Probabilidad y Estadística 2

La distribución de Poisson 泊松分布 $X \sim \mathrm{Po}(\lambda)$ modela el número de eventos aleatorios en un intervalo fijo, cuando los eventos ocurren a una tasa promedio constante $\lambda$:

Para una variable de Poisson, tanto la media como la varianza son iguales a $\lambda$. La distribución de Poisson es una buena aproximación 近似 a la distribución binomial cuando $n$ es grande y $p$ es pequeña. La distribución normal (con corrección de continuidad) aproxima a la Poisson cuando $\lambda$ es grande.

Ejemplo resuelto. $X \sim \mathrm{Po}(3)$. Calcule $P(X = 2)$.

Cuando se cambia una variable según una regla lineal, la esperanza 期望 (media) y la varianza 方差 siguen estas reglas:

Para dos variables independientes $X$ e $Y$: Dos hechos útiles: si $X$ tiene una distribución normal 正态分布, entonces $aX + b$ también la tiene; y la suma de variables de Poisson independientes vuelve a ser Poisson.

Ejemplo resuelto. $X$ tiene media $5$ y varianza $4$. Calcule $E(3X - 1)$ y $\mathrm{Var}(3X - 1)$.

Una variable aleatoria continua 连续型随机变量 puede tomar cualquier valor en un rango. Sus probabilidades provienen de una función de densidad de probabilidad 概率密度函数 $f(x)$, con dos propiedades clave:

Una probabilidad es el área bajo $f$, y la media se encuentra por integración:

La función de distribución acumulativa 累积分布函数 es $F(x) = P(X \leqslant x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$; la mediana 中位数 resuelve $F(m) = 0.5$, y otros percentiles 百分ílicores resuelven $F(x) = p$.

Ejemplo resuelto. Una variable continua tiene $f(x) = \tfrac12 x$ para $0 \leqslant x \leqslant 2$ (y $0$ en otro caso). Calcule $E(X)$.

La varianza usa la misma idea, $\mathrm{Var}(X)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^2 f(x)\,dx-\big(E(X)\big)^2$. Para la misma $f(x)=\tfrac12 x$ en $[0,2]$: $\displaystyle\int_0^2 x^2\cdot\tfrac12 x\,dx=\left[\tfrac{x^4}{8}\right]_0^2=2$, así que $\mathrm{Var}(X)=2-\left(\tfrac43\right)^2=2-\tfrac{16}{9}=\tfrac{2}{9}$.

Una muestra 样本 es un grupo pequeño elegido de toda la población 总体. Una muestra aleatoria necesita aleatoriedad 随机性, para que cada miembro tenga una oportunidad justa de ser elegido.

Algunos métodos son insatisfactorios porque están sesgados 有偏: encuestar solo voluntarios o a las primeras 20 personas en llegar sobre-representan ciertos tipos de personas. Una muestra verdaderamente aleatoria usa números aleatorios: numere a cada miembro de la población, luego extraiga números (de una tabla o un generador) para decidir quién está en la muestra.

La media muestral $\bar{X}$ es en sí misma una variable aleatoria, con

Por el Teorema Central del Límite 中心极限定理, para una muestra grande $\bar{X}$ es aproximadamente normal, independientemente de la forma de la población.

De una muestra se pueden obtener estimadores insesgados 无偏估计 de la media y la varianza de la población. Un intervalo de confianza 置信区间 da un rango que probablemente contiene la media verdadera. Cuando la población es normal con $\sigma$ conocida (o la muestra es grande), un intervalo del $95\%$ es

También se puede encontrar un intervalo de confianza para una proporción poblacional 总体比例 a partir de una muestra grande.

Ejemplo resuelto. Una muestra de $n = 64$ tiene media $\bar{x} = 50$, procedente de una población con $\sigma = 8$. Calcule un intervalo de confianza del $95\%$ para la media de la población.

Una prueba de hipótesis 假设检验 usa datos muestrales para evaluar una afirmación. Establece dos enunciados: la hipótesis nula 原假设 $H_0$ (la afirmación que se pone a prueba, usualmente "sin cambio") y la hipótesis alternativa 备择假设 $H_1$ (lo que sospecha en su lugar). La prueba es unilateral 单尾 si $H_1$ apunta en una dirección (ej. $\mu > 50$) y bilateral 双尾 si permite ambas direcciones ($\mu \neq 50$).

Se fija un nivel de significancia 显著性水平 (usualmente $5\%$), se calcula un estadístico de prueba 检验统计量 a partir de los datos, y se observa si cae en la región de rechazo 拒绝域 (también llamada región crítica); si lo hace, se rechaza $H_0$, de lo contrario el estadístico está en la región de aceptación.

Son posibles dos errores: un error Tipo I 第一类 error es rechazar $H_0$ cuando en realidad es verdadero; un error Tipo II 第二类 error es aceptar $H_0$ cuando en realidad es falso. Se pueden encontrar sus probabilidades desde la región de rechazo: $P(\text{Type I})=P(\text{statistic in the rejection region}\mid H_0)$ – esto es igual al nivel de significancia – y $P(\text{Type II})=P(\text{statistic in the acceptance region}\mid H_1$ verdadero para un valor declarado$)$, calculado desde la distribución binomial, de Poisson o normal.

Ejemplo resuelto. Se afirma que una población tiene media $50$, con $\sigma = 8$. Una muestra de $n = 64$ da $\bar{x} = 52$. Pruebe al nivel del $5\%$ si la media ha cambiado.

$H_0\!: \mu = 50$ y $H_1\!: \mu \neq 50$ (bilateral). El estadístico de prueba es

El valor crítico al $5\%$ (bilateral) es $1.96$. Dado que $2 > 1.96$, se rechaza $H_0$: hay evidencia de que la media ha cambiado.

Ejemplo resuelto (una prueba binomial). Se afirma que una moneda es justa pero se sospecha que sale cara muy rara vez: $H_0\!:p=0.5$, $H_1\!:p<0.5$. En $n=30$ lanzamientos se obtienen $X=9$ caras. Bajo $H_0$, $X\sim B(30,0.5)$, por lo que la probabilidad unilateral de la cola es

Dado que $0.021<0.05$, se rechaza $H_0$: la moneda parece estar sesgada contra salir cara. (Para $n$ grande la binomial se aproxima con una normal; una prueba de Poisson funciona de la misma manera para eventos raros. Y aquí, si la regla es "rechazar cuando $X\leqslant 9$", entonces $P(\text{Type I})=P(X\leqslant 9\mid p=0.5)\approx0.021$.)

• Use la distribución de Poisson para eventos raros, aleatorios e independientes; su media es igual a su varianza ($= \lambda$).
• Al combinar variables aleatorias independientes, las varianzas se suman (nunca se restan).
• Para una prueba de hipótesis, plantee $H_0$ y $H_1$, el nivel de significancia, el estadístico de prueba y una conclusión en contexto.
• Para un intervalo de confianza, use el valor correcto de $z$ (o $t$) e interprete verbalmente.