Esta hoja de trabajo cubre el Tema 3: Matemáticas Puras 纯数学. Los subtemas 3.1–3.6 se basan en el álgebra, los logaritmos, la trigonometría, la diferenciación, la integración y los métodos numéricos de las Matemáticas Puras 2, por lo que esta hoja explica qué es lo nuevo en las Matemáticas Puras 3 y luego cubre las tres grandes áreas nuevas: vectores, ecuaciones diferenciales y números complejos.
Matemáticas Puras 3
A-Level Matemáticas · Tema 3
13:36
Matemáticas Puras 3
Durante siglos, los matemáticos se encontraron con un muro: ¿cuál es la raíz cuadrada de menos uno? Ningún número ordinario, al elevarlo al cuadrado, da negativo. Lo llamaron imposible, y…
Narración en inglés · Subtítulos en inglés + 中文 quemados en pantalla
3.1
Álgebra
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| • comprender el significado de $|x|$, trazar la gráfica de $y = |ax + b|$ y utilizar relaciones como $|a| = |b| \iff a^2 = b^2$ y $|x - a| < b \iff a - b < x < a + b$ al resolver ecuaciones e inecuaciones | No se incluyen las gráficas de $y = |\text{f}(x)|$ y $y = \text{f}(|x|)$ para funciones no lineales $\text{f}$. Ej.: $|3x - 2| = |2x + 7|$, $2x + 5 < |x + 1|$. |
| • dividir un polinomio, de grado no superior a 4, por un polinomio lineal o cuadrático, e identificar el cociente y el residuo (que pueden ser cero) | |
| • aplicar el teorema del factor y el teorema del residuo | Ej.: para encontrar factores y residuos, resolver ecuaciones polinómicas o evaluar coeficientes desconocidos. Se incluyen factores de la forma $(ax + b)$ en los que el coeficiente de $x$ no es unidad, así como el cálculo de residuos. |
| • recordar una forma adecuada para expresar funciones racionales en fracciones parciales, y realizar la descomposición, en casos donde el denominador no sea más complejo que – $(ax + b)(cx + d)(ex + f)$ – $(ax + b)(cx + d)^2$ – $(ax + b)(cx^2 + d)$ | Excluyendo casos en los que el grado del numerador excede al del denominador. |
| • usar la expansión de $(1 + x)^n$, donde $n$ es un número racional y $|x| < 1$. | No se incluye el hallazgo del término general en una expansión. Sí se incluye adaptar la serie estándar para expandir, p. ej., $(2 - \frac{1}{2}x)^{-1}$, y determinar el conjunto de valores de $x$ para los cuales la expansión es válida en tales casos. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Dos nuevas herramientas se suman al álgebra de Pure 2.
Fracciones parciales
Una fracción única con un denominador factorizado puede dividirse en una suma de fracciones más simples. Esto se llama escribirlo en fracciones parciales 部分分式, y facilita la integración o expansión de una función racional 有理函数 (una fracción de polinomios). Ajusta la forma al denominador:
Primero verifica que el numerador sea de grado inferior al del denominador. Si no lo es ("pesado arriba"), divide el polinomio primero: la división da un cociente 商 más un resto 余数 sobre el denominador original, y solo divides esa fracción propia restante.
Una fracción con un denominador factorizado se divide en una suma de fracciones más simples.
$$\frac{1}{(ax+b)(cx+d)} = \frac{A}{ax+b} + \frac{B}{cx+d}, \qquad \frac{1}{(ax+b)(cx+d)^2} = \frac{A}{ax+b} + \frac{B}{cx+d} + \frac{C}{(cx+d)^2}.$$
Ejemplo resuelto. Expresa $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)}$ en fracciones parciales.
Escribe $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{B}{x-2}$, entonces $x + 4 = A(x-2) + B(x+1)$. Sustituye $x = 2$: $6 = 3B$, entonces $B = 2$. Sustituye $x = -1$: $3 = -3A$, entonces $A = -1$. Por tanto,
$$\frac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \frac{2}{x-2} - \frac{1}{x+1}.$$
La expansión binomial para una potencia racional
La expansión binomial 二项展开式 también funciona cuando la potencia es una fracción o negativa, siempre que $|x| < 1$:
$$(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \cdots$$
Por ejemplo, $(1 + x)^{1/2} = 1 + \tfrac12 x - \tfrac18 x^2 + \cdots$ para $|x| < 1$.
Explorar
Curvas recíprocas
y = a/(x − b) + c
Las fracciones parciales descomponen una fracción difícil en piezas recíprocas simples, cada una con una asíntota vertical y una asíntota horizontal.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| Pure Mathematics/pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | 纯数学 | chún shù xué |
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | 部分分式 | bù fèn fēn shì |
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | 有理函数 | yǒu lǐ hán shù |
| quotient/ˈkwəʊʃənt/ | 商 | shāng |
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | 余数 | yú shù |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | 二项展开式 | èr xiàng zhǎn kāi shì |
| sign change/saɪn tʃeɪndʒ/ | 变号 | biàn hào |
| iterative formula/ˈɪtərətɪv ˈfɔːmjʊlə/ | 迭代公式 | dié dài gōng shì |
| reciprocals/rɪˈsɪprəklz/ | 倒数 | dào shǔ |
3.2 3.3 3.6
Logaritmos, trigonometría y métodos numéricos (de Pure 2)
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| comprender la relación entre los logaritmos y los índices, y aplicar las leyes de los logaritmos (excluyendo el cambio de base) | |
| comprender la definición y propiedades de $e^x$ y $\ln x$, incluyendo su relación como funciones inversas y sus gráficas | Incluyendo el conocimiento de la gráfica de $y = e^{kx}$ para valores positivos y negativos de $k$. |
| usar logaritmos para resolver ecuaciones e inecuaciones en las que la incógnita aparece en los índices | p. ej. $2^x < 5$, $3 \times 2^{3x-1} < 5$, $3^{x+1} = 4^{2x-1}$. |
| usar logaritmos para transformar una relación dada a forma lineal, y así determinar constantes desconocidas considerando la pendiente y/o el intercepto. | p. ej. $y = kx^n$ da $\ln y = \ln k + n \ln x$, que es lineal en $\ln x$ y $\ln y$. $y = k(a^x)$ da $\ln y = \ln k + x \ln a$, que es lineal en $x$ y $\ln y$. |
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| comprender la relación entre las funciones secante, cosecante y cotangente con el coseno, seno y tangente, y utilizar las propiedades y gráficas de las seis funciones trigonométricas para ángulos de cualquier magnitud | |
| utilizar identidades trigonométricas para la simplificación y evaluación exacta de expresiones, así como en el proceso de resolución de ecuaciones, y seleccionar una o más identidades apropiadas al contexto, mostrando familiaridad especialmente con el uso de: – $\sec^2 \theta \equiv 1 + \tan^2 \theta$ y $\cosec^2 \theta \equiv 1 + \cot^2 \theta$ – los desarrollos de $\sin(A \pm B)$, $\cos(A \pm B)$ y $\tan(A \pm B)$ – las fórmulas para $\sin 2A$, $\cos 2A$ y $\tan 2A$ – la expresión de $a \sin \theta + b \cos \theta$ en las formas $R \sin(\theta \pm \alpha)$ y $R \cos(\theta \pm \alpha)$. | p. ej. simplificando $\cos(x - 30^\circ) - 3 \sin(x - 60^\circ)$. p. ej. resolviendo $\tan \theta + \cot \theta = 4$, $2 \sec^2 \theta - \tan \theta = 5$, $3 \cos \theta + 2 \sin \theta = 1$. |
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| • localizar aproximadamente una raíz de una ecuación, mediante consideraciones gráficas y/o buscando un cambio de signo | p. ej., encontrar un par de enteros consecutivos entre los que se encuentra una raíz. |
| • comprender la idea de, y utilizar la notación para, una secuencia de aproximaciones que converge a una raíz de una ecuación | |
| • comprender cómo una fórmula simple dada de iteración de la forma $x_{n+1} = \text{F}(x_n)$ se relaciona con la ecuación que se está resolviendo, y utilizar una iteración dada, o una iteración basada en un reordenamiento dado de una ecuación, para determinar una raíz con un grado de precisión prescrito. | No se incluye el conocimiento de la condición para la convergencia, pero se espera que comprendan que una iteración puede no converger. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Los subtemas 3.2, 3.3 y 3.6 son las mismas habilidades que encontraste en Pure 2: las leyes de los logaritmos con $e^x$ y $\ln x$; las identidades $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ y $\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$, las fórmulas de ángulo compuesto y doble, y la forma $R$ de $a\sin\theta + b\cos\theta$; y resolver una ecuación numéricamente mediante un cambio de signo 变号 y una fórmula iterativa 迭代公式 $x_{n+1} = F(x_n)$. Úsalas exactamente como antes.
Las tres nuevas funciones trigonométricas son los recíprocos 倒数 de las conocidas: la secante 正割 $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$, la cosecante 余割 $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$, y la cotangente 余切 $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$. (Ayuda mnemotécnica: empareja la tercera letra — sec va con cosine.) Las dos identidades pitagóricas anteriores provienen directamente de dividir $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$ entre $\cos^2\theta$ o $\sin^2\theta$. Para un método numérico, una iteración $x_{n+1}=F(x_n)$ converge 收敛 a la raíz cuando los valores sucesivos se acercan entre sí.
Explorar
El círculo unitario
(cos θ, sin θ)
La fórmula R reescribe a sin θ + b cos θ como una sola onda — y todo esto se representa en este círculo.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| secant/ˈsiːkənt/ | 正割 | zhèng gē |
| cosecant/ˈkəʊsekənt/ | 余割 | yú gē |
| cotangent/ˈkəʊtændʒənt/ | 余切 | yú qiē |
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | 收敛 | shōu liǎn |
| inverse tangent/ɪnˈvɜːs ˈtændʒənt/ | 反正切 | fǎn zhèng qiè |
| Integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ | 分部积分 | fēn bù jī fēn |
| Integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | 换元积分 | huàn yuán jī fēn |
3.4
Diferenciación
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| utilizar las derivadas de $e^x$, $\ln x$, $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, $\tan^{-1} x$, junto con constantes, sumas, restas y composiciones | No se requieren las derivadas de $\sin^{-1} x$ y $\cos^{-1} x$. |
| derivar productos y cocientes | p. ej. $\frac{2x - 4}{3x + 2}$, $x^2 \ln x$, $x e^{1-x^2}$. |
| encontrar y usar la primera derivada de una función definida paramétricamente o implícitamente. | p. ej. $x = t - e^{2t}$, $y = t + e^{2t}$. p. ej. $x^2 + y^2 = xy + 7$. Incluyendo su uso en problemas que involucren tangentes y normales. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Los métodos son los de Pure 2 (la regla del producto, cociente y cadena, con curvas paramétricas e implícitas). Se añade una derivada — la tangente inversa 反正切:
$$\frac{d}{dx}\tan^{-1} x = \frac{1}{1 + x^2}.$$
Ejemplo resuelto. Diferencia $y = \tan^{-1}(3x)$.
Usa la regla de la cadena con el resultado anterior: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1 + (3x)^2} \times 3 = \dfrac{3}{1 + 9x^2}.$
Explorar
La pendiente en un punto
pendiente = dy/dx
Implícita o no, la derivada sigue siendo la pendiente de la tangente; desliza el punto para verlo.
3.5
Integración
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| extender la idea de 'derivación inversa' para incluir la integración de $e^{ax + b}$, $\frac{1}{ax + b}$, $\sin(ax + b)$, $\cos(ax + b)$, $\sec^2(ax + b)$ y $\frac{1}{x^2 + a^2}$ | Incluyendo ejemplos como $\frac{1}{2 + 3x^2}$. |
| utilizar relaciones trigonométricas al realizar la integración | p. ej., el uso de fórmulas del ángulo doble para integrar $\sin^2 x$ o $\cos^2(2x)$. |
| integrar funciones racionales mediante descomposición en fracciones parciales | Limitado a los tipos de fracciones parciales especificados en el tema 3.1 anterior. |
| reconocer un integrando de la forma $\frac{k f'(x)}{f(x)}$, e integrar tales funciones | p. ej., integración de $\frac{x}{x^2 + 1}$, $\tan x$. |
| reconocer cuándo un integrando puede considerarse útilmente como un producto, y usar la integración por partes | p. ej., integración de $x \sin 2x$, $x^2 e^{-x}$, $\ln x$, $x \tan^{-1} x$. |
| utilizar una sustitución dada para simplificar y evaluar tanto una integral definida como una indefinida. | p. ej., para integrar $\sin^2 2x \cos x$ usando la sustitución $u = \sin x$. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Pure 3 añade varios métodos poderosos.
- Una nueva integral estándar: $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$.
- Fracciones parciales: divide una función racional primero, luego integra cada parte como un logaritmo.
- El patrón $\dfrac{k\,f'(x)}{f(x)}$: esto se integra como $k\ln|f(x)| + C$. Por ejemplo, $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1) + C$.
- Integración por partes 分部积分, usada para un producto: $\displaystyle\int u\,\frac{dv}{dx}\,dx = uv - \int v\,\frac{du}{dx}\,dx$.
- Integración por sustitución 换元积分: un cambio de variable dado convierte una integral difícil en una fácil.
Ejemplo resuelto. Encuentra $\displaystyle\int x\cos x\,dx$.
Usa la integración por partes con $u = x$ y $\dfrac{dv}{dx} = \cos x$, entonces $\dfrac{du}{dx} = 1$ y $v = \sin x$:
$$\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C.$$
Explorar
El área bajo la curva
área = ∫ f(x) dx
Cada método de integración mide simplemente esta área — arrastra los límites para totalizarla.
3.7
Vectores
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| • utilizar las notaciones estándar para vectores, es decir, $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $x\mathbf{i} + y\mathbf{j}$, $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, $x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$, $\overrightarrow{AB}$, $\mathbf{a}$ | |
| • realizar la suma y resta de vectores y la multiplicación de un vector por un escalar, e interpretar estas operaciones en términos geométricos | p. ej. ‘$OABC$ es un paralelogramo’ es equivalente a $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}$. No se incluye la forma general del teorema de la razón, pero se espera que comprendan que el punto medio de $AB$ tiene vector de posición $\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$. |
| • calcular la magnitud de un vector, y utilizar vectores unitarios, vectores desplazamiento y vectores de posición | En 2 o 3 dimensiones. |
| • comprender el significado de todos los símbolos utilizados cuando la ecuación de una recta se expresa en la forma $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$, y encontrar la ecuación de una recta dados datos suficientes | p. ej. hallar la ecuación de una recta dado el vector de posición de un punto sobre ella y un vector director, o los vectores de posición de dos puntos sobre la recta. |
| • determinar si dos rectas son paralelas, se intersecan o son alabeadas, y encontrar el punto de intersección de dos rectas cuando exista | No se requiere el cálculo de la distancia más corta entre dos rectas alabeadas. Tampoco se requiere hallar la ecuación de la perpendicular común a dos rectas alabeadas. |
| • utilizar fórmulas para calcular el producto escalar de dos vectores, y emplear productos escalares en problemas que involucren rectas y puntos. | p. ej. hallar el ángulo entre dos rectas, y hallar el pie de la perpendicular desde un punto a una recta; las preguntas pueden involucrar objetos 3D como prismas rectangulares, tetraedros (pirámides), etc. No se requiere conocimiento del producto vectorial. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Un vector 向量 tiene tanto magnitud como dirección. Escríbelo como una columna, o como $x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$, o como $\overrightarrow{AB}$.
- La magnitud 模长 (longitud) de $\mathbf{v} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ es $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
- Un vector unitario 单位向量 tiene magnitud $1$; divide un vector por su magnitud para obtener uno.
- Un vector de posición 位置向量 indica la ubicación de un punto respecto al origen; un vector de desplazamiento 位移向量 $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$ va de un punto a otro. Multiplicar por un escalar 标量 (un número simple) estira un vector.
Rectas y producto escalar
Una recta que pasa por el punto $\mathbf{a}$ en la dirección $\mathbf{b}$ tiene la ecuación vectorial $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$. Dos líneas pueden ser paralelas 平行, pueden intersecarse 相交 en un punto, o pueden ser rectas alabeadas 异面直线 (no paralelas y que nunca se encuentran).
El producto escalar 数量积 (producto punto) de $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ es
$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta,$$
donde $\theta$ es el ángulo entre ellos. Así, $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$ significa que los vectores son perpendiculares.
Ejemplo resuelto. Encuentra el ángulo entre $\mathbf{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$ y $\mathbf{b} = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}$.
$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = (1)(2) + (2)(2) + (2)(1) = 8, \qquad |\mathbf{a}| = |\mathbf{b}| = 3.$$
Así, $\cos\theta = \dfrac{8}{3\times 3} = \dfrac{8}{9}$, lo que da $\theta = 27.3^\circ$.
Explorar
Suma de vectores y producto escalar
Arrastra los dos vectores. Observa el resultante (punta a cola) y el producto escalar, que es cero cuando son perpendiculares.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| vector/ˈvektə/ | 向量 | xiàng liàng |
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | 模长 | mó zhǎng |
| unit vector/ˈjuːnɪt ˈvektə/ | 单位向量 | dān wèi xiàng liàng |
| position vector/pəˈzɪʃn ˈvektə/ | 位置向量 | wèi zhì xiàng liàng |
| displacement vector/dɪˈspleɪsmənt ˈvektə/ | 位移向量 | wèi yí xiàng liàng |
| scalar/ˈskeɪlə/ | 标量 | biāo liàng |
| parallel/ˈpærəlel/ | 平行 | píng xíng |
| intersect/ˌɪntəˈsekt/ | 相交 | xiāng jiāo |
| skew lines/skjuː laɪnz/ | 异面直线 | yì miàn zhí xiàn |
| scalar product/ˈskeɪlə ˈprɒdʌkt/ | 数量积 | shù liàng jī |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | 微分方程 | wēi fēn fāng chéng |
3.8
Ecuaciones diferenciales
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| formular una afirmación simple que involucre una tasa de cambio como una ecuación diferencial | Se incluye la introducción y evaluación de una constante de proporcionalidad, cuando sea necesario. |
| encontrar mediante integración una forma general de solución para una ecuación diferencial de primer orden en la que las variables son separables | Incluyendo cualquiera de las técnicas de integración del tema 3.5 anterior. |
| utilizar una condición inicial para encontrar una solución particular | |
| interpretar la solución de una ecuación diferencial en el contexto de un problema modelado por dicha ecuación. | Cuando se utiliza una ecuación diferencial para modelar una situación de la vida real, no se requerirá conocimiento especializado del contexto. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Una ecuación diferencial 微分方程 vincula una cantidad con su tasa de cambio. Para resolver una ecuación de primer orden cuyas variables son separables 可分离 variable, pon todos los términos de $y$ en un lado y todos los términos de $x$ en el otro, luego integra ambos lados. Esto da la solución general 通解, que contiene una constante. Una condición inicial 初始条件 (un valor conocido) fija la constante y da la solución particular 特解.
Ejemplo resuelto. Resuelve $\dfrac{dy}{dx} = xy$, sabiendo que $y = 1$ cuando $x = 0$.
Separa las variables e integra:
$$\int \frac{1}{y}\,dy = \int x\,dx \;\Rightarrow\; \ln y = \tfrac12 x^2 + c \;\Rightarrow\; y = A e^{x^2/2}.$$
Usando $y = 1$ en $x = 0$ se obtiene $A = 1$, así que $y = e^{x^2/2}$.
Explorar
Un campo de pendientes
Cada pequeña línea muestra la pendiente $\frac{dy}{dx}$ allí. Una curva solución sigue las flechas: cambia el punto inicial para ver una diferente.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| separable/ˈsepərəbl/ | 可分离变量 | kě fēn lí biàn liàng |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | 通解 | tōng jiě |
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | 初始条件 | chū shǐ tiáo jiàn |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | 特解 | tè jiě |
| complex number/ˈkɒmpleks ˈnʌmbə/ | 复数 | fù shù |
| real part/rɪəl pɑːt/ | 实部 | shí bù |
| imaginary part/ɪˈmædʒɪnəri pɑːt/ | 虚部 | xū bù |
| Cartesian form/kɑːˈtiːzɪən fɔːm/ | 直角坐标形式 | zhí jiǎo zuò biāo xíng shì |
| conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/ | 共轭 | gòng è |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | 模 | mó |
3.9
Números complejos
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| comprender la idea de un número complejo, recordar el significado de los términos parte real, parte imaginaria, módulo, argumento, conjugado, y utilizar el hecho de que dos números complejos son iguales si y solo si sus partes reales e imaginarias son iguales | Deben conocer las notaciones $\text{Re } z$, $\text{Im } z$, $|z|$, $\arg z$, $z^*$. El argumento de un número complejo se referirá habitualmente a un ángulo $\theta$ tal que $-\pi < \theta \leqslant \pi$, pero en algunos casos puede ser más conveniente el intervalo $0 \leqslant \theta < 2\pi$. Las respuestas pueden utilizar cualquiera de los dos intervalos, a menos que la pregunta especifique lo contrario. |
| realizar operaciones de suma, resta, multiplicación y división de dos números complejos expresados en forma cartesiana $x + \text{i}y$ | Para los cálculos que involucren multiplicación o división, se deben mostrar todos los detalles del procedimiento. |
| utilizar el resultado de que, para una ecuación polinómica con coeficientes reales, cualquier raíz no real ocurre en pares conjugados | p. ej., al resolver una ecuación cúbica o cuártica donde se da una raíz compleja. |
| representar geométricamente números complejos mediante un diagrama de Argand | |
| realizar operaciones de multiplicación y división de dos números complejos expresados en forma polar $r(\cos \theta + \text{i}\sin \theta) \equiv r\text{e}^{\text{i}\theta}$ | Incluye los resultados $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ y $\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)$, y resultados correspondientes para la división. |
| encontrar las dos raíces cuadradas de un número complejo | p. ej., las raíces cuadradas de $5 + 12\text{i}$ en forma cartesiana exacta. Se deben mostrar todos los detalles del procedimiento. |
| comprender en términos sencillos los efectos geométricos de conjugar un número complejo y de sumar, restar, multiplicar y dividir dos números complejos | |
| ilustrar ecuaciones e inecuaciones simples que involucren números complejos mediante locus en un diagrama de Argand | p. ej., $|z - a| < k$, $|z - a| = |z - b|$, $\arg(z - a) = \alpha$. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Un número complejo 复数 tiene la forma $z = x + iy$, donde $i^2 = -1$. Aquí $x$ es la parte real 实部 y $y$ es la parte imaginaria 虚部. Esta $x + iy$ es la forma cartesiana 直角坐标形式. Dos números complejos son iguales solo cuando sus partes reales coinciden y sus partes imaginarias coinciden.
- El conjugado 共轭 de $z = x + iy$ es $z^* = x - iy$. Para un polinomio con coeficientes reales, las raíces no reales vienen en pares conjugados.
- El módulo 模 es $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ (su distancia al origen) y el argumento 辐角 es el ángulo que forma el punto, medido desde el eje real positivo.
- Puedes graficar $z$ como un punto en un diagrama de Argand 阿干图 (el plano complejo).
- La forma polar 极坐标形式 es $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$, donde $r = |z|$ y $\theta$ es el argumento. Multiplicar multiplica los módulos y suma los argumentos.
- Los locus de puntos que satisfacen una condición sobre $z$ se dibujan en el diagrama de Argand — p. ej., $|z - a| = r$ es un círculo, $|z - a| = |z - b|$ una mediatriz, y $\arg(z - a) = \theta$ una semirrecta. Las raíces cuadradas de un número complejo provienen de resolver $w^2 = z$.
Para dividir, multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.
Ejemplo resuelto. Escribe $\dfrac{3 + i}{1 - i}$ en la forma $x + iy$.
$$\frac{3 + i}{1 - i} = \frac{(3 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{3 + 3i + i + i^2}{1 + 1} = \frac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i.$$
Una ecuación o desigualdad en $z$ describe un lugar geométrico 轨迹 (un camino o región) en el diagrama de Argand. Por ejemplo, $|z - a| = r$ es un círculo de radio $r$ centrado en $a$.
Explorar
El diagrama de Argand
Arrastra el punto. Un número complejo $a + bi$ es un punto en el plano; su módulo es la distancia desde el origen y su argumento es el ángulo.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | 辐角 | fú jiǎo |
| Argand diagram/ˈɑːɡænd ˈdaɪəɡræm/ | 阿干图 | ā gàn tú |
| polar form/ˈpəʊlə fɔːm/ | 极坐标形式 | jí zuò biāo xíng shì |
| locus/ˈləʊkəs/ | 轨迹 | guǐ jì |
3.9
Consejos para el examen
- Divide una función racional en fracciones parciales antes de integrar o expandir.
- Elige la técnica de integración correcta (sustitución, por partes o fracciones parciales) según la forma del integrando.
- Usa el producto escalar (punto) para el ángulo entre vectores y para probar perpendicularidad; escribe una línea como $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$.
- Da los números complejos en la forma solicitada (cartesiana o módulo-argumento) y muéstralos en un diagrama de Argand.
Lecciones interactivas sobre este tema
Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.