Oscillations · ⁨التذبذبات⁩

AP Physics 1 · ⁨AP الفيزياء 1⁩ · Topic 7 · ⁨الموضوع 7⁩

View Slides · ⁨عرض الشرائح⁩ Train · ⁨تدريب⁩

Video lesson for this topic · ⁨درس فيديو لهذا الموضوع⁩ Open the video page · ⁨افتح صفحة الفيديو⁩

7.1

Defining Simple Harmonic Motion · ⁨تعريف الحركة التوافقية البسيطة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Learning Objective 7.1.A: Describe simple harmonic motion.

7.1.A.1 Simple harmonic motion is a special case of periodic motion.
7.1.A.2 SHM results when the magnitude of the restoring force exerted on an object is proportional to that object's displacement from its equilibrium position.
- Equation: $ma_x = -k\Delta x$
- 7.1.A.2.i A restoring force is a force that is exerted in a direction opposite to the object's displacement from an equilibrium position.
- 7.1.A.2.ii An equilibrium position is a location at which the net force exerted on an object or system is zero.
- 7.1.A.2.iii The motion of a pendulum with a small angular displacement can be modeled as simple harmonic motion because the restoring torque is proportional to the angular displacement.

العربية

الهدف التعليمي 7.1.A: وصف الحركة التوافقية البسيطة.

7.1.A.1 الحركة التوافقية البسيطة حالة خاصة من الحركة الدورية.
7.1.A.2 تنشأ الحركة التوافقية البسيطة عندما يكون مقدار قوة الاستعادة المؤثرة على جسم متناسبًا مع إزاحته عن موضع اتزان.
- المعادلة: $ma_x = -k\Delta x$
- 7.1.A.2.i قوة الاستعادة هي قوة تؤثر في اتجاه معاكس لإزاحة الجسم عن موضع اتزان.
- 7.1.A.2.ii موضع الاتزان هو موقع يكون فيه محصلة القوى المؤثرة على جسم أو نظام تساوي صفرًا.
- 7.1.A.2.iii يمكن نمذجة حركة بندول بإزاحة زاوية صغيرة كحركة توافقية بسيطة لأن عزم الاستعادة متناسب مع الإزاحة الزاوية.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Simple harmonic motion

Simple harmonic motion 简谐运动 (SHM) is a back-and-forth oscillation 振动 caused by a restoring force 回复力 that is proportional to the displacement from equilibrium and always points back toward it: $F=-kx$. A mass on a spring and (for small angles) a pendulum are the standard examples. Because the force grows with displacement, the motion is smooth and repeating, tracing a sine curve in time.

The test for SHM is exactly this: acceleration proportional to displacement and opposite in direction, $a=-\dfrac{k}{m}x$. A pendulum only obeys it for small swings, where $\sin\theta\approx\theta$; large swings are not quite SHM.

العربية

الحركة التوافقية البسيطة

الحركة التوافقية البسيطة (SHM) هي اهتزاز ذهابًا وإيابًا ناتج عن قوة استعادة تتناسب مع الإزاحة عن نقطة الاتزان وتُشير دائمًا نحوها: $F=-kx$. الكتلة المعلقة على نابض والنب pendulum (لزاويات صغيرة) هما المثالان القياسي. نظرًا لأن القوة تزداد مع الإزاحة، تكون الحركة سلسة ومتكررة، ترسم منحنى جيبي بمرور الزمن.

في الحركة التوافقية البسيطة، التسارع يُشير دائمًا نحو نقطة الاتزان، عكس الإزاحة

اختبار الحركة التوافقية البسيطة هو بالضبط هذا: تسارع متناسب مع الإزاحة وعكس الاتجاه في الاتجاه، $a=-\dfrac{k}{m}x$. لا يتبع الناب Pendulum هذا إلا لـالاهتزازات الصغيرة، حيث $\sin\theta\approx\theta$؛ الاهتزازات الكبيرة ليست حركة توافقية بسيطة تمامًا.

نابض تحت حمل: قانون هوك F = −kx هو قوة الاستعادة التي تنتج الحركة التوافقية البسيطة

7.2

Frequency and Period of SHM · ⁨التردد والدور الزمني للحركة التوافقية البسيطة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Learning Objective 7.2.A: Describe the frequency and period of an object exhibiting SHM.

7.2.A.1 The period of SHM is related to the frequency $f$ of the object's motion by the following equation:
- Equation: $T = \dfrac{1}{f}$
- 7.2.A.1.i The period of an object–ideal-spring oscillator is given by the equation $T_s = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$.
- 7.2.A.1.ii The period of a simple pendulum displaced by a small angle is given by the equation $T_p = 2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}$.

العربية

الهدف التعليمي 7.2.A: وصف تردد ودور زمني لجسم يظهر حركة توافقية بسيطة.

7.2.A.1 يرتبط الدور الزمني للحركة التوافقية البسيطة بالتردد $f$ لحركة الجسم بالمعادلة التالية:
- المعادلة: $T = \dfrac{1}{f}$
- 7.2.A.1.i يُعطى الدور الزمني لمذبذب جسم-زنبرك مثالي بالمعادلة $T_s = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$.
- 7.2.A.1.ii يُعطى الدور الزمني لبندول بسيط مزاح بزاوية صغيرة بالمعادلة $T_p = 2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

The period 周期 $T$ is the time for one full cycle.
The frequency 频率 $f=\dfrac{1}{T}$ is cycles per second (hertz).

For SHM these depend only on the system, not on the amplitude:

$$T_{\text{spring}}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}},\qquad T_{\text{pendulum}}=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.$$

So a stiffer spring or smaller mass oscillates faster; a longer pendulum swings slower.

Worked example. A $0.25\ \text{kg}$ mass hangs on a spring of stiffness $k=100\ \text{N/m}$. Its period is

$$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{0.25}{100}}=0.31\ \text{s},\qquad f=\frac{1}{T}=3.2\ \text{Hz}.$$

Worked example. A pendulum clock ticks with a period of exactly $2.0\ \text{s}$. How long is it? Rearranging $T=2\pi\sqrt{L/g}$,

$$L=g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2=9.8\times\left(\frac{2.0}{2\pi}\right)^2=0.99\ \text{m}.$$

Notice the amplitude never entered – a wide or narrow swing keeps the same time, which is what makes pendulums good clocks.

العربية

الزمن الدوري $T$ هو الوقت لدورة كاملة واحدة.
التردد $f=\dfrac{1}{T}$ هو الدورات في الثانية (هرتز).

بالنسبة للحركة التوافقية البسيطة، تعتمد هذه العوامل فقط على النظام، وليس على السعة:

$$T_{\text{spring}}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}},\qquad T_{\text{pendulum}}=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.$$

لذلك فإن النابض الأصلب أو الكتلة الأصغر يهتز أسرع؛ والناب Pendulum الأطول يهتز ببطء.

مثال محلول. كتلة $0.25\ \text{kg}$ معلقة على نابض صلابته $k=100\ \text{N/m}$. دورها الزمني هو

$$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{0.25}{100}}=0.31\ \text{s},\qquad f=\frac{1}{T}=3.2\ \text{Hz}.$$

مثال محلول. ساعة نب Pendulum تطقطق بدور زمني قدره $2.0\ \text{s}$ بالضبط. كم طوله؟ بإعادة ترتيب $T=2\pi\sqrt{L/g}$،

$$L=g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2=9.8\times\left(\frac{2.0}{2\pi}\right)^2=0.99\ \text{m}.$$

لاحظ أن السعة لم تدخل أبدًا – الاهتزاز الواسع أو الضيق يحافظ على نفس الوقت، وهو ما يجعل نواب Pendulum ساعات جيدة.

مجموعة من الشوكة الرنانة بأحجام مختلفة — الشوكة الرنانة: الشوكة الأطول والأثقل تهتز ببطء أكبر، مما يعطي ترددًا أدنى

Explore · ⁨استكشف⁩

Time a pendulum's swing · ⁨قياس زمن تأرجح البندول⁩

A pendulum's period depends on its length and gravity, not its mass or (small) amplitude: $T=2\pi\sqrt{L/g}$. Lengthen it and each swing takes longer. · ⁨دور البندول يعتمد على طوله والجاذبية، وليس كتلته أو سعة اهتزازه الصغيرة: $T=2\pi\sqrt{L/g}$. زِد طوله وستستغرق كل تأرجح وقتًا أطول.⁩

7.3

Representing and Analyzing SHM · ⁨تمثيل وتحليل الحركة التوافقية البسيطة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Learning Objective 7.3.A: Describe the displacement, velocity, and acceleration of an object exhibiting SHM.

7.3.A.1 For an object exhibiting SHM, the displacement of that object measured from its equilibrium position can be represented by the equations $x = A\cos(2\pi ft)$ or $x = A\sin(2\pi ft)$.
- 7.3.A.1.i Minima, maxima, and zeros of displacement, velocity, and acceleration are features of harmonic motion.
- 7.3.A.1.ii Recognizing the positions or times at which the displacement, velocity, and acceleration for SHM have extrema or zeros can help in qualitatively describing the behavior of the motion.
7.3.A.2 Changing the amplitude of a system exhibiting SHM will not change the period of that system.
7.3.A.3 Properties of SHM can be determined and analyzed using graphical representations.

العربية

الهدف التعليمي 7.3.A: وصف إزاحة وسرعة وتسارع جسم يظهر حركة توافقية بسيطة.

7.3.A.1 بالنسبة لجسم يظهر حركة توافقية بسيطة، يمكن تمثيل إزاحته مقاسة من موضع اتزان بالمعادلات $x = A\cos(2\pi ft)$ أو $x = A\sin(2\pi ft)$.
- 7.3.A.1.i القيم الدنيا والعظمى والأصفار للإزاحة والسرعة والتسارع هي خصائص للحركة التوافقية.
- 7.3.A.1.ii التعرف على المواقع أو الأوقات التي يكون فيها الإزاحة والسرعة والتسارع للحركة التوافقية البسيطة عند قيمها القصوى أو أصفارها يساعد في وصف سلوك الحركة بشكل نوعي.
7.3.A.2 تغيير سعة نظام يظهر حركة توافقية بسيطة لن يغير دوره الزمني لذلك النظام.
7.3.A.3 يمكن تحديد وتحليل خصائص الحركة التوافقية البسيطة باستخدام التمثيلات البيانية.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

The displacement varies sinusoidally: $x(t)=A\cos(\omega t)$ (or sine), where $A$ is the amplitude 振幅 (maximum displacement) and $\omega=2\pi f$ is the angular frequency 角频率. Reading the motion:

At the extremes ($x=\pm A$): displacement and restoring force are maximum, so acceleration is maximum, but velocity is zero.
At equilibrium 平衡 ($x=0$): force and acceleration are zero, but speed is maximum.

Velocity and acceleration are also sinusoidal, shifted in phase 相位 from the displacement – velocity leads displacement by a quarter cycle, and acceleration is exactly opposite to displacement.

Read the figure as a story: where $x$ is largest (the turning point), $v$ has just fallen to zero and $a$ is at its most negative, hauling the mass back; a quarter-cycle later the mass races through the middle at top speed with zero acceleration.

العربية

الإزاحة تتغير بشكل جيبي: $x(t)=A\cos(\omega t)$ (أو الجيب)، حيث $A$ هي السعة (أقصى إزاحة) و$\omega=2\pi f$ هو التردد الزاوي. قراءة الحركة:

الإزاحة تتغير جيوبياً مع الزمن في الحركة التوافقية البسيطة — تتغير الإزاحة جيبيًا مع الزمن في الحركة التوافقية البسيطة

عند الأطراف ($x=\pm A$): الإزاحة وقوة الاستعادة عظمى، لذا يكون التسارع عظيمًا، لكن السرعة صفر.
عند نقطة الاتزان ($x=0$): القوة والتسارع يساويان الصفر، لكن السرعة عظمى.

السرعة والتسارع أيضًا جيبيان، مُزاحان في طور عن الإزاحة – السرعة تسبق الإزاحة بنصف دورة ربع، والتسارع معاكس تمامًا للإزاحة.

الإزاحة والسرعة والتسارع في الحركة التوافقية البسيطة، كل منها بمسافة نصف دورة ربع

اقرأ الشكل كقصة: حيث $x$ هي الأكبر (نقطة الانعطاف)، $v$ انخفض للتو إلى الصفر و$a$ في أقل قيمة لها، تسحب الكتلة للخلف؛ بعد نصف دورة ربع، تمر الكتلة عبر المنتصف بأعلى سرعة مع تسارع صفري.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
Simple harmonic motion/ˈsɪmpl hɑːˈmɒnɪk ˈməʊʃn/	الحركة التوافقية البسيطة
oscillation/ˌɒsɪˈleɪʃn/	التذبذب
restoring force/rɪˈstɔːrɪŋ fɔːs/	القوة المرجعة
period/ˈpɪərɪəd/	الدور
frequency/ˈfriːkwənsi/	التردد
amplitude/ˈæmplɪtjuːd/	السعة
angular frequency/ˈæŋɡjʊlə ˈfriːkwənsi/	التردد الزاوي
phase/feɪz/	طور
equilibrium/ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/	الاتزان

7.4

Energy of Simple Harmonic Oscillators · ⁨طاقة المتذبذبات التوافقية البسيطة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Learning Objective 7.4.A: Describe the mechanical energy of a system exhibiting SHM.

7.4.A.1 The total energy of a system exhibiting SHM is the sum of the system's kinetic and potential energies.
- Equation: $E_{\text{total}} = U + K$
7.4.A.2 Conservation of energy indicates that the total energy of a system exhibiting SHM is constant.
7.4.A.3 The kinetic energy of a system exhibiting SHM is at a maximum when the system's potential energy is at a minimum.
7.4.A.4 The potential energy of a system exhibiting SHM is at a maximum when the system's kinetic energy is at a minimum.
- 7.4.A.4.i The minimum kinetic energy of a system exhibiting SHM is zero.
- 7.4.A.4.ii Changing the amplitude of a system exhibiting SHM will change the maximum potential energy of the system and, therefore, the total energy of the system.
- Relevant equation for a spring–object system: $E_{\text{total}} = \dfrac{1}{2}kA^2$

العربية

الهدف التعليمي 7.4.A: وصف الطاقة الميكانيكية لنظام يظهر حركة توافقية بسيطة.

7.4.A.1 الطاقة الكلية لنظام يظهر حركة توافقية بسيطة هي مجموع طاقته الحركية وطاقة وضعه.
- المعادلة: $E_{\text{total}} = U + K$
7.4.A.2 يشير حفظ الطاقة إلى أن الطاقة الكلية لنظام يظهر حركة توافقية بسيطة ثابتة.
7.4.A.3 تكون الطاقة الحركية لنظام يظهر حركة توافقية بسيطة في أقصى قيمة لها عندما تكون طاقة وضعه في أدنى قيمة لها.
7.4.A.4 تكون طاقة الوضع لنظام يظهر حركة توافقية بسيطة في أقصى قيمة لها عندما تكون الطاقة الحركية للنظام في أدنى قيمة لها.
- 7.4.A.4.i تكون الطاقة الحركية الدنيا لنظام يظهر حركة توافقية بسيطة مساوية للصفر.
- 7.4.A.4.ii تغيير سعة نظام يظهر حركة توافقية بسيطة سيغير طاقة الوضع القصوى للنظام، وبالتالي الطاقة الكلية للنظام.
- المعادلة ذات الصلة لنظام الزنبرك-الجسم: $E_{\text{total}} = \dfrac{1}{2}kA^2$

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Energy conservation: KE ⇄ PE

Energy sloshes between kinetic and potential while the total stays constant (no friction):

$$E=\tfrac{1}{2}kA^2 = \tfrac{1}{2}kx^2+\tfrac{1}{2}mv^2.$$

At the extremes it is all potential; at equilibrium it is all kinetic (maximum speed). Because $E\propto A^2$, doubling the amplitude quadruples the energy.

Worked example. A $0.50\ \text{kg}$ mass on a spring of stiffness $k=200\ \text{N/m}$ oscillates with amplitude $A=0.10\ \text{m}$. Find its maximum speed. All the energy is kinetic at the equilibrium point, so $\tfrac12 kA^2=\tfrac12 mv_{\max}^2$:

$$v_{\max}=A\sqrt{\frac{k}{m}}=0.10\times\sqrt{\frac{200}{0.50}}=0.10\times20=2.0\ \text{m/s}.$$

The energy method is faster than tracking the sine functions when you only need the greatest speed.

العربية

حفظ الطاقة: KE ⇄ PE

تتبادل الطاقة بين الحركية والجهدية بينما يبقى المجموع ثابتًا (بدون احتكاك):

$$E=\tfrac{1}{2}kA^2 = \tfrac{1}{2}kx^2+\tfrac{1}{2}mv^2.$$

عند الأطراف تكون كلها جهدية؛ وعند نقطة الاتزان تكون كلها حركية (أقصى سرعة). نظرًا لأن $E\propto A^2$، مضاعفة السعة تضاعف الطاقة أربع مرات.

تبادل الطاقة الحركية والكامنة خلال دورة واحدة بينما يبقى المجموع الكلي ثابتًا — تتبادل الطاقة الحركية والكامنة خلال دورة واحدة بينما تظل الطاقة الكلية ثابتة

مثال محلول. كتلة $0.50\ \text{kg}$ على نابض صلابته $k=200\ \text{N/m}$ تهتز بسعة $A=0.10\ \text{m}$. أوجد أقصى سرعة لها. جميع الطاقة تكون حركية عند نقطة الاتزان، لذا $\tfrac12 kA^2=\tfrac12 mv_{\max}^2$:

$$v_{\max}=A\sqrt{\frac{k}{m}}=0.10\times\sqrt{\frac{200}{0.50}}=0.10\times20=2.0\ \text{m/s}.$$

طريقة الطاقة أسرع من تتبع الدوال الجيبية عندما تحتاج فقط إلى أقصى سرعة.

Explore · ⁨استكشف⁩

Trade kinetic and potential energy in SHM · ⁨تبادل الطاقة الحركية والكامنة في الحركة التوافقية البسيطة⁩

In simple harmonic motion, energy sloshes between kinetic (fastest at the centre) and potential (greatest at the extremes) while the total stays constant. · ⁨في الحركة التوافقية البسيطة، تتناوب الطاقة بين الطاقة الحركية (الأعلى في المركز) والطاقة الكامنة (الأعلى عند الأطراف) بينما يبقى المجموع ثابتًا.⁩

7.4

Exam tips · ⁨نصائح للامتحان⁩

English

Test for SHM: the acceleration must be proportional to the displacement and directed back toward the middle ($a=-\tfrac{k}{m}x$).
The period does not depend on amplitude — use $T=2\pi\sqrt{m/k}$ (spring) or $T=2\pi\sqrt{L/g}$ (pendulum, small angles).
Speed is maximum at the middle (all kinetic) and zero at the extremes (all potential); acceleration is largest at the extremes.
Use energy ($\tfrac12 kA^2 = \tfrac12 kx^2 + \tfrac12 mv^2$) to find the maximum speed quickly: $v_{\max}=A\sqrt{k/m}$.
Total energy $\propto A^2$, so doubling the amplitude quadruples the energy.

العربية

اختبار الحركة التوافقية البسيطة: يجب أن يكون التسارع متناسبًا مع الإزاحة وموجهًا نحو الوسط ($a=-\tfrac{k}{m}x$).
الدور الزمني لا يعتمد على السعة — استخدم $T=2\pi\sqrt{m/k}$ (النابض) أو $T=2\pi\sqrt{L/g}$ (الناب Pendulum، زاوية صغيرة).
السرعة عظمى في المنتصف (كلها حركية) وصفر عند الأطراف (كلها جهدية)؛ والتسارع الأكبر عند الأطراف.
استخدم الطاقة ($\tfrac12 kA^2 = \tfrac12 kx^2 + \tfrac12 mv^2$) لإيجاد أقصى سرعة بسرعة: $v_{\max}=A\sqrt{k/m}$.
الطاقة الكلية $\propto A^2$، لذا مضاعفة السعة تضاعف الطاقة أربع مرات.

Interactive lessons on this topic · ⁨دروس تفاعلية حول هذا الموضوع⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨ا-working عليه خطوة بخطوة، مع تمارين تحقق فوري.⁩

Past Papers · ⁨أوراق الامتحانات السابقة⁩

More topics in AP Physics 1 · ⁨AP الفيزياء 1⁩ · ⁨المزيد من المواضيع في AP Physics 1 · ⁨AP الفيزياء 1⁩⁩