Esta hoja de trabajo cubre el Tema 2: Matemáticas puras 纯数学 2. Añade el módulo y el álgebra de polinomios, los logaritmos 对数 y la función exponencial 指数函数, más trigonometría, y nuevas formas de diferenciar e integrar.
Matemáticas Puras 2
A-Level Matemáticas · Tema 2
12:32
Matemáticas Puras 2
En dos mil once, un terremoto frente a Japón alcanzó nueve grados en la escala de Richter. Un sismo menor podría medir seis. Solo tres puntos de diferencia — pero el primero…
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2.1
Álgebra
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| comprender el significado de $|x|$, trazar la gráfica de $y = |ax + b|$ y utilizar relaciones como $|a| = |b| \iff a^2 = b^2$ y $|x - a| < b \iff a - b < x < a + b$ al resolver ecuaciones e inecuaciones | No se incluyen las gráficas de $y = |f(x)|$ y $y = f(|x|)$ para funciones no lineales $f$. Ej.: $|3x - 2| = |2x + 7|$, $2x + 5 < |x + 1|$ |
| dividir un polinomio, de grado no superior a 4, entre un polinomio lineal o cuadrático, e identificar el cociente y el residuo (que pueden ser cero) | |
| aplicar el teorema del factor y el teorema del residuo. | Ej.: para encontrar factores y residuos, resolver ecuaciones polinómicas o evaluar coeficientes desconocidos. Incluye factores de la forma $(ax + b)$ en los que el coeficiente de $x$ no es unidad, así como el cálculo de residuos. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
El módulo
El módulo 绝对值 $|x|$ es el valor numérico de un número sin su signo, por lo que $|x| \geqslant 0$ siempre. La gráfica de $y = |ax + b|$ tiene forma de "V" y rebotando en el eje $x$. Dos reglas útiles para resolver ecuaciones e inecuaciones son
$$|a| = |b| \;\Leftrightarrow\; a^2 = b^2, \qquad |x - a| < b \;\Leftrightarrow\; a - b < x < a + b.$$
Ejemplo resuelto. Resuelva $|3x + 8| < 9$.
Usando la segunda regla con la inecuación escrita como $-9 < 3x + 8 < 9$:
$$-9 < 3x + 8 < 9 \;\Rightarrow\; -17 < 3x < 1 \;\Rightarrow\; -\tfrac{17}{3} < x < \tfrac13.$$
División de polinomios y los teoremas del factor y del resto
Un polinomio 多项式 es una suma de potencias de $x$, como $2x^4 + 3x^2 - 5$. Su grado 次数 es la potencia más alta. Al dividir un polinomio entre otro se obtiene un cociente 商 y un resto 余数.
- Teorema del resto 余数定理: el resto al dividir $p(x)$ entre $(x - a)$ es $p(a)$.
- Teorema del factor 因式定理: $(x - a)$ es un factor de $p(x)$ si y solo si $p(a) = 0$.
Ejemplo resuelto. El polinomio $p(x) = 2x^4 + kx^3 + kx^2 + 17x + 18$ tiene el factor $(x + 2)$. Encontrar $k$.
Por el teorema del factor, $p(-2) = 0$:
$$2(16) + k(-8) + k(4) + 17(-2) + 18 = 0 \;\Rightarrow\; 16 - 4k = 0 \;\Rightarrow\; k = 4.$$
Explorar
La función módulo
y = a|x − b| + c
El módulo produce una forma en V. Desplace su vértice con b y c; cambie la inclinación de los brazos con a.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| Pure Mathematics/pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | 纯数学 | chún shù xué |
| logarithms/ˈlɒɡərɪθəmz/ | 对数 | duì shù |
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | 指数函数 | zhǐ shù hán shù |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | 绝对值 | jué duì zhí |
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | 多项式 | duō xiàng shì |
| degree/dɪˈɡriː/ | 次数 | cì shù |
| quotient/ˈkwəʊʃənt/ | 商 | shāng |
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | 余数 | yú shù |
| remainder theorem/rɪˈmeɪndə ˈθɪərəm/ | 余数定理 | yú shù dìng lǐ |
| factor theorem/ˈfæktə ˈθɪərəm/ | 因式定理 | yīn shì dìng lǐ |
| indices/ˈɪndɪsiːz/ | 指数 | zhǐ shù |
| laws of logarithms/lɔːz ɒv ˈlɒɡərɪθəmz/ | 对数定律 | duì shù dìng lǜ |
| natural logarithm/ˈnætʃərəl ˈlɒɡərɪθəm/ | 自然对数 | zì rán duì shù |
| linear form/ˈlɪnɪə fɔːm/ | 线性形式 | xiàn xìng xíng shì |
2.2
Funciones logarítmicas y exponenciales
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| comprender la relación entre los logaritmos y los exponentes, y utilizar las leyes de los logaritmos (excluyendo el cambio de base) | |
| comprender la definición y propiedades de $e^x$ y $\ln x$, incluidas su relación como funciones inversas y sus gráficas | Incluye conocimiento de la gráfica de $y = e^{kx}$ tanto para valores positivos como negativos de $k$. |
| utilizar logaritmos para resolver ecuaciones e inecuaciones en las que la incógnita aparece en los exponentes | p. ej. $2^x < 5$, $3 \times 2^{3x-1} < 5$, $3^{x+1} = 4^{2x-1}$ |
| utilizar logaritmos para transformar una relación dada a forma lineal, y así determinar constantes desconocidas considerando la pendiente y/o la intersección con el eje. | p. ej. $y = kx^n$ da $\ln y = \ln k + n \ln x$, que es lineal en $\ln x$ y $\ln y$ $y = k(a^x)$ da $\ln y = \ln k + x \ln a$, que es lineal en $x$ y $\ln y$. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Un logaritmo responde a la pregunta "¿qué potencia?". Si $a^x = y$ entonces $x = \log_a y$. Los logaritmos y los índices 指数 (potencias) son ideas inversas. Las leyes de los logaritmos 对数定律 son
$$\log(mn) = \log m + \log n, \qquad \log\!\frac{m}{n} = \log m - \log n, \qquad \log(m^k) = k\log m.$$
La función exponencial $e^x$ y el logaritmo natural 自然对数 $\ln x$ son funciones inversas, por lo que $\ln(e^x) = x$ y $e^{\ln x} = x$. Cuando la incógnita está en el exponente, toma logaritmos en ambos lados.
Ejemplo resuelto. Resuelva $4^x < 0.05$.
$$4^x < 0.05 \;\Rightarrow\; x\ln 4 < \ln 0.05 \;\Rightarrow\; x < \frac{\ln 0.05}{\ln 4} = -2.16 \ (\text{3 s.f.}).$$
Forma lineal 线性形式: una relación como $y = Ax^n$ se convierte en una línea recta si tomas logaritmos: $\ln y = \ln A + n\ln x$. Al graficar $\ln y$ contra $\ln x$ se obtiene una línea con pendiente $n$ e intersección $\ln A$, por lo que puedes encontrar las constantes desconocidas.
Explorar
Crecimiento exponencial
y = a·bˣ
Cambie la base b: cuando b > 1 la curva crece, cuando 0 < b < 1 decae — y siempre pasa por (0, a).
2.3
Trigonometría
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| comprender la relación entre las funciones secante, cosecante y cotangente con el coseno, seno y tangente, y utilizar las propiedades y gráficas de las seis funciones trigonométricas para ángulos de cualquier magnitud | |
| usar identidades trigonométricas para la simplificación y evaluación exacta de expresiones, así como en el proceso de resolución de ecuaciones; seleccionar una o más identidades apropiadas según el contexto, mostrando familiaridad especialmente con el uso de: – $\sec^2 \theta \equiv 1 + \tan^2 \theta$ y $\csc^2 \theta \equiv 1 + \cot^2 \theta$ – los desarrollos de $\sin(A \pm B)$, $\cos(A \pm B)$ y $\tan(A \pm B)$ – las fórmulas para $\sin 2A$, $\cos 2A$ y $\tan 2A$ – la expresión de $a \sin \theta + b \cos \theta$ en las formas $R \sin(\theta \pm \alpha)$ y $R \cos(\theta \pm \alpha)$. | ej. simplificando $\cos(x - 30^\circ) - 3 \sin(x - 60^\circ)$. ej. resolviendo $\tan \theta + \cot \theta = 4$, $2 \sec^2 \theta - \tan \theta = 5$, $3 \cos \theta + 2 \sin \theta = 1$. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Hay tres funciones más, cada una recíproca de una que ya conoces: la secante 正割 $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$, la cosecante 余割 $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$ y la cotangente 余切 $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta}$.
Debes conocer estas identidades trigonométricas 三角恒等式 y elegir la correcta para cada problema:
$$\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta, \qquad \csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta.$$
También usas las fórmulas de ángulo compuesto 复合角 para $\sin(A \pm B)$, $\cos(A \pm B)$, $\tan(A \pm B)$, las fórmulas de ángulo doble 二倍角
$$\sin 2A = 2\sin A\cos A, \quad \cos 2A = 2\cos^2 A - 1, \quad \tan 2A = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A},$$
y la fórmula R 辅助角公式 $a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \alpha)$, donde $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ y $\tan\alpha = \dfrac{b}{a}$.
Ejemplo resuelto. Resuelve $2\tan^2\theta + 3\sec\theta = 18$ para $-180^\circ < \theta < 180^\circ$.
Sustituye $\tan^2\theta$ por $\sec^2\theta - 1$ para obtener una sola función:
$$2(\sec^2\theta - 1) + 3\sec\theta = 18 \;\Rightarrow\; 2\sec^2\theta + 3\sec\theta - 20 = 0 \;\Rightarrow\; (2\sec\theta - 5)(\sec\theta + 4) = 0.$$
Así, $\sec\theta = \tfrac52$ o $\sec\theta = -4$, lo que da $\cos\theta = \tfrac25$ o $\cos\theta = -\tfrac14$. Las soluciones son $\theta = \pm 66.4^\circ$ y $\theta = \pm 104.5^\circ$.
Explorar
El círculo unitario
Arrastra el ángulo para ver cómo se relacionan $\sin$, $\cos$ y $\tan$: la clave para resolver ecuaciones trigonométricas.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| secant/ˈsiːkənt/ | 正割 | zhèng gē |
| cosecant/ˈkəʊsekənt/ | 余割 | yú gē |
| cotangent/ˈkəʊtændʒənt/ | 余切 | yú qiē |
| trigonometric identities/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk aɪˈdentɪtiz/ | 三角恒等式 | sān jiǎo héng děng shì |
| compound angle/ˈkɒmpaʊnd ˈæŋɡl/ | 复合角 | fù hé jiǎo |
| double angle/ˈdʌbl ˈæŋɡl/ | 二倍角 | èr bèi jiǎo |
| R-formula/ɑː ˈfɔːmjʊlə/ | 辅助角公式 | fǔ zhù jiǎo gōng shì |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | 乘积法则 | chéng jī fǎ zé |
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | 商法则 | shāng fǎ zé |
| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | 参数方程 | cān shù fāng chéng |
| implicitly/ɪmˈplɪsɪtli/ | 隐式 | yǐn shì |
2.4
Diferenciación
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| utilizar las derivadas de $e^x$, $\ln x$, $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, junto con multiplicadores constantes, sumas, restas y compuestas | |
| diferenciar productos y cocientes | p. ej. $\frac{2x - 4}{3x + 2}$, $x^2 \ln x$, $x e^{1 - x^2}$. |
| encontrar y usar la primera derivada de una función definida paramétrica o implícitamente. | p. ej. $x = t - e^{2t}$, $y = t + e^{2t}$. p. ej. $x^2 + y^2 = xy + 7$. Incluyendo su uso en problemas que involucran tangentes y normales. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Aprende estas derivadas estándar:
$$\frac{d}{dx}e^x = e^x, \quad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}, \quad \frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \quad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, \quad \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x.$$
Para un producto o un cociente de dos funciones, usa:
- la regla del producto 乘积法则: $(uv)' = u'v + uv'$;
- la regla del cociente 商法则: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
Cuando una curva viene dada por ecuaciones paramétricas 参数方程 $x = x(t)$, $y = y(t)$, la pendiente es $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$. Cuando $y$ está definida implícitamente 隐式 (no despejada), diferencia cada término respecto a $x$, usando la regla de la cadena en los términos de $y$, luego resuelve para $\dfrac{dy}{dx}$.
Ejemplo resuelto. Dado $y = 6x\cos(x^2 + 1)$, hallar $\dfrac{dy}{dx}$.
Usa la regla del producto con $u = 6x$ y $v = \cos(x^2 + 1)$ (y la regla de la cadena para $v$):
$$\frac{dy}{dx} = 6\cos(x^2 + 1) + 6x\cdot\big(-2x\sin(x^2 + 1)\big) = 6\cos(x^2 + 1) - 12x^2\sin(x^2 + 1).$$
Explorar
Tangente y gradiente
y = ax³ + bx² + cx + d
Mueve el punto: la línea tangente es la derivada en esa x. Donde la curva gira, el gradiente es cero.
2.5
Integración
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| • ampliar el concepto de ‘derivación inversa’ para incluir la integración de $e^{ax + b}$, $\frac{1}{ax + b}$, $\sin(ax + b)$, $\cos(ax + b)$ y $\sec^2(ax + b)$ | No se requiere conocimiento del método general de integración por sustitución. |
| • utilizar relaciones trigonométricas para realizar la integración | p. ej., uso de fórmulas del ángulo doble para integrar $\sin^2 x$ o $\cos^2(2x)$. |
| • comprender y aplicar la regla del trapecio para estimar el valor de una integral definida. | Incluyendo el uso de gráficos esquemáticos en casos simples para determinar si la regla del trapecio proporciona una sobreestimación o una subestimación. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
La integración es derivación inversa — invierte cada nueva derivada; las integrales más difíciles pueden necesitar integración por sustitución 换元积分 (desarrollada en Matemáticas puras 3). Para una función lineal interna $(ax + b)$:
$$\int e^{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax+b} + C, \qquad \int \frac{1}{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}\ln|ax + b| + C,$$
$$\int \sin(ax+b)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax+b) + C, \qquad \int \cos(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax+b) + C, \qquad \int \sec^2(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}\tan(ax+b) + C.$$
Para integrar una potencia de $\sin$ o $\cos$, primero usa una identidad para eliminar la potencia. Cuando no puedas integrar exactamente, la regla del trapecio 梯形法则 estima una integral definida:
$$\int_a^b y\,dx \approx \tfrac{h}{2}\big[y_0 + y_n + 2(y_1 + y_2 + \cdots + y_{n-1})\big].$$
Ejemplo resuelto. Halla $\displaystyle\int 6\sin^2 x\,dx$.
Usa $\sin^2 x = \tfrac12(1 - \cos 2x)$:
$$\int 6\sin^2 x\,dx = \int (3 - 3\cos 2x)\,dx = 3x - \tfrac32\sin 2x + C.$$
Explorar
El área bajo la curva
área = ∫ f(x) dx
La integral todavía mide el área — arrastra a y b para sumar la franja bajo la curva.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| trapezium rule/trəˈpiːzɪəm ruːl/ | 梯形法则 | tī xíng fǎ zé |
2.6
Solución numérica de ecuaciones
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| • localizar aproximadamente una raíz de una ecuación, mediante consideraciones gráficas y/o la búsqueda de un cambio de signo | p. ej., encontrar un par de enteros consecutivos entre los que se encuentra una raíz. |
| • comprender la idea de y utilizar la notación para una secuencia de aproximaciones que converge a una raíz de una ecuación | |
| • comprender cómo una fórmula simple dada de iteración de la forma $x_{n + 1} = \text{F}(x_n)$ se relaciona con la ecuación que se está resolviendo, y utilizar una iteración dada o una basada en un reordenamiento dado de una ecuación para determinar una raíz con un grado de precisión prescrito. | No se incluye el conocimiento de la condición de convergencia, pero se espera que comprendan que una iteración puede no converger. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Muchas ecuaciones no se pueden resolver exactamente. Dos ideas te ayudan a encontrar una raíz 根 (una solución).
- Cambio de signo 变号: si $f(a)$ y $f(b)$ tienen signos opuestos (y la gráfica no tiene saltos entre ellos), hay una raíz entre $a$ y $b$.
- Iteración 迭代: reordena la ecuación en la forma $x = F(x)$, luego usa la fórmula iterativa 迭代公式 $x_{n+1} = F(x_n)$. Comienza con una primera aproximación $x_0$ y repite. Si los valores son convergentes se estabilizan y convergen 收敛 hacia una raíz. Continúa hasta que la respuesta esté estable según la precisión solicitada.
Ejemplo resuelto. Una raíz $\beta$ de una ecuación satisface $x = \sqrt[3]{-2x - 4.5}$, y $-1.4 < \beta < -1.0$. Usa la iteración $x_{n+1} = \sqrt[3]{-2x_n - 4.5}$ con $x_0 = -1.2$.
$$x_1 = \sqrt[3]{-2(-1.2) - 4.5} = \sqrt[3]{-2.1} = -1.281, \qquad x_2 = \sqrt[3]{-2(-1.281) - 4.5} = -1.247, \quad \ldots$$
Los valores se estabilizan cerca de $-1.26$, por lo que $\beta = -1.26$ (3 s.f.).
Explorar
¿Dónde está la raíz?
y = ax³ + bx² + cx + d
Una raíz es donde la curva cruza el cero. Un cambio de signo en f(x) encierra una raíz entre dos valores de x.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| root/ruːt/ | 根 | gēn |
| sign change/saɪn tʃeɪndʒ/ | 变号 | biàn hào |
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | 迭代 | dié dài |
| iterative formula/ˈɪtərətɪv ˈfɔːmjʊlə/ | 迭代公式 | dié dài gōng shì |
| converge/kənˈvɜːdʒ/ | 收敛 | shōu liǎn |
| integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | 换元积分 | huàn yuán jī fēn |
2.6
Consejos para el examen
- Usa las leyes de los logaritmos para resolver ecuaciones; recuerda que $\ln$ y $e^x$ son inversas.
- Para los métodos numéricos, muestra un cambio de signo para localizar una raíz, presenta la iteración claramente y da la respuesta con la precisión indicada.
- Aprende las reglas de la cadena, del producto y del cociente e identifica cuál necesita la función.
- Resuelve ecuaciones de módulo $|f(x)| = g(x)$ considerando tanto los casos positivos como negativos, y haz un boceto para verificar.
Lecciones interactivas sobre este tema
Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.