En un museo de ciencias, una bola de latón cuelga de un alambre muy largo. Balancea todo el día sobre un suelo marcado, sin ser tocada. Cada balance toma el mismo tiempo que el anterior.…
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7.1
Definiendo el Movimiento Armónico Simple
Syllabus
Objetivo de Aprendizaje 7.1.A: Describir el movimiento armónico simple.
7.1.A.1 El movimiento armónico simple es un caso especial del movimiento periódico.
7.1.A.2 El MAS se produce cuando la magnitud de la fuerza restauradora ejercida sobre un objeto es proporcional al desplazamiento de ese objeto desde su posición de equilibrio.
Ecuación derivada:$ma_x = -k\Delta x$
7.1.A.2.i Una fuerza restauradora es una fuerza que se ejerce en dirección opuesta al desplazamiento de un objeto respecto a una posición de equilibrio.
7.1.A.2.ii Una posición de equilibrio es un lugar en el cual la fuerza neta ejercida sobre un objeto o sistema es cero.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Movimiento armónico simple
El movimiento armónico simple 简谐运动 (SHM, por sus siglas en inglés) es un caso especial de movimiento periódico 周期运动. Aparece siempre que se cumplen dos condiciones: existe una posición de equilibrio 平衡位置 donde la fuerza neta es cero, y desplazar el objeto produce una fuerza restauradora 回复力 –una fuerza dirigida hacia la posición de equilibrio– cuya magnitud es proporcional al desplazamiento:
$$F=-k\,\Delta x.$$
La segunda ley de Newton proporciona entonces la ecuación diferencial 微分方程 definitoria:
Su solución es sinusoidal, $x(t)=A\cos(\omega t+\phi)$. No necesitas demostrar esta solución; debes reconocer la ecuación: cualquier sistema cuyo movimiento obedezca a "$\ddot{x}=-\omega^2x$" es un oscilador armónico simple, sin importar de qué esté hecho. (Una masa colgando de un resorte vertical funciona de la misma manera: la gravedad solo desplaza el punto de equilibrio; la oscilación alrededor de este permanece inalterada.)
En el SHM, la aceleración siempre apunta hacia el equilibrio, opuesta al desplazamiento
Dos trampas conceptuales clásicas: el período del MHS nunca depende de la amplitud 振幅, y cada sistema ignora una variable obvia: el período del péndulo no involucra su masa, y el período del resorte no involucra $g$ (un oscilador resorte-bloque mantiene el tiempo perfecto en órbita; un reloj de péndulo no).
Explorar
Medir el periodo de oscilación de un péndulo
El periodo de un péndulo depende de su longitud y la gravedad, no de su masa ni de la amplitud (pequeña): $T=2\pi\sqrt{L/g}$. Alarga el péndulo y cada oscilación tarda más.
7.3
Representación y Análisis del SHM
Syllabus
Objetivo de aprendizaje 7.3.A: Describir el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de un objeto que presenta MHS (Movimiento Armónico Simple).
7.3.A.1 Para un objeto que presenta MHS, el desplazamiento de dicho objeto medido desde su posición de equilibrio puede representarse mediante las ecuaciones $x = A\cos(2\pi ft)$ o $x = A\sin(2\pi ft)$.
7.3.A.1.i Los mínimos, máximos y ceros del desplazamiento, la velocidad y la aceleración son características del movimiento armónico.
7.3.A.1.ii Reconocer las posiciones o los instantes en los que el desplazamiento, la velocidad y la aceleración para el MHS alcanzan extremos o valores cero puede ayudar a describir cualitativamente el comportamiento del movimiento.
7.3.A.2 La posición en función del tiempo para un objeto que presenta MHS es una solución de la ecuación diferencial de segundo orden derivada de la aplicación de la segunda ley de Newton.
7.3.A.3 Las características del MHS, como la velocidad y la aceleración, pueden determinarse o derivarse de la ecuación $x = A\cos(\omega t + \phi).$
7.3.A.3.i La aceleración de un objeto que presenta MHS está relacionada con la frecuencia angular y la posición del objeto.
Ecuación derivada:$a = -\omega^2 x$
7.3.A.3.ii Se puede demostrar que la velocidad máxima y la aceleración máxima de un objeto que presenta MHS están relacionadas con la frecuencia angular del movimiento del objeto.
Ecuaciones derivadas:$v_{\max} = A\omega$
$a_{\max} = A\omega^2$
7.3.A.4 En presencia de una fuerza externa sinusoidal, un sistema puede presentar resonancia.
7.3.A.4.i La resonancia ocurre cuando se ejerce una fuerza externa a la frecuencia natural de un sistema oscilante.
7.3.A.4.ii La resonancia aumenta la amplitud del movimiento oscilatorio.
7.3.A.4.iii La frecuencia natural de un sistema es la frecuencia a la cual el sistema oscilará cuando se desplaza de su posición de equilibrio.
7.3.A.5 Cambiar la amplitud de un sistema que presenta MHS no cambiará su periodo.
7.3.A.6 Las propiedades del MHS pueden determinarse y analizarse utilizando representaciones gráficas.
Enunciado de límite: AP Physics C: Mechanics solo espera que los estudiantes conozcan la solución a la ecuación diferencial de segundo orden que describe el MHS, así como ser capaces de identificar el MHS. AP Physics C: Mechanics no espera que los estudiantes demuestren matemáticamente que la solución es correcta.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Así, en los extremos del movimiento ($x=\pm A$) la velocidad es cero y la aceleración es máxima; al pasar por la posición de equilibrio ($x=0$) la aceleración es cero y la velocidad es máxima, $v_{\max}=A\omega$. La amplitud $A$ y la constante de fase 相位常数$\phi$ se determinan a partir de las condiciones iniciales: la posición inicial del objeto y su rapidez inicial. Al eliminar $t$ (o mediante el uso de la energía, más adelante) se obtiene la velocidad como función de la posición:
$$v=\pm\,\omega\sqrt{A^2-x^2}.$$
El desplazamiento varía sinusoidalmente con el tiempo en el movimiento armónico simple
Ejemplo resuelto. Una $0.50\ \text{kg}$ masa en un $k=200\ \text{N/m}$⟝ resorte: $\omega=\sqrt{k/m}=20\ \text{rad/s}$, $T=2\pi/\omega=0.31\ \text{s}$. Con $A=0.10\ \text{m}$: $v_{\max}=A\omega=2.0\ \text{m/s}$ en equilibrio, y en $x=0.050\ \text{m}$ la velocidad es $v=\omega\sqrt{A^2-x^2}=20\sqrt{0.10^2-0.050^2}=1.7\ \text{m/s}$.
7.4
Energía de los Osciladores Armónicos Simples
Syllabus
Objetivo de aprendizaje 7.4.A: Describir la energía mecánica de un sistema que presenta MHS.
7.4.A.1 La energía total de un sistema que presenta MHS es la suma de las energías cinética y potencial del sistema.
Ecuación relevante:$E_{\text{total}} = U + K$
7.4.A.2 La conservación de la energía indica que la energía total de un sistema que presenta MHS es constante.
7.4.A.3 La energía cinética de un sistema que presenta MHS es máxima cuando la energía potencial del sistema es mínima.
7.4.A.4 La energía potencial de un sistema que presenta MHS es máxima cuando la energía cinética del sistema es mínima.
7.4.A.4.i La energía cinética mínima de un sistema que presenta MHS es cero.
7.4.A.4.ii Cambiar la amplitud de un sistema que presenta MHS cambiará la energía potencial máxima del sistema y, por lo tanto, la energía total del sistema.
Ecuación relevante para un sistema resorte–objeto:$E_{\text{total}} = \dfrac{1}{2}kA^2$
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
La energía total del oscilador es la suma $E=U+K$, y sin fricción es constante: la energía simplemente se intercambia entre la energía potencial del resorte y la energía cinética de la masa:
$$E=\tfrac12kA^2=\tfrac12kx^2+\tfrac12mv^2.$$
Toda la energía está en forma potencial en los extremos (donde $K=0$), y toda está en forma cinética en el equilibrio (donde $U$ es mínimo). Dado que $E\propto A^2$, duplicar la amplitud cuadruplica la energía.
Cinética y potencial se intercalan durante un ciclo mientras la energía total permanece constante
Ejemplo resuelto. ¿Dónde se divide la energía por igual? Establezca $\tfrac12kx^2=\tfrac12E=\tfrac14kA^2$, de modo que $x=A/\sqrt2\approx0.71A$ – mucho más cerca del final que del medio. Para el sistema anterior ($A=0.10\ \text{m}$): $x=0.071\ \text{m}$.
Dejar oscilar un sistema libremente en su frecuencia natural 固有频率 (determinada por $k$ y $m$: $f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{k/m}$). Impulsarlo con una fuerza periódica a esa misma frecuencia hace que la amplitud crezca drásticamente: resonancia 共振. Cada empuje bien sincronizado añade energía más rápido de lo que la amortiguación la elimina, por lo que la amplitud impulsada alcanza un pico agudo cuando la frecuencia de excitación coincide con $f_0$ (un columpio accionado a tiempo, un puente sacudido por el viento).
Explorar
Intercambiar energía cinética y potencial en el MAS
En el movimiento armónico simple, la energía oscila entre cinética (máxima en el centro) y potencial (máxima en los extremos) mientras el total permanece constante.
7.5
Péndulos simples y físicos
Syllabus
Objetivo de aprendizaje 7.5.A: Describir las propiedades de un péndulo físico.
7.5.A.1 Un péndulo físico es un cuerpo rígido que experimenta oscilación alrededor de un eje fijo.
7.5.A.2 Para pequeñas amplitudes de movimiento, el período de un péndulo físico se deriva de la aplicación de la segunda ley de Newton en su forma rotacional.
7.5.A.2.i Cuando se desplaza del equilibrio, la fuerza gravitatoria ejercida sobre el centro de masa de un péndulo físico proporciona un torque restaurador.
Ecuación derivada:$\tau = -mgd\sin\theta$
7.5.A.2.ii Para pequeñas amplitudes de movimiento, se puede aplicar la aproximación del ángulo pequeño al torque restaurador.
Ecuación derivada:$\sin\theta \approx \theta$
$\tau = -mgd\theta = I\alpha$
7.5.A.2.iii La aproximación del ángulo pequeño y la segunda ley de Newton en su forma rotacional producen una ecuación diferencial de segundo orden que describe el MHS:
7.5.A.3 Un péndulo simple es un caso especial de los péndulos físicos en el que el objeto suspendido puede modelarse como una masa puntual a una distancia, $l$, del punto de pivote.
7.5.A.4 Un péndulo de torsión es un caso de MHS donde el torque restaurador es proporcional al desplazamiento angular de un sistema giratorio. Por ejemplo, un disco horizontal suspendido de un cable fijado a su centro de masa puede experimentar oscilaciones rotacionales alrededor del cable en el plano horizontal.
Ecuación derivada:$I\alpha = -k\Delta\theta$
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Conservación de energía: KE ⇄ PE
Un péndulo físico 物理摆 es cualquier cuerpo rígido que oscila alrededor de un pivote fijo. Desplazarlo un ángulo $\theta$ y la gravedad, actuando en el centro de masa a una distancia $d$ del pivote, proporcionan un torque restaurador
$$\tau=-mgd\sin\theta.$$
Para ángulos pequeños, aplique la aproximación de ángulo pequeño 小角度近似$\sin\theta\approx\theta$ y la segunda ley de Newton en forma rotacional ($\tau=I\alpha$):
Este es el mismo patrón de "$\ddot\theta=-\omega^2\theta$" que antes; reconocerlo es la derivación. Un péndulo simple 单摆 es el caso especial de una masa puntual en una cuerda ligera: $I=m\ell^2$ y $d=\ell$ dan como resultado $T=2\pi\sqrt{\ell/g}$.
La gravedad actuando en el centro de masa proporciona el torque restaurador de un péndulo físico
Ejemplo resuelto. Una barra uniforme (masa $M$, longitud $L$) oscila desde un extremo: $I=\tfrac13ML^2$, $d=\tfrac{L}{2}$, por lo tanto
– más corta que un péndulo simple de longitud $L$, porque la masa de la barra está más cerca del pivote.
Un péndulo de torsión 扭摆 – un disco colgado de un alambre que se tuerce – vuelve a ser MHS: el torque restaurador del alambre es proporcional al ángulo de torsión, $I\alpha=-\kappa\,\Delta\theta$, lo que da como resultado $T=2\pi\sqrt{I/\kappa}$.
Habilidad para el examen. Toda pregunta de respuesta larga (FRQ) sobre péndulos pide los mismos tres pasos: escribir el torque restaurador respecto al pivote, aplicar la aproximación de ángulo pequeño e igualar el resultado a $\ddot\theta=-\omega^2\theta$ para leer directamente $\omega$. Enuncie explícitamente el paso de la aproximación de ángulo pequeño; es un punto calificado, y es la razón por la que las oscilaciones de gran amplitud no son armónicas simples.
Un péndulo de Foucault: un péndulo largo y pesado cuya lenta oscilación revela la rotación de la Tierra debajo de él
Identifique el MHS a partir de una fuerza restauradora lineal$F=-kx$, lo que produce $\tfrac{d^2x}{dt^2}=-\omega^2 x$ con $\omega=\sqrt{k/m}$.
Escriba la solución $x=A\cos(\omega t+\phi)$ y obtenga $v,a$ mediante la derivación; el periodo $T=\tfrac{2\pi}{\omega}$ es independiente de la amplitud.
La energía se intercambia entre $\tfrac12 kx^2$ y $\tfrac12 mv^2$, con una energía total $\tfrac12 kA^2$.
Para un péndulo, utilice la aproximación de ángulos pequeños $\sin\theta\approx\theta$ para llegar al MHS.
Ajuste la fase según el inicio: soltar desde el reposo en el desplazamiento máximo utiliza coseno.
