Esta hoja de trabajo cubre el Tema 5: Probabilidad y Estadística. Trata sobre la descripción de datos, el conteo de opciones y el cálculo de la probabilidad de eventos.
Probabilidad y Estadística 1
A-Level Matemáticas · Tema 5
11:38
Probabilidad y Estadística 1
Lanza un dado simple, y el resultado es impredecible. Pero lanzarlo miles de veces, o medir las alturas de miles de personas, y algo remarkable…
Narración en inglés · Subtítulos en inglés + 中文 quemados en pantalla
5.1
Representación de datos
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| • seleccionar un método adecuado para presentar datos estadísticos brutos, y discutir las ventajas y/o desventajas que puedan tener ciertas representaciones | |
| • dibujar e interpretar diagramas de tallo y hoja, diagramas de caja y bigotes, histogramas y gráficos de frecuencia acumulada | Incluyendo diagramas de tallo y hoja inversos (back-to-back). |
| • comprender y utilizar diferentes medidas de tendencia central (media, mediana, moda) y de variación (rango, rango intercuartílico, desviación estándar) | p. ej., al comparar y contrastar conjuntos de datos. |
| • utilizar un gráfico de frecuencia acumulada | p. ej., para estimar medianas, cuartiles, percentiles, la proporción de una distribución por encima (o por debajo) de un valor dado, o entre dos valores. |
| • calcular y utilizar la media y la desviación estándar de un conjunto de datos (incluyendo datos agrupados), ya sea a partir de los propios datos o a partir de totales dados $\Sigma x$ y $\Sigma x^2$, o totales codificados $\Sigma(x - a)$ y $\Sigma(x - a)^2$, y usar dichos totales para resolver problemas que pueden implicar hasta dos conjuntos de datos. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Elija un diagrama que se adapte a los datos. Debe ser capaz de dibujar y leer:
- un diagrama de tallo y hojas (mantiene los valores originales y muestra la forma); dos conjuntos de datos se comparan con una versión de espalda con espalda —un tallo central compartido, las hojas de un conjunto aumentando hacia la izquierda y las del otro hacia la derecha, para poder comparar sus medianas y dispersiones de un vistazo;
- un diagrama de caja y bigotes (muestra el valor más bajo, los tres cuartiles y el valor más alto);
- un histograma (para datos agrupados, donde el área de cada barra representa la frecuencia);
- un gráfico de frecuencia acumulada (sumas progresivas, utilizado para estimar la mediana y los cuartiles).
Promedios y dispersión
Una medida de tendencia central es un único valor "medio":
- la media $\bar{x} = \dfrac{\sum x}{n}$ (el promedio);
- la mediana (el valor medio cuando los datos están ordenados);
- la moda (el valor más frecuente).
Una medida de variación muestra qué tan dispersos están los datos:
- el rango (de datos) (más alto $-$ más bajo);
- el rango intercuartílico (cuartil superior $-$ cuartil inferior);
- la desviación estándar $\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum x^2}{n} - \bar{x}^2}$.
A menudo trabaja con los totales $\sum x$ y $\sum x^2$. El cuadrado de la desviación estándar es la varianza.
Ejemplo resuelto. Para $10$ valores, $\sum x = 50$ y $\sum x^2 = 300$. Encuentre la media y la desviación estándar.
$$\bar{x} = \frac{50}{10} = 5, \qquad \sigma = \sqrt{\frac{300}{10} - 5^2} = \sqrt{30 - 25} = \sqrt{5} = 2.24.$$
El codificación facilita el manejo de números grandes. Reemplace cada valor por $t=x-a$ para una media supuesta conveniente $a$. Entonces $\bar{x}=a+\bar{t}$, mientras que la desviación estándar permanece invariable (desplazar todos los valores no dispersa los datos). Así, a partir de los totales codificados $\sum(x-a)$ y $\sum(x-a)^2$, obtiene $\bar x$ y $\sigma$ directamente, y puede comparar dos conjuntos de datos a través de sus totales codificados.
Explorar
Dispersión y la campana
P(−k < Z < k)
La dispersión se mide en desviaciones estándar: aproximadamente el 68% de los datos se encuentran dentro de 1 desviación estándar, el 95% dentro de 2.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| stem-and-leaf diagram/stem ænd liːf ˈdaɪəɡræm/ | 茎叶图 | jīng yè tú |
| back-to-back/bæk tə bæk/ | 背靠背 | bèi kào bèi |
| box-and-whisker plot/bɒks ænd ˈwɪskə plɒt/ | 箱线图 | xiāng xiàn tú |
| histogram/ˈhɪstəɡræm/ | 直方图 | zhí fāng tú |
| cumulative frequency/ˈkjuːmjʊlətɪv ˈfriːkwənsi/ | 累积频数 | lěi jī pín shuò |
| measure of central tendency/ˈmeʒə ɒv ˈsentrəl ˈtendənsi/ | 集中趋势 | jí zhōng qū shì |
| mean/miːn/ | 平均数 | píng jūn shù |
| median/ˈmiːdiːən/ | 中位数 | zhōng wèi shù |
5.2
Permutaciones y combinaciones
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| • comprender los términos permutación y combinación, y resolver problemas simples que impliquen selecciones | |
| • resolver problemas sobre la disposición de objetos en una línea, incluidos aquellos que involucran – repetición (p. ej., el número de formas de ordenar las letras de la palabra ‘NEEDLESS’) – restricciones (p. ej., el número de formas en que varias personas pueden colocarse en fila si dos personas específicas deben, o no deben, estar una al lado de la otra). | Las preguntas pueden incluir casos como personas sentadas en dos (o más) filas. No se incluirán preguntas sobre objetos dispuestos en un círculo. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Una permutación es un arreglo donde el orden importa; una combinación es una selección donde el orden no importa. Los números son
$${}^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}, \qquad {}^nC_r = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}.$$
Para organizar objetos en una línea cuando algunos se repiten, divida por el factorial de cada cuenta de repeticiones.
Ejemplo resuelto. ¿Cuántos arreglos diferentes hay de las letras de la palabra NEEDLESS?
Hay $8$ letras, con E repetido $3$ veces y S repetido $2$ veces:
$$\frac{8!}{3!\,2!} = \frac{40320}{6 \times 2} = 3360.$$
Explorar
Laboratorio de permutación o combinación
Elegir si el orden importa en un problema de conteo.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| range (of data)/reɪndʒ/ | 极差 | jí chà |
| interquartile range/ˌɪntəˈkwɔːtaɪl reɪndʒ/ | 四分位距 | sì fēn wèi jù |
| standard deviation/ˈstændəd ˌdiːvɪˈeɪʃn/ | 标准差 | biāo zhǔn chà |
| variance/ˈveərɪəns/ | 方差 | fāng chà |
| Coding/ˈkəʊdɪŋ/ | 编码 | biān mǎ |
| assumed mean/əˈsjuːmd miːn/ | 假定平均数 | jiǎ dìng píng jūn shù |
| permutation/ˌpɜːmjuːˈteɪʃn/ | 排列 | pái liè |
| combination/ˌkɒmbɪˈneɪʃn/ | 组合 | zǔ hé |
| mutually exclusive events/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv ɪˈvents/ | 互斥事件 | hù chì shì jiàn |
| independent events/ˌɪndɪˈpendənt ɪˈvents/ | 独立事件 | dú lì shì jiàn |
| conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | 条件概率 | tiáo jiàn gài lǜ |
| discrete random variable/dɪˈskriːt ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | 离散型随机变量 | lí sàn xíng suí jī biàn liàng |
| probability distribution table/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˌdɪstrɪˈbjuːʃn ˈteɪbl/ | 概率分布表 | gài lǜ fēn bù biǎo |
| expectation/ekspɪkˈteɪʃn/ | 期望 | qī wàng |
| binomial distribution/baɪˈnəʊmɪəl ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | 二项分布 | èr xiàng fēn bù |
| geometric distribution/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | 几何分布 | jǐ hé fēn bù |
5.3
Probabilidad
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| evaluar probabilidades en casos simples mediante la enumeración de eventos elementales equiprobables, o mediante el cálculo utilizando permutaciones o combinaciones | p. ej. la puntuación total al lanzar dos dados justos. p. ej. extraer bolas al azar de una bolsa que contiene bolas de diferentes colores. |
| usar la suma y multiplicación de probabilidades, según corresponda, en casos simples | No se requiere el uso explícito de la fórmula general $\text{P}(A \cup B) = \text{P}(A) + \text{P}(B) - \text{P}(A \cap B)$. |
| comprender el significado de eventos exclusivos e independientes, incluida la determinación de si los eventos $A$ y $B$ son independientes comparando los valores de $\text{P}(A \cap B)$ y $\text{P}(A) \times \text{P}(B)$ | |
| calcular y usar probabilidades condicionales en casos simples. | p. ej. situaciones que pueden representarse mediante un espacio muestral de eventos elementales equiprobables o mediante un diagrama de árbol. Puede requerirse el uso de $\text{P}(A|B) = \frac{\text{P}(A \cap B)}{\text{P}(B)}$ en casos simples. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Encuentre una probabilidad contando resultados igualmente probables, o usando permutaciones y combinaciones. Combine probabilidades con estas reglas:
- adición para "o": $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$;
- multiplicación para "y" cuando los eventos son independientes: $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$.
Dos eventos son eventos mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir ambos, y eventos independientes si que ocurra uno no cambia la probabilidad del otro. Para probar la independencia, verifique si $P(A \cap B) = P(A)\times P(B)$. Una probabilidad condicional es la probabilidad de $A$ dado que $B$ ha ocurrido: $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
Ejemplo resuelto. Los eventos tienen $P(A) = 0.5$, $P(B) = 0.4$ y $P(A \cap B) = 0.2$. ¿Son $A$ y $B$ independientes?
Prueba: $P(A)\times P(B) = 0.5 \times 0.4 = 0.2 = P(A \cap B)$. Los valores son iguales, por lo tanto $A$ y $B$ son independientes.
Explorar
Probabilidad condicional
Cambia las probabilidades y lee el árbol. Así es como P(A y B) y la probabilidad condicional encajan juntas.
5.4
Variables aleatorias discretas
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| elaborar una tabla de distribución de probabilidad correspondiente a una situación dada que involucre una variable aleatoria discreta $X$, y calcular $\text{E}(X)$ y $\text{Var}(X)$ | |
| utilizar fórmulas para probabilidades en las distribuciones binomial y geométrica, y reconocer situaciones prácticas donde estas distribuciones son modelos adecuados | Incluyendo las notaciones $\text{B}(n, p)$ y $\text{Geo}(p)$. $\text{Geo}(p)$ denota la distribución en la cual $p_r = p(1 - p)^{r-1}$ para $r = 1, 2, 3, \dots$. |
| utilizar fórmulas para la esperanza y la varianza de la distribución binomial y para la esperanza de la distribución geométrica. | No se requieren demostraciones de las fórmulas. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Una variable aleatoria discreta $X$ toma valores separados, cada uno con una probabilidad. Enlistéelos en una tabla de distribución de probabilidad; las probabilidades deben sumar $1$. Luego la esperanza (media) y la varianza son
$$E(X) = \sum x\,P(X = x), \qquad \mathrm{Var}(X) = \sum x^2\,P(X = x) - \big(E(X)\big)^2.$$
Dos modelos especiales:
- la distribución binomial $X \sim B(n, p)$, para el número de éxitos en $n$ ensayos independientes: $P(X = r) = \binom{n}{r}p^r(1-p)^{n-r}$, con $E(X) = np$ y $\mathrm{Var}(X) = np(1-p)$;
- la distribución geométrica, para el ensayo en el que ocurre el primer éxito: $P(X = r) = (1-p)^{r-1}p$, con $E(X) = \dfrac{1}{p}$.
Ejemplo resuelto. $X \sim B(10, 0.3)$. Encuentre $P(X = 2)$ y $E(X)$.
$$P(X = 2) = \binom{10}{2}(0.3)^2(0.7)^8 = 45 \times 0.09 \times 0.05765 = 0.233, \qquad E(X) = 10 \times 0.3 = 3.$$
Explorar
Una distribución discreta
Cambia n y p para una distribución binomial y observa las barras: la probabilidad de cada número de éxitos.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| mode/məʊd/ | 众数 | zhòng shù |
| variation/ˌveərɪˈeɪʃn/ | 离散程度 | lí sàn chéng dù |
5.5
La distribución normal
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| comprender el uso de una distribución normal para modelar una variable aleatoria continua, y utilizar tablas de la distribución normal | Pueden requerirse bosquejos de curvas normales para ilustrar distribuciones o probabilidades. |
| resolver problemas relativos a una variable $X$, donde $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, incluyendo: – calcular el valor de $P(X > x_1)$, u otra probabilidad relacionada, dados los valores de $x_1$, $\mu$, $\sigma$. – encontrar una relación entre $x_1$, $\mu$ y $\sigma$ dado el valor de $P(X > x_1)$ u otra probabilidad relacionada | Para los cálculos que involucren la estandarización, se debe mostrar el desarrollo completo del procedimiento. Ej.: $Z = \frac{(X - \mu)}{\sigma}$ |
| recordar las condiciones bajo las cuales la distribución normal puede utilizarse como aproximación a la distribución binomial, y aplicar esta aproximación, con una corrección de continuidad, al resolver problemas. | $n$ lo suficientemente grande para asegurar que tanto $np > 5$ como $nq > 5$. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
La distribución normal modela una variable aleatoria continua con una forma de campana simétrica. Escriba $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, donde $\mu$ es la media y $\sigma$ es la desviación estándar. Para usar las tablas, mediante la estandarización convierta a la variable $Z \sim N(0, 1)$:
$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}.$$
Entonces $P(X < x) = P\!\left(Z < \dfrac{x - \mu}{\sigma}\right)$, lo cual se lee de la tabla normal $\Phi$.
La distribución normal también es una buena aproximación a la binomial cuando $n$ es grande. Como reemplaza una variable discreta por una continua, aplique una corrección de continuidad (ajuste por $0.5$).
Ejemplo resuelto. Las bolsas de arroz tienen masa $X \sim N(\mu, 0.14^2)$. Dado que $P(X < 1.48) = 0.22$, encuentre $\mu$.
De la tabla, $P(Z < z) = 0.22$ da $z = -0.772$. Por lo tanto
$$\frac{1.48 - \mu}{0.14} = -0.772 \;\Rightarrow\; \mu = 1.48 + 0.772 \times 0.14 = 1.59\ \text{kg (3 s.f.)}.$$
Explorar
La distribución normal
Sombrea el área para encontrar una probabilidad. Un valor z mide cuántas desviaciones estándar está un punto de la media.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| normal distribution/ˈnɔːml ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | 正态分布 | zhèng tài fēn bù |
| continuous random variable/kənˈtɪnjuːəs ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | 连续型随机变量 | lián xù xíng suí jī biàn liàng |
| standardisation/ˌstændədaɪˈzeɪʃn/ | 标准化 | biāo zhǔn huà |
| approximation/əˌprɒksɪˈmeɪʃn/ | 近似 | jìn sì |
| continuity correction/kɒntɪˈnjuːɪti kəˈrekʃn/ | 连续性校正 | lián xù xìng jiào zhèng |
| Probability & Statistics/ˌprɒbəˈbɪlɪti ænd stəˈtɪstɪks/ | 概率统计 | gài lǜ tǒng jì |
| central tendency/ˈsentrəl ˈtendənsi/ | 集中趋势 | jí zhōng qū shì |
5.5
Consejos para el examen
- Decida si el orden importa: permutaciones ($^nP_r$) si importa, combinaciones ($^nC_r$) si no importa.
- Para una variable aleatoria discreta, verifique que las probabilidades sumen $1$ y use $E(X) = \sum x\,P(X=x)$.
- Para la distribución normal, estandice con $z = (x - \mu)/\sigma$, dibuje y sombre, luego lea la tabla.
- Aplique una corrección de continuidad al aproximar una variable discreta por la normal.
Lecciones interactivas sobre este tema
Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.