تغطي هذه الورقة الموضوع 1: رياضيات نقية إضافية 1. تضيف جبراً جديداً، ومصفوفات، وإحداثيات قطرية، ومتجهات أكثر، وإثباتاً بالاستقراء.
رياضيات بحتة متقدمة 1
A-Level رياضيات متقدمة · الموضوع 1
14:28
رياضيات بحتة متقدمة 1
هناك معادلة تكعيبية، تتقاطع المحور عند ثلاث جذور. إيجاد تلك الجذور بدقة قد يكون صعباً — أو حتى مستحيلاً باليد. ولكن إليك جمالاً…
سرد باللغة الإنجليزية · ترجمة مدمجة بالإنجليزية + الصينية
1.1
جذور المعادلات كثيرات الحدود
المنهج
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| • استرجاع واستخدام العلاقات بين الجذور والمعاملات لمعادلات كثير الحدود | مثلًا لتقييم الدوال المتماثلة للجذور أو لحل مسائل تتضمن معاملات غير معروفة في المعادلات؛ مقيدة بالمعادلات من الدرجة 2 أو 3 أو 4 فقط. |
| • استخدام التعويض للحصول على معادلة تكون جذورها مرتبطة بطريقة بسيطة بجذور المعادلة الأصلية | لن يتم تقديم تعويضات للحالات الأسهل، مثلًا عندما تكون الجذور الجديدة مقلوبات أو مربعات أو دالة خطية بسيطة للجذور القديمة. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
بالنسبة لمعادلة كثيرة حدود، ترتبط الجذور بـالمعاملات. بالنسبة لـ $ax^2 + bx + c = 0$ بجذور $\alpha, \beta$:
$$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \qquad \alpha\beta = \frac{c}{a}.$$
بالنسبة لمعادلة مكعبة $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ بجذور $\alpha, \beta, \gamma$:
$$\sum\alpha = -\frac{b}{a}, \qquad \sum\alpha\beta = \frac{c}{a}, \qquad \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}.$$
المجموعات مثل $\sum\alpha$ و$\sum\alpha\beta$ هي دوال متماثلة للجذور (لا تتغير إذا تم تبديل الجذور). لإيجاد معادلة تكون جذورها متغيرة بطريقة بسيطة، استخدم تعويضاً (على سبيل المثال، ضع $w = \alpha + 1$).
مثال محلول. المعادلة $x^2 - 5x + 6 = 0$ لها جذور $\alpha, \beta$. أوجد المعادلة ذات الجذور $\alpha + 1, \beta + 1$.
هنا $\alpha + \beta = 5$ و$\alpha\beta = 6$. المجموع الجديد هو $(\alpha + 1) + (\beta + 1) = 7$، والجداء الجديد هو $(\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha\beta + \alpha + \beta + 1 = 6 + 5 + 1 = 12$. لذا المعادلة الجديدة هي
$$x^2 - 7x + 12 = 0.$$
استكشف
جذور كثير حدود
y = ax³ + bx² + cx + d
الجذور هي النقاط التي يلتقي فيها المنحنى مع محور x — ومجموعها وحاصل ضربها مرتبطان بالمعاملات.
1.2
الدوال الكسرية والرسوم البيانية
المنهج
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| • رسم رسوم بيانية للدوال النسبية البسيطة، بما في ذلك تحديد المماسات المائلة، في الحالات التي يكون فيها درجة البسط والمقام 2 كحد أقصى | بما في ذلك تحديد مجموعة القيم التي تأخذها الدالة، مثلًا باستخدام المميز. لن يكون الرسم التفصيلي للمنحنيات مطلوبًا، لكن يُتوقع عادةً أن تُظهر الرسومات السموية سمات مهمة، مثل نقاط الانعطاف والمماسات والتقاطعات مع المحاور. |
| • فهم واستخدام العلاقات بين الرسوم البيانية لـ $y = f(x)$، $y^2 = f(x)$، $y = \frac{1}{f(x)}$، $y = |f(x)|$ و $y = f(|x|)$ | بما في ذلك استخدام مثل هذه الرسوم البيانية السموية أثناء حل المعادلات أو المتباينات. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
الدالة الكسرية هي كسر لمكثفين كثيرتي حدود. عندما يكون أعلى المكثف درجة أعلى بمقدار واحد عن الأسفل تماماً، يحتوي الرسم البياني على مقارب مائل (خط مائل يقترب منه المنحنى)؛ يتم إيجادها بالقسمة. يجب عليك أيضاً أن تكون قادراً على ربط رسم $y = f(x)$ برسم $y^2 = f(x)$، $y = \dfrac{1}{f(x)}$، $y = |f(x)|$ و$y = f(|x|)$. أوجد مجموعة القيم التي يمكن أن تأخذها الدالة باستخدام المميز، وحدد نقاط الانعطاف.
مثال محلول. أوجد المقارب المائل لـ $y = \dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1}$.
قسّم الكسر: $\dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1} = x + \dfrac{1}{x + 1}$. بما أن $x \to \pm\infty$ الباقي $\dfrac{1}{x+1} \to 0$، فإن المنحنى يقترب من الخط $y = x$ — وهو المقارب المائل.
استكشف
الدوال الكسرية
y = a/(x − b) + c
الدالة الكسرية لها مقارب يقترب منه المنحنى لكنه لم يلمسه أبداً.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| Further Pure Mathematics/ˈfɜːðə pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | رياضيات نقية إضافية |
| roots/ruːts/ | الجذور |
| coefficients/ˌkəʊɪˈfɪʃənts/ | المعاملات |
| substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | استبدال |
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | دالة نسبية |
| oblique asymptote/əˈbliːk ˈæsɪmptəʊt/ | قارب مائل |
| method of differences/ˈmeθəd ɒv ˈdɪfrənsɪz/ | طريقة الفروق |
| convergent/kənˈvɜːdʒənt/ | متقارب |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | المجموع إلى ما لا نهاية |
1.3
مجموع المتتاليات
المنهج
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| • استخدام النتائج القياسية لـ $\sum r$، $\sum r^2$، $\sum r^3$ لإيجاد المجاميع ذات الصلة | |
| • استخدام طريقة الاختلافات للحصول على مجموع متتالية محدودة | قد يكون استخدام الكسور الجزئية للتعبير عن الحد العام بصيغة مناسبة مطلوبًا. |
| • التعرف، من خلال النظر المباشر إلى مجموع $n$ حدًا، على متى تكون المتسلسلة متقاربة، وإيجاد المجموع اللانهائي في مثل هذه الحالات |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
تعلم النتائج القياسية:
$$\sum_{r=1}^{n} r = \tfrac12 n(n+1), \qquad \sum_{r=1}^{n} r^2 = \tfrac16 n(n+1)(2n+1), \qquad \sum_{r=1}^{n} r^3 = \tfrac14 n^2(n+1)^2.$$
طريقة الفوارق تحسب مجموع متتالية عن طريق إلغاء الحدود الوسطى: إذا كانت الكسور الجزئية، اكتب كل حد على صورة $f(r) - f(r+1)$، ستختفي تقريبًا كل شيء. من خلال المجموع لـ $n$ حدًا، يمكنك تحديد ما إذا كانت المتتالية متقاربة، وإذا كانت كذلك، أوجد مجموعها إلى ما لا نهاية.
مثال محلّل. أوجد $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} (2r + 1)$.
$$\sum_{r=1}^{n}(2r + 1) = 2\sum_{r=1}^{n} r + \sum_{r=1}^{n} 1 = 2\cdot\tfrac12 n(n+1) + n = n(n+1) + n = n(n+2).$$
استكشف
السلاسل ومجاميعها
مرر الحدود والمجموع المتراكم — المبدأ وراء السلسلة ومجموعها لـ n حد.
1.4
المصفوفات
المنهج
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| إجراء عمليات جمع المصفوفات وطرحها وضربها، والتعرف على مصطلحي مصفوفة الصفر ومصفوفة الوحدة (أو المصفوفة الهوية) | بما في ذلك المصفوفات غير المربعة. ستحتوي المصفوفات على ما لا يزيد عن 3 صفوف وأعمدة. |
| استحضار معنى المصطلحين singular (منفرد) وnon-singular (غير منفرد) كما ينطبقان على المصفوفات المربعة، وللمصفوفات $2 \times 2$ و$3 \times 3$، حساب المحددات وإيجاد المعكوسات للمصفوفات غير المنفردة | سيتم استخدام الرموز $\det \mathbf{M}$ لمحدد المصفوفة $\mathbf{M}$، و$\mathbf{I}$ لمصفوفة الوحدة. |
| فهم واستخدام النتيجة، بالنسبة للمصفوفات غير المنفردة، $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}$ | قد يكون مطلوبًا التوسع إلى حاصل ضرب أكثر من مصفوفتين. |
| فهم استخدام $2 \times 2$ المصفوفات لتمثيل بعض التحولات الهندسية في المستوى $x$-$y$، وتحديداً: – فهم العلاقة بين التحولات الممثلة بواسطة $\mathbf{A}$ و$\mathbf{A}^{-1}$ – إدراك أن حاصل ضرب المصفوفات $\mathbf{AB}$ يمثل التحول الناتج عن تطبيق التحول الممثل بواسطة $\mathbf{B}$ متبوعاً بالتحول الممثل بواسطة $\mathbf{A}$ – تذكر كيف يرتبط عامل مقياس المساحة للتحول بمحدد المصفوفة المقابلة – إيجاد المصفوفة التي تمثل تحولاً معيناً أو تسلسلاً من التحويلات | سيتم مطلوب فهم مصطلحات الدوران، الانعكاس، التكبير، التمدد والشذوذ للتحويلات 2D. قد يتم تضمين تحويلات 2D أخرى، لكن لا يُتوقع معرفة خاصة بها. |
| فهم معنى ثابت كما ينطبق على النقاط والخطوط في سياق التحويلات الممثلة بالمصفوفات، وحل مسائل بسيطة تتضمن نقاط ثابتة وخطوط ثابتة. | مثلًا: لتحديد النقاط الثابتة للتحويل الممثل بـ $\begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$، أو لإيجاد الخطوط الثابتة المارة بنقطة الأصل لـ $\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$، أو لإظهار أن أي خط ميله 1 هو خط ثابت لـ $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
المصفوفة هي كتلة مستطيلة من الأرقام. جمع المصفوفات يجمع المدخلات في المواقع المتطابقة؛ يمكن أيضًا طرح وضرب المصفوفات (الضرب هو صف $\times$ ضرب عمود). المصفوفة الصفرية تحتوي على كل مدخل $0$، والمصفوفة الوحدة (أو مصفوفة الوحدة) $I$ تترك أي مصفوفة دون تغيير عند الضرب.
لمصفوفة $2\times 2$ $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$، فإن المحدد هو $\det A = ad - bc$. إذا كان $\det A \neq 0$ تكون المصفوفة غير مفردة (وإلا فهي مصفوفة مفردة)، والمصفوفة المعكوسة هي
$$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.$$
للمنتج، $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$. مصفوفة $2\times 2$ يمكن أن تمثل تحولاً هندسياً للمستوى — دوران، انعكاس، تكبير، تمدد أو إزاحة أفقية: يعطي المحدد معامل مقياس المساحة، والجداء $AB$ يعني "قم بـ $B$، ثم $A$". النقاط أو الخطوط التي لا تتحرك تسمى نقاط ثابتة وخطوط ثابتة.
مثال محلّل. أوجد معكوس $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$.
$\det A = 3\times 4 - 1\times 2 = 10$، لذا
$$A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}.$$
استكشف
المصفوفات كتحويلات
غيّر المدخلات الأربعة وراقب تحول المربع الوحدة إلى شكل جديد. المحدد هو عامل مقياس المساحة.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| matrix/ˈmeɪtrɪks/ | مصفوفة |
| zero matrix/ˈzɪərəʊ ˈmeɪtrɪks/ | المصفوفة الصفرية |
| identity matrix/aɪˈdentɪti ˈmeɪtrɪks/ | مصفوفة الوحدة |
| determinant/dɪˈtɜːmɪnənt/ | المحدد |
| singular matrix/ˈsɪŋɡjʊlə ˈmeɪtrɪks/ | المصفوفة المفردة |
| inverse matrix/ɪnˈvɜːs ˈmeɪtrɪks/ | المصفوفة العكسية |
| geometric transformation/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk trænsfɔːˈmeɪʃn/ | التحويل الهندسي |
| invariant points/ɪnˈveərɪənt pɔɪnts/ | نقاط ثابتة |
| invariant lines/ɪnˈveərɪənt laɪnz/ | خطوط ثابتة |
| polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | الإحداثيات القطبية |
| Cartesian coordinates/kɑːˈtiːzɪən kəʊˈɔːdɪnəts/ | الإحداثيات الديكارتية |
| polar curves/ˈpəʊlə kɜːvz/ | المنحنيات القطبية |
| plane/pleɪn/ | المستوى |
1.5
الإحداثيات القطبية
المنهج
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| فهم العلاقات بين الإحداثيات الديكارتية والإحداثيات القطبية، وتحويل معادلات المنحنيات من الصورة الديكارتية إلى الصورة القطبية والعكس | سيتم استخدام约定 $r \geqslant 0$. |
| رسم منحنيات قطبية بسيطة، لـ $0 \leqslant \theta < 2\pi$ أو $-\pi < \theta \leqslant \pi$ أو جزء من هذين الفترتين | لن يكون الرسم التفصيلي للمنحنيات مطلوبًا، لكن عادةً ما يُتوقع أن تُظهر الرسومات السمعية ميزات مهمة، مثل التماثل، إحداثيات نقاط التقاطع مع الخط الابتدائي، شكل المنحنى عند القطب، وأقل/أكبر قيم لـ $r$. |
| استحضار الصيغة $\frac{1}{2} \int r^2 \mathrm{d}\theta$ لمساحة القطاع، واستخدام هذه الصيغة في حالات بسيطة. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
الإحداثيات القطبية تحدد نقطة عن بعد $r$ عن نقطة الأصل وزاوية $\theta$. ترتبط بـالإحداثيات الديكارتية عبر
$$x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta, \qquad r^2 = x^2 + y^2.$$
يجب عليك رسم منحنيات قطبية بسيطة وإيجاد مساحة قطاع مع
$$\text{area} = \tfrac12\int r^2\,d\theta.$$
مثال محلّل. حوّل المعادلة القطبية $r = 4\cos\theta$ إلى صيغة ديكارتية.
اضرب كلا الطرفين في $r$: $r^2 = 4r\cos\theta$، لذا $x^2 + y^2 = 4x$. إكمال المربع يعطي $(x - 2)^2 + y^2 = 4$، وهي دائرة نصف قطرها $2$ ومركزها $(2, 0)$.
استكشف
منحنيات قطبية
اختر منحنى وغيّر a. في الصيغة القطبية يُحدّد النقطة مسافتها r وزاويتها θ — مما يرسم الورود والقلوب والأبراج.
1.6
المتجهات
المنهج
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| استخدام معادلة المستوى بأي من الأشكال $ax + by + cz = d$ أو $\mathbf{r.n} = p$ أو $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$ وتحويل معادلات المستويات من شكل إلى آخر عند الضرورة لحل المسائل | |
| استحضار أن الجداء الاتجاهي $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ لمتجهين يمكن التعبير عنه إما كـ $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta\hat{\mathbf{n}}$، حيث $\hat{\mathbf{n}}$ هو متجه وحدة، أو بالصيغة المركبة كـ $(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} + (a_3b_1 - a_1b_3)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}$ | |
| استخدام معادلات الخطوط والمستويات، جنبًا إلى جنب مع الجداء القياسي والاتجاهي حيثما كان مناسبًا، لحل المسائل المتعلقة بالمسافات والزوايا والتقاطعات، بما في ذلك: – تحديد ما إذا كان خط يقع في مستوى، أو يوازي مستوى، أو يتقاطع معه، وإيجاد نقطة تقاطع الخط والمستوى عندما توجد – إيجاد قدم العمود من نقطة إلى مستوى – إيجاد الزاوية بين خط ومستوى، والزاوية بين مستويين – إيجاد معادلة لخط تقاطع مستويين – حساب أقصر مسافة بين خطين مائلين – إيجاد معادلة للعمود المشترك لخطين مائلين. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
في ثلاثة أبعاد يمكن كتابة مستوى على صورة $ax + by + cz = d$، أو $\mathbf{r}\cdot\mathbf{n} = p$، أو $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$. بالإضافة إلى الضرب القياسي، يوجد الضرب الاتجاهي لمتجهين:
$$\mathbf{a}\times\mathbf{b} = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\sin\theta\;\hat{\mathbf{n}},$$
والذي يعطي متجهًا عموديًا على الاثنين. باستخدام الضرب القياسي والاتجاهي يمكنك إيجاد المسافات والزاويات ونقاط تقاطع الخطوط والمستويات — بما في ذلك أقصر مسافة بين خطوط متقطعة.
مثال محلول. أوجد $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ لـ $\mathbf{a} = \mathbf{i} + \mathbf{j}$ و$\mathbf{b} = \mathbf{j} + \mathbf{k}$.
$$\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(1) = \mathbf{i} - \mathbf{j} + \mathbf{k}.$$
استكشف
المتجهات
a · b = |a||b|cos θ
الضرب النقطي يساوي صفراً بالضبط عندما يكون متجهان متعامدين.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| vector product/ˈvektə ˈprɒdʌkt/ | الجداء الاتجاهي |
| vectors/ˈvektəz/ | متجهات. |
| skew lines/skjuː laɪnz/ | خطوط مائلة |
| mathematical induction/ˌmæθɪˈmætɪkl ɪnˈdʌkʃn/ | البرهان بالاستقراء الرياضي |
| conjecture/kənˈdʒektʃə/ | فرضية |
| inductive proof/ɪnˈdʌktɪv pruːf/ | الإثبات بالاستقراء |
| symmetric functions/sɪˈmetrɪk ˈfʌŋkʃnz/ | الدوال المتماثلة |
| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | المميز |
| turning points/ˈtɜːnɪŋ pɔɪnts/ | نقاط الانعطاف |
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | الكسور الجزئية |
| rotation/rəʊˈteɪʃn/ | دوراناً |
| reflection/rɪˈflekʃn/ | انعكاس |
| enlargement/enˈlɑːdʒmənt/ | تكبير |
| stretch/stretʃ/ | تمدد |
| shear/ʃɪə/ | التزيح |
1.7
البرهان بالاستقراء الرياضي
المنهج
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| استخدام طريقة الاستقراء الرياضي لإثبات نتيجة معينة | مثال: $\sum_{r=1}^{n} r^4 = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2$، $u_n = \frac{1}{2}(1 + 3^{n-1})$ للمتتابعة المعطاة بـ $u_{n+1} = 3u_n - 1$ و$u_1 = 1$، $\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 3 \times 2^n - 2 & 1 - 2^n \\ 3 \times 2^{n+1} - 6 & 3 - 2^{n+1} \end{pmatrix}$، $3^{2n} + 2 \times 5^n - 3$ يقبل القسمة على 8. |
| recognition situations where conjecture based on a limited trial followed by inductive proof is a useful strategy, and carry this out in simple cases. | e.g. find the $n$th derivative of $x e^x$, find $\sum_{r=1}^{n} r \times r!$. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
الاستقراء الرياضي يثبت نتيجة لكل عدد صحيح موجب $n$ في خطوتين:
- الحالة الأساسية: أثبت أن النتيجة صحيحة لـ $n = 1$.
- الخطوة الاستقرائية: افترض أنها صحيحة لـ $n = k$، ثم أثبتها لـ $n = k + 1$.
إذا نجحت كلتا الخطوتين، تكون النتيجة صحيحة لجميع $n$. غالبًا ما تضع أولاً فرضية (تخمين معقول) من بضعة حالات، ثم تؤكدها عبر برهان استقرائي.
مثال محلّل. أثبت أن $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r = \tfrac12 n(n+1)$.
الحالة الأساسية $n = 1$: الطرف الأيسر هو $1$ والطرف الأيمن هو $\tfrac12(1)(2) = 1$. صحيح. الخطوة الاستقرائية: افترض $\displaystyle\sum_{r=1}^{k} r = \tfrac12 k(k+1)$. إذن
$$\sum_{r=1}^{k+1} r = \tfrac12 k(k+1) + (k+1) = (k+1)\left(\tfrac{k}{2} + 1\right) = \tfrac12 (k+1)(k+2).$$
هذا هو الصيغة مع $n = k + 1$، لذا بالاستقراء فهو صالح لجميع $n$.
استكشف
طريق البرهان بالاستقراء الرياضي
اعتبر الاستقراء كدرع أولي واحد بالإضافة إلى قاعدة تدفع كل حالة تالية.
1.7
نصائح للامتحان
- استخدم العلاقات بين الجذور والمعاملات (المجموع، مجموع الأزواج، حاصل الضرب) بدلاً من حل كثير الحدود.
- بالنسبة لـالبرهان بالاستقراء، رتب الحالة الأساسية، افترض النتيجة لـ $n = k$، أثبتها لـ $n = k+1$، واكتب خاتمة واضحة.
- ارسم منحنيات الدوال الكسرية مع مقارباتها ونقاط انعطافها؛ استخدم طريقة الفوارق للمجموع.
- بالنسبة لـالمصفوفات، تعرف المحدد والعكسي والخطوط الثابتة، وفسّر كل تحول هندسياً.
دروس تفاعلية حول هذا الموضوع
ا-working عليه خطوة بخطوة، مع تمارين تحقق فوري.