שלה.

מטרת הלמידה FUN-4.D: לקבוע נקודות קריטיות של יחסים אי-לכאניים.

FUN-4.D.1 נקודה ביחס אי-לכאני שבה הנגזרת הראשונה שווה לאפס או שאינה קיימת היא נקודה קריטית של הפונקציה.

מטרת הלמידה FUN-4.E: להצדיק מסקנות לגבי ההתנהגות של פונקציה המוגדרת אי-לכאנית על בסיס עדות הנגזרות שלה.

FUN-4.E.1 יישומי הנגזרות יכולים להיות מורחבים לפונקציות המוגדרות אי-לכאנית.
FUN-4.E.2 נגזרות שניות הכוללות נגזירה אי-לכאנית עשויות להיות יחסים של $x$, $y$ ו $\dfrac{dy}{dx}$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

All of this extends to implicitly defined relations. A critical point of an implicit relation is where $\dfrac{dy}{dx}=0$ (horizontal tangent) or is undefined (vertical tangent). Because $\dfrac{dy}{dx}$ is usually a relation in $x$ and $y$, and the second derivative involves $x$, $y$, and $\dfrac{dy}{dx}$, substitute your first-derivative expression back in when finding $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, then reason about concavity from its sign.

5.12

Exam tips

$f'>0$ means increasing, $f'<0$ decreasing; candidates for extrema are where $f'=0$ or is undefined.
Classify a critical point with the first-derivative sign change or the second-derivative test ($f''>0$ minimum, $f''<0$ maximum).
$f''>0$ is concave up, $f''<0$ concave down; a point of inflection is where concavity changes ($f''$ changes sign).
For an absolute extremum on a closed interval, also check the endpoints.
Justify every conclusion by citing the sign of $f'$ or $f''$ — the exam demands the reasoning, not just the answer.

Integration and Accumulation of Change · ⁨אינטגרציה ואגירת שינוי⁩

Watch lesson · ⁨צפה בשיעור⁩

Open this topic on its own page · ⁨פתח נושא זה בדף עצמאי⁩

6.1

Exploring Accumulations of Change

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.A: Interpret the meaning of areas associated with the graph of a rate of change in context.

CHA-4.A.1 The area of the region between the graph of a rate of change function and the $x$ axis gives the accumulation of change.
CHA-4.A.2 In some cases, accumulation of change can be evaluated by using geometry.
CHA-4.A.3 If a rate of change is positive (negative) over an interval, then the accumulated change is positive (negative).
CHA-4.A.4 The unit for the area of a region defined by rate of change is the unit for the rate of change multiplied by the unit for the independent variable.

עברית

הבנה מתמשכת (CHA-4): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות לצבירה של שינוי בתחום נתון.

מטרות למידה CHA-4.A: לפרש את משמעות השטחים הקשורים לגרף של קצב שינוי בהקשר הנתון.

CHA-4.A.1 שטח האזור שבין גרף הפונקציה המייצגת קצב שינוי לבין ציר ה$x$ נותן את צבירת השינוי.
CHA-4.A.2 במקרים מסוימים, ניתן לחשב את צבירת השינוי באמצעות גיאומטריה.
CHA-4.A.3 אם קצב שינוי הוא חיובי (שלילי) לאורך תחום, אזי צבירת השינוי היא חיובית (שלילית).
CHA-4.A.4 היחידה לשטח אזור המוגדר על ידי קצב שינוי היא יחידת קצב השינוי כפול יחידת המשתנה החופשי.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

A water tank: integration accumulates change — total volume from a rate of flow

Where a derivative measures a rate, an integral 积分 measures an accumulation 累积 – a total built up from a rate. If a rate of change acts over an interval, the area between its graph and the axis gives the net accumulated change. This "area = total change" idea is the foundation of integral calculus.

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
integral/ˈɪntɪɡrəl/	אינטגרל
accumulation/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn/	צבירה

6.2

Approximating Areas with Riemann Sums

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (LIM-5): Definite integrals can be approximated using geometric and numerical methods.

Learning Objective LIM-5.A: Approximate a definite integral using geometric and numerical methods.

LIM-5.A.1 Definite integrals can be approximated for functions that are represented graphically, numerically, analytically, and verbally.
LIM-5.A.2 Definite integrals can be approximated using a left Riemann sum, a right Riemann sum, a midpoint Riemann sum, or a trapezoidal sum; approximations can be computed using either uniform or nonuniform partitions.
LIM-5.A.3 Definite integrals can be approximated using numerical methods, with or without technology.
LIM-5.A.4 Depending on the behavior of a function, it may be possible to determine whether an approximation for a definite integral is an underestimate or overestimate for the value of the definite integral.

עברית

הבנה מתמשכת (LIM-5): אינטגרלים מוגדרים ניתנים לקירוב באמצעות שיטות גיאומטריות ומספריות.

מטרות למידה LIM-5.A: לקרב אינטגרל מוגדר באמצעות שיטות גיאומטריות ומספריות.

LIM-5.A.1 אינטגרלים מוגדרים ניתנים לקירוב עבור פונקציות המוצגות בגרף, בטבלאות נתונים, אנalitically ובאופן מילולי.
LIM-5.A.2 אינטגרלים מוגדרים ניתנים לקירוב באמצעות סכום רימן שמאלי, סכום רימן ימני, סכום רימן באמצע, או סכום טרפז; הקירובים יכולים להיות מחושבים באמצעות חלוקות אחידות או לא-אחידות.
LIM-5.A.3 אינטגרלים מוגדרים ניתנים לקירוב באמצעות שיטות מספריות, עם או בלי שימוש בטכנולוגיה.
LIM-5.A.4 בהתאם להתנהגות הפונקציה, ייתכן שניתן לקבוע האם הקירוב לאינטגרל מוגדר הוא הערכה נמוכה או גבוהה לערך האינטגרל המוגדר.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

The integral as area (Riemann sums)

Trapezoidal sums approximate area

A Riemann sum 黎曼和 estimates the area under a curve by adding the areas of thin rectangles. Split $[a,b]$ into subintervals and use the function's height at the left endpoint, right endpoint, or midpoint of each. A trapezoidal sum 梯形法 uses trapezoids instead, averaging the two endpoint heights – usually more accurate. With more, thinner rectangles the estimate improves.

A Riemann sum approximates the area under a curve with rectangles

Strips of width h approximate the area under a curve

Exam skill: be able to compute left, right, midpoint, and trapezoidal estimates from a table or graph, and state whether each over- or under-estimates based on whether the function is increasing/decreasing or concave up/down.

Explore · ⁨חקור⁩

Approximate area with rectangles · ⁨הערכת שטח בעזרת מלבנים⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

A Riemann sum approximates the area under a curve with rectangles. Add more, thinner rectangles and the estimate converges to the exact definite integral. · ⁨סכום רימן מעריך את השטח תחת העקומה באמצעות מלבנים. הוספת מלבנים רבים ודקים יותר גורמת להערכה להתכנס ל-אינטגרל מסוים מדויק.⁩

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
Riemann sum/ˈriːmən sʌm/	סכום ריימן
trapezoidal sum/ˈtræpɪzɔɪdl sʌm/	סכום טרפזים

6.3

Riemann Sums, Summation Notation, and Definite Integral Notation

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

Enduring Understanding	Learning Objective	Essential Knowledge
LIM-5 Definite integrals can be approximated using geometric and numerical methods.	LIM-5.B Interpret the limiting case of the Riemann sum as a definite integral.	LIM-5.B.1 The limit of an approximating Riemann sum can be interpreted as a definite integral. LIM-5.B.2 A Riemann sum, which requires a partition of an interval $I$, is the sum of products, each of which is the value of the function at a point in a subinterval multiplied by the length of that subinterval of the partition.
	LIM-5.C Represent the limiting case of the Riemann sum as a definite integral.	LIM-5.C.1 The definite integral of a continuous function $f$ over the interval $[a, b]$, denoted by $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$, is the limit of Riemann sums as the widths of the subintervals approach 0. That is, $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^)\Delta x_i$, where $n$ is the number of subintervals, $\Delta x_i$ is the width of the $i$th subinterval, and $x_i^$ is a value in the $i$th subinterval. LIM-5.C.2 A definite integral can be translated into the limit of a related Riemann sum, and the limit of a Riemann sum can be written as a definite integral.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

Writing a Riemann sum with summation notation $\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x$ and letting the number of rectangles grow without bound gives the exact area – the definite integral 定积分:

$$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x.$$

The integral is the limit of Riemann sums; $a$ and $b$ are the limits of integration.

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	אינטגרל מוגדר

6.4

The Fundamental Theorem of Calculus and Accumulation Functions

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-5): The Fundamental Theorem of Calculus connects differentiation and integration.

Learning Objective FUN-5.A: Represent accumulation functions using definite integrals.

FUN-5.A.1 The definite integral can be used to define new functions.
- Illustrative examples for FUN-5.A.1: $f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt$.
FUN-5.A.2 If $f$ is a continuous function on an interval containing $a$, then $\dfrac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)\,dt \right) = f(x)$, where $x$ is in the interval.

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-5): משפט היסוד של החישוב האינטגרלי מקשר בין גזירה לאינטגרציה.

מטרת למידה FUN-5.A: נציג פונקציות הצטברות באמצעות אינטגרלים מוגדרים.

FUN-5.A.1 אינטגרל מוגדר יכול לשמש להגדרת פונקציות חדשות.
- דוגמאות מדגישות ל-FUN-5.A.1: $f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt$.
FUN-5.A.2 אם $f$ היא פונקציה רציפה במרווח המכיל את $a$, אזי $\dfrac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)\,dt \right) = f(x)$, כאשר $x$ נמצא במרווח.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

The Fundamental Theorem of Calculus

An accumulation function 累积函数 $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ gives the accumulated area from $a$ up to $x$. The Fundamental Theorem of Calculus (FTC) 微积分基本定理 says its derivative is the integrand:

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x).$$

Differentiation and integration are inverse operations. With a variable upper limit and the chain rule, $\dfrac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt=f(u(x))\,u'(x)$.

The accumulation function adds signed area; the FTC says its derivative is f

Explore · ⁨חקור⁩

Accumulate area as an integral · ⁨צבירת שטח כאינטגרל⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

An accumulation function $\int_a^x f(t)\,dt$ builds up signed area as $x$ moves. The Fundamental Theorem says its derivative is just $f(x)$. · ⁨פונקציית הצטברות $\int_a^x f(t)\,dt$ בונה שטח עם סימן ככל ש-$x$ זז. משפט היסוד אומר שהנגזרת שלו היא פשוט $f(x)$.⁩

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
accumulation function/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn ˈfʌŋkʃn/	פונקציית הצטברות
Fundamental Theorem of Calculus (FTC)/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/	משפט היסוד של החישוב האינטגרלי (FTC)

6.5

Interpreting the Behavior of Accumulation Functions

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-5): The Fundamental Theorem of Calculus connects differentiation and integration.

Learning Objective FUN-5.A: Represent accumulation functions using definite integrals.

FUN-5.A.3 Graphical, numerical, analytical, and verbal representations of a function $f$ provide information about the function $g$ defined as $g(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$.

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-5): משפט היסוד של החישוב האינטגרלי מקשר בין גזירה לאינטגרציה.

מטרת למידה FUN-5.A: נציג פונקציות הצטברות באמצעות אינטגרלים מוגדרים.

FUN-5.A.3 נציגות גרפית, מספרית, אנליטית ובעל-פה של פונקציה $f$ מספקות מידע על הפונקציה $g$ המוגדרת כ-$g(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

Because $g'(x)=f(x)$, the graph of $f$ tells you everything about $g$: $g$ increases where $f>0$, decreases where $f<0$, has extrema where $f$ crosses zero, and is concave up where $f$ is increasing. Reading these connections off a graph of $f$ is a classic free-response task.

6.6

Applying Properties of Definite Integrals

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.A: Calculate a definite integral using areas and properties of definite integrals.

FUN-6.A.1 In some cases, a definite integral can be evaluated by using geometry and the connection between the definite integral and area.
FUN-6.A.2 Properties of definite integrals include the integral of a constant times a function, the integral of the sum of two functions, reversal of limits of integration, and the integral of a function over adjacent intervals.
FUN-6.A.3 The definition of the definite integral may be extended to functions with removable or jump discontinuities.

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-6): זיהוי הזדמנויות להטמעת ידע גיאומטרי וכללי מתמטיים יכול להקל ביצוע אינטגרציה.

מטרת למידה FUN-6.A: חשב אינטגרל מוגדר באמצעות שטחים ותכונות של אינטגרלים מוגדרים.

FUN-6.A.1 במקרים מסוימים, אינטגרל מוגדר ניתן לחשב באמצעות גיאומטריה והקשר בין האינטגרל המוגדר לשטח.
FUN-6.A.2 תכונות של אינטגרלים מוגדרים כוללות: אינטגרל של קבוע כפול פונקציה, אינטגרל של סכום של שתי פונקציות, הפוך של גבולות האינטגרציה, ואינטגרל של פונקציה על מרווחים סמוכים.
FUN-6.A.3 הגדרת האינטגרל המוגדר ניתנת להרחבה לפונקציות עם אי-רציפות ניתנות לסילוק או אי-רציפות דליפה.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

Definite integrals obey useful rules: reversing the limits negates the value ($\int_b^a=-\int_a^b$), an integral over a zero-width interval is $0$, they add over adjacent intervals ($\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$), and constants factor out. Use these to combine or split given integral values.

6.7

The Fundamental Theorem of Calculus and Definite Integrals

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.B: Evaluate definite integrals analytically using the Fundamental Theorem of Calculus.

FUN-6.B.1 An antiderivative of a function $f$ is a function $g$ whose derivative is $f$.
FUN-6.B.2 If a function $f$ is continuous on an interval containing $a$, the function defined by $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$ is an antiderivative of $f$ for $x$ in the interval.
FUN-6.B.3 If $f$ is continuous on the interval $[a, b]$ and $F$ is an antiderivative of $f$, then $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-6): זיהוי הזדמנויות להטמעת ידע גיאומטרי וכללי מתמטיים יכול להקל ביצוע אינטגרציה.

מטרה ללמידה FUN-6.B: לחשב אינטגרלים מוגדרים אנליטית באמצעות משפט היסוד של החישוב האינפיניטסימלי.

FUN-6.B.1 פונקציה $f$ היא נגזרת של פונקציה $g$ כאשר הנגזרת שלה היא $f$.
FUN-6.B.2 אם פונקציה $f$ רציפה על קטע המכיל $a$, הפונקציה המוגדרת על ידי $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$ היא נגזרת של $f$ עבור $x$ בקטע.
FUN-6.B.3 אם $f$ רציפה על הקטע $[a, b]$ ו-$F$ היא נגזרת של $f$, אזי $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

The evaluation form of the FTC computes a definite integral from an antiderivative 原函数 $F$ (where $F'=f$):

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

So integrating a rate of change over $[a,b]$ gives the net change in the quantity – the single most-used result in the course.

Worked example. $\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx$: an antiderivative is $F(x)=x^2+x$, so the value is $F(3)-F(1)=12-2=10$.

A definite integral is the signed area between the curve and the x-axis

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/	פונקציה קדומה

6.8

Finding Antiderivatives and Indefinite Integrals

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.C: Determine antiderivatives of functions and indefinite integrals, using knowledge of derivatives.

FUN-6.C.1 $\int f(x)\,dx$ is an indefinite integral of the function $f$ and can be expressed as $\int f(x)\,dx = F(x) + C$, where $F'(x) = f(x)$ and $C$ is any constant.
FUN-6.C.2 Differentiation rules provide the foundation for finding antiderivatives.
FUN-6.C.3 Many functions do not have closed-form antiderivatives.

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-6): זיהוי הזדמנויות להטמעת ידע גיאומטרי וכללי מתמטיים יכול להקל ביצוע אינטגרציה.

מטרה ללמידה FUN-6.C: למצוא נגזרות של פונקציות ואינטגרלים לא מוגדרים, תוך שימוש במידע על נגזרות.

FUN-6.C.1 $\int f(x)\,dx$ הוא אינטגרל לא מוגדר של הפונקציה $f$ וניתן לבטא אותו כ-$\int f(x)\,dx = F(x) + C$, כאשר $F'(x) = f(x)$ ו-$C$ הוא כל קבוע.
FUN-6.C.2 כללי גזירה מספקים את הבסיס למציאת נגזרות.
FUN-6.C.3 לעיתים קרובות לפונקציות אין נגזרות בצורה סגולה (closed-form).

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

An indefinite integral 不定积分 $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ is the family of all antiderivatives (hence the constant of integration $C$). Reverse each derivative rule: the power rule becomes $\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ (for $n\neq-1$), with $\int \frac1x\,dx=\ln|x|+C$, and the antiderivatives of $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, and $\sec^2 x$ come straight from their derivatives.

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	אינטגרל לא מוגדר

6.9

Integrating Using Substitution

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.D: For integrands requiring substitution or rearrangements into equivalent forms: (a) Determine indefinite integrals. (b) Evaluate definite integrals.

FUN-6.D.1 Substitution of variables is a technique for finding antiderivatives.
FUN-6.D.2 For a definite integral, substitution of variables requires corresponding changes to the limits of integration.

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-6): זיהוי הזדמנויות להטמעת ידע גיאומטרי וכללי מתמטיים יכול להקל ביצוע אינטגרציה.

מטרת למידה FUN-6.D: עבור פונקציות תחת אינטגרל הדורשות הצבה או עיצוב מחדש לצורות שקולות: (א) קביעת אינטגרלים לא מוגדרים. (ב) חישוב אינטגרלים מוגדרים.

FUN-6.D.1 הצבת משתנים היא טכניקה למציאת נגזרות.
FUN-6.D.2 עבור אינטגרל מוגדר, הצבת משתנים דורשת שינויים מתאימים בגבולות האינטגרציה.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

u-substitution 换元积分 reverses the chain rule: choose $u=g(x)$ so that $g'(x)$ also appears, turning $\int f(g(x))g'(x)\,dx$ into $\int f(u)\,du$. Remember to convert $dx$ to $du$ and, for a definite integral, either change the limits to $u$-values or convert back to $x$ at the end.

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
u-substitution/juː ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/	הצבה: u-substitution

6.10

Integrating Using Long Division and Completing the Square

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.D: For integrands requiring substitution or rearrangements into equivalent forms: (a) Determine indefinite integrals. (b) Evaluate definite integrals.

FUN-6.D.3 Techniques for finding antiderivatives include rearrangements into equivalent forms, such as long division and completing the square.

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-6): זיהוי הזדמנויות להטמעת ידע גיאומטרי וכללי מתמטיים יכול להקל ביצוע אינטגרציה.

FUN-6.D.3 טכניקות למציאת מקורבות כוללות עיצוב מחודש לצורות שקולות, כגון חלוקה ארוכה והשלמה לריבוע מושלם.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

When a rational integrand is "top-heavy" (numerator degree $\ge$ denominator degree), long division rewrites it as a polynomial plus a proper fraction you can integrate. Completing the square in a denominator turns it into a form like $u^2+a^2$, leading to an arctangent antiderivative $\frac1a\arctan\frac{u}{a}+C$.

6.11

Integrating Using Integration by Parts

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.E: For integrands requiring integration by parts: (a) Determine indefinite integrals. BC ONLY (b) Evaluate definite integrals. BC ONLY

FUN-6.E.1 Integration by parts is a technique for finding antiderivatives. BC ONLY

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-6): זיהוי הזדמנויות להטמעת ידע גיאומטרי וכללי מתמטיים יכול להקל ביצוע אינטגרציה.

מטרת למידה FUN-6.E: עבור פונקציות תחת אינטגרל הדורשות אינטגרציה בחלקים: (a) קביעת אינטגרלים לא מוגדרים. רק BC (b) חישוב ערכי אינטגרלים מוגדרים. רק BC

FUN-6.E.1 אינטגרציה בחלקים היא שיטה למציאת מקורות. רק BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

Integration by parts 分部积分 reverses the product rule:

$$\int u\,dv = uv-\int v\,du.$$

Choose $u$ to simplify when differentiated and $dv$ to be easy to integrate (the LIATE guide: logs, inverse-trig, algebraic, trig, exponential). It handles products like $\int x e^x\,dx$ and $\int x\ln x\,dx$, sometimes applied twice.

Worked example. For $\int x e^x\,dx$, choose $u=x$ ($du=dx$) and $dv=e^x\,dx$ ($v=e^x$):

$$\int x e^x\,dx = x e^x-\int e^x\,dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C.$$

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
Integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/	אינטגרציה בחלקים

6.12

Integrating Using Linear Partial Fractions

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.F: For integrands requiring integration by linear partial fractions: (a) Determine indefinite integrals. BC ONLY (b) Evaluate definite integrals. BC ONLY

FUN-6.F.1 Some rational functions can be decomposed into sums of ratios of linear, nonrepeating factors to which basic integration techniques can be applied. BC ONLY

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-6): זיהוי הזדמנויות להטמעת ידע גיאומטרי וכללי מתמטיים יכול להקל ביצוע אינטגרציה.

מטרת למידה FUN-6.F: עבור פונקציות תחת אינטגרל הדורשות אינטגרציה בשברים חלקיים ליניאריים: (a) קביעת אינטגרלים לא מוגדרים. רק BC (b) חישוב ערכי אינטגרלים מוגדרים. רק BC

FUN-6.F.1 חלק מפונקציות רציונליות ניתן לפצל לסכום של יחסים בין גורמים ליניאריים שאינם חוזרים, עליהם ניתן ליישם טכניקות אינטגרציה בסיסיות. רק BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

Partial fractions 部分分式 split a rational function with a factorable denominator into a sum of simpler fractions:

$$\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b},$$

each of which integrates to a logarithm. This technique is essential for the logistic differential equation in the next unit.

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
Partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/	שוברים חלקיים

6.13

Evaluating Improper Integrals

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (LIM-6): The use of limits allows us to show that the areas of unbounded regions may be finite.

Learning Objective LIM-6.A: Evaluate an improper integral or determine that the integral diverges. BC ONLY

LIM-6.A.1 An improper integral is an integral that has one or both limits infinite or has an integrand that is unbounded in the interval of integration. BC ONLY
LIM-6.A.2 Improper integrals can be determined using limits of definite integrals. BC ONLY

עברית

הבנה מתמשכת (LIM-6): השימוש בגבולות מאפשר להראות שהאזור של אזורי אי-גבול יכול להיות סופי.

מטרת למידה LIM-6.A: הערכת אינטגרל לא תקני או קביעה שהאינטגרל אינו מתכנס. רק BC

LIM-6.A.1 אינטגרל לא תקני הוא אינטגרל בעל אחד או שני הגבולות האינסופיים, או הכולל פונקציה תחת אינטגרל שאינה מוגבלת בתחום האינטגרציה. רק BC
LIM-6.A.2 אינטגרלים לא תקניים נקבעים באמצעות גבולות של אינטגרלים מוגדרים. רק BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

Improper integrals: converge or diverge

An improper integral 反常积分 has an infinite limit of integration or an infinite discontinuity in the integrand. Evaluate it as a limit: $\int_a^\infty f\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f\,dx$. If the limit is a finite number the integral converges 收敛; otherwise it diverges 发散.

Worked example. $\displaystyle\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^b=\lim_{b\to\infty}\left(1-\frac1b\right)=1$, so it converges to $1$. By contrast $\int_1^\infty \frac1x\,dx$ gives $\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$ and diverges – the same integrand-shape can go either way.

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
improper integral/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl/	אינטגרל בלתי-רגילי
converges/kənˈvɜːdʒɪz/	מתכנס
diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/	מתפזר

6.14

Selecting Techniques for Antidifferentiation

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

This topic is intended to focus on the skill of selecting an appropriate procedure for antidifferentiation. Students should be given opportunities to practice when and how to apply all learning objectives relating to antidifferentiation.

עברית

נושא זה נועד להתמקד במיומנות בחירת הליך המתאים לאנטי-אינטגרציה. יש לתת לסטודנטים הזדמנויות לתרגל מתי וכיצד ליישם את כל מטרות הלמידה הקשורות לאנטי-אינטגרציה.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

The BC exam expects you to recognize which method fits: basic rules, substitution (a chain-rule pattern), by parts (a product), partial fractions (a factorable rational), or long division/completing the square. Being able to look at an integral and pick the right tool quickly is itself a tested skill.

6.14

Exam tips

Integration is antidifferentiation; use the power rule $\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ and don't forget the $+C$.
The Fundamental Theorem links the two: $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$, and $\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$.
Approximate a definite integral with Riemann sums or the trapezoidal rule from a table of values.
A definite integral is a signed area (below the axis counts negative); split at sign changes for total area.
Use u-substitution and remember to change the limits (or back-substitute) accordingly.

Differential Equations · ⁨משוואות דיפרנציאליות⁩

Watch lesson · ⁨צפה בשיעור⁩

Open this topic on its own page · ⁨פתח נושא זה בדף עצמאי⁩

7.1

Modeling Situations with Differential Equations · ⁨דגמי מצבים באמצעות משוואות דיפרנציאליות⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.A: Interpret verbal statements of problems as differential equations involving a derivative expression.

FUN-7.A.1 Differential equations relate a function of an independent variable and the function's derivatives.

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-7): פתרון משוואות דיפרנציאליות מאפשר לנו לקבוע פונקציות ולפתח מודלים.

מטרה ללמידה FUN-7.A: לפרש ניסוחים מילוליים של בעיות כמשוואות דיפרנציאליות הכוללות ביטוי נגזרת.

FUN-7.A.1 משוואות דיפרנציאליות מקשרות בין פונקציה של משתנה עצמאי לבין הנגזרות שלה.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

A differential equation 微分方程 relates a function to its derivatives. Many real situations are described by a rate: "the population grows at a rate proportional to its size" becomes $\dfrac{dP}{dt}=kP$. Setting up the equation from a verbal description – identifying what changes and what it is proportional to – is the first skill.

עברית

משוואה דיפרנציאלית מקשרת פונקציה לגזירות שלה. תיאורים רבים של מצבים אמיתיים מבוססים על קצב: "האוכלוסייה צומחת בקצב פרופורציונלי לגודלה" הופך ל$\dfrac{dP}{dt}=kP$. בניית המשוואה מתוך תיאור מילולי – זיהוי מה משתנה ומה הוא פרופורציונלי אליו – היא המיומנות הראשונה.

7.2

Verifying Solutions for Differential Equations · ⁨בדיקת פתרונות למשוואות דיפרנציאליות⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.B: Verify solutions to differential equations.

FUN-7.B.1 Derivatives can be used to verify that a function is a solution to a given differential equation.
FUN-7.B.2 There may be infinitely many general solutions to a differential equation.

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-7): פתרון משוואות דיפרנציאליות מאפשר לנו לקבוע פונקציות ולפתח מודלים.

מטרה ללמידה FUN-7.B: לבדוק פתרונות למשוואות דיפרנציאליות.

FUN-7.B.1 ניתן להשתמש בנגזרות כדי לבדוק האם פונקציה היא פתרון למשוואה דיפרנציאלית נתונה.
FUN-7.B.2 עשויה להיות אינסוף פתרונות כלליים למשוואה דיפרנציאלית.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

A solution is a function that satisfies the equation. To verify a proposed solution, differentiate it and substitute into the equation, checking that both sides agree. A general solution contains a constant $C$; a particular solution fixes $C$ from a condition.

עברית

פתרון הוא פונקציה המקיימת את המשוואה. כדי לבדוק פתרון מוצע, גזור אותו והצב אותו במשוואה, ולבדוק שהצדדים שווים. פתרון כללי מכיל קבוע $C$; פתרון פרטי קובע את $C$ מתוך תנאי נתון.

7.3

Sketching Slope Fields · ⁨ציור שדות שיפועים⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.

FUN-7.C.1 A slope field is a graphical representation of a differential equation on a finite set of points in the plane.
FUN-7.C.2 Slope fields provide information about the behavior of solutions to first-order differential equations.

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-7): פתרון משוואות דיפרנציאליות מאפשר לנו לקבוע פונקציות ולפתח מודלים.

מטרות למידה FUN-7.C: הערכה פתרונות למשוואות דיפרנציאליות.

FUN-7.C.1 שדה שיפועים הוא ייצוג גרפי של משוואה דיפרנציאלית על ערכה סופית של נקודות במישור.
FUN-7.C.2 שדות שיפועים מספקים מידע על התנהגות הפתרונות למשוואות דיפרנציאליות מהדרגה הראשונה.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

Slope fields & solution curves

A slope field 斜率场 draws a short line segment at many points, each with the slope $\dfrac{dy}{dx}$ the equation gives there. It pictures the family of solution curves without solving. To sketch one, evaluate the right-hand side at each grid point and draw a segment of that slope.

עברית

שדות שיפוע ומשוואות פתרון

שדה שיפועים מצייר קטע ישר קצר בנקודות רבות, כאשר לכל נקודה יש שיפוע $\dfrac{dy}{dx}$ כפי שמכתיבה המשוואה במקום ההוא. הוא מספק דמיון של משפחת פתרונות ללא פתרון אנליטי. כדי לשרטט אותו, חשב את אגף ימין בכל נקודה ברשת ומרה קטע עם השיפוע המתאים.

שדה שיפועים מראה את הגרדינט בכל מקום; עקומי הפתרון עוקבים אחריו

Explore · ⁨חקור⁩

Read a differential equation as a slope field · ⁨קריאת משוואה דיפרנציאלית כשדה שיפועים⁩

A slope field draws the slope $dy/dx$ at each point. A solution curve threads through, always tangent to the little segments — you can sketch it by following the flow. · ⁨שדה שיפועים מצייר את השיפוע $dy/dx$ בכל נקודה. עקומת פתרון חודרת דרךיו, תמיד משיקה למקטעים הקטנים — ניתן לשער אותה על ידי מעקב אחר הזרימה.⁩

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/	משוואה דיפרנציאלית
slope field/sləʊp fiːld/	שדה שיפועים
Euler's method/ˈɔɪləz ˈmeθəd/	שיטת אוילר
separable/ˈsepərəbl/	ניתן להפרדה
initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/	תנאי התחלה
exponential growth or decay/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ ɔː dɪˈkeɪ/	גידול או דעיכה אקספוננציאליים
logistic model/ləˈdʒɪstɪk ˈmɒdl/	מודל לוגיסטי
carrying capacity/ˈkæriɪŋ kəˈpæsɪti/	קיבולת נשיאה

7.4

Reasoning Using Slope Fields · ⁨הסקה באמצעות שדות שיפועים⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.

FUN-7.C.3 Solutions to differential equations are functions or families of functions.

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-7): פתרון משוואות דיפרנציאליות מאפשר לנו לקבוע פונקציות ולפתח מודלים.

מטרות למידה FUN-7.C: הערכה פתרונות למשוואות דיפרנציאליות.

FUN-7.C.3 פתרונות למשוואות דיפרנציאליות הם פונקציות או משפחות פונקציות.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

A solution curve follows the segments like a boat following a current. From a slope field you can sketch the particular solution through a given point, describe long-run behavior, and locate where solutions level off (slopes near zero) – reasoning about solutions purely from the picture.

עברית

עקום פתרון עוקב אחרי הקטעים כמו סירה העוברת אחר הזרם. משדה שיפועים ניתן לשרטט פתרון פרטי הנעלם בנקודה נתונה, לתאר התנהגות לטווח ארוך, ולזהות היכן הפתרונים משתטחים (שיפועים קרובים לאפס) – בחינת פתרונים באופן טהור מתוך הדמיון.

7.5

Approximating Solutions Using Euler's Method · ⁨קירוב פתרונים באמצעות שיטת אוילר⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.

FUN-7.C.4 Euler's method provides a procedure for approximating a solution to a differential equation or a point on a solution curve. BC ONLY

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-7): פתרון משוואות דיפרנציאליות מאפשר לנו לקבוע פונקציות ולפתח מודלים.

מטרות למידה FUN-7.C: הערכה פתרונות למשוואות דיפרנציאליות.

FUN-7.C.4 שיטת אוילר מספקת הליך לקירוב פתרון למשוואה דיפרנציאלית או נקודה על עקומת הפתרון. רק BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

Euler's method

Euler's method 欧拉方法 approximates a solution numerically by stepping along the slope field. Starting from a known point, take a small step $\Delta x$ and update:

$$y_{\text{new}}=y_{\text{old}}+\frac{dy}{dx}\cdot\Delta x.$$

Repeat for each step. Smaller steps give a better approximation. (This is a BC-only technique.)

Exam skill: be able to carry out two or three Euler steps by hand from a table, and know that Euler's method under- or over-estimates depending on the solution's concavity.

Worked example. Approximate $y(1)$ for $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, with step $\Delta x=0.5$. Step 1: slope at $(0,1)$ is $0+1=1$, so $y(0.5)\approx 1+1(0.5)=1.5$. Step 2: slope at $(0.5,1.5)$ is $0.5+1.5=2$, so $y(1)\approx 1.5+2(0.5)=2.5$.

עברית

שיטת אוילר

שיטת אוילר מקרבת פתרון מספרית על ידי צעד לאורך שדה השיפועים. מתחיל מנקודה ידועה, לוקח צעד קטן $\Delta x$ ומעדכן:

$$y_{\text{new}}=y_{\text{old}}+\frac{dy}{dx}\cdot\Delta x.$$

חזור עבור כל צעד. צעדים קטנים יותר נותנים קירוב טוב יותר. (זו טכניקה לבחינת BC בלבד.)

מיומנות בבחינה: יכולת לבצע שניים או שלושה צעדי אוילר ידנית מתוך טבלה, ולהבין ששיטת אוילר מעריכה מעט מדי או הרבה מדי בהתאם לקעוות של הפתרון.

דוגמה מפורטת. קרב $y(1)$ עבור $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, עם צעד $\Delta x=0.5$. צעד 1: השיפוע ב$(0,1)$ הוא $0+1=1$, ולכן $y(0.5)\approx 1+1(0.5)=1.5$. צעד 2: השיפוע ב$(0.5,1.5)$ הוא $0.5+1.5=2$, ולכן $y(1)\approx 1.5+2(0.5)=2.5$.

7.6

Finding General Solutions Using Separation of Variables · ⁨מציאת פתרונות כלליים באמצעות הפרדת משתנים⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.D: Determine general solutions to differential equations.

FUN-7.D.1 Some differential equations can be solved by separation of variables.
FUN-7.D.2 Antidifferentiation can be used to find general solutions to differential equations.

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-7): פתרון משוואות דיפרנציאליות מאפשר לנו לקבוע פונקציות ולפתח מודלים.

מטרות למידה FUN-7.D: קביעת פתרונות כלליים למשוואות דיפרנציאליות.

FUN-7.D.1 חלק ממשוואות הדיפרנציאליות ניתן לפתור באמצעות הפרדת משתנים.
FUN-7.D.2 אנטי-אינטגרציה יכולה לשמש למציאת פתרונות כלליים למשוואות דיפרנציאליות.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

A separable 可分离 differential equation can be written with all the $y$'s on one side and all the $x$'s on the other, then integrated:

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\ \Rightarrow\ \int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx.$$

This produces the general solution (with a $+C$), the main analytic method for solving differential equations in this course.

Worked example. Solve $\dfrac{dy}{dx}=xy$ with $y(0)=2$. Separating, $\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx$ gives $\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C$, so $y=Ae^{x^2/2}$. The condition $y(0)=2$ gives $A=2$, so $y=2e^{x^2/2}$.

עברית

E. coli תחת מיקרוסקופ: משוואות דיפרנציאליות מדמות צמיחה אקספוננציאלית

משוואה דיפרנציאלית ניתנת להפרדה ניתנת לכתיבה כך שכל ה-$y$ יהיו בצד אחד וכל ה-$x$ בצד השני, ולאחר מכן אינטגרציה:

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\ \Rightarrow\ \int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx.$$

זאת מובילה לפתרון הכללי (עם קבוע $+C$), השיטה האנליתית המרכזית לפתרון משוואות דיפרנציאליות בקורס זה.

דוגמה מפורטת. פתור $\dfrac{dy}{dx}=xy$ עם $y(0)=2$. בהפרדה, $\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx$ מוביל ל$\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C$, ולכן $y=Ae^{x^2/2}$. התנאי $y(0)=2$ נותן $A=2$, ולכן $y=2e^{x^2/2}$.

7.7

Finding Particular Solutions Using Initial Conditions · ⁨מציאת פתרונים פרטים באמצעות תנאי התחלה⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.E: Determine particular solutions to differential equations.

FUN-7.E.1 A general solution may describe infinitely many solutions to a differential equation. There is only one particular solution passing through a given point.
FUN-7.E.2 The function $F$ defined by $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ is a particular solution to the differential equation $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, satisfying $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Solutions to differential equations may be subject to domain restrictions.

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-7): פתרון משוואות דיפרנציאליות מאפשר לנו לקבוע פונקציות ולפתח מודלים.

מטרות למידה FUN-7.E: קביעת פתרונות פרטיים למשוואות דיפרנציאליות.

FUN-7.E.1 פתרון כללי עשוי לתאר אינסוף פתרונות למשוואה דיפרנציאלית. קיים רק פתרון פרטי אחד העובר דרך נקודה נתונה.
FUN-7.E.2 הפונקציה $F$ המוגדרת על ידי $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ היא פתרון פרטי למשוואה הדיפרנציאלית $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, המקיימת $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 פתרונות למשוואות דיפרנציאליות עשויים להיות מוגבלים בתחום ההגדרה שלהם.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

An initial condition 初始条件 (a known point, e.g. $y(0)=5$) pins down the constant $C$. Solve for the general solution, substitute the condition to find $C$, then write the particular solution. Watch the domain – a particular solution is valid only on the interval containing the initial point.

עברית

תנאי התחלה (נקודה ידועה, למשל $y(0)=5$) קובע את הקבוע $C$. פתור את הפתרון הכללי, הצב את התנאי כדי למצוא $C$, ולאחר מכן כתוב את הפתרון הפרטי. שים לב לתחום – פתרון פרטי תקף רק בתחום המכיל את נקודת ההתחלה.

הקבוע נותן משפחה של עקומות; תנאי התחתי בוחר אחת מהן

7.8

Exponential Models with Differential Equations · ⁨מודלים מעריכים במשוואות דיפרנציאליות⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.F: Interpret the meaning of a differential equation and its variables in context.

FUN-7.F.1 Specific applications of finding general and particular solutions to differential equations include motion along a line and exponential growth and decay.
FUN-7.F.2 The model for exponential growth and decay that arises from the statement "The rate of change of a quantity is proportional to the size of the quantity" is $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

Learning Objective FUN-7.G: Determine general and particular solutions for problems involving differential equations in context.

FUN-7.G.1 The exponential growth and decay model, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, with initial condition $y = y_0$ when $t = 0$, has solutions of the form $y = y_0 e^{kt}$.

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-7): פתרון משוואות דיפרנציאליות מאפשר לנו לקבוע פונקציות ולפתח מודלים.

מטרות למידה FUN-7.F: פרשנות המשמעות של משוואה דיפרנציאלית ושתניה בהקשר.

FUN-7.F.1 יישומים ספציפיים למציאת פתרונות כלליים ופרטיים למשוואות דיפרנציאליות כוללים תנועה לאורך קו וגדילה ואפיון אקספוננציאליים.
FUN-7.F.2 המודל לגדילה ואפיון אקספוננציאליים הנובע מהניסוח "קצב השינוי של כמות הוא פרופורציונלי לגודלה" הוא $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

מטרות למידה FUN-7.G: קביעת פתרונות כלליים ופרטיים לבעיות המכילות משוואות דיפרנציאליות בהקשר.

FUN-7.G.1 המודל לצמיחה ודעיכה מעריכית, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, עם תנאי התחלתי $y = y_0$ כאשר $t = 0$, בעל פתרונות מהצורה $y = y_0 e^{kt}$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

Exponential vs logistic growth

The equation $\dfrac{dy}{dt}=ky$ says the rate of change is proportional to the amount – giving exponential growth or decay 指数增长. Separating variables yields

$$y=y_0 e^{kt},$$

with $k>0$ for growth and $k<0$ for decay. This models unrestricted population growth, radioactive decay, and continuously compounded interest.

עברית

גידול אקספוננציאלי מול לוגיסטי

המשוואה $\dfrac{dy}{dt}=ky$ אומרת שקצב השינוי הוא פרופורציונלי לכמות – מה שמוביל לגידול או דעך מעריכי. הפרדת משתנים מניבה

$$y=y_0 e^{kt},$$

כאשר $k>0$ עבור גידול ו$k<0$ עבור דעך. מודל זה מתאר גידול אוכלוסייה ללא הגבלה, דעך רדיואקטיבי והשקעה עם הון מרוכב ברציפות.

כוס קפה מתקררת: חוק קירור ניוטון הוא מודל קלאסי למשוואות דיפרנציאליות

Explore · ⁨חקור⁩

An exponential growth/decay model · ⁨מודל גידול/דעיכה אקספוננציאלי⁩

y = a·e^(bx) + c

The equation $dy/dt=ky$ has exponential solutions: quantity changes at a rate proportional to itself, giving unbounded growth ($k>0$) or decay to zero ($k<0$). · ⁨המשוואה $dy/dt=ky$ יש לה פתרונות אקספוננציאליים: הכמות משתנה בקצב פרופורציונלי לעצמה, מה שמוביל לגידול בלתי מוגבל ($k>0$) או לדעיכה לאפס ($k<0$).⁩

7.9

Logistic Models with Differential Equations · ⁨מודלים לוגיסטיים באמצעות משוואות דיפרנציאליות⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.H: Interpret the meaning of the logistic growth model in context. BC ONLY

FUN-7.H.1 The model for logistic growth that arises from the statement "The rate of change of a quantity is jointly proportional to the size of the quantity and the difference between the quantity and the carrying capacity" is $\dfrac{dy}{dt} = ky(a - y)$. BC ONLY
FUN-7.H.2 The logistic differential equation and initial conditions can be interpreted without solving the differential equation. BC ONLY
FUN-7.H.3 The limiting value (carrying capacity) of a logistic differential equation as the independent variable approaches infinity can be determined using the logistic growth model and initial conditions. BC ONLY
FUN-7.H.4 The value of the dependent variable in a logistic differential equation at the point when it is changing fastest can be determined using the logistic growth model and initial conditions. BC ONLY

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-7): פתרון משוואות דיפרנציאליות מאפשר לנו לקבוע פונקציות ולפתח מודלים.

מטרת למידה FUN-7.H: פרשנות המשמעות של מודל הגדילה הלוגיסטי בהקשר הנתון. רק BC

FUN-7.H.1 המודל לגדילה לוגיסטית הנגזר מהעובדה "קצב השינוי של כמות הוא יחד פרופורציונלי לגודל הכמות ולהפרש בין הכמות לבין הקיבולת" הוא $\dfrac{dy}{dt} = ky(a - y)$. רק BC
FUN-7.H.2 ניתן לפרש את המשוואה הדיפרנציאלית הלוגיסטית ותנאי ההתחלה ללא פתרון המשוואה. רק BC
FUN-7.H.3 ניתן לקבוע את הערך הסופי (קיבולת) של משוואה דיפרנציאלית לוגיסטית כאשר המשתנה התלוי שואף לאינסוף, באמצעות מודל הגדילה הלוגיסטי ותנאי ההתחלה. רק BC
FUN-7.H.4 ניתן לקבוע את ערך המשתנה התלוי במשוואה דיפרנציאלית לוגיסטית בנקודה שבה הוא משתנה בקצב המרבי, באמצעות מודל הגידול הלוגיסטי ותנאי ההתחלה. רק BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

Real growth is limited by resources, so the logistic model 逻辑斯蒂模型 adds a carrying capacity 环境容纳量 $L$:

$$\frac{dP}{dt}=kP\!\left(1-\frac{P}{L}\right).$$

Growth is nearly exponential when $P$ is small, slows as $P$ approaches $L$, and stops at $P=L$. Key BC facts: the population levels off at $L$ ($\lim_{t\to\infty}P=L$), and it grows fastest when $P=\tfrac{L}{2}$ (the inflection point of the S-shaped curve). You are expected to read $L$ and the fastest-growth value directly from the equation.

Worked example. For $\dfrac{dP}{dt}=0.05\,P\!\left(1-\dfrac{P}{2000}\right)$, the carrying capacity is $L=2000$ (the population levels off there), and growth is fastest when $P=\dfrac{L}{2}=1000$ – both read straight off the equation, no solving needed.

עברית

גידול אמיתי מוגבל על ידי משאבים, ולכן המודל הלוגיסטי מוסיף קיבולת נשיאה $L$:

$$\frac{dP}{dt}=kP\!\left(1-\frac{P}{L}\right).$$

הגידול הוא כמעט מעריכי כאשר $P$ קטן, מאט כאשר $P$ מתקרבת ל$L$, ועוצר ב$P=L$. עובדות מרכזיות לבחנת BC: האוכלוסייה מתייצבת ב$L$ ($\lim_{t\to\infty}P=L$), והיא גדלה במהירות מקסימלית כאשר $P=\tfrac{L}{2}$ (נקודת העיקום של העקומה בצורת S). צפוי לקרוא את $L$ ואת ערך הגידול המקסימלי ישירות מהמשוואה.

דוגמה פותרת. עבור $\dfrac{dP}{dt}=0.05\,P\!\left(1-\dfrac{P}{2000}\right)$, קיבולת הנשיאה היא $L=2000$ (האוכלוסייה מתייצבת שם), והגידול הוא מהיר ביותר כאשר $P=\dfrac{L}{2}=1000$ – שניהם קריאים ישירות מהמשוואה, ללא צורך בפתרון.

המודל הלוגיסטי גדל במהירות מקסימלית ב-P=L/2 ומתייצב בקיבולת הנשיאה L

7.9

Exam tips · ⁨טיפים לבחינות⁩

English

Solve a separable equation by getting all $y$ on one side and all $x$ on the other, then integrating both sides (add $+C$ once).
Use the initial condition to find $C$ (a particular solution).
Sketch or read a slope field: the little segments show $\tfrac{dy}{dx}$ at each point, and a solution curve follows them.
Recognise exponential models $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (growth/decay).
A differential equation gives the slope — you must integrate to recover the function.

עברית

פתרו משוואה ניתנת להפרדה על ידי הוצאת כל ה-$y$ לצד אחד ואת כל ה-$x$ לצד השני, ולאחר מכן אינטגרציה בשני האגפים (הוסיפו $+C$ פעם אחת).
השתמשו בתנאי ההתחלה כדי למצוא את $C$ (פתרון פרטי).
שרטטו או קראו שדה ניסוחים: המקטעים הקטנים מייצגים את $\tfrac{dy}{dx}$ בכל נקודה, ועקומת פתרון עוקבת אחריהם.
זיהו מודלים מעריכיים $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (צמיחה/דעיכה).
משוואה דיפרנציאלית נותנת את השיפוע – עליכם לאינטגרל כדי לשחזר את הפונקציה.

Applications of Integration · ⁨יישומי אינטגרציה⁩

Watch lesson · ⁨צפה בשיעור⁩

Open this topic on its own page · ⁨פתח נושא זה בדף עצמאי⁩

8.1

Finding the Average Value of a Function on an Interval

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.B: Determine the average value of a function using definite integrals.

CHA-4.B.1 The average value of a continuous function $f$ over an interval $[a, b]$ is $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.

עברית

הבנה מתמשכת (CHA-4): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות לצבירה של שינוי בתחום נתון.

מטרות למידה CHA-4.B: חישוב הערך הממוצע של פונקציה באמצעות אינטגרלים מוגדרים.

CHA-4.B.1 הערך הממוצע של פונקציה רציפה $f$ על קטע $[a, b]$ הוא $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

The average value 平均值 of $f$ over $[a,b]$ is the integral divided by the width:

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

It is the constant height a rectangle would need to have the same area as the region under $f$. Do not confuse this with the average rate of change (which uses the derivative).

Worked example. The average value of $f(x)=x^2$ on $[0,3]$ is $\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\dfrac13\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac13(9)=3$.

Explore · ⁨חקור⁩

The average value of a function · ⁨הערך הממוצע של פונקציה⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

The average value of $f$ on $[a,b]$ is its integral divided by the width — the constant height whose rectangle has the same area as under the curve. · ⁨הערך הממוצע של $f$ על $[a,b]$ הוא האינטגרל שלה חלקי הרוחב — הגובה הקבוע שעבורו למלבן יש אותו שטח כמו תחת העקומה.⁩

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/	ערך ממוצע

8.2

Connecting Position, Velocity, and Acceleration Using Integrals

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.C: Determine values for positions and rates of change using definite integrals in problems involving rectilinear motion.

CHA-4.C.1 For a particle in rectilinear motion over an interval of time, the definite integral of velocity represents the particle's displacement over the interval of time, and the definite integral of speed represents the particle's total distance traveled over the interval of time.

עברית

הבנה מתמשכת (CHA-4): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות לצבירה של שינוי בתחום נתון.

מטרות למידה CHA-4.C: קביעת ערכים עבור מיקומים וקצבי שינוי באמצעות אינטגרלים מוגדרים בבעיות הקשורות לתנועה ישרקוויתית.

CHA-4.C.1 לגוף הנע בתנועה ישרקוויתית לאורך קטע זמן, האינטגרל המוגדר של המהירות מייצג את ההזזה של הגוף לאורך קטע הזמן, והאינטגרל המוגדר של השטח (speed) מייצג את המרחק הכולל שעבר הגוף לאורך קטע הזמן.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

For straight-line motion, integration reverses differentiation:

$$v(t)=\int a(t)\,dt,\qquad s(t)=\int v(t)\,dt.$$

Two key distinctions: displacement 位移 is $\int_a^b v\,dt$ (net change in position), while total distance 总路程 is $\int_a^b |v|\,dt$ (splitting where $v$ changes sign). Speed is $|v|$.

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
displacement/dɪˈspleɪsmənt/	הזזה
total distance/ˈtəʊtl ˈdɪstəns/	מרחק כולל

8.3

Using Accumulation Functions and Definite Integrals in Applied Contexts

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.D: Interpret the meaning of a definite integral in accumulation problems.

CHA-4.D.1 A function defined as an integral represents an accumulation of a rate of change.
CHA-4.D.2 The definite integral of the rate of change of a quantity over an interval gives the net change of that quantity over that interval.

Learning Objective CHA-4.E: Determine net change using definite integrals in applied contexts.

CHA-4.E.1 The definite integral can be used to express information about accumulation and net change in many applied contexts.

עברית

הבנה מתמשכת (CHA-4): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות לצבירה של שינוי בתחום נתון.

מטרות למידה CHA-4.D: פרשנות המשמעות של אינטגרל מוגדר בבעיות הצטברות.

CHA-4.D.1 פונקציה המוגדרת כאינטגרל מייצגת הצטברות של קצב שינוי.
CHA-4.D.2 האינטגרל המוגדר של קצב השינוי של כמות כלשהי לאורך קטע נותן את השינוי הנטו של כמות זו לאורך הקטע.

מטרות למידה CHA-4.E: קביעת השינוי הנטו באמצעות אינטגרלים מוגדרים בהקשרים יישומיים.

CHA-4.E.1 האינטגרל המובנה יכול לשמש לביטוי מידע על הצטברות ושינוי נקי בהקשרים אפליקטיביים רבים.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

When a rate is given (flow rate, sales per day), the definite integral gives the accumulated total, and $\int_a^b R(t)\,dt$ carries the units of $R$ times time. A common setup: initial amount $+\int(\text{rate in}-\text{rate out})\,dt$ gives the amount at a later time. Always interpret the answer in context, with units.

8.4

Finding the Area Between Curves Expressed as Functions of x

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.1 Areas of regions in the plane can be calculated with definite integrals.

עברית

הבנה מתמשכת (CHA-5): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות להצטברות שינוי בשטח או בנפח לאורך קטע.

מטרות למידה CHA-5.A: לחשב שטחים במישור באמצעות אינטגרל מובנה.

CHA-5.A.1 שטחים של אזורים במישור ניתן לחשב באמצעות אינטגרלים מובנים.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

A potter shaping a vessel: volumes of revolution rotate a plane region about an axis

The area between $y=f(x)$ (top) and $y=g(x)$ (bottom) from $a$ to $b$ is

$$\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx.$$

Find the intersection points for the limits, and always subtract top minus bottom.

The area between two curves is the integral of top minus bottom

Worked example. Between $y=x$ and $y=x^2$ (crossing at $x=0,1$, with $y=x$ on top), the area is $\displaystyle\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac16$.

8.5

Finding the Area Between Curves Expressed as Functions of y

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.2 Areas of regions in the plane can be calculated using functions of either $x$ or $y$.

עברית

הבנה מתמשכת (CHA-5): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות להצטברות שינוי בשטח או בנפח לאורך קטע.

מטרות למידה CHA-5.A: לחשב שטחים במישור באמצעות אינטגרל מובנה.

CHA-5.A.2 שטחים של אזורים במישור ניתן לחשב באמצעות פונקציות של $x$ או $y$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

When curves are easier to describe as $x=f(y)$, integrate with respect to $y$ instead, using right minus left:

$$\int_c^d\big(f_{\text{right}}(y)-g_{\text{left}}(y)\big)\,dy.$$

Choosing to integrate in $y$ can avoid splitting the region into several pieces.

8.6

Finding the Area Between Curves That Intersect More Than Twice

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.3 Areas of certain regions in the plane may be calculated using a sum of two or more definite integrals or by evaluating a definite integral of the absolute value of the difference of two functions.

עברית

הבנה מתמשכת (CHA-5): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות להצטברות שינוי בשטח או בנפח לאורך קטע.

מטרות למידה CHA-5.A: לחשב שטחים במישור באמצעות אינטגרל מובנה.

CHA-5.A.3 שטחים של אזורים מסוימים במישור ייתכן שניתן לחשב באמצעות סכום של שני אינטגרלים מובנים או יותר, או על ידי חילוק אינטגרל מובן של הערך המוחלט של ההפר בין שתי פונקציות.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

If two curves cross several times, the top and bottom switch. Split the region at each intersection and integrate each piece with the correct top-minus-bottom (or use $\int|f-g|$), then add the pieces.

8.7

Volumes with Cross Sections: Squares and Rectangles

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.B: Calculate volumes of solids with known cross sections using definite integrals.

CHA-5.B.1 Volumes of solids with square and rectangular cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.

עברית

הבנה מתמשכת (CHA-5): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות להצטברות שינוי בשטח או בנפח לאורך קטע.

מטרות למידה CHA-5.B: לחשב נפחי גוף בעל חתכים מוכרים באמצעות אינטגרלים מובנים.

CHA-5.B.1 נפחי גופים בעלי חתך ריבועי ומלבני ניתן למצוא באמצעות אינטגרלים מובנים ונוסחאות השטח לצורות אלו.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

If a solid's cross sections 横截面 perpendicular to the $x$-axis are squares or rectangles, integrate their area. With side length equal to the distance between two curves, a square cross section gives

$$V=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)^2\,dx.$$

The method is always "integrate the cross-sectional area."

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
cross sections/krɒs ˈsekʃnz/	צלעים רוחביים

8.8

Volumes with Cross Sections: Triangles and Semicircles

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.B: Calculate volumes of solids with known cross sections using definite integrals.

CHA-5.B.2 Volumes of solids with triangular cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.
CHA-5.B.3 Volumes of solids with semicircular and other geometrically defined cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.
- Illustrative examples for CHA-5.B.3:
  - The volume of a funnel whose cross sections are circles can be found using the area formula for a circle and definite integrals (see 2016 AB Exam FRQ #5(b)).
  - The volume of a solid whose cross sectional area is defined using a function can be found using the known area function and a definite integral (see 2009 AB Exam FRQ #4(c)).

עברית

הבנה מתמשכת (CHA-5): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות להצטברות שינוי בשטח או בנפח לאורך קטע.

מטרות למידה CHA-5.B: לחשב נפחי גוף בעל חתכים מוכרים באמצעות אינטגרלים מובנים.

CHA-5.B.2 נפחי גופים בעלי חתך משולשי ניתן למצוא באמצעות אינטגרלים מובנים ונוסחאות השטח לצורות אלו.
CHA-5.B.3 נפחי גופים בעלי חתך חצי-עיגולי והגדרות גיאומטריות אחרות ניתן למצוא באמצעות אינטגרלים מובנים ונוסחאות השטח לצורות אלו.
- דוגמאות מדגמיות עבור CHA-5.B3:
  - נפח משפך שעבורו החתכים הם עיגולים ניתן למצוא באמצעות נוסחת השטח לעיגול ואינטגרלים מובנים (ראו מבחן AB 2016 FRQ #5(b)).
  - נפח גוף שעבורו שטח החתך מוגדר באמצעות פונקציה ניתן למצוא באמצעות פונקציית השטח הידועה ואינטגרל מובן (ראו מבחן AB 2009 FRQ #4(c)).

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

Same idea, different area formula: for equilateral-triangle cross sections use $A=\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$, and for semicircular ones $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$ (with $s$ the distance between the curves). Substitute the area formula and integrate.

8.9

Volume with Disc Method: Revolving Around the x- or y-Axis

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.1 Volumes of solids of revolution around the $x$- or $y$-axis may be found by using definite integrals with the disc method.

עברית

הבנה מתמשכת (CHA-5): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות להצטברות שינוי בשטח או בנפח לאורך קטע.

מטרות למידה CHA-5.C: חישוב נפחי גופי סיבוב באמצעות אינטגרלים מוגדרים.

CHA-5.C.1 נפחי גופי סיבוב סביב ציר $x$ או ציר $y$ ניתן למצוא באמצעות שימוש באינטגרלים מובנים בשיטת הדיסק.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

Solids of revolution: the disc method

Revolving a region around an axis makes a solid whose cross sections are discs. The disc method 圆盘法 integrates $\pi(\text{radius})^2$:

$$V=\pi\int_a^b \big(R(x)\big)^2\,dx,$$

where the radius $R$ is the distance from the curve to the axis. Use $dy$ when revolving around the $y$-axis.

The disc method: rotating y=f(x) about the axis sweeps out disks of radius f(x)

Worked example. Revolving the region under $y=\sqrt{x}$ from $0$ to $4$ about the $x$-axis gives discs of radius $\sqrt{x}$: $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=8\pi$.

Rotating a region about an axis sweeps out a solid of revolution

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
disc method/dɪsk ˈmeθəd/	שיטת הדיסק

8.10

Volume with Disc Method: Revolving Around Other Axes

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.2 Volumes of solids of revolution around any horizontal or vertical line in the plane may be found by using definite integrals with the disc method.

עברית

הבנה מתמשכת (CHA-5): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות להצטברות שינוי בשטח או בנפח לאורך קטע.

מטרות למידה CHA-5.C: חישוב נפחי גופי סיבוב באמצעות אינטגרלים מוגדרים.

CHA-5.C.2 נפחי גופי סיבוב סביב כל קו אופקי אנכי במישור ניתן לחשב באמצעות אינטגרלים מוגדרים בשיטת הדיסק.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

When the axis of revolution is a horizontal or vertical line like $y=k$ (not an axis), the radius adjusts: $R=|f(x)-k|$. Set up the radius as the distance from the curve to that line, then integrate $\pi R^2$ as before.

8.11

Volume with Washer Method: Revolving Around the x- or y-Axis

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.3 Volumes of solids of revolution around the $x$- or $y$-axis whose cross sections are ring shaped may be found using definite integrals with the washer method.

עברית

הבנה מתמשכת (CHA-5): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות להצטברות שינוי בשטח או בנפח לאורך קטע.

מטרות למידה CHA-5.C: חישוב נפחי גופי סיבוב באמצעות אינטגרלים מוגדרים.

CHA-5.C.3 נפחי גופי סיבוב סביב ציר ה-$x$ או ציר ה-$y$ שחוציהם בצורת טבעת ניתן לחשב באמצעות אינטגרלים מוגדרים בשיטת החליפה.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

Volume by the washer method

If the region does not touch the axis, revolving leaves a hole, so cross sections are washers (rings). The washer method 垫圈法 subtracts the inner disc:

$$V=\pi\int_a^b\Big(R_{\text{outer}}^2-R_{\text{inner}}^2\Big)\,dx.$$

Identify the outer and inner radii as distances from each curve to the axis.

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
washer method/ˈwɒʃə ˈmeθəd/	שיטת העוגה

8.12

Volume with Washer Method: Revolving Around Other Axes

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.4 Volumes of solids of revolution around any horizontal or vertical line whose cross sections are ring shaped may be found using definite integrals with the washer method.

עברית

הבנה מתמשכת (CHA-5): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות להצטברות שינוי בשטח או בנפח לאורך קטע.

מטרות למידה CHA-5.C: חישוב נפחי גופי סיבוב באמצעות אינטגרלים מוגדרים.

CHA-5.C.4 נפחי גופי סיבוב סביב כל קו אופקי אנכי שחוציהם בצורת טבעת ניתן לחשב באמצעות אינטגרלים מוגדרים בשיטת החליפה.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

As with discs, revolving around a line $y=k$ or $x=k$ shifts both radii – each becomes the distance from its curve to that line. Sketch the region and the axis, label $R_{\text{outer}}$ and $R_{\text{inner}}$, then integrate the difference of squares.

8.13

The Arc Length of a Smooth Curve and Distance Traveled

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-6): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in length over an interval.

Learning Objective CHA-6.A: Determine the length of a curve in the plane defined by a function, using a definite integral. BC ONLY

CHA-6.A.1 The length of a planar curve defined by a function can be calculated using a definite integral. BC ONLY

עברית

הבנה מתמשכת (CHA-6): אינטגרלים מסוימים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות לאגריגציה של שינוי באורך על פני מרווח.

מטרות למידה CHA-6.A: לחשב את אורך העקומה במישור המוגדר על ידי פונקציה, באמצעות אינטגרל מסוים. רק BC

CHA-6.A.1 אורך של עקומה מישורית המוגדרת על ידי פונקציה ניתן לחישוב באמצעות אינטגרל מסוים. רק BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

The arc length 弧长 of $y=f(x)$ from $a$ to $b$ is

$$L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx.$$

This BC-only formula comes from summing tiny hypotenuses $\sqrt{dx^2+dy^2}$. The same idea gives the distance a particle travels along a curved path.

Worked example. Find the arc length of $y=\tfrac{2}{3}x^{3/2}$ from $x=0$ to $x=3$. Here $f'(x)=x^{1/2}$, so $1+(f')^2=1+x$ and

$$L=\int_0^3\sqrt{1+x}\,dx=\left[\tfrac{2}{3}(1+x)^{3/2}\right]_0^3=\tfrac{2}{3}(8-1)=\tfrac{14}{3}.$$

The Golden Gate Bridge and its sweeping main cables — The bridge's main cable hangs as a smooth curve; an integral gives its exact length

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
arc length/ɑːk leŋθ/	אורך קשת

8.13

Exam tips

Area between curves is $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — find the intersection points for the limits and keep top minus bottom.
For a volume of revolution, add up disc/washer cross-sections of area $\pi r^2$ (or $\pi(R^2-r^2)$).
The average value of $f$ on $[a,b]$ is $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
Accumulated change is $\int$ of a rate: total = initial value $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
Integration means "adding up infinitely many tiny pieces" — set up the integrand as one thin slice.

Parametric Equations, Polar Coordinates, and Vector-Valued Functions · ⁨משוואות פרמטריות, קואורדינטות קוטביות ופונקציות בעלות ערך וקטורי⁩

Watch lesson · ⁨צפה בשיעור⁩

Open this topic on its own page · ⁨פתח נושא זה בדף עצמאי⁩

9.1

Defining and Differentiating Parametric Equations

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.G: Calculate derivatives of parametric functions. BC ONLY

CHA-3.G.1 Methods for calculating derivatives of real-valued functions can be extended to parametric functions. BC ONLY
CHA-3.G.2 For a curve defined parametrically, the value of $\dfrac{dy}{dx}$ at a point on the curve is the slope of the line tangent to the curve at that point. $\dfrac{dy}{dx}$, the slope of the line tangent to a curve defined using parametric equations, can be determined by dividing $\dfrac{dy}{dt}$ by $\dfrac{dx}{dt}$, provided $\dfrac{dx}{dt}$ does not equal zero. BC ONLY

עברית

הבנה נשארית (CHA-3): נגזרות מאפשרות לנו לפתור בעיות מהעולם האמיתי הקשורות לקצבי שינוי.

מטרות למידה CHA-3.G: לחשב נגזרות של פונקציות פרמטריות. רק BC

CHA-3.G.1 שיטות לחישוב נגזרות של פונקציות בעלות ערכים ממשיים ניתנות להרחבה לפונקציות פרמטריות. רק BC
CHA-3.G.2 לעקומה המוגדרת פרמטרית, ערך $\dfrac{dy}{dx}$ בנקודה כלשהי על העקומה הוא השיפוע של הישר המשיק לעקומה בנקודה זו. $\dfrac{dy}{dx}$, השיפוע של הישר המשיק לעקומה המוגדרת באמצעות משוואות פרמטריות, ניתן לקבוע על ידי חלוקת $\dfrac{dy}{dt}$ ב-$\dfrac{dx}{dt}$, בתנאי ש-$\dfrac{dx}{dt}$ אינו שווה לאפס. רק BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

The ISS in orbit: parametric equations describe position as a function of time

Parametric equations 参数方程 give $x$ and $y$ each as functions of a parameter $t$ (often time): $x=x(t)$, $y=y(t)$. They trace a curve that need not be a function of $x$. The slope of the curve is found with the chain rule:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}\qquad(dx/dt\neq0).$$

Worked example. For $x=t^2$, $y=t^3-t$, find the slope at $t=2$. Here $\dfrac{dx}{dt}=2t$ and $\dfrac{dy}{dt}=3t^2-1$, so $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2-1}{2t}$; at $t=2$ this is $\dfrac{11}{4}$.

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
Parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/	משוואות פרמטריות

9.2

Second Derivatives of Parametric Equations

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.G: Calculate derivatives of parametric functions. BC ONLY

CHA-3.G.3 $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$ can be calculated by dividing $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)$ by $\dfrac{dx}{dt}$. BC ONLY

עברית

הבנה נשארית (CHA-3): נגזרות מאפשרות לנו לפתור בעיות מהעולם האמיתי הקשורות לקצבי שינוי.

מטרות למידה CHA-3.G: לחשב נגזרות של פונקציות פרמטריות. רק BC

CHA-3.G.3 $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$ ניתן לחישוב על ידי חלוקת $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)$ ב-$\dfrac{dx}{dt}$. רק BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

The second derivative is not $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. Instead, differentiate the first derivative with respect to $t$, then divide by $dx/dt$ again:

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}.$$

Use it to test concavity of a parametric curve.

9.3

Finding Arc Lengths of Curves Given by Parametric Equations

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-6): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in length over an interval.

Learning Objective CHA-6.B: Determine the length of a curve in the plane defined by parametric functions, using a definite integral. BC ONLY

CHA-6.B.1 The length of a parametrically defined curve can be calculated using a definite integral. BC ONLY

עברית

הבנה מתמשכת (CHA-6): אינטגרלים מסוימים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות לאגריגציה של שינוי באורך על פני מרווח.

מטרות למידה CHA-6.B: לחשב את אורך העקומה במישור המוגדר על ידי פונקציות פרמטריות, באמצעות אינטגרל מסוים. רק BC

CHA-6.B.1 אורך של עקומה המוגדרת פרמטרית ניתן לחישוב באמצעות אינטגרל מסוים. רק BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

The length of a parametric curve for $t$ from $a$ to $b$ is

$$L=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt.$$

This is the parametric version of arc length – summing tiny hypotenuses $\sqrt{dx^2+dy^2}$ over the parameter.

9.4

Defining and Differentiating Vector-Valued Functions

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.H: Calculate derivatives of vector-valued functions. BC ONLY

CHA-3.H.1 Methods for calculating derivatives of real-valued functions can be extended to vector-valued functions. BC ONLY

עברית

הבנה נשארית (CHA-3): נגזרות מאפשרות לנו לפתור בעיות מהעולם האמיתי הקשורות לקצבי שינוי.

מטרות למידה CHA-3.H: לחשב נגזרות של פונקציות בעלות ערכים וקטורים. רק BC

CHA-3.H.1 שיטות לחישוב נגזרות של פונקציות בעלות ערכים ממשיים ניתנות להרחבה לפונקציות בעלות ערכים וקטורים. רק BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

A vector-valued function 向量值函数 $\vec{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ gives a position vector for each $t$. Differentiate component-wise: the velocity is $\vec{v}(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ and the acceleration is $\vec{a}(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$. The speed is the magnitude $|\vec{v}|=\sqrt{x'^2+y'^2}$.

A vector-valued line: start at a, then slide by t lots of the direction b

Explore · ⁨חקור⁩

Add vector-valued components · ⁨הוסיפו רכיבים של וקטור-ערך⁩

A vector-valued function packs an $x(t)$ and $y(t)$ into one vector. Differentiating each component gives the velocity vector, tangent to the path. · ⁨פונקציה בעלת ערך וקטורי אורזת $x(t)$ ו$y(t)$ לתוך וקטור אחד. גזירה של כל רכיב נותנת את וקטור המהירות, המשיק למסלול.⁩

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
vector-valued function/ˈvektə ˈvæljuːd ˈfʌŋkʃn/	פונקציה בעלת ערך וקטורי

9.5

Integrating Vector-Valued Functions

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-8): Solving an initial value problem allows us to determine an expression for the position of a particle moving in the plane.

Learning Objective FUN-8.A: Determine a particular solution given a rate vector and initial conditions. BC ONLY

FUN-8.A.1 Methods for calculating integrals of real-valued functions can be extended to parametric or vector-valued functions. BC ONLY

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-8): פתרון בעיית ערך התחתי מאפשר לנו לקבוע ביטוי למיקום חלקיק הנע במישור.

מטרות למידה FUN-8.A: לקבוע פתרון ספציפי בהינתן וקטור קצב ותנאי התחלה. רק BC

FUN-8.A.1 שיטות לחישוב אינטגרלים של פונקציות בעלות ערכים ממשיים ניתנות להרחבה לפונקציות פרמטריות או וקטוריות. רק BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

Integrate a vector function component by component. Given acceleration or velocity plus an initial condition, integrate each component and use the condition to find the constants – recovering velocity from acceleration, or position from velocity.

9.6

Solving Motion Problems Using Parametric and Vector-Valued Functions

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-8): Solving an initial value problem allows us to determine an expression for the position of a particle moving in the plane.

Learning Objective FUN-8.B: Determine values for positions and rates of change in problems involving planar motion. BC ONLY

FUN-8.B.1 Derivatives can be used to determine velocity, speed, and acceleration for a particle moving along a curve in the plane defined using parametric or vector-valued functions. BC ONLY
FUN-8.B.2 For a particle in planar motion over an interval of time, the definite integral of the velocity vector represents the particle's displacement (net change in position) over the interval of time, from which we might determine its position. The definite integral of speed represents the particle's total distance traveled over the interval of time. BC ONLY

עברית

הבנה מתמשכת (FUN-8): פתרון בעיית ערך התחתי מאפשר לנו לקבוע ביטוי למיקום חלקיק הנע במישור.

מטרות למידה FUN-8.B: קביעת ערכים עבור מיקום וקצבי שינוי בבעיות הכוללות תנועה במישור. רק BC

FUN-8.B.1 נגזרות יכולות לשמש לקביעת מהירות, טווח (speed) ותאוצה לגוף הנע לאורך עקומה במישור המוגדר באמצעות פונקציות פרמטריות או וקטוריות. רק BC
FUN-8.B.2 עבור גוף בתנועה במישור במהלך מרווח זמן נתון, האינטגרל המוגדר של וקטור המהירות מייצג את הזזה (שינוי נקי במיקום) של הגוף במרווח הזמן, וממנו ניתן לקבוע את מיקומו. האינטגרל המוגדר של הטווח (speed) מייצג את המרחק הכולל שנסע הגוף במרווח הזמן. רק BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

For a particle moving in a plane: position is $\langle x(t),y(t)\rangle$, velocity and acceleration are its derivatives, speed is $|\vec v|$, and the distance traveled over $[a,b]$ is

$$\int_a^b\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt.$$

Exam skill: these plane-motion problems appear on the BC free-response nearly every year – be fluent finding speed, the position at a later time (initial point plus the integral of velocity), and total distance.

Worked example. A particle has position $\langle t^2,\ t^3-t\rangle$. Its velocity is $\langle 2t,\ 3t^2-1\rangle$, so at $t=1$ the velocity is $\langle 2,\ 2\rangle$ and the speed is $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$. Its position at $t=2$ is $\langle 4,\ 6\rangle$.

9.7

Defining Polar Coordinates and Differentiating in Polar Form

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.G: Calculate derivatives of functions written in polar coordinates. BC ONLY

FUN-3.G.1 Methods for calculating derivatives of real-valued functions can be extended to functions in polar coordinates. BC ONLY
FUN-3.G.2 For a curve given by a polar equation $r = f(\theta)$, derivatives of $r$, $x$, and $y$ with respect to $\theta$, and first and second derivatives of $y$ with respect to $x$ can provide information about the curve. BC ONLY

עברית

הבנה עומדת (FUN-3): זיהוי הזדמנויות ליישום כללי נגזירות יכול לפשט תהליך הנגזור.

מטרות למידה FUN-3.G: חישוב נגזרות של פונקציות הכתובות בקואורדינטות קוטביות. רק BC

FUN-3.G.1 שיטות לחישוב נגזרות של פונקציות בעלות ערכים ממשיים ניתנות להרחבה לפונקציות בקואורדינטות קוטביות. רק BC
FUN-3.G.2 לעקומה הנתונה על ידי משוואה קוטבית $r = f(\theta)$, נגזרות של $r$, $x$ ו$y$ ביחס ל$\theta$, וכן נגזרות ראשונה ושנייה של $y$ ביחס ל$x$, יכולות לספק מידע על העקומה. רק BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

Tracing a polar curve

Polar coordinates 极坐标 locate a point by its distance $r$ from the origin and angle $\theta$: convert with $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$. A polar curve $r=f(\theta)$ is a parametric curve in $\theta$, so its slope is

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta},\quad\text{with } x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta.$$

Polar coordinates give a point by its distance r and angle theta

Explore · ⁨חקור⁩

Plot a polar curve · ⁨שרטטו עקום בקואורדינטות קוטביות⁩

In polar coordinates a point is a distance $r$ at angle $\theta$. Letting $r$ depend on $\theta$ traces curves like this cardioid. · ⁨בקואורדינטות קוטביות, נקודה היא במרחק $r$ בזווית $\theta$. כאשר $r$ תלוי ב$\theta$, נוצרים עקומים כמו הקארדיודה הזו.⁩

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
Polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/	מערכת קואורדינצות קוטבית

9.8

Finding the Area of a Polar Region

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.D: Calculate areas of regions defined by polar curves using definite integrals. BC ONLY

CHA-5.D.1 The concept of calculating areas in rectangular coordinates can be extended to polar coordinates. BC ONLY

עברית

הבנה מתמשכת (CHA-5): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות להצטברות שינוי בשטח או בנפח לאורך קטע.

מטרות למידה CHA-5.D: חישוב שטחים של אזורים המוגדרים על ידי עקומות קוטביות באמצעות אינטגרלים מוגדרים. רק BC

CHA-5.D.1 הרעיון של חישוב שטחים בקואורדינטות רטגולריות ניתן להרחבה לקואורדינטות קוטביות. רק BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

The area swept out by a polar curve $r=f(\theta)$ from $\alpha$ to $\beta$ is

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta \big(f(\theta)\big)^2\,d\theta.$$

The region is a "fan" of thin triangular sectors; choosing the correct $\theta$-limits (where the curve starts and finishes tracing the region) is the main challenge.

Worked example. Find the area of one petal of the rose $r=2\sin(2\theta)$ (traced for $\theta$ from $0$ to $\tfrac{\pi}{2}$). Using $\sin^2 u=\tfrac12(1-\cos 2u)$,

$$A=\frac12\int_0^{\pi/2}(2\sin 2\theta)^2\,d\theta=\int_0^{\pi/2}(1-\cos 4\theta)\,d\theta=\left[\theta-\tfrac{\sin 4\theta}{4}\right]_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}.$$

The area of a polar region is swept out as one half the integral of r squared d theta — The shaded region is a fan of thin sectors swept from $\alpha$ to $\beta$; each has area $\tfrac12 r^2\,d\theta$, so the total is $\tfrac12\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$.

9.9

Finding the Area of the Region Bounded by Two Polar Curves

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.D: Calculate areas of regions defined by polar curves using definite integrals. BC ONLY

CHA-5.D.2 Areas of regions bounded by polar curves can be calculated with definite integrals. BC ONLY

עברית

הבנה מתמשכת (CHA-5): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות להצטברות שינוי בשטח או בנפח לאורך קטע.

מטרות למידה CHA-5.D: חישוב שטחים של אזורים המוגדרים על ידי עקומות קוטביות באמצעות אינטגרלים מוגדרים. רק BC

CHA-5.D.2 שטחים של אזורים החסומים על ידי עקומות קוטביות ניתנים לחישוב באמצעות אינטגרלים מוגדרים. רק BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

For the area between an outer curve $r_1$ and an inner curve $r_2$, subtract the sectors:

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta\big(r_1^2-r_2^2\big)\,d\theta.$$

Find the intersection angles first (set $r_1=r_2$), and be careful which curve is outer over each interval – they can swap.

9.9

Exam tips

For parametric curves, $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/dt}{dx/dt}$; speed is $\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}$.
A vector-valued function carries the same information — differentiate/integrate it component by component.
In polar, convert with $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$; area swept is $\tfrac12\int r^2\,d\theta$.
Watch the direction of tracing (the sign of $dx/dt$) and set correct $\theta$-limits for polar area.
Eliminate the parameter to recover the ordinary $y$-vs-$x$ shape when it helps.

Infinite Sequences and Series · ⁨סדרות אינסופיות וסכומים⁩

Watch lesson · ⁨צפה בשיעור⁩

Open this topic on its own page · ⁨פתח נושא זה בדף עצמאי⁩

10.1

Defining Convergent and Divergent Infinite Series · ⁨הגדרת סדרות אינסופיות מתכנסות ומתפצלות⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.1 The $n$th partial sum is defined as the sum of the first $n$ terms of a series. BC ONLY
LIM-7.A.2 An infinite series of numbers converges to a real number $S$ (or has sum $S$), if and only if the limit of its sequence of partial sums exists and equals $S$. BC ONLY

עברית

הבנה מתמשכת (LIM-7): שימוש בגבולות יכול לאפשר לנו לחשב סכום סופי של אינסוף איברים.

מטרת למידה LIM-7.A: לקבוע האם סדרה מתכנסת או מתפשטת. רק BC

LIM-7.A.1 הסכום החלקי ה$n$ מוגדר כסכום $n$ האיברים הראשונים של סדרה. רק BC
LIM-7.A.2 סדרה אינסופית של מספרים מתכנסת למספר ממשי $S$ (או שיש לה סכום $S$), אם ורק אם הגבול של רצף הסכומים החלקיים שלה קיים ושווה ל$S$. רק BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

An infinite series 无穷级数 adds infinitely many terms, $\sum_{n=1}^\infty a_n$. Its value is defined as the limit of the partial sums 部分和 $S_N=a_1+a_2+\cdots+a_N$. If $S_N$ approaches a finite number $L$, the series converges 收敛 to $L$; otherwise it diverges 发散. Every convergence question is really a question about the limit of the partial sums.

עברית

בובות מצטיבה בתוך בובה: סדרה אינסופית ממשיכה להוסיף איברים — חלקם מתכנסים, חלקם מתפצלים

סדרה אינסופית מוסיפה איברים אינסופיים, $\sum_{n=1}^\infty a_n$. הערך שלה מוגדר כגבול ה-סכמים חלקיים $S_N=a_1+a_2+\cdots+a_N$. אם $S_N$ שואף למספר סופי $L$, הסדרה מתכנסת ל$L$; אחרת היא מתפצלת. כל שאלת התכנסות היא למעשה שאלה לגבי הגבול של הסכמים חלקיים.

הסכמים חלקיים של סדרה גיאומטרית מתכנסת עולים לעבר a מעל 1 מינוס r — עבור הסדרה הגיאומטרית עם $a=1,\ r=\tfrac12$, הסכמים חלקיים $S_1,S_2,S_3,\dots$ עולים לעבר הגבול $\dfrac{a}{1-r}=2$ – גבול זה הוא ערך הסדרה.

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
infinite series/ˈɪnfɪnət ˈsɪəriːz/	סדרה אינסופית
partial sums/ˈpɑːʃl sʌmz/	סכומים חלקיים
converges/kənˈvɜːdʒɪz/	מתכנס
diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/	מתפזר
geometric series/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsɪəriːz/	סדרה גיאומטרית
integral test/ˈɪntɪɡrəl test/	בדיקת אינטגרל
harmonic series/hɑːˈmɒnɪk ˈsɪəriːz/	הסדרה ההרמונית
Direct comparison/daɪˈrekt kəmˈpærɪsn/	השוואה ישירה
Limit comparison/ˈlɪmɪt kəmˈpærɪsn/	השוואת גבול
alternating series/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈsɪəriːz/	סדרות תנודתיות
ratio test/ˈreɪʃɪəʊ test/	בדיקת יחס
converges absolutely/kənˈvɜːdʒɪz ˌæbsəˈluːtli/	מתכנס מוחלט
converges conditionally/kənˈvɜːdʒɪz kənˈdɪʃənəli/	מתכנס תנאי

10.2

Working with Geometric Series · ⁨עבודה עם סדרות גיאומטריות⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.3 A geometric series is a series with a constant ratio between successive terms. BC ONLY
LIM-7.A.4 If $a$ is a real number and $r$ is a real number such that $|r| < 1$, then the geometric series $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \dfrac{a}{1-r}$. BC ONLY

עברית

הבנה מתמשכת (LIM-7): שימוש בגבולות יכול לאפשר לנו לחשב סכום סופי של אינסוף איברים.

מטרת למידה LIM-7.A: לקבוע האם סדרה מתכנסת או מתפשטת. רק BC

LIM-7.A.3 סדרה גיאומטרית היא סדרה בעלת יחס קבוע בין איברים עוקבים. רק BC
LIM-7.A.4 אם $a$ הוא מספר ממשי ו$r$ הוא מספר ממשי כך ש$|r| < 1$, אזי הסדרה הגיאומטרית $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \dfrac{a}{1-r}$. רק BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

Geometric series & convergence

A geometric series 几何级数 $\sum ar^{n}$ has a constant ratio $r$ between terms. It converges exactly when $|r|<1$, and then

$$\sum_{n=0}^\infty ar^n=\frac{a}{1-r}.$$

This is the one series whose sum you can find exactly, and it underlies power series later in the unit.

Worked example. Sum $3+\tfrac32+\tfrac34+\tfrac38+\cdots$. Here $a=3$ and $r=\tfrac12$ (with $|r|<1$), so the sum is $\dfrac{a}{1-r}=\dfrac{3}{1-\tfrac12}=6$.

עברית

סדרה גיאומטרית & התכנסות

סדרה גיאומטרית $\sum ar^{n}$ יש לה יחס קבוע $r$ בין איברים. היא מתכנסת בדיוק כאשר $|r|<1$, ואז

$$\sum_{n=0}^\infty ar^n=\frac{a}{1-r}.$$

זוהי הסדרה היחידה שסכומה ניתן לחישוב מדויק, והיא מהווה בסיס לסדרות כוח במשך היתר בחלק זה.

דוגמה מופת. סכום $3+\tfrac32+\tfrac34+\tfrac38+\cdots$. כאן $a=3$ ו-$r=\tfrac12$ (עם $|r|<1$), ולכן הסכום הוא $\dfrac{a}{1-r}=\dfrac{3}{1-\tfrac12}=6$.

Explore · ⁨חקור⁩

When a geometric series converges · ⁨כאשר סדרה גיאומטרית מתכנסת⁩

A geometric series $\sum ar^n$ converges only when $|r|<1$, summing to $\frac{a}{1-r}$. Change the ratio and watch the partial sums settle or blow up. · ⁨סדרה גיאומטרית $\sum ar^n$ מתכנסת רק כאשר $|r|<1$, ומתכנסת לסכום $\frac{a}{1-r}$. שינוי היחס וצפו אם הסכומים החלקיים מתבססים או מתפוצצים.⁩

10.3

The nth Term Test for Divergence · ⁨מבחן האיבר ה-n להתכנסות⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.5 The $n$th term test is a test for divergence of a series. BC ONLY

עברית

הבנה מתמשכת (LIM-7): שימוש בגבולות יכול לאפשר לנו לחשב סכום סופי של אינסוף איברים.

מטרת למידה LIM-7.A: לקבוע האם סדרה מתכנסת או מתפשטת. רק BC

LIM-7.A.5 מבחן האיבר ה$n$ הוא מבחן להתבדרות של סדרה. רק BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

If the terms do not shrink to zero, the sum cannot settle: if $\lim_{n\to\infty}a_n\neq0$, the series diverges. This is only a test for divergence – if the terms do go to zero, the test is inconclusive (the series may still diverge, like the harmonic series). Always check this quick test first.

עברית

אם האיברים אינם מתקרבים לאפס, הסכום לא יכול להתייצב: אם $\lim_{n\to\infty}a_n\neq0$, הסדרה מתבדרת. מבחן זה משמש רק לבדיקת התבדרות – אם האיברים כן שואפים לאפס, המבחן אינו מחליט (ייתכן שהסדרה עדיין תתבדר, כמו בסדרה ההרמונית). תמיד בדוק מבחן זה מהיר תחילה.

10.4

Integral Test for Convergence · ⁨מבחן האינטגרל להתכנסות⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.6 The integral test is a method to determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

עברית

הבנה מתמשכת (LIM-7): שימוש בגבולות יכול לאפשר לנו לחשב סכום סופי של אינסוף איברים.

מטרת למידה LIM-7.A: לקבוע האם סדרה מתכנסת או מתפשטת. רק BC

LIM-7.A.6 מבחן האינטגרל הוא שיטה לקבוע האם סדרה מתכנסת או מתפצלת. רק BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

If $a_n=f(n)$ for a positive, decreasing, continuous $f$, then $\sum a_n$ and $\int_1^\infty f(x)\,dx$ both converge or both diverge. The integral test 积分判别法 turns a series question into an improper-integral question, and it is what proves the p-series rule below.

עברית

אם $a_n=f(n)$ עבור פונקציה חיובית, יורדת ורציפה $f$, אזי $\sum a_n$ ו-$\int_1^\infty f(x)\,dx$ מתכנסות או מתבדרות שתיהן. מבחן האינטגרל ממיר שאלה על סדרה לשאלה על אינטגרל רגיל, והוא מה שמוכיח את כלל סדרות ה-p למטה.

10.5

Harmonic Series and p-Series · ⁨סדרה הרמונית וסדרות p⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.7 In addition to geometric series, common series of numbers include the harmonic series, the alternating harmonic series, and $p$-series. BC ONLY

עברית

הבנה מתמשכת (LIM-7): שימוש בגבולות יכול לאפשר לנו לחשב סכום סופי של אינסוף איברים.

מטרת למידה LIM-7.A: לקבוע האם סדרה מתכנסת או מתפשטת. רק BC

LIM-7.A.7 מעבר לסדרות גיאומטריות, סדרות מספרים נפוצות כוללות את הסדרה ההרמונית, הסדרה ההרמונית המעורבת והסדרה $p$. רק BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

A p-series $\sum \dfrac{1}{n^p}$ converges if $p>1$ and diverges if $p\le1$. The special case $p=1$, $\sum\dfrac1n$, is the harmonic series 调和级数 – it diverges even though its terms go to zero (a famous, must-know fact). The p-series family is the standard yardstick for comparison tests.

עברית

סדרה p $\sum \dfrac{1}{n^p}$ מתכנסת אם $p>1$ ומתבדרת אם $p\le1$. המקרה המיוחד $p=1$, $\sum\dfrac1n$, הוא הסדרה ההרמונית – היא מתבדרת גם אם איבריה שואפים לאפס (עובדה מפורסמת וחיונית לדעת). משפחת סדרות ה-p היא מדד תקני למבחני השוואה.

10.6

Comparison Tests for Convergence · ⁨מבחני השוואה להתכנסות⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.8 The comparison test is a method to determine whether a series converges or diverges. BC ONLY
LIM-7.A.9 The limit comparison test is a method to determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

עברית

הבנה מתמשכת (LIM-7): שימוש בגבולות יכול לאפשר לנו לחשב סכום סופי של אינסוף איברים.

מטרת למידה LIM-7.A: לקבוע האם סדרה מתכנסת או מתפשטת. רק BC

LIM-7.A.8 מבחן ההשוואה הוא שיטה לקבוע האם סדרה מתכנסת או מתפצלת. רק BC
LIM-7.A.9 מבחן ההשוואה בגבול הוא שיטה לקבוע האם סדרה מתכנסת או מתפצלת. רק BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

Compare an unfamiliar series to a known one (a p-series or geometric series):

Direct comparison 直接比较: if $0\le a_n\le b_n$ and $\sum b_n$ converges, so does $\sum a_n$; if $a_n\ge b_n\ge0$ and $\sum b_n$ diverges, so does $\sum a_n$.
Limit comparison 极限比较: if $\lim\dfrac{a_n}{b_n}$ is a finite positive number, the two series do the same thing. This is easier when the terms only behave like a known series.

עברית

השוו סדרה לא נודעת לסדרה ידועה (סדרת p או סדרה גיאומטרית):

השוואה ישירה: אם $0\le a_n\le b_n$ ו-$\sum b_n$ מתכנסת, גם $\sum a_n$ מתכנסת; אם $a_n\ge b_n\ge0$ ו-$\sum b_n$ מתבדרות, גם $\sum a_n$ מתבדרת.
השוואת גבול: אם $\lim\dfrac{a_n}{b_n}$ הוא מספר חיובי סופי, שתי הסדרות יתנהגו באותו אופן. זה קל יותר כאשר האיברים רק מתנהגים כמו סדרה ידועה.

10.7

Alternating Series Test for Convergence · ⁨מבחן הסדרה המתחלפת להתכנסות⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.10 The alternating series test is a method to determine whether an alternating series converges. BC ONLY

עברית

הבנה מתמשכת (LIM-7): שימוש בגבולות יכול לאפשר לנו לחשב סכום סופי של אינסוף איברים.

מטרת למידה LIM-7.A: לקבוע האם סדרה מתכנסת או מתפשטת. רק BC

LIM-7.A.10 מבחן הסדרה המעורבת הוא שיטה לקבוע האם סדרה מעורבת מתכנסת. רק BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

An alternating series 交错级数 has terms that switch sign, $\sum(-1)^n b_n$. It converges if the $b_n$ are positive, decreasing, and $\lim b_n=0$. This lets series like $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$ converge even though the same terms without the signs (the harmonic series) diverge.

עברית

סדרה מתחלפת היא סדרה שבה האיברים משנים סימן, $\sum(-1)^n b_n$. היא מתכנסת אם ה-$b_n$ הם חיוביים, יורדים ושואפים ל-$\lim b_n=0$. דבר זה מאפשר לסדרות כמו $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$ להתכנס גם אם אותם איברים ללא הסימנים (הסדרה ההרמונית) מתבדרים.

10.8

Ratio Test for Convergence · ⁨מבחן היחס להתכנסות⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.11 The ratio test is a method to determine whether a series of numbers converges or diverges. BC ONLY
- Exclusion statement: The nth term test for divergence, and the integral test, comparison test, limit comparison test, alternating series test, and ratio test for convergence are assessed on the AP Calculus BC Exam. Other methods are not assessed on the exam. However, teachers may include additional methods in the course, if time permits.

עברית

הבנה מתמשכת (LIM-7): שימוש בגבולות יכול לאפשר לנו לחשב סכום סופי של אינסוף איברים.

מטרת למידה LIM-7.A: לקבוע האם סדרה מתכנסת או מתפשטת. רק BC

LIM-7.A.11 מבחן היחס הוא שיטה לקבוע האם סדרת מספרים מתכנסת או מתפצלת. רק BC
- הצהרת חריגה: מבחן האיבר ה-n להתפצלות, ומבחני האינטגרל, ההשוואה, ההשוואה בגבול, הסדרה המעורבת והיחס להתכנסות נבדקים במבחן AP קלקולוס BC. שיטות אחרות אינן נבדקות במבחן. עם זאת, מורים עשויים לכלול שיטות נוספות בקורס, אם יש להם זמן.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

The ratio test 比值判别法 examines $L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$:

$L<1$: the series converges absolutely;
$L>1$: it diverges;
$L=1$: inconclusive.

It is the go-to test for series with factorials or $n$th powers, and it is exactly how you find the radius of convergence of a power series.

Worked example. Test $\displaystyle\sum \frac{n}{2^n}$. The ratio is $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\dfrac{2^n}{n}=\dfrac{n+1}{2n}\to\dfrac12<1$, so the series converges.

עברית

מבחן היחס בודק את $L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$:

$L<1$: הסדרה מתכנסת מוחלט;
$L>1$: היא מתבדרת;
$L=1$: לא חד-משמעי.

זהו המבחן הנפוץ ביותר לסדרות עם פקטוריאלים או $n$ מערכות, והוא בדיוק האופן שבו מוצאים את רדיוס ההתכנסות של סדרה חזקות.

דוגמה מופרשת. נבדוק את $\displaystyle\sum \frac{n}{2^n}$. היחס הוא $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\dfrac{2^n}{n}=\dfrac{n+1}{2n}\to\dfrac12<1$, ולכן הסדרה מתכנסת.

10.9

Determining Absolute or Conditional Convergence · ⁨קביעת התכנסות מוחלטת או תנאיית⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.12 A series may be absolutely convergent, conditionally convergent, or divergent. BC ONLY
LIM-7.A.13 If a series converges absolutely, then it converges. BC ONLY
LIM-7.A.14 If a series converges absolutely, then any series obtained from it by regrouping or rearranging the terms has the same value. BC ONLY

עברית

הבנה מתמשכת (LIM-7): שימוש בגבולות יכול לאפשר לנו לחשב סכום סופי של אינסוף איברים.

מטרת למידה LIM-7.A: לקבוע האם סדרה מתכנסת או מתפשטת. רק BC

LIM-7.A.12 סדרה עשויה להיות מתכנסת מוחלטת, מתכנסת תנאיית או מתפצלת. רק BC
LIM-7.A.13 אם סדרה מתכנסת מוחלטת, אז היא מתכנסת. רק BC
LIM-7.A.14 אם סדרה מתכנסת מוחלטת, אז כל סדרה שנובעת ממנה על ידי קיבוצים מחודשים או טיוטת איברים תהיה בעלת אותה ערך. רק BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

A series converges absolutely 绝对收敛 if $\sum|a_n|$ converges. It converges conditionally 条件收敛 if $\sum a_n$ converges but $\sum|a_n|$ diverges (the classic example is $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$). Absolute convergence is the stronger property; conditional convergence relies on the cancellation of signs.

עברית

סדרה מתכנסת מוחלטת אם $\sum|a_n|$ מתכנסת. היא מתכנסת תנאיית אם $\sum a_n$ מתכנסת אך $\sum|a_n|$ מתפשטת (הדוגמה הקלאסית היא $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$). התכנסות מוחלטת היא תכונה חזקה יותר; התכנסות תנאיית מסתמכת על ביטול סימנים.

10.10

Alternating Series Error Bound · ⁨גבול טעות בסדרה משתנה סימן⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.B: Approximate the sum of a series. BC ONLY

LIM-7.B.1 If an alternating series converges by the alternating series test, then the alternating series error bound can be used to bound how far a partial sum is from the value of the infinite series. BC ONLY

עברית

הבנה מתמשכת (LIM-7): שימוש בגבולות יכול לאפשר לנו לחשב סכום סופי של אינסוף איברים.

מטרת למידה LIM-7.B: לקרוב את סכום הסדרה. רק BC

LIM-7.B.1 אם סדרה סימן-חלופית מתכנסת לפי בדיקת הסימן-החלופי, ניתן להשתמש בגביל השגיאה לסדרה זו כדי לגבול עד כמה הסכום החלקי רחוק מערך הסדרה האינסופית. רק BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

For a convergent alternating series, the error in stopping at the $N$th partial sum is no larger than the first omitted term:

$$|S-S_N|\le b_{N+1}.$$

This simple, powerful bound lets you say how many terms guarantee a desired accuracy.

עברית

לסדרה משתנה סימן מתכנסת, הטעות בעצירה בסיכום חלקי ה-$N$ אינה גדולה מהאיבר הראשון שנעזב:

$$|S-S_N|\le b_{N+1}.$$

גבול פשוט וחזק זה מאפשר לקבוע כמה איברים מבטיחים דיוק רצוי.

10.11

Finding Taylor Polynomial Approximations of Functions · ⁨מציאת קירובים של פולינומי טיילור לפונקציות⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (LIM-8): Power series allow us to represent associated functions on an appropriate interval.

Learning Objective LIM-8.A: Represent a function at a point as a Taylor polynomial. BC ONLY

LIM-8.A.1 The coefficient of the $n$th degree term in a Taylor polynomial for a function $f$ centered at $x = a$ is $\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}$. BC ONLY
LIM-8.A.2 In many cases, as the degree of a Taylor polynomial increases, the $n$th degree polynomial will approach the original function over some interval. BC ONLY

Learning Objective LIM-8.B: Approximate function values using a Taylor polynomial. BC ONLY

LIM-8.B.1 Taylor polynomials for a function $f$ centered at $x = a$ can be used to approximate function values of $f$ near $x = a$. BC ONLY

עברית

הבנה מתמשכת (LIM-8): סדרות כוח מאפשרות לנו לייצג פונקציות הקשורות להן בתחום מתאים.

מטרת למידה LIM-8.A: לייצג פונקציה בנקודה כפולינום טיילור. רק BC

LIM-8.A.1 המקדם של האיבר בדרגה ה$n$ בפולינום טיילור עבור פונקציה $f$ הממוקד ב$x = a$ הוא $\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}$. רק BC
LIM-8.A.2 במקרים רבים, ככל שהדרגה של פולינום טיילור עולה, הפולינום בדרגה ה$n$ יתקרב לפונקציה המקורית בתחום כלשהו. רק BC

מטרת למידה LIM-8.B: לקרוב ערכי פונקציה באמצעות פולינום טיילור. רק BC

LIM-8.B.1 פולינומי טיילור עבור פונקציה $f$ הממוקדים ב$x = a$ יכולים לשמש לקירוב ערכי פונקציה של $f$ בקרבת $x = a$. רק BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

Taylor series approximation

A Taylor polynomial 泰勒多项式 approximates a function near a center $x=a$ using its derivatives there:

$$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.$$

Each added term matches one more derivative, so the polynomial hugs the curve more closely near $a$. Centered at $a=0$ it is a Maclaurin polynomial.

Exam skill: be able to build a Taylor polynomial from a table of derivative values and use it to estimate a function value.

עברית

קירוב סדרת טיילור

פולינום טיילור מקרב פונקציה בקרבת מרכז $x=a$ באמצעות הנגזרות שלה שם:

$$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.$$

כל איבר נוסף תואם נגזרת נוספת, כך שהפולינום עוטף את העקומה בצורה צמודה יותר בקרבת $a$. כאשר המרכז הוא $a=0$, מדובר ב-פולינום מקלורן.

פולינומי טיילור של sin x עוטפים את העקומה בצורה צמודה ככל שהמעלה גדלה — פולינומי המקלורן של $\sin x$ – $T_1=x$, $T_3$, $T_5$ – כל אחד מהם תואם נגזרת נוספת ב-$0$, ולכן כל אחד עוטף את $\sin x$ בטווח רחב יותר לפני שהוא מתנתק.

מיומנות לבחינה: יכולת לבנות פולינום טיילור מתוך טבלת ערכי נגזרות ולהשתמש בו להערכת ערך פונקציה.

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
Taylor polynomial/ˈteɪlə ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/	פולינום טיילור
Lagrange error bound/ˈlæɡreɪndʒ ˈerə baʊnd/	גבול שגיאת לאג'רנג'
power series/ˈpaʊə ˈsɪəriːz/	סדרת חזקות
radius of convergence/ˈreɪdɪəs ɒv kənˈvɜːdʒəns/	רדיוס התכנסות
interval of convergence/ˈɪntəvl ɒv kənˈvɜːdʒəns/	מרווח התכנסות

10.12

Lagrange Error Bound · ⁨גבול טעות לאגראנג'⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (LIM-8): Power series allow us to represent associated functions on an appropriate interval.

Learning Objective LIM-8.C: Determine the error bound associated with a Taylor polynomial approximation. BC ONLY

LIM-8.C.1 The Lagrange error bound can be used to determine a maximum interval for the error of a Taylor polynomial approximation to a function. BC ONLY
LIM-8.C.2 In some situations, the alternating series error bound can be used to bound the error of a Taylor polynomial approximation to the value of a function. BC ONLY

עברית

הבנה מתמשכת (LIM-8): סדרות כוח מאפשרות לנו לייצג פונקציות הקשורות להן בתחום מתאים.

מטרת למידה LIM-8.C: לקבוע את גביל השגיאה הקשור לקירוב על ידי פולינום טיילור. רק BC

LIM-8.C.1 ניתן להשתמש בגביל שגיאת לאג'ראנז' כדי לקבוע תחום מקסימלי לשגיאה של קירוב פולינום טיילור לפונקציה. רק BC
LIM-8.C.2 במצבים מסוימים, ניתן להשתמש בגביל השגיאה לסדרה סימן-חלופית כדי לגבול את השגיאה של קירוב פולינום טיילור לערך הפונקציה. רק BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

The Lagrange error bound 拉格朗日误差界 bounds how far a Taylor polynomial can be from the true value:

$$|R_n(x)|\le\frac{\max\big|f^{(n+1)}(z)\big|}{(n+1)!}\,|x-a|^{\,n+1}.$$

You bound the $(n+1)$th derivative on the interval, then compute – the standard way to prove a Taylor estimate is accurate enough.

עברית

גבול טעות לאגראנג' מגדיד עד כמה פולינום טיילור יכול להיות רחוק מהערך האמיתי:

$$|R_n(x)|\le\frac{\max\big|f^{(n+1)}(z)\big|}{(n+1)!}\,|x-a|^{\,n+1}.$$

אנחנו מגדילים את ה-$(n+1)$ הנגזרת בטווח, ולאחר מכן מחשבים – השיטה הסטנדרטית להוכיח שמערכת טיילור מדויקת מספיק.

10.13

Radius and Interval of Convergence of Power Series · ⁨רדיוס וטווח ההתכנסות של סדרות חזקות⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (LIM-8): Power series allow us to represent associated functions on an appropriate interval.

Learning Objective LIM-8.D: Determine the radius of convergence and interval of convergence for a power series. BC ONLY

LIM-8.D.1 A power series is a series of the form $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-r)^n$, where $n$ is a non-negative integer, $\{a_n\}$ is a sequence of real numbers, and $r$ is a real number. BC ONLY
LIM-8.D.2 If a power series converges, it either converges at a single point or has an interval of convergence. BC ONLY
LIM-8.D.3 The ratio test can be used to determine the radius of convergence of a power series. BC ONLY
LIM-8.D.4 The radius of convergence of a power series can be used to identify an open interval on which the series converges, but it is necessary to test both endpoints of the interval to determine the interval of convergence. BC ONLY
LIM-8.D.5 If a power series has a positive radius of convergence, then the power series is the Taylor series of the function to which it converges over the open interval. BC ONLY
LIM-8.D.6 The radius of convergence of a power series obtained by term-by-term differentiation or term-by-term integration is the same as the radius of convergence of the original power series. BC ONLY

עברית

הבנה מתמשכת (LIM-8): סדרות כוח מאפשרות לנו לייצג פונקציות הקשורות להן בתחום מתאים.

מטרת למידה LIM-8.D: לקבוע את רדיוס התכנסות ותחום התכנסות עבור סדרת כוח. רק BC

LIM-8.D.1 סדרת חזקות היא סדרה מהצורה $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-r)^n$, כאשר $n$ הוא מספר שלם לא שלילי, $\{a_n\}$ היא סדרה של מספרים ממשיים, ו$r$ הוא מספר ממשי. רק BC
LIM-8.D.2 אם סדרת חזקות מתכנסת, היא או מתכנסת בנקודה אחת בלבד, או יש לה תחום התכנסות. רק BC
LIM-8.D.3 ניתן להשתמש במבחן היחס כדי לקבוע את רדיוס ההתכנסות של סדרת חזקות. רק BC
LIM-8.D.4 רדיוס ההתכנסות של סדרת חזקות יכול לשמש לזיהוי תחום פתוח שבו הסדרה מתכנסת, אך נדרש לבדוק גם את קצוות התחום כדי לקבוע את תחום ההתכנסות. רק BC
LIM-8.D.5 אם לסדרת חזקות יש רדיוס התכנסות חיובי, אזי סדרת החזקות היא סדרת טיילור של הפונקציה אליה היא מתכנסת בתחום הפתוח. רק BC
LIM-8.D.6 רדיוס ההתכנסות של סדרת חזקות שהושגה על ידי גזירה איבר-אחר-איבר או אינטגרציה איבר-אחר-איבר זהה לרדיוס ההתכנסות של סדרת החזקות המקורית. רק BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

A power series 幂级数 $\sum c_n(x-a)^n$ converges for $x$ within a radius of convergence 收敛半径 $R$ of the center $a$. Find $R$ with the ratio test. Then test the two endpoints separately (the ratio test is inconclusive there) to state the full interval of convergence 收敛区间 – including or excluding each endpoint.

Worked example. Find the radius of convergence of $\displaystyle\sum \frac{x^n}{n}$. The ratio test gives $\left|\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\cdot\dfrac{n}{x^n}\right|=|x|\dfrac{n}{n+1}\to|x|$, which is $<1$ when $|x|<1$, so $R=1$. Testing the endpoints, $x=-1$ gives the convergent alternating harmonic series and $x=1$ the divergent harmonic series, so the interval is $[-1,1)$.

עברית

סדרת חזקות $\sum c_n(x-a)^n$ מתכנסת עבור $x$ בתוך רדיוס התכנסות $R$ מהמרכז $a$. מצאו את $R$ באמצעות מבחן היחס. לאחר מכן, בדקו את שני נקודות הקצה בנפרד (מבחן היחס לא חד-משמעי שם) כדי לנסח את טווח ההתכנסות המלא – כולל או לא כולל כל נקודת קצה.

דוגמה מופרשת. מצאו את רדיוס ההתכנסות של $\displaystyle\sum \frac{x^n}{n}$. מבחן היחס נותן $\left|\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\cdot\dfrac{n}{x^n}\right|=|x|\dfrac{n}{n+1}\to|x|$, שהוא $<1$ כאשר $|x|<1$, ולכן $R=1$. בבדיקת נקודות הקצה, $x=-1$ נותן את סדרת הלוגריתמים המשנית המתכנסת ו-$x=1$ את סדרת הלוגריתמים המתפשטת, ולכן הטווח הוא $[-1,1)$.

10.14

Finding Taylor or Maclaurin Series for a Function · ⁨מציאת סדרת טיילור או מקלורין לפונקציה⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (LIM-8): Power series allow us to represent associated functions on an appropriate interval.

Learning Objective LIM-8.E: Represent a function as a Taylor series or a Maclaurin series. BC ONLY

LIM-8.E.1 A Taylor polynomial for $f(x)$ is a partial sum of the Taylor series for $f(x)$. BC ONLY

Learning Objective LIM-8.F: Interpret Taylor series and Maclaurin series. BC ONLY

LIM-8.F.1 The Maclaurin series for $\dfrac{1}{1-x}$ is a geometric series. BC ONLY
LIM-8.F.2 The Maclaurin series for $\sin x$, $\cos x$, and $e^x$ provides the foundation for constructing the Maclaurin series for other functions. BC ONLY

עברית

הבנה מתמשכת (LIM-8): סדרות כוח מאפשרות לנו לייצג פונקציות הקשורות להן בתחום מתאים.

מטרת למידה LIM-8.E: ייצוג פונקציה כסדרת טיילור או כסדרת מקלורין. רק BC

LIM-8.E.1 פולינום טיילור עבור $f(x)$ הוא סכום חלקי של סדרת טיילור עבור $f(x)$. רק BC

מטרת למידה LIM-8.F: פרשנות סדרות טיילור וסדרות מקלורין. רק BC

LIM-8.F.1 סדרת מקלורין עבור $\dfrac{1}{1-x}$ היא סדרה גיאומטרית. רק BC
LIM-8.F.2 סדרות המקלורין עבור $\sin x$, $\cos x$, ו$e^x$ מספקות את הבסיס לבניית סדרות מקלורין לפונקציות אחרות. רק BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

Extending a Taylor polynomial to infinitely many terms gives a Taylor (or Maclaurin) series. Memorize the key Maclaurin series:

$$e^x=\sum\frac{x^n}{n!},\quad \sin x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad \cos x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\quad \frac{1}{1-x}=\sum x^n.$$

New series come from manipulating these – substituting, differentiating, integrating, or multiplying.

Worked example. Find the Maclaurin series for $e^{x^2}$. Substitute $x^2$ for $x$ in $e^x=\sum\dfrac{x^n}{n!}$:

$$e^{x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x^2)^n}{n!}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\cdots,$$

which converges for all $x$. This substitution trick is far faster than differentiating $e^{x^2}$ six times.

עברית

הרחבת פולינום טיילור למספר אינסופי של איברים נותנת סדרת טיילור (או מקלורין). יש לזכור את סדרות המקלורין המרכזיות:

$$e^x=\sum\frac{x^n}{n!},\quad \sin x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad \cos x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\quad \frac{1}{1-x}=\sum x^n.$$

סדרות חדשות נוצרות על ידי עריכה של סדרות אלו – החלפה, גזירה, אינטגרציה או כפל.

דוגמה מפורטת. מצאו את סדרת המקלורין עבור $e^{x^2}$. הצביעו $x^2$ במקום $x$ ב$e^x=\sum\dfrac{x^n}{n!}$:

$$e^{x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x^2)^n}{n!}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\cdots,$$

שהיא מתכנסת עבור כל $x$. טריק ההצבה הזה מהיר משמעותית מגזירה חוזרת של $e^{x^2}$ שישה פעמים.

כל איבר מקלורין נוסף עוטף את הפונקציה בטווח רחב יותר

Explore · ⁨חקור⁩

The function a Taylor series approximates · ⁨הפונקציה שהסדרה טאילור מקריבה⁩

y = asin(bx + c) + d

A Taylor series builds a function from its derivatives at a point; more terms hug the curve (here $\sin x$) over a wider range. · ⁨סדרת טאילור בונה פונקציה מהנגזרות שלה בנקודה; יותר איברים עוטפים את העקומה (כאן $\sin x$) על פני טווח רחב יותר.⁩

10.15

Representing Functions as Power Series · ⁨ייצוג פונקציות כסדרת כוחות⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (LIM-8): Power series allow us to represent associated functions on an appropriate interval.

Learning Objective LIM-8.G: Represent a given function as a power series. BC ONLY

LIM-8.G.1 Using a known series, a power series for a given function can be derived using operations such as term-by-term differentiation or term-by-term integration, and by various methods (e.g., algebraic processes, substitutions, or using properties of geometric series). BC ONLY

עברית

הבנה מתמשכת (LIM-8): סדרות כוח מאפשרות לנו לייצג פונקציות הקשורות להן בתחום מתאים.

מטרת למידה LIM-8.G: ייצוג פונקציה נתונה כסדרת חזקות. רק BC

LIM-8.G.1 באמצעות סדרה ידועה, ניתן לגזור סדרת חזקות לפונקציה נתונה באמצעות פעולות כמו גזירה איבר-אחר-איבר או אינטגרציה איבר-אחר-איבר, ובאמצעות שיטות שונות (למשל, תהליכים אלגבריים, הצבות, או שימוש בתכונות של סדרות גיאומטריות). רק BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

Because a power series can be differentiated and integrated term by term (within its radius), you can build new series from known ones – e.g. integrate the geometric series for $\dfrac{1}{1-x}$ to get the series for $-\ln(1-x)=\sum_{n\ge 1}\dfrac{x^n}{n}$, or substitute $-x^2$ to get the series for $\dfrac{1}{1+x^2}$. Representing a function as a power series lets you approximate values and integrals that have no elementary antiderivative.

Exam skill: the BC series free-response usually asks you to derive a new Maclaurin series from a known one, find its interval of convergence, and use the alternating-series or Lagrange bound to estimate the error – the capstone skills of the course.

עברית

מכיוון שסדרת כוחות ניתן לגזור ולאינטגרל אחר-לאחר (בתוך רדיוס ההתכנסות), ניתן לבנות סדרות חדשות מסדרות ידועות – לדוגמה, לאינטגרל את סדרת הגיאומטרית עבור $\dfrac{1}{1-x}$ כדי לקבל את הסדרה עבור $-\ln(1-x)=\sum_{n\ge 1}\dfrac{x^n}{n}$, או להציע $-x^2$ כדי לקבל את הסדרה עבור $\dfrac{1}{1+x^2}$. ייצוג פונקציה כסדרת כוחות מאפשר לחשב הערכים ואינטגרלים שאין להם קדמתית אלמנטרית.

מיומנות לבחינה: בשאלת התשובה הקצובה בסדרת BC בדרך כלל מבקשים ממך לגזור סדרת מקלורין חדשה מסדרה ידועה, למצוא את תחום ההתכנסות שלה, ולהשתמש במבחן הסדרה המתחלפת או בגבול לגראנז' כדי להעריך את השגיאה – זוהי מיומנות השיא בקורס.

10.15

Exam tips · ⁨טיפים לבחינות⁩

English

Test a series for convergence with the right tool: geometric ($|r|<1$, sum $\tfrac{a}{1-r}$), $n$th-term, ratio, integral, comparison, or alternating-series test.
A geometric infinite sum converges only when $|r|<1$; otherwise it diverges.
Build a Taylor/Maclaurin series to approximate a function; more terms give a better fit near the centre.
Know the standard Maclaurin series for $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, and $\tfrac{1}{1-x}$.
Find the radius/interval of convergence with the ratio test, then check the endpoints separately.

עברית

בדיקו סדרה לקבלת התכנסות עם הכלי הנכון: גיאומטרי ($|r|<1$, סכום $\tfrac{a}{1-r}$), $n$-איבר, יחס, אינטגרל, השוואה, או בדיקת סדרה חלופית.
סכום גיאומטרי אינסופי מתכנס רק כאשר $|r|<1$; אחרת הוא מתפוצץ.
בנה סדרת טיילור/מקלורין כדי לקרוב פונקציה; ככל שהאיברים יותר, כך הכישר טוב יותר קרוב למרכז.
דע את סדרות המקלורין הסטנדרטיות עבור $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, ו$\tfrac{1}{1-x}$.
מצאו את רדיוס/תחום ההתכנסות בעזרת מבחן היחס, ולאחר מכן בדקו את הקצוות בנפרד.