Équations différentielles

AP Calcul BC · Topic 7 · ⁨Sujet 7⁩

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7.1

Modeling Situations with Differential Equations · ⁨Modélisation de situations avec des équations différentielles⁩

Syllabus · ⁨Programme⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.A: Interpret verbal statements of problems as differential equations involving a derivative expression.

FUN-7.A.1 Differential equations relate a function of an independent variable and the function's derivatives.

Français

Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.

Objectif d'apprentissage FUN-7.A : Interpréter des énoncés verbaux de problèmes sous la forme d'équations différentielles impliquant une expression de dérivée.

FUN-7.A.1 Les équations différentielles relient une fonction d'une variable indépendante et les dérivées de cette fonction.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Source : Description du cours et de l'examen AP College Board⁩

English

A differential equation 微分方程 relates a function to its derivatives. Many real situations are described by a rate: "the population grows at a rate proportional to its size" becomes $\dfrac{dP}{dt}=kP$. Setting up the equation from a verbal description – identifying what changes and what it is proportional to – is the first skill.

Français

Une équation différentielle 微分方程 relie une fonction à ses dérivées. De nombreuses situations réelles sont décrites par un taux : « la population croît à un taux proportionnel à sa taille » devient $\dfrac{dP}{dt}=kP$. Poser l'équation à partir d'une description verbale – identifier ce qui change et à quoi il est proportionnel – est la première compétence.

7.2

Verifying Solutions for Differential Equations · ⁨Vérification des solutions pour les équations différentielles⁩

Syllabus · ⁨Programme⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.B: Verify solutions to differential equations.

FUN-7.B.1 Derivatives can be used to verify that a function is a solution to a given differential equation.
FUN-7.B.2 There may be infinitely many general solutions to a differential equation.

Français

Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.

Objectif d'apprentissage FUN-7.B : Vérifier les solutions d'équations différentielles.

FUN-7.B.1 Les dérivées peuvent être utilisées pour vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle donnée.
FUN-7.B.2 Il peut y avoir une infinité de solutions générales à une équation différentielle.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Source : Description du cours et de l'examen AP College Board⁩

English

A solution is a function that satisfies the equation. To verify a proposed solution, differentiate it and substitute into the equation, checking that both sides agree. A general solution contains a constant $C$; a particular solution fixes $C$ from a condition.

Français

Une solution est une fonction qui satisfait l'équation. Pour vérifier une solution proposée, dérivez-la et substituez-la dans l'équation, en vérifiant que les deux côtés concordent. Une solution générale contient une constante $C$ ; une solution particulière fixe $C$ à partir d'une condition.

7.3

Sketching Slope Fields · ⁨Tracer des champs de pentes⁩

Syllabus · ⁨Programme⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.

FUN-7.C.1 A slope field is a graphical representation of a differential equation on a finite set of points in the plane.
FUN-7.C.2 Slope fields provide information about the behavior of solutions to first-order differential equations.

Français

Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.

Objectif d'apprentissage FUN-7.C : Estimer les solutions d'équations différentielles.

FUN-7.C.1 Un champ de pentes est une représentation graphique d'une équation différentielle sur un ensemble fini de points du plan.
FUN-7.C.2 Les champs de pentes fournissent des informations sur le comportement des solutions des équations différentielles du premier ordre.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Source : Description du cours et de l'examen AP College Board⁩

English

Slope fields & solution curves

A slope field 斜率场 draws a short line segment at many points, each with the slope $\dfrac{dy}{dx}$ the equation gives there. It pictures the family of solution curves without solving. To sketch one, evaluate the right-hand side at each grid point and draw a segment of that slope.

Français

Champs de pentes & courbes solutions

Un champ de pentes 斜率场 trace un court segment de ligne en de nombreux points, chacun ayant la pente $\dfrac{dy}{dx}$ que l'équation y donne. Il représente la famille des courbes solutions sans résoudre. Pour en dessiner un, évaluez le côté droit en chaque point de grille et tracez un segment de cette pente.

Un champ de pentes montre la gradient partout ; les courbes solutions le suivent — Un champ de pentes montre le gradient partout ; les courbes solutions le suivent

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Lire une équation différentielle comme un champ de pentes

Un champ de pentes dessine la pente $dy/dx$ à chaque point. Une courbe solution s'y insère, toujours tangente aux petits segments — vous pouvez la tracer en suivant le flux.

Vocabulary · ⁨Vocabulaire⁩ Train · ⁨Entrainer⁩

English · ⁨Anglais⁩	Chinese · ⁨Chinois⁩	Pinyin
differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/	微分方程	wēi fēn fāng chéng
slope field/sləʊp fiːld/	斜率场	xié lǜ chǎng
Euler's method/ˈɔɪləz ˈmeθəd/	欧拉方法	ōu lā fāng fǎ
separable/ˈsepərəbl/	可分离	kě fēn lí
initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/	初始条件	chū shǐ tiáo jiàn
exponential growth or decay/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ ɔː dɪˈkeɪ/	指数增长	zhǐ shù zēng zhǎng
logistic model/ləˈdʒɪstɪk ˈmɒdl/	逻辑斯蒂模型	luó jí sī dì mó xíng
carrying capacity/ˈkæriɪŋ kəˈpæsɪti/	环境容纳量	huán jìng róng nà liàng

7.4

Reasoning Using Slope Fields · ⁨Raisonnement à l'aide de champs de pentes⁩

Syllabus · ⁨Programme⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.

FUN-7.C.3 Solutions to differential equations are functions or families of functions.

Français

Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.

Objectif d'apprentissage FUN-7.C : Estimer les solutions d'équations différentielles.

FUN-7.C.3 Les solutions aux équations différentielles sont des fonctions ou des familles de fonctions.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Source : Description du cours et de l'examen AP College Board⁩

English

A solution curve follows the segments like a boat following a current. From a slope field you can sketch the particular solution through a given point, describe long-run behavior, and locate where solutions level off (slopes near zero) – reasoning about solutions purely from the picture.

Français

Une courbe solution suit les segments comme un bateau suivant un courant. À partir d'un champ de pentes, vous pouvez esquisser la solution particulière passant par un point donné, décrire le comportement à long terme et localiser où les solutions s'aplatissent (pentes proches de zéro) – raisonner sur les solutions uniquement à partir de l'image.

7.5

Approximating Solutions Using Euler's Method · ⁨Approximer des solutions en utilisant la méthode d'Euler⁩

Syllabus · ⁨Programme⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.

FUN-7.C.4 Euler's method provides a procedure for approximating a solution to a differential equation or a point on a solution curve. BC ONLY

Français

Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.

Objectif d'apprentissage FUN-7.C : Estimer les solutions d'équations différentielles.

FUN-7.C.4 La méthode d'Euler fournit une procédure pour approximer une solution à une équation différentielle ou un point sur une courbe solution. SEULEMENT BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Source : Description du cours et de l'examen AP College Board⁩

English

Euler's method

Euler's method 欧拉方法 approximates a solution numerically by stepping along the slope field. Starting from a known point, take a small step $\Delta x$ and update:

$$y_{\text{new}}=y_{\text{old}}+\frac{dy}{dx}\cdot\Delta x.$$

Repeat for each step. Smaller steps give a better approximation. (This is a BC-only technique.)

Exam skill: be able to carry out two or three Euler steps by hand from a table, and know that Euler's method under- or over-estimates depending on the solution's concavity.

Worked example. Approximate $y(1)$ for $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, with step $\Delta x=0.5$. Step 1: slope at $(0,1)$ is $0+1=1$, so $y(0.5)\approx 1+1(0.5)=1.5$. Step 2: slope at $(0.5,1.5)$ is $0.5+1.5=2$, so $y(1)\approx 1.5+2(0.5)=2.5$.

Français

Méthode d'Euler

Méthode d'Euler 欧拉方法 approxime une solution numériquement en suivant le champ de pentes. Partant d'un point connu, faites un petit pas $\Delta x$ et mettez à jour :

$$y_{\text{new}}=y_{\text{old}}+\frac{dy}{dx}\cdot\Delta x.$$

Répétez pour chaque étape. Des pas plus petits donnent une meilleure approximation. (C'est une technique uniquement pour BC.)

Compétence d'examen : savoir effectuer deux ou trois étapes d'Euler à la main à partir d'un tableau, et savoir que la méthode d'Euler sous-estime ou surestime selon la concavité de la solution.

Exemple résolu. Approximer $y(1)$ pour $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, avec un pas $\Delta x=0.5$. Étape 1 : la pente à $(0,1)$ est $0+1=1$, donc $y(0.5)\approx 1+1(0.5)=1.5$. Étape 2 : la pente à $(0.5,1.5)$ est $0.5+1.5=2$, donc $y(1)\approx 1.5+2(0.5)=2.5$.

7.6

Finding General Solutions Using Separation of Variables · ⁨Trouver des solutions générales par séparation des variables⁩

Syllabus · ⁨Programme⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.D: Determine general solutions to differential equations.

FUN-7.D.1 Some differential equations can be solved by separation of variables.
FUN-7.D.2 Antidifferentiation can be used to find general solutions to differential equations.

Français

Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.

Objectif d'apprentissage FUN-7.D : Déterminer des solutions générales d'équations différentielles.

FUN-7.D.1 Certaines équations différentielles peuvent être résolues par séparation des variables.
FUN-7.D.2 L'antidifférentiation peut être utilisée pour trouver des solutions générales d'équations différentielles.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Source : Description du cours et de l'examen AP College Board⁩

English

A separable 可分离 differential equation can be written with all the $y$'s on one side and all the $x$'s on the other, then integrated:

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\ \Rightarrow\ \int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx.$$

This produces the general solution (with a $+C$), the main analytic method for solving differential equations in this course.

Worked example. Solve $\dfrac{dy}{dx}=xy$ with $y(0)=2$. Separating, $\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx$ gives $\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C$, so $y=Ae^{x^2/2}$. The condition $y(0)=2$ gives $A=2$, so $y=2e^{x^2/2}$.

Français

E. coli sous un microscope : les équations différentielles modélisent la croissance exponentielle — E. coli au microscope : les équations différentielles modélisent la croissance exponentielle

Une équation différentielle séparable 可分离 peut être écrite avec tous les $y$ d'un côté et tous les $x$ de l'autre, puis intégrée :

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\ \Rightarrow\ \int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx.$$

Cela produit la solution générale (avec une $+C$), la principale méthode analytique pour résoudre les équations différentielles dans ce cours.

Exercice résolu. Résolvez $\dfrac{dy}{dx}=xy$ avec $y(0)=2$. En séparant, $\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx$ donne $\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C$, donc $y=Ae^{x^2/2}$. La condition $y(0)=2$ donne $A=2$, donc $y=2e^{x^2/2}$.

7.7

Finding Particular Solutions Using Initial Conditions · ⁨Trouver des solutions particulières en utilisant des conditions initiales⁩

Syllabus · ⁨Programme⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.E: Determine particular solutions to differential equations.

FUN-7.E.1 A general solution may describe infinitely many solutions to a differential equation. There is only one particular solution passing through a given point.
FUN-7.E.2 The function $F$ defined by $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ is a particular solution to the differential equation $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, satisfying $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Solutions to differential equations may be subject to domain restrictions.

Français

Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.

Objectif d'apprentissage FUN-7.E : Déterminer des solutions particulières d'équations différentielles.

FUN-7.E.1 Une solution générale peut décrire une infinité de solutions à une équation différentielle. Il n'y a qu'une seule solution particulière passant par un point donné.
FUN-7.E.2 La fonction $F$ définie par $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ est une solution particulière de l'équation différentielle $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, satisfaisant $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Les solutions aux équations différentielles peuvent être soumises à des restrictions de domaine.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Source : Description du cours et de l'examen AP College Board⁩

English

An initial condition 初始条件 (a known point, e.g. $y(0)=5$) pins down the constant $C$. Solve for the general solution, substitute the condition to find $C$, then write the particular solution. Watch the domain – a particular solution is valid only on the interval containing the initial point.

Français

Une condition initiale 初始条件 (un point connu, ex. $y(0)=5$) fixe la constante $C$. Résolvez la solution générale, substituez la condition pour trouver $C$, puis écrivez la solution particulière. Surveillez le domaine – une solution particulière n'est valide que sur l'intervalle contenant le point initial.

La constante donne une famille de courbes ; une condition initiale en sélectionne une

7.8

Exponential Models with Differential Equations · ⁨Modèles exponentiels avec des équations différentielles⁩

Syllabus · ⁨Programme⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.F: Interpret the meaning of a differential equation and its variables in context.

FUN-7.F.1 Specific applications of finding general and particular solutions to differential equations include motion along a line and exponential growth and decay.
FUN-7.F.2 The model for exponential growth and decay that arises from the statement "The rate of change of a quantity is proportional to the size of the quantity" is $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

Learning Objective FUN-7.G: Determine general and particular solutions for problems involving differential equations in context.

FUN-7.G.1 The exponential growth and decay model, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, with initial condition $y = y_0$ when $t = 0$, has solutions of the form $y = y_0 e^{kt}$.

Français

Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.

Objectif d'apprentissage FUN-7.F : Interpréter la signification d'une équation différentielle et de ses variables dans un contexte.

FUN-7.F.1 Des applications spécifiques de la recherche de solutions générales et particulières aux équations différentielles incluent le mouvement le long d'une droite et la croissance et la décroissance exponentielles.
FUN-7.F.2 Le modèle pour la croissance et la décroissance exponentielles qui découle de l'énoncé « Le taux de variation d'une quantité est proportionnel à sa taille » est $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

Objectif d'apprentissage FUN-7.G : Déterminer les solutions générales et particulières pour des problèmes impliquant des équations différentielles en contexte.

FUN-7.G.1 Le modèle de croissance et de décroissance exponentielle, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, avec condition initiale $y = y_0$ lorsque $t = 0$, a des solutions de la forme $y = y_0 e^{kt}$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Source : Description du cours et de l'examen AP College Board⁩

English

Exponential vs logistic growth

The equation $\dfrac{dy}{dt}=ky$ says the rate of change is proportional to the amount – giving exponential growth or decay 指数增长. Separating variables yields

$$y=y_0 e^{kt},$$

with $k>0$ for growth and $k<0$ for decay. This models unrestricted population growth, radioactive decay, and continuously compounded interest.

Français

Croissance exponentielle vs logistique

L'équation $\dfrac{dy}{dt}=ky$ dit que le taux de changement est proportionnel à la quantité – donnant une croissance ou décroissance exponentielle 指数增长. Séparer les variables donne

$$y=y_0 e^{kt},$$

avec $k>0$ pour la croissance et $k<0$ pour la décroissance. Cela modélise la croissance de population illimitée, la désintégration radioactive et les intérêts composés continus.

Tasse de café refroidissant : la loi de refroidissement de Newton est un modèle classique d'équation différentielle

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Un modèle de croissance/décroissance exponentielle

y = a·e^(bx) + c

L'équation $dy/dt=ky$ a des solutions exponentielles : la quantité change à un taux proportionnel à elle-même, donnant une croissance illimitée ($k>0$) ou une décroissance vers zéro ($k<0$).

7.9

Logistic Models with Differential Equations · ⁨Modèles logistiques avec équations différentielles⁩

Syllabus · ⁨Programme⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.H: Interpret the meaning of the logistic growth model in context. BC ONLY

FUN-7.H.1 The model for logistic growth that arises from the statement "The rate of change of a quantity is jointly proportional to the size of the quantity and the difference between the quantity and the carrying capacity" is $\dfrac{dy}{dt} = ky(a - y)$. BC ONLY
FUN-7.H.2 The logistic differential equation and initial conditions can be interpreted without solving the differential equation. BC ONLY
FUN-7.H.3 The limiting value (carrying capacity) of a logistic differential equation as the independent variable approaches infinity can be determined using the logistic growth model and initial conditions. BC ONLY
FUN-7.H.4 The value of the dependent variable in a logistic differential equation at the point when it is changing fastest can be determined using the logistic growth model and initial conditions. BC ONLY

Français

Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.

Objectif d'apprentissage FUN-7.H : Interpréter le sens du modèle de croissance logistique dans son contexte. SEULEMENT BC

FUN-7.H.1 Le modèle de croissance logistique découlant de l'énoncé « Le taux de variation d'une quantité est proportionnel conjointement à la taille de cette quantité et à la différence entre la quantité et sa capacité de charge » est $\dfrac{dy}{dt} = ky(a - y)$. SEULEMENT BC
FUN-7.H.2 L'équation différentielle logistique et les conditions initiales peuvent être interprétées sans résoudre l'équation différentielle. SEULEMENT BC
FUN-7.H.3 La valeur limite (capacité de charge) d'une équation différentielle logistique lorsque la variable indépendante tend vers l'infini peut être déterminée à l'aide du modèle de croissance logistique et des conditions initiales. SEULEMENT BC
FUN-7.H.4 La valeur de la variable dépendante dans une équation différentielle logistique au moment où elle varie le plus rapidement peut être déterminée à l'aide du modèle de croissance logistique et des conditions initiales. SEULEMENT BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Source : Description du cours et de l'examen AP College Board⁩

English

Real growth is limited by resources, so the logistic model 逻辑斯蒂模型 adds a carrying capacity 环境容纳量 $L$:

$$\frac{dP}{dt}=kP\!\left(1-\frac{P}{L}\right).$$

Growth is nearly exponential when $P$ is small, slows as $P$ approaches $L$, and stops at $P=L$. Key BC facts: the population levels off at $L$ ($\lim_{t\to\infty}P=L$), and it grows fastest when $P=\tfrac{L}{2}$ (the inflection point of the S-shaped curve). You are expected to read $L$ and the fastest-growth value directly from the equation.

Worked example. For $\dfrac{dP}{dt}=0.05\,P\!\left(1-\dfrac{P}{2000}\right)$, the carrying capacity is $L=2000$ (the population levels off there), and growth is fastest when $P=\dfrac{L}{2}=1000$ – both read straight off the equation, no solving needed.

Français

La croissance réelle est limitée par les ressources, donc le modèle logistique 逻辑斯蒂 modèle ajoute une capacité de charge 环境容纳量 $L$ :

$$\frac{dP}{dt}=kP\!\left(1-\frac{P}{L}\right).$$

La croissance est presque exponentielle quand $P$ est petit, ralentit lorsque $P$ approche $L$, et s'arrête à $P=L$. Faits clés BC : la population se stabilise à $L$ ($\lim_{t\to\infty}P=L$), et elle croît le plus rapidement lorsque $P=\tfrac{L}{2}$ (le point d'inflexion de la courbe en S). On s'attend à ce que vous lisiez $L$ et la valeur de croissance maximale directement depuis l'équation.

Exemple résolu. Pour $\dfrac{dP}{dt}=0.05\,P\!\left(1-\dfrac{P}{2000}\right)$, la capacité de charge est $L=2000$ (la population s'y aplatit), et la croissance est maximale quand $P=\dfrac{L}{2}=1000$ – les deux se lisent directement depuis l'équation, sans résolution.

Le modèle logistique croît le plus rapidement à P=L/2 et se stabilise à la capacité de charge L — Le modèle logistique croît plus vite à P=L/2 et s'aplatit à la capacité de charge L

7.9

Exam tips · ⁨Conseils d'examen⁩

English

Solve a separable equation by getting all $y$ on one side and all $x$ on the other, then integrating both sides (add $+C$ once).
Use the initial condition to find $C$ (a particular solution).
Sketch or read a slope field: the little segments show $\tfrac{dy}{dx}$ at each point, and a solution curve follows them.
Recognise exponential models $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (growth/decay).
A differential equation gives the slope — you must integrate to recover the function.

Français

Résolvez une équation sécable en plaçant tous les $y$ d'un côté et tous les $x$ de l'autre, puis intégrez les deux côtés (ajoutez $+C$ une seule fois).
Utilisez la condition initiale pour trouver $C$ (une solution particulière).
Tracez ou lisez un champ de pentes : les petits segments montrent $\tfrac{dy}{dx}$ en chaque point, et une courbe solution les suit.
Reconnaissez les modèles exponentiels $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (croissance/décroissance).
Une équation différentielle donne la pente ; vous devez intégrer pour retrouver la fonction.

Interactive lessons on this topic · ⁨Leçons interactives sur ce sujet⁩

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