A-Level Matemáticas · Topic 1 · Tema 1
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Matemáticas Puras 1
Observe un gran puente colgante. Su cable masivo no tiene forma aleatoria — cuelga en una parábola perfecta, una curva que puede escribirse con una sola ecuación. El…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Narración en inglés · Subtítulos en inglés + 中文 quemados en pantalla
This handout covers Topic 1: Pure Mathematics 纯数学 1. It is the algebra 代数 and calculus 微积分 core of the course. Each ## section is one syllabus subtopic.
Este folleto cubre el Tema 1: Matemáticas Puras 纯数学 1. Es el núcleo de álgebra 代数 y cálculo 微积分 del curso. Cada ## sección es un subtema del plan de estudios.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| carry out the process of completing the square for a quadratic polynomial $ax^2 + bx + c$ and use a completed square form | e.g. to locate the vertex of the graph of $y = ax^2 + bx + c$ or to sketch the graph |
| find the discriminant of a quadratic polynomial $ax^2 + bx + c$ and use the discriminant | e.g. to determine the number of real roots of the equation $ax^2 + bx + c = 0$. Knowledge of the term ‘repeated root’ is included. |
| solve quadratic equations, and quadratic inequalities, in one unknown | By factorising, completing the square and using the formula. |
| solve by substitution a pair of simultaneous equations of which one is linear and one is quadratic | e.g. $x + y + 1 = 0$ and $x^2 + y^2 = 25$, $2x + 3y = 7$ and $3x^2 = 4 + 4xy$. |
| recognise and solve equations in $x$ which are quadratic in some function of $x$. | e.g. $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$, $6x + \sqrt{x} - 1 = 0$, $\tan^2 x = 1 + \tan x$. |
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| realizar el proceso de completar el cuadrado para un polinomio cuadrático $ax^2 + bx + c$ y utilizar una forma de cuadrado completado | p. ej. para localizar el vértice de la gráfica de $y = ax^2 + bx + c$ o para esbozar la gráfica |
| encontrar el discriminante de un polinomio cuadrático $ax^2 + bx + c$ y usar el discriminante | p. ej. para determinar el número de raíces reales de la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$. Se incluye el conocimiento del término 'raíz repetida'. |
| resolver ecuaciones cuadráticas e inecuaciones cuadráticas en una incógnita | Mediante factorización, completando el cuadrado y usando la fórmula. |
| resolver por sustitución un par de ecuaciones simultáneas de las que una sea lineal y la otra cuadrática | p. ej. $x + y + 1 = 0$ y $x^2 + y^2 = 25$, $2x + 3y = 7$ y $3x^2 = 4 + 4xy$. |
| reconocer y resolver ecuaciones en $x$ que son cuadráticas en alguna función de $x$. | p. ej. $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$, $6x + \sqrt{x} - 1 = 0$, $\tan^2 x = 1 + \tan x$. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
A quadratic 二次式 is an expression of the form $ax^2 + bx + c$, where $a \neq 0$. The letters $a$, $b$, $c$ are the coefficients 系数 (the fixed numbers). Much of this section is about solving the equation $ax^2 + bx + c = 0$.
To complete the square 配方 means to write the quadratic in the form
Worked example. Write $9x^2 - 36x + 8$ in the form $p(x + q)^2 + r$.
Take the factor $9$ out of the first two terms, then complete the square inside:
The discriminant 判别式 of $ax^2 + bx + c$ is
| Discriminant | Roots |
|---|---|
| $b^2 - 4ac > 0$ | two distinct 相异 real roots |
| $b^2 - 4ac = 0$ | one repeated real root |
| $b^2 - 4ac < 0$ | no real roots |
Worked example. Find the values of the constant $k$ for which $3kx^2 + (k + 8)x + 3 = 0$ has two distinct real roots.
Here $a = 3k$, $b = k + 8$, $c = 3$. For two distinct real roots you need $b^2 - 4ac > 0$:
To solve a quadratic equation 二次方程, factorise, complete the square, or use the formula
To solve a pair of simultaneous equations 联立方程 where one is linear and one is quadratic, use substitution 代入: rearrange the linear equation for one letter, then put that into the quadratic. This gives a single quadratic to solve.
Some equations are quadratic in some function of $x$. For example $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ is quadratic in $x^2$: let $u = x^2$, solve $u^2 - 5u + 4 = 0$, then go back to $x$. You will use this idea again in trigonometry.
Una cuadrática 二次式 es una expresión de la forma $ax^2 + bx + c$, donde $a \neq 0$. Las letras $a$, $b$, $c$ son los coeficientes 系数 (los números fijos). Gran parte de esta sección trata sobre resolver la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$.
Completar el cuadrado 配方 significa escribir la cuadrática en la forma
Ejemplo resuelto. Escribe $9x^2 - 36x + 8$ en la forma $p(x + q)^2 + r$.
Saca el factor $9$ de los dos primeros términos, luego completa el cuadrado dentro:
El discriminante 判别式 de $ax^2 + bx + c$ es
| Discriminante | Raíces |
|---|---|
| $b^2 - 4ac > 0$ | dos raíces reales distintas 相异 |
| $b^2 - 4ac = 0$ | una raíz real repetida |
| $b^2 - 4ac < 0$ | no hay raíces reales |
Ejemplo resuelto. Encuentra los valores de la constante $k$ para los cuales $3kx^2 + (k + 8)x + 3 = 0$ tenga dos raíces reales distintas.
Aquí $a = 3k$, $b = k + 8$, $c = 3$. Para tener dos raíces reales distintas necesitas $b^2 - 4ac > 0$:
Para resolver una ecuación cuadrática 二次方程, factoriza, completa el cuadrado, o usa la fórmula
Para resolver un par de ecuaciones simultáneas 联立方程 donde una es lineal y la otra cuadrática, usa sustitución 代入: reorganiza la ecuación lineal para una letra, luego sustituye eso en la cuadrática. Esto da una sola cuadrática para resolver.
Algunas ecuaciones son cuadráticas en alguna función de $x$. Por ejemplo, $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ es cuadrática en $x^2$: haga $u = x^2$, resuelva $u^2 - 5u + 4 = 0$, luego vuelva a $x$. Usará esta idea nuevamente en trigonometría.
y = ax² + bx + c
Arrastra a, b y c. Observa cómo se mueven el vértice, la línea de simetría y las raíces (donde corta al eje x) a medida que cambian los coeficientes.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| Pure Mathematics/pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | 纯数学 | chún shù xué |
| quadratic/kwɒˈdrætɪk/ | 二次式 | èr cì shì |
| complete the square/kəmˈpliːt ðə skweə/ | 配方 | pèi fāng |
| vertex/ˈvɜːteks/ | 顶点 | dǐng diǎn |
| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | 判别式 | pàn bié shì |
| real roots/rɪəl ruːts/ | 实根 | shí gēn |
| distinct/dɪˈstɪŋkt/ | 相异 | xiāng yì |
| quadratic equation/kwɒˈdrætɪk ɪˈkweɪʒn/ | 二次方程 | èr cì fāng chéng |
| quadratic inequality/kwɒˈdrætɪk ɪniːˈkwɒlɪti/ | 二次不等式 | èr cì bù děng shì |
| simultaneous equations/ˌsɪməlˈteɪnɪəs ɪˈkweɪʒnz/ | 联立方程 | lián lì fāng chéng |
| substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | 代入 | dài rù |
| function/ˈfʌŋkʃn/ | 函数 | hán shù |
| composition of functions/ˌkɒmpəˈzɪʃn ɒv ˈfʌŋkʃnz/ | 复合函数 | fù hé hán shù |
| domain/dəˈmeɪn/ | 定义域 | dìng yì yù |
| range/reɪndʒ/ | 值域 | zhí yù |
| one-one/wʌn wʌn/ | 一一对应 | yī yī duì yìng |
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | 反函数 | fǎn hán shù |
| composition/ˌkɒmpəˈzɪʃn/ | 复合 | fù hé |
| parabola/pəˈræbələ/ | 抛物线 | pāo wù xiàn |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the terms function, domain, range, one-one function, inverse function and composition of functions | |
| identify the range of a given function in simple cases, and find the composition of two given functions | e.g. range of $f : x \mapsto \frac{1}{x}$ for $x \geqslant 1$ and range of $g : x \mapsto x^2 + 1$ for $x \in \mathbb{R}$. Including the condition that a composite function $gf$ can only be formed when the range of $f$ is within the domain of $g$. |
| determine whether or not a given function is one-one, and find the inverse of a one-one function in simple cases | e.g. finding the inverse of $h : x \mapsto (2x + 3)^2 - 4$ for $x < -\frac{3}{2}$. |
| illustrate in graphical terms the relation between a one-one function and its inverse | Sketches should include an indication of the mirror line $y = x$. |
| understand and use the transformations of the graph of $y = f(x)$ given by $y = f(x) + a$, $y = f(x + a)$, $y = af(x)$, $y = f(ax)$ and simple combinations of these. | Including use of the terms ‘translation’, ‘reflection’ and ‘stretch’ in describing transformations. Questions may involve algebraic or trigonometric functions, or other graphs with given features. |
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| comprender los términos función, dominio, imagen (o conjunto de valores), función inyectiva (uno a uno), función inversa y composición de funciones | |
| identificar la imagen (conjunto de valores) de una función dada en casos simples, y hallar la composición de dos funciones dadas | p. ej., imagen de $f : x \mapsto \frac{1}{x}$ para $x \geqslant 1$ e imagen de $g : x \mapsto x^2 + 1$ para $x \in \mathbb{R}$. Incluyendo la condición de que una función compuesta $gf$ solo puede formarse cuando la imagen de $f$ está contenida en el dominio de $g$. |
| determinar si una función dada es inyectiva (uno a uno) o no, y hallar la inversa de una función inyectiva en casos simples | p. ej., encontrar la inversa de $h : x \mapsto (2x + 3)^2 - 4$ para $x < -\frac{3}{2}$. |
| ilustrar gráficamente la relación entre una función inyectiva (uno a uno) y su inversa | Los bocetos deben incluir una indicación de la recta reflejante $y = x$. |
| comprender y aplicar las transformaciones de la gráfica de $y = f(x)$ dadas por $y = f(x) + a$, $y = f(x + a)$, $y = af(x)$, $y = f(ax)$ y combinaciones sencillas de estas. | Incluyendo el uso de los términos ‘traslación’, ‘reflexión’ y ‘estiramiento’ para describir transformaciones. Las preguntas pueden implicar funciones algebraicas o trigonométricas, u otras gráficas con características dadas. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
A function 函数 is a rule that sends each input to exactly one output. Write it as $f(x)$. The composition of functions 复合函数 $fg(x)$ means apply $g$ first, then apply $f$ to the result.
A function is one-one 一一对应 if different inputs always give different outputs. (No output is repeated.) Only a one-one function has an inverse function 反函数 $f^{-1}$, which reverses the rule.
The composition 复合 of two functions means doing one after the other. $fg(x)$ means "do $g$ first, then $f$": $fg(x) = f(g(x))$. The composite function $fg$ exists only when the range of $g$ lies inside the domain of $f$.
To find $f^{-1}$: write $y = f(x)$, make $x$ the subject, then swap letters.
Worked example. The function $f(x) = (x + 3)^2 - 12$ is defined for $x \geqslant 0$. Find $f^{-1}(x)$.
Write $y = (x + 3)^2 - 12$ and solve for $x$:
The graph of $y = f^{-1}(x)$ is the reflection 反射 of $y = f(x)$ in the line $y = x$.
You should know these transformations 变换 of $y = f(x)$:
| New equation | Effect on the graph |
|---|---|
| $y = f(x) + a$ | translation 平移 up by $a$ |
| $y = f(x + a)$ | translation left by $a$ |
| $y = a\,f(x)$ | stretch 伸缩 in the $y$-direction, scale factor $a$ |
| $y = f(ax)$ | stretch in the $x$-direction, scale factor $\tfrac{1}{a}$ |
When two transformations are combined, the order can matter. State each one fully (type, direction, and amount).
Una función 函数 es una regla que asigna cada entrada a exactamente una salida. Escríbala como $f(x)$. La composición de funciones 复合函数 $fg(x)$ significa aplicar primero $g$ y luego aplicar $f$ al resultado.
Una función es uno-a-uno 一一对应 si las entradas diferentes siempre producen salidas diferentes. (Ninguna salida se repite.) Solo una función uno-a-uno tiene una función inversa 反函数 $f^{-1}$, que invierte la regla.
La composición 复合 de dos funciones significa hacer una después de la otra. $fg(x)$ significa "haga primero $g$, luego $f$": $fg(x) = f(g(x))$. La función compuesta $fg$ existe solo cuando el rango de $g$ está contenido dentro del dominio de $f$.
Para encontrar $f^{-1}$: escriba $y = f(x)$, despeje $x$, luego intercambie las letras.
Ejemplo resuelto. La función $f(x) = (x + 3)^2 - 12$ está definida para $x \geqslant 0$. Encuentre $f^{-1}(x)$.
Escriba $y = (x + 3)^2 - 12$ y resuelva para $x$:
La gráfica de $y = f^{-1}(x)$ es la reflexión 反射 de $y = f(x)$ respecto a la recta $y = x$.
Deberías conocer estas transformaciones 变换 de $y = f(x)$:
| Nueva ecuación | Efecto en la gráfica |
|---|---|
| $y = f(x) + a$ | traslación 平移 hacia arriba en $a$ |
| $y = f(x + a)$ | traslación hacia la izquierda en $a$ |
| $y = a\,f(x)$ | estiramiento 伸缩 en la dirección $y$, factor de escala $a$ |
| $y = f(ax)$ | estiramiento en la dirección $x$, factor de escala $\tfrac{1}{a}$ |
Cuando se combinan dos transformaciones, el orden puede importar. Enuncie cada una completamente (tipo, dirección y cantidad).
y = ax³ + bx² + cx + d
Una función convierte cada entrada en exactamente una salida — arrastra los coeficientes y observa dónde la curva sube y baja.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| reflection/rɪˈflekʃn/ | 反射 | fǎn shè |
| transformations/trænsfɔːˈmeɪʃnz/ | 变换 | biàn huàn |
| translation/trænˈsleɪʃn/ | 平移 | píng yí |
| stretch/stretʃ/ | 伸缩 | shēn suō |
| Coordinate geometry/kəʊˈɔːdɪnət dʒiˈɒmətri/ | 坐标几何 | zuò biāo jǐ hé |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| find the equation of a straight line given sufficient information | e.g. given two points, or one point and the gradient. |
| interpret and use any of the forms $y = mx + c$, $y - y_1 = m(x - x_1)$, $ax + by + c = 0$ in solving problems | Including calculations of distances, gradients, midpoints, points of intersection and use of the relationship between the gradients of parallel and perpendicular lines. |
| understand that the equation $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ represents the circle with centre $(a, b)$ and radius $r$ | Including use of the expanded form $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$. |
| use algebraic methods to solve problems involving lines and circles | Including use of elementary geometrical properties of circles, e.g. tangent perpendicular to radius, angle in a semicircle, symmetry. Implicit differentiation is not included. |
| understand the relationship between a graph and its associated algebraic equation, and use the relationship between points of intersection of graphs and solutions of equations. | e.g. to determine the set of values of $k$ for which the line $y = x + k$ intersects, touches or does not meet a quadratic curve. |
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| encontrar la ecuación de una recta dados datos suficientes | p. ej., dados dos puntos, o un punto y la pendiente. |
| interpretar y utilizar cualquiera de las formas $y = mx + c$, $y - y_1 = m(x - x_1)$, $ax + by + c = 0$ para resolver problemas | Incluyendo cálculos de distancias, pendientes, puntos medios, puntos de intersección y uso de la relación entre las pendientes de rectas paralelas y perpendiculares. |
| comprender que la ecuación $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ representa una circunferencia con centro $(a, b)$ y radio $r$ | Incluyendo el uso de la forma desarrollada $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$. |
| usar métodos algebraicos para resolver problemas con rectas y circunferencias | Incluyendo el uso de propiedades geométricas elementales de las circunferencias, p. ej., tangente perpendicular al radio, ángulo en una semicircunferencia, simetría. La derivación implícita no está incluida. |
| comprender la relación entre una gráfica y su ecuación algebraica asociada, y usar la relación entre los puntos de intersección de gráficas y las soluciones de ecuaciones. | p. ej., para determinar el conjunto de valores de $k$ para los cuales la recta $y = x + k$ intersecta, toca o no se encuentra con una curva cuadrática. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Coordinate geometry 坐标几何 studies lines and circles using their equations.
The gradient 斜率 (steepness) of the line joining $(x_1, y_1)$ and $(x_2, y_2)$ is
The circle 圆 with centre 圆心 $(a, b)$ and radius 半径 $r$ has equation
A tangent 切线 to a circle touches it at one point and is perpendicular to the radius at that point. This right-angle fact solves most circle problems.
Worked example. The points $P(1, 1)$ and $Q(7, 11)$ are the ends of a diameter 直径 of a circle. Find the equation of the circle.
The centre is the midpoint of $PQ$:
Geometría analítica 坐标几何 estudia líneas y círculos mediante sus ecuaciones.
La pendiente 斜率 (inclinación) de la recta que une $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ es
El círculo 圆 con centro 圆心 $(a, b)$ y radio 半径 $r$ tiene ecuación
Una tangente 切线 a un círculo lo toca en un solo punto y es perpendicular al radio en ese punto. Este hecho del ángulo recto resuelve la mayoría de los problemas sobre círculos.
Ejemplo resuelto. Los puntos $P(1, 1)$ y $Q(7, 11)$ son los extremos de un diámetro 直径 de un círculo. Encuentre la ecuación del círculo.
El centro es el punto medio de $PQ$:
y = ax + b
La pendiente a inclina la recta; el intercepto b la desplaza verticalmente.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | 垂直 | chuí zhí |
| circle/ˈsɜːkl/ | 圆 | yuán |
| centre/ˈsentə/ | 圆心 | yuán xīn |
| radius/ˈreɪdɪəs/ | 半径 | bàn jìng |
| tangent/ˈtændʒənt/ | 切线 | qiè xiàn |
| diameter/daɪˈæmɪtə/ | 直径 | zhí jìng |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the definition of a radian, and use the relationship between radians and degrees | |
| use the formulae $s = r\theta$ and $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ in solving problems concerning the arc length and sector area of a circle. | Including calculation of lengths and angles in triangles and areas of triangles. |
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| comprender la definición de un radián, y utilizar la relación entre radianes y grados | |
| usar las fórmulas $s = r\theta$ y $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ para resolver problemas relacionados con la longitud de arco y el área de un sector de un círculo. | Incluye el cálculo de longitudes y ángulos en triángulos, así como áreas de triángulos. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
A radian 弧度 is another way to measure angles. One radian is the angle at the centre of a circle that cuts off an arc 弧 equal in length to the radius. The link between radians and degrees 度 is
For a sector 扇形 with radius $r$ and angle $\theta$ in radians:
Worked example. A sector has centre $O$ and the angle at $O$ is $\tfrac{2}{3}\pi$ radians. Show that the segment cut off by the chord has area about $0.614 r^2$.
Un radián 弧度 es otra manera de medir ángulos. Un radián es el ángulo en el centro de un círculo que subtiende un arco 弧 cuya longitud es igual al radio. El vínculo entre radianes y grados 度 es
Para un sector 扇形 con radio $r$ y ángulo $\theta$ en radianes:
Ejemplo resuelto. Un sector tiene su centro en $O$ y el ángulo en $O$ es $\tfrac{2}{3}\pi$ radianes. Demuestre que el área del segmento recortado por la cuerda es aproximadamente $0.614 r^2$.
Cambia el ángulo (en radianes) y el radio. Observa cómo se actualizan la longitud de arco $s = r\theta$ y el área del sector $\tfrac12 r^2\theta$.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| radian/ˈreɪdɪən/ | 弧度 | hú dù |
| arc/ɑːk/ | 弧 | hú |
| degrees/dɪˈɡriːz/ | 度 | dù |
| sector/ˈsektə/ | 扇形 | shàn xíng |
| chord/kɔːd/ | 弦 | xián |
| segment/ˈseɡmənt/ | 弓形 | gōng xíng |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| sketch and use graphs of the sine, cosine and tangent functions (for angles of any size, and using either degrees or radians) | Including e.g. $y = 3 \sin x$, $y = 1 - \cos 2x$, $y = \tan(x + \frac{1}{4}\pi)$. |
| use the exact values of the sine, cosine and tangent of $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, and related angles | e.g. $\cos 150^\circ = -\frac{1}{2}\sqrt{3}$, $\sin \frac{3}{4}\pi = \frac{1}{\sqrt{2}}$. |
| use the notations $\sin^{-1} x$, $\cos^{-1} x$, $\tan^{-1} x$ to denote the principal values of the inverse trigonometric relations | No specialised knowledge of these functions is required, but understanding of them as examples of inverse functions is expected. |
| use the identities $\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \equiv \tan \theta$ and $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta \equiv 1$ | e.g. in proving identities, simplifying expressions and solving equations. |
| find all the solutions of simple trigonometrical equations lying in a specified interval (general forms of solution are not included). | e.g. solve $3 \sin 2x + 1 = 0$ for $-\pi < x < \pi$, $3 \sin^2 \theta - 5 \cos \theta - 1 = 0$ for $0^\circ \leqslant \theta \leqslant 360^\circ$. |
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| esbozar y utilizar gráficas de las funciones seno, coseno y tangente (para ángulos de cualquier magnitud, utilizando tanto grados como radianes) | Incluyendo p. ej. $y = 3 \sin x$, $y = 1 - \cos 2x$, $y = \tan(x + \frac{1}{4}\pi)$. |
| utilizar los valores exactos del seno, coseno y tangente de $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ y ángulos relacionados | p. ej. $\cos 150^\circ = -\frac{1}{2}\sqrt{3}$, $\sin \frac{3}{4}\pi = \frac{1}{\sqrt{2}}$. |
| utilizar las notaciones $\sin^{-1} x$, $\cos^{-1} x$, $\tan^{-1} x$ para denotar los valores principales de las relaciones trigonométricas inversas | No se requiere conocimiento especializado de estas funciones, pero sí se espera que comprendan su naturaleza como ejemplos de funciones inversas. |
| utilizar las identidades $\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \equiv \tan \theta$ y $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta \equiv 1$ | p. ej. en la demostración de identidades, simplificación de expresiones y resolución de ecuaciones. |
| encontrar todas las soluciones de ecuaciones trigonométricas simples dentro de un intervalo especificado (las formas generales de solución no están incluidas). | p. ej. resolver $3 \sin 2x + 1 = 0$ para $-\pi < x < \pi$, $3 \sin^2 \theta - 5 \cos \theta - 1 = 0$ para $0^\circ \leqslant \theta \leqslant 360^\circ$. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
You must know the shape of the graphs of the sine 正弦, cosine 余弦 and tangent function 正切 (written $\sin$, $\cos$, $\tan$). The sine and cosine graphs wave between $-1$ and $1$ and repeat every $360^\circ$ ($2\pi$). Learn these exact values:
| $\theta$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ |
|---|---|---|---|
| $\sin\theta$ | $\tfrac12$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ |
| $\cos\theta$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac12$ |
| $\tan\theta$ | $\tfrac{1}{\sqrt3}$ | $1$ | $\sqrt3$ |
The notations $\sin^{-1}x$, $\cos^{-1}x$, $\tan^{-1}x$ mean the inverse angle (the principal value 主值).
An identity 恒等式 is true for every value of the angle. The two you must know are
To solve a trigonometric equation 三角方程, first reduce it to one function, then find every solution in the given interval.
Worked example. Solve $6\sin\theta = 1 + \dfrac{2}{\sin\theta}$ for $-180^\circ < \theta < 180^\circ$.
Multiply through by $\sin\theta$ to clear the fraction. This makes a quadratic in $\sin\theta$:
The four solutions are $\theta = -150^\circ,\ -30^\circ,\ 41.8^\circ,\ 138.2^\circ$.
Debes conocer la forma de las gráficas de las funciones seno 正弦, coseno 余弦 y tangente 正切 (escritas $\sin$, $\cos$, $\tan$). Las gráficas del seno y el coseno oscilan entre $-1$ y $1$ y se repiten cada $360^\circ$ ($2\pi$). Aprende estos valores exactos:
| $\theta$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ |
|---|---|---|---|
| $\sin\theta$ | $\tfrac12$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ |
| $\cos\theta$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac12$ |
| $\tan\theta$ | $\tfrac{1}{\sqrt3}$ | $1$ | $\sqrt3$ |
Las notaciones $\sin^{-1}x$, $\cos^{-1}x$, $\tan^{-1}x$ significan el ángulo inverso (el valor principal 主值).
Una identidad 恒等式 es verdadera para todo valor del ángulo. Las dos que debes conocer son
Para resolver una ecuación trigonométrica 三角方程, primero redúcela a una sola función y luego encuentra todas las soluciones en el intervalo dado.
Ejemplo resuelto. Resuelve $6\sin\theta = 1 + \dfrac{2}{\sin\theta}$ para $-180^\circ < \theta < 180^\circ$.
Multiplicando por $\sin\theta$ se elimina la fracción. Esto produce una ecuación cuadrática en $\sin\theta$:
Las cuatro soluciones son $\theta = -150^\circ,\ -30^\circ,\ 41.8^\circ,\ 138.2^\circ$.
Arrastra la amplitud, el periodo y los desplazamientos de y = a·sin(bx + c) + d y observa cómo cambia la curva respecto a la onda base.
Arrastra el ángulo alrededor del círculo unitario. La altura es $\sin\theta$, la distancia horizontal es $\cos\theta$: de ahí vienen los gráficos.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| sine/saɪn/ | 正弦 | zhèng xián |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | 余弦 | yú xián |
| tangent function/ˈtændʒənt ˈfʌŋkʃn/ | 正切 | zhèng qiē |
| principal value/ˈprɪnsɪpl ˈvæljuː/ | 主值 | zhǔ zhí |
| identity/aɪˈdentɪti/ | 恒等式 | héng děng shì |
| trigonometric equation/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ɪˈkweɪʒn/ | 三角方程 | sān jiǎo fāng chéng |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | 二项展开式 | èr xiàng zhǎn kāi shì |
| binomial coefficient/baɪˈnəʊmɪəl ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | 二项式系数 | èr xiàng shì xì shù |
| progression/prəˈɡreʃn/ | 数列 | shù liè |
| arithmetic progression/əˈrɪθmətɪk prəˈɡreʃn/ | 等差数列 | děng chā shù liè |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | 公差 | gōng chāi |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| use the expansion of $(a + b)^n$, where $n$ is a positive integer | Including the notations $\begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix}$ and $n!$ Knowledge of the greatest term and properties of the coefficients are not required. |
| recognise arithmetic and geometric progressions | |
| use the formulae for the $n$th term and for the sum of the first $n$ terms to solve problems involving arithmetic or geometric progressions | Including knowledge that numbers $a$, $b$, $c$ are 'in arithmetic progression' if $2b = a + c$ (or equivalent) and are 'in geometric progression' if $b^2 = ac$ (or equivalent). Questions may involve more than one progression. |
| use the condition for the convergence of a geometric progression, and the formula for the sum to infinity of a convergent geometric progression. |
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| utilizar la expansión de $(a + b)^n$, donde $n$ es un entero positivo | Incluye las notaciones $\begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix}$ y $n!$. No se requiere conocimiento del término mayor ni de las propiedades de los coeficientes. |
| reconocer progresiones aritméticas y geométricas | |
| usar las fórmulas para el término $n$-ésimo y para la suma de los primeros $n$ términos para resolver problemas que involucren progresiones aritméticas o geométricas | Incluye el conocimiento de que los números $a$, $b$, $c$ están en progresión aritmética si $2b = a + c$ (o equivalente) y están en progresión geométrica si $b^2 = ac$ (o equivalente). Las preguntas pueden involucrar más de una progresión. |
| usar la condición de convergencia de una progresión geométrica, y la fórmula para la suma al infinito de una progresión geométrica convergente. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
For a positive integer $n$, the binomial expansion 二项展开式 is
Worked example. Find the first three terms, in ascending powers of $x$, of $(2 - px)^5$.
A progression 数列 (sequence) is a list of terms following a rule.
A GP is convergent — it converges 收敛 (settles to a limit) — when $|r| < 1$. Then it has a sum to infinity 无穷和
Worked example. The third term of a GP is $18$ and the sum of the first three terms is $26$. The common ratio is negative. Find the sum to infinity.
From $ar^2 = 18$ you get $a = \dfrac{18}{r^2}$. Put this into $a(1 + r + r^2) = 26$:
Para un entero positivo $n$, la expansión binomial es
Ejemplo resuelto. Encuentre los primeros tres términos, en potencias crecientes de $x$, de $(2 - px)^5$.
Una progresión es una lista de términos que siguen una regla.
Una PG es convergente — converge (se asienta en un límite) — cuando $|r| < 1$. Entonces tiene una suma al infinito
Ejemplo resuelto. El tercer término de una PG es $18$ y la suma de los primeros tres términos es $26$. La razón común es negativa. Encuentre la suma al infinito.
De $ar^2 = 18$ se obtiene $a = \dfrac{18}{r^2}$. Sustituyendo esto en $a(1 + r + r^2) = 26$:
Alterna entre una secuencia aritmética (sumar d) y una geométrica (multiplicar por r) y observa cómo se construyen los términos y su suma.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | 无穷和 | wú qióng hé |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | 系数 | xì shù |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the gradient of a curve at a point as the limit of the gradients of a suitable sequence of chords, and use the notations $f'(x)$, $f''(x)$, $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$, and $\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$ for first and second derivatives | Only an informal understanding of the idea of a limit is expected. e.g. includes consideration of the gradient of the chord joining the points with $x$ coordinates $2$ and $(2 + h)$ on the curve $y = x^3$. Formal use of the general method of differentiation from first principles is not required. |
| use the derivative of $x^n$ (for any rational $n$), together with constant multiples, sums and differences of functions, and of composite functions using the chain rule | e.g. find $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$, given $y = \sqrt{2x^3 + 5}$. |
| apply differentiation to gradients, tangents and normals, increasing and decreasing functions and rates of change | Including connected rates of change, e.g. given the rate of increase of the radius of a circle, find the rate of increase of the area for a specific value of one of the variables. |
| locate stationary points and determine their nature, and use information about stationary points in sketching graphs. | Including use of the second derivative for identifying maxima and minima; alternatives may be used in questions where no method is specified. Knowledge of points of inflexion is not included. |
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| comprender la pendiente de una curva en un punto como el límite de las pendientes de una secuencia adecuada de cuerdas, y utilizar las notaciones $f'(x)$, $f''(x)$, $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$ y $\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$ para las primeras y segundas derivadas | Solo se espera una comprensión informal de la idea de límite. p. ej., incluye la consideración de la pendiente de la cuerda que une los puntos con coordenadas $x$ de $2$ y $(2 + h)$ en la curva $y = x^3$. No se requiere el uso formal del método general de diferenciación desde primeros principios. |
| usar la derivada de $x^n$ (para cualquier racional $n$), junto con multiplicadores constantes, sumas y restas de funciones, y de funciones compuestas utilizando la regla de la cadena | p. ej., encontrar $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$, dado $y = \sqrt{2x^3 + 5}$. |
| aplicar la diferenciación a pendientes, tangentes y normales, funciones crecientes y decrecientes y tasas de cambio | Incluyendo tasas de cambio conectadas, p. ej., dado la tasa de aumento del radio de un círculo, encontrar la tasa de aumento del área para un valor específico de una de las variables. |
| localizar puntos estacionarios y determinar su naturaleza, y utilizar información sobre puntos estacionarios al esbozar gráficas. | Incluye el uso de la segunda derivada para identificar máximos y mínimos; pueden usarse alternativas en preguntas donde no se especifica un método. El conocimiento de puntos de inflexión no está incluido. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Differentiation 微分 finds the gradient of a curve 曲线斜率 at each point. The gradient is the limit 极限 of the gradients of shorter and shorter chords, called the derivative 导数.
Write the derivative as $f'(x)$ or $\dfrac{dy}{dx}$. The basic rule is
A stationary point 驻点 is where $\dfrac{dy}{dx} = 0$. Test its nature with the second derivative: $f''(x) > 0$ gives a minimum point 极小值点, and $f''(x) < 0$ gives a maximum point 极大值点. When $f''(x) = 0$ the test is inconclusive: the point may be a point of inflexion 拐点, where the curve changes concavity (the way it bends) – check the sign of $\dfrac{dy}{dx}$ just before and after to decide.
Worked example. The curve $y = 4x^{1/2} - x$ has a maximum point at $x = a$. Find $a$.
Diferenciación encuentra la pendiente de una curva en cada punto. La pendiente es el límite de las pendientes de cuerdas cada vez más cortas, llamado derivada.
Escribe la derivada como $f'(x)$ o $\dfrac{dy}{dx}$. La regla básica es
Un punto estacionario 驻点 es donde $\dfrac{dy}{dx} = 0$. Prueba su naturaleza con la segunda derivada: $f''(x) > 0$ da un punto mínimo 极小值点, y $f''(x) < 0$ da un punto máximo 极大值点. Cuando $f''(x) = 0$ la prueba es inconclusa: el punto puede ser un punto de inflexión 拐点, donde la curva cambia de concavidad (la forma en que se curva) – verifica el signo de $\dfrac{dy}{dx}$ justo antes y después para decidir.
Ejemplo resuelto. La curva $y = 4x^{1/2} - x$ tiene un punto máximo en $x = a$. Encuentra $a$.
y = ax³ + bx² + cx + d
Desliza el punto a lo largo de la curva. La tangente muestra la pendiente $\frac{dy}{dx}$ allí: más pronunciada donde la curva se curva más.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | 斜率 | xié lǜ |
| equation of a straight line/ɪˈkweɪʒn əvə streɪt laɪn/ | 直线方程 | zhí xiàn fāng chéng |
| parallel/ˈpærəlel/ | 平行 | píng xíng |
| Differentiation/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | 微分 | wēi fēn |
| gradient of a curve/ˈɡreɪdɪənt əvə kɜːv/ | 曲线斜率 | qū xiàn xié lǜ |
| limit/ˈlɪmɪt/ | 极限 | jí xiàn |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | 导数 | dǎo shù |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | 链式法则 | liàn shì fǎ zé |
| second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | 二阶导数 | èr jiē dǎo shù |
| normal/ˈnɔːml/ | 法线 | fǎ xiàn |
| increasing function/ɪnˈkriːsɪŋ ˈfʌŋkʃn/ | 增函数 | zēng hán shù |
| decreasing function/ˈdiːkriːsɪŋ ˈfʌŋkʃn/ | 减函数 | jiǎn hán shù |
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | 变化率 | biàn huà lǜ |
| stationary point/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/ | 驻点 | zhù diǎn |
| minimum point/ˈmɪnɪməm pɔɪnt/ | 极小值点 | jí xiǎo zhí diǎn |
| maximum point/ˈmæksɪməm pɔɪnt/ | 极大值点 | jí dà zhí diǎn |
| point of inflexion/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/ | 拐点 | guǎi diǎn |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand integration as the reverse process of differentiation, and integrate $(ax + b)^n$ (for any rational $n$ except $-1$), together with constant multiples, sums and differences | e.g. $\int (2x^3 - 5x + 1) \text{d}x$, $\int \frac{1}{(2x + 3)^2} \text{d}x$. |
| solve problems involving the evaluation of a constant of integration | e.g. to find the equation of the curve through $(1, -2)$ for which $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \sqrt{2x + 1}$. |
| evaluate definite integrals | Including simple cases of 'improper' integrals, such as $\int_{0}^{1} x^{-\frac{1}{2}} \text{d}x$ and $\int_{1}^{\infty} x^{-2} \text{d}x$. |
| use definite integration to find: - the area of a region bounded by a curve and lines parallel to the axes, or between a curve and a line or between two curves - a volume of revolution about one of the axes. | A volume of revolution may involve a region not bounded by the axis of rotation, e.g. the region between $y = 9 - x^2$ and $y = 5$ rotated about the $x$-axis. |
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| comprender la integración como el proceso inverso a la diferenciación, e integrar $(ax + b)^n$ (para cualquier racional $n$ excepto $-1$), junto con multiplicadores constantes, sumas y diferencias | ej. $\int (2x^3 - 5x + 1) \text{d}x$, $\int \frac{1}{(2x + 3)^2} \text{d}x$. |
| resolver problemas que impliquen la evaluación de una constante de integración | ej. para encontrar la ecuación de la curva que pasa por $(1, -2)$ para la cual $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \sqrt{2x + 1}$. |
| evaluar integrales definidas | Incluyendo casos simples de integrales 'impropias', tales como $\int_{0}^{1} x^{-\frac{1}{2}} \text{d}x$ y $\int_{1}^{\infty} x^{-2} \text{d}x$. |
| usar la integración definida para encontrar: - el área de una región acotada por una curva y líneas paralelas a los ejes, o entre una curva y una línea, o entre dos curvas - un volumen de revolución respecto a uno de los ejes. | Un volumen de revolución puede implicar una región no acotada por el eje de rotación, ej. la región entre $y = 9 - x^2$ y $y = 5$ rotada alrededor del eje $x$. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Integration 积分 is the reverse of differentiation. Reversing the power rule gives
A definite integral 定积分 has limits and gives a number:
Worked example. The curve $y = 4x^{1/2} - x$ meets the $x$-axis again at $x = 16$. Find the area between the curve and the $x$-axis from $x = 0$ to $x = 4$.
An improper integral 广义积分 has an infinite limit or an endpoint where the integrand is undefined; evaluate it as a limit. For example,
When a region is turned all the way around an axis it sweeps out a solid. The volume of revolution 旋转体体积 about the $x$-axis is
La integración 积分 es lo opuesto a la derivación. Invertir la regla de la potencia da
Una integral definida 定积分 tiene límites y da un número:
Ejemplo resuelto. La curva $y = 4x^{1/2} - x$ corta nuevamente al eje $x$ en $x = 16$. Encuentre el área entre la curva y el eje $x$ desde $x = 0$ hasta $x = 4$.
Una integral impropia (广义积分) tiene un límite infinito o un extremo donde el integrando no está definido; evalúela como un límite. Por ejemplo,
Cuando una región gira completamente alrededor de un eje, genera un sólido. El volumen de revolución (旋转体体积) respecto al eje $x$ es
y = ax³ + bx² + cx + d
Arrastra los límites. La integral definida es el área sombreada entre la curva y el eje x.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| Integration/ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | 积分 | jī fēn |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | 积分常数 | jī fēn cháng shù |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | 定积分 | dìng jī fēn |
| region/ˈriːdʒn/ | 区域 | qū yù |
| improper integral/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl/ | 广义积分 | guǎng yì jī fēn |
| volume of revolution/ˈvɒljuːm ɒv ˌrevəˈluːʃn/ | 旋转体体积 | xuán zhuǎn tǐ tǐ jī |
| algebra/ˈældʒɪbrə/ | 代数 | dài shù |
| calculus/ˈkælkjʊləs/ | 微积分 | wēi jī fēn |
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| term/tɜːm/ | 项 | xiàng |
| geometric progression/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk prəˈɡreʃn/ | 等比数列 | děng bǐ shù liè |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | 公比 | gōng bǐ |
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | 收敛 | shōu liǎn |
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.
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