סיכום והסתברות נוספים

משתנה רציף $X$ מתואר על ידי פונקציית צפיפות הסתברות $f(x)$, שעשויה להיות מוגדרת בקטעים. ההסתברות בטווח נתון שווה לשטח תחת $f$, והמוצע של כל פונקציה של $X$ הוא

פונקציית ההתפלגות המצטברת $F(x) = P(X \leqslant x)$ היא הסכמה רצה: $F(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$, ו-$f(x) = F'(x)$. השתמש ב-$F$ כדי למצוא הסתברויות ו-אחוזונים (לדוגמה, ה-מחצית פותר את $F(x) = 0.5$).

דוגמה פתורה. למשתנה יש $f(x) = \tfrac12 x$ עבור $0 \leqslant x \leqslant 2$. מצא את המחצית.

פונקציית ההתפלגות המצטברת היא $F(x) = \displaystyle\int_0^x \tfrac12 t\,dt = \tfrac14 x^2$. השווה $F(m) = 0.5$:

התפלגות של משתנה קשור. אם $Y=g(X)$, מצא את ההתפלגות של $Y$ דרך הפונקציה המצטברת שלו. עבור $Y=X^2$: $F_Y(y)=P(X^2\leqslant y)=P(-\sqrt y\leqslant X\leqslant\sqrt y)=F_X(\sqrt y)-F_X(-\sqrt y)$, ואז גזור עבור $f_Y=F_Y'$. כאשר $g$ הוא פונקציה עולה מונוטונית, קיים קיצור דרך, $F_Y(y)=F_X\big(g^{-1}(y)\big)$.

דוגמה פתורה. עם $f_X(x)=\tfrac12 x$ על $[0,2]$ (ולכן $F_X(x)=\tfrac14 x^2$), נניח $Y=X^2$. עבור $0\leqslant y\leqslant 4$, $F_Y(y)=F_X(\sqrt y)=\tfrac14 y$, ולכן $f_Y(y)=F_Y'(y)=\tfrac14$ – כלומר, $Y$ אחידה על $[0,4]$.

כאשר הדגימה קטנה ושונות האוכלוסייה אינה ידועה, סמך את בדיקת ההיפותזה שלך על התפלגות ה-$t$ במקום על הנורמלית. אותה רעיון נותן מרווח אמון למוצע:

שם $t$ נובע מטבלות $t$ עם $n - 1$ דרגות חופש. להשוות בין שני אוכלוסיות, השתמש במבחן שתי-דגימות (2-דגימה) או דגימת זוגות $t$-test, לאחר שמצאת הערכת שילוב של השונות המשותפת כאשר מתאים.

דוגמה פתורה. לדגימה של $n = 10$ יש מוצע $\bar{x} = 50$ ושטיח סטנדרטי $s = 4$. מצא מרווח אמון ב-$95\%$ למוצע (השתמש ב-$t = 2.262$ עבור $9$ דרגות חופש).

בדיקת $\chi^2$ (בדיקת קוואי-ריבוע) משווה ספירות נצפות $O$ לספירות מצופות $E$ ממערכת התפלגות תיאורטית:

השוו זאת לערך בטבלה עבור מספר נכון של דרגות חופש. שימוש כפול: בדיקת התאמה (האם הנתונים עוקבים אחר הדגם המוצע?), ובדיקה לעצמאות של שני משתנים בטבלת תלות.

דוגמה פותרת. ארבע קטגוריות בעלות סיכוי שווה נותנות ספירות נצפות $20, 30, 25, 25$ (לכן כל ספירה צפויה היא $25$). בדוק את ההתאמה ברמת $5\%$.

עם $4 - 1 = 3$ דרגות חופש, הערך בטבלה הוא $7.815$. מכיוון ש$2 < 7.815$, אל תדחה את הדגם.

בדיקה לא פרמטרית אינה מניחה שהנתונים הם נורמליים, ולכן היא שימושית כאשר הנחת זו אינה מתקיימת. הבסיסיות שבהן הן:

• הבדיקה על הסימן: ספור כמה ערכים נופעים מעל ומטה מהמדiane המוצע, ובצע את הבדיקה על הספירות הללו עם מודל בינומי;
• בדיקת רכיבי הסימן של וילקוקסון (הבדיקה עבור זוגות תואמים לנתונים זוגיים), המשמשת גם את גודל ההבדלים, ולא רק את הסימנים שלהם;
• בדיקת סכום הרכיבים של וילקוקסון, להשוואה בין שני דגימות נפרדות.

דוגמה פותרת. בדוק האם המדiane היא $5$. בדגימה של $10$ ערכים (שאינם שווים ל$5$), $9$ נמצאים מעל $5$ ו$1$ נמצא מתחת. בדוק ברמת $5\%$ (שני-זנבים).

תחת $H_0$ (מדiane $= 5$) מספר הערכים מעל עוקב אחרי $B(10, 0.5)$. התוצאה הנצפת ($9$ מעל) היא קיצונית, לכן מצאו $P(X \geq 9) = \binom{10}{9}(0.5)^{10} + (0.5)^{10} = \dfrac{11}{1024} = 0.0107$. לבדיקה דו-זנבית השוו לערך $\tfrac{1}{2}(5\%) = 0.025$. מכיוון ש$0.0107 < 0.025$, דחו את $H_0$: ישנה עדות לכך שמדiane אינה $5$.

פונקציית יצירת ההסתברות של משתנה דיסקרטי $X$ היא

היא ארוזה את כל ההתפלגות בפונקציה אחת. הממוצע והשונות מגיעים מהגזירות שלה בנקודה $t = 1$: $E(X) = G'(1)$ ו$\mathrm{Var}(X) = G''(1) + G'(1) - \big(G'(1)\big)^2$. בנוסף, פונקציית יצירת ההסתברות של סכום של משתנים עצמאיים היא מכפלת פונקציות יצירת ההסתברות שלהם.

דוגמה פותרת. $X$ יש $P(X=0) = 0.5$, $P(X=1) = 0.3$, $P(X=2) = 0.2$. מצאו $E(X)$ באמצעות פונקציית יצירת ההסתברות.

כאן $G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t^2$, ולכן $G'(t) = 0.3 + 0.4t$ וכן

• עבור משתנה אקראי רציף, הפונקציה צפיפות הסתברות (pdf) משתלבת ל-$1$ על פני התחום שלה, ו-$E(X) = \int x f(x)\,dx$.
• השתמש ב-$t$-חלוקה כאשר הדגימה קטנה ושונות האוכלוסייה אינה ידועה; ציין את דרגות החופש.
• למבחן chi-squared חשב $\sum (O-E)^2/E$, השווה לערך הקריטי בדרגות החופש הנכונות, ושלב קבוצות עם $E < 5$.
• ציין $H_0$ ו-$H_1$ ותן את המסקנה בהקשר לכל בדיקה.