Vi phân: Định nghĩa và Tính chất cơ bản

AP Giải tích AB · Chủ đề 2

Xem Slides Luyện tập

Bài học video cho chủ đề này Mở trang video

2.1

Tốc độ thay đổi trung bình và tức thời

Chương trình

Hiểu biết Cốt lõi (CHA-2): Đạo hàm cho phép chúng ta xác định tốc độ thay đổi tại một thời điểm bằng cách áp dụng giới hạn vào kiến thức về tốc độ thay đổi trên các khoảng.

Mục tiêu Học tập CHA-2.A: Xác định tốc độ thay đổi trung bình bằng cách sử dụng thương sai.

CHA-2.A.1 Các thương sai $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ và $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ biểu thị tốc độ thay đổi trung bình của một hàm số trên một khoảng.

Mục tiêu Học tập CHA-2.B: Biểu diễn đạo hàm của một hàm số dưới dạng giới hạn của thương sai.

CHA-2.B.1 Tốc độ thay đổi tức thời của một hàm số tại $x=a$ có thể được biểu thị bởi $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ hoặc $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$, giả sử giới hạn đó tồn tại. Đây là các dạng tương đương của định nghĩa đạo hàm và được ký hiệu là $f'(a)$.

Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP

Xe lượn trên dốc nâng: đạo hàm đo tốc độ thay đổi tức thời của vị trí

Đạo hàm từ nguyên lý cơ bản

Đơn vị 1 xây dựng nền tảng về giới hạn. Đơn vị 2 sử dụng nó để định nghĩa đạo hàm – tốc độ thay đổi chính xác tại một điểm.

Tốc độ thay đổi tức thời là độ dốc của tiếp tuyến tại một điểm

Trên một khoảng, tốc độ thay đổi trung bình là một biểu thức tỷ số sai. Có hai dạng tương đương xuất hiện:

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \qquad\text{and}\qquad \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$

Dạng đầu tiên sử dụng bước nhảy kích thước $h$ từ $a$; dạng thứ hai sử dụng hai điểm $x$ và $a$. Cả hai đều tính $\dfrac{\text{change in output}}{\text{change in input}}$ trên khoảng đó.

Tốc độ thay đổi tức thời tại $x=a$ là cái mà biểu thức tỷ số sai tiến tới khi khoảng thu nhỏ về không. Giới hạn này chính là đạo hàm tại $a$, ký hiệu $f'(a)$:

$$f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},$$

miễn là giới hạn tồn tại.

Khám phá

Từ tốc độ trung bình đến tốc độ tức thời

y = ax³ + bx² + cx + d

Trượt điểm: đường cắt qua hai điểm gần nhau nghiêng về phía tiếp tuyến khi chúng sáp nhập. Độ dốc của tiếp tuyến là đạo hàm — tốc độ thay đổi tức thời.

Từ vựng Luyện tập

English	Tiếng Việt
derivative/dɪˈrɪvətɪv/	đạo hàm
difference quotient/ˈdɪfrəns ˈkwəʊʃənt/	biểu thức sai số
instantaneous/ˌɪnstənˈteɪnɪəs/	tức thời
first principles/fɜːst ˈprɪnsɪplz/	nguyên lý đầu tiên
notations/nəʊˈteɪʃnz/	ký hiệu
slope/sləʊp/	hệ số góc
tangent line/ˈtændʒənt laɪn/	đường tiếp tuyến

2.2

Định nghĩa Đạo hàm và Ký hiệu của nó

Chương trình

Hiểu biết Cốt lõi (CHA-2): Đạo hàm cho phép chúng ta xác định tốc độ thay đổi tại một thời điểm bằng cách áp dụng giới hạn vào kiến thức về tốc độ thay đổi trên các khoảng.

Mục tiêu Học tập CHA-2.B: Biểu diễn đạo hàm của một hàm số dưới dạng giới hạn của thương sai.

CHA-2.B.2 Đạo hàm của $f$ là hàm số có giá trị tại $x$ là $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, giả sử giới hạn này tồn tại.
CHA-2.B.3 Đối với $y=f(x)$, các ký hiệu cho đạo hàm bao gồm $\dfrac{dy}{dx}$, $f'(x)$, và $y'$.
CHA-2.B.4 Đạo hàm có thể được biểu diễn dưới dạng đồ thị, số liệu, giải tích và bằng lời.

Mục tiêu Học tập CHA-2.C: Xác định phương trình đường tiếp tuyến với một đường cong tại một điểm đã cho.

CHA-2.C.1 Đạo hàm của một hàm số tại một điểm chính là hệ số góc của đường tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm đó.

Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP

Để điểm $a$ biến thiên và đạo hàm trở thành một hàm mới:

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

Đây là định nghĩa của đạo hàm (thôi đôi khi được gọi là "khả vi bằng nguyên lý cơ bản"). Giá trị của nó tại mỗi $x$ là tốc độ thay đổi tức thời tại đó.

Các ký hiệu phổ biến cho đạo hàm của $y=f(x)$ là:

$$\frac{dy}{dx}, \qquad f'(x), \qquad y'.$$

Đạo hàm có thể được biểu diễn theo đồ thị, số học, giải tích và văn bản – hãy sẵn sàng chuyển đổi giữa chúng.

Ý nghĩa hình học. Đạo hàm tại một điểm là độ dốc của đường tiếp tuyến với đồ thị tại đó. Vì vậy, đường tiếp tuyến tại $x=a$ đi qua $\big(a, f(a)\big)$ với độ dốc $f'(a)$:

$$y - f(a) = f'(a)\,(x-a).$$

Viết phương trình đường thẳng này là một nhiệm vụ thường quy trong bài thi, nên hãy giữ sẵn dạng điểm-độ dốc.

Độ dốc của dây cung tiến tới độ dốc của tiếp tuyến: đạo hàm là giới hạn của tốc độ thay đổi trung bình — Khi $Q$ trượt tiến về $P$, độ dốc của mỗi dây cung (một tốc độ thay đổi trung bình) tiến tới độ dốc của tiếp tuyến – đạo hàm $f'(a)$.

2.3

Ước lượng Đạo hàm tại Một điểm

Chương trình

Hiểu biết Cốt lõi (CHA-2): Đạo hàm cho phép chúng ta xác định tốc độ thay đổi tại một thời điểm bằng cách áp dụng giới hạn vào kiến thức về tốc độ thay đổi trên các khoảng.

Mục tiêu Học tập CHA-2.D: Ước lượng đạo hàm.

CHA-2.D.1 Đạo hàm tại một điểm có thể được ước lượng từ thông tin được cung cấp trong bảng số liệu hoặc đồ thị.
CHA-2.D.2 Công nghệ có thể được sử dụng để tính toán hoặc ước lượng giá trị đạo hàm của một hàm số tại một điểm.

Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP

Bạn không luôn có công thức. Khi hàm số được cho bởi bảng hoặc đồ thị, hãy ước lượng đạo hàm $f'(a)$ bằng biểu thức tỷ số sai trên một khoảng nhỏ xung quanh $a$. Một bảng có các giá trị ở cả hai bên $a$ sẽ đưa ra ước lượng tốt nhất:

$$f'(a) \approx \frac{f(b)-f(c)}{b-c},\qquad \text{where } c < a < b \text{ are the closest table inputs}.$$

Công nghệ (máy tính bỏ túi) cũng có thể ước lượng đạo hàm tại một điểm.

Kỹ năng làm bài thi (xuất hiện gần như mỗi năm). Các câu hỏi như "Ước lượng $M'(7.5)$ sử dụng tốc độ thay đổi trung bình của $M$ trên khoảng $5 \le t \le 10$" yêu cầu đúng biểu thức tỷ số sai này. Hãy thể hiện cách thiết lập:

$$M'(7.5) \approx \frac{M(10)-M(5)}{10-5}.$$

Điểm tối đa yêu cầu thay thế các số vào và sử dụng đúng đơn vị (đơn vị đầu ra trên mỗi đơn vị đầu vào), vì những giá trị này đến từ các mô hình thực tế.

Từ vựng Luyện tập

English	Tiếng Việt
table/ˈteɪbl/	bảng
units/ˈjuːnɪts/	đơn vị
differentiable/ˈdɪfərenʃɪəbl/	khảo đạo
continuous/kənˈtɪnjuːəs/	liên tục
corner/ˈkɔːnə/	góc nhọn
vertical tangent/ˈvɜːtɪkl ˈtændʒənt/	tiếp tuyến đứng
power rule/ˈpaʊə ruːl/	quy tắc lũy thừa
Constant multiple/ˈkɒnstənt ˈmʌltɪpl/	hằng số bội
polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/	đa thức

2.4

Khi nào Đạo hàm Tồn tại?

Chương trình

Hiểu biết Cốt lõi (FUN-2): Nhận ra rằng đạo hàm của một hàm số cũng có thể là một hàm số cho phép chúng ta phát triển kiến thức về các hành vi liên quan của cả hai.

Mục tiêu Học tập FUN-2.A: Giải thích mối quan hệ giữa khả vi và liên tục.

FUN-2.A.1 Nếu một hàm số khả vi tại một điểm, thì nó liên tục tại điểm đó. Cụ thể, nếu một điểm không thuộc miền xác định của $f$, thì nó cũng không thuộc miền xác định của $f'$.
FUN-2.A.2 Một hàm số liên tục có thể không khả vi tại một điểm trong miền xác định của nó.
- Ví dụ minh họa cho FUN-2.A.2:
  - Giới hạn trái và giới hạn phải của thương sai không bằng nhau, ví dụ như $f(x)=|x|$ tại $x=0$.
  - Đường tiếp tuyến đứng và không có hệ số góc, ví dụ như $f(x)=\sqrt[3]{x}$ tại $x=0$.

Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP

Tính khả vi mạnh hơn tính liên tục. Mối quan hệ cốt lõi:

Nếu $f$ khả vi tại một điểm, thì $f$ liên tục tại điểm đó.

Do đó, tính khả vi suy ra tính liên tục. Ngược lại không đúng: một hàm liên tục có thể không khả vi. Có hai trường hợp xảy ra điều này:

Góc nhọn: giới hạn của tỷ số sai phân trái và phải không bằng nhau, ví dụ như $f(x)=|x|$ tại $x=0$.
Tiếp tuyến đứng: độ dốc vô cùng (không là số thực), ví dụ như $f(x)=\sqrt[3]{x}$ tại $x=0$.

Hai cách một hàm liên tục không khả vi: góc nhọn và tiếp tuyến đứng

Hơn nữa, một điểm nằm ngoài tập xác định của $f$ cũng không thể thuộc tập xác định của $f'$. Sử dụng mệnh đề đảo trong bài thi: nếu $f$ không liên tục tại $a$, thì $f$ không khả vi tại $a$.

2.5

Quy tắc Lũy thừa

Chương trình

Hiểu biết Cốt lõi (FUN-3): Nhận ra các cơ hội để áp dụng các quy tắc đạo hàm có thể giúp đơn giản hóa quá trình vi phân.

Mục tiêu Học tập FUN-3.A: Tính đạo hàm của các hàm số quen thuộc.

FUN-3.A.1 Áp dụng trực tiếp định nghĩa đạo hàm và các quy tắc cụ thể có thể được sử dụng để tính đạo hàm của các hàm dạng $f(x)=x^{r}$.

Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP

Từ đây, chúng ta sử dụng các quy tắc thay vì định nghĩa giới hạn mỗi lần. Quy tắc lũy thừa áp dụng cho mọi lũy thừa của $x$:

$$\frac{d}{dx}\,x^{r} = r\,x^{\,r-1}\qquad\text{for any real } r.$$

Nó hoạt động với lũy thừa nguyên dương, lũy thừa âm ($\tfrac{1}{x}=x^{-1}$) và căn thức ($\sqrt{x}=x^{1/2}$) – hãy viết lại dưới dạng lũy thừa trước, sau đó áp dụng quy tắc.

Khám phá

Một hàm lũy thừa và độ dốc ngày càng dốc của nó

y = ax³ + bx² + cx + d

Quy tắc lũy thừa $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ đưa số mũ xuống làm hệ số nhân. Đối với $x^3$, độ dốc tăng nhanh khi $x$ di chuyển từ 0 — đường cong trở nên dốc hơn.

2.6

Quy tắc Hằng số, Tổng, Hiệu và Hằng số Nhân

Chương trình

Hiểu biết Cốt lõi (FUN-3): Nhận ra các cơ hội để áp dụng các quy tắc đạo hàm có thể giúp đơn giản hóa quá trình vi phân.

Mục tiêu Học tập FUN-3.A: Tính đạo hàm của các hàm số quen thuộc.

FUN-3.A.2 Tổng, hiệu và hằng số nhân của các hàm có thể được đạo hàm bằng các quy tắc đạo hàm.
FUN-3.A.3 Quy tắc lũy thừa kết hợp với các tính chất tổng, hiệu và hằng số nhân có thể được sử dụng để tìm đạo hàm của các hàm đa thức.

Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP

Các quy tắc này cho phép bạn lấy đạo hàm từng hạng tử:

Hằng số: $\dfrac{d}{dx}\,k = 0$ (một hằng số không thay đổi).
Hằng số nhân: $\dfrac{d}{dx}\big[k\,f(x)\big] = k\,f'(x)$.
Tổng / Hiệu: $\dfrac{d}{dx}\big[f(x)\pm g(x)\big] = f'(x)\pm g'(x)$.

Kết hợp với quy tắc lũy thừa, chúng cho phép lấy đạo hàm từng hạng tử của bất kỳ đa thức nào. Ví dụ:

$$\frac{d}{dx}\big(4x^3 - 5x + 7\big) = 12x^2 - 5.$$

2.7

Đạo hàm của sin x, cos x, e^x và ln x

Chương trình

Hiểu biết Cốt lõi (FUN-3): Nhận ra các cơ hội để áp dụng các quy tắc đạo hàm có thể giúp đơn giản hóa quá trình vi phân.

Mục tiêu Học tập FUN-3.A: Tính đạo hàm của các hàm số quen thuộc.

FUN-3.A.4 Các quy tắc cụ thể có thể được sử dụng để tìm đạo hàm của các hàm sin, cos, hàm mũ và hàm logarit.

Hiểu biết dai dẳng (LIM-3): Suy luận dựa trên định nghĩa, định lý và tính chất có thể được sử dụng để xác định giới hạn.

Mục tiêu học tập LIM-3.A: Diễn giải giới hạn như là định nghĩa của đạo hàm.

LIM-3.A.1 Trong một số trường hợp, nhận diện biểu thức theo định nghĩa đạo hàm của một hàm mà đạo hàm đã biết sẽ cung cấp chiến lược để xác định một giới hạn.

Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP

Học thuộc lòng bốn đạo hàm nền tảng này:

$$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \qquad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x,$$

$$\frac{d}{dx}e^{x} = e^{x}, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}\ \ (x>0).$$

Lưu ý dấu trừ ở đạo hàm của cosin, và rằng $e^{x}$ chính là đạo hàm của nó.

Một giới hạn thực chất là đạo hàm (LIM-3.A.1). Đôi khi một giới hạn ẩn chứa định nghĩa của đạo hàm đã biết. Nếu bạn nhận ra

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

đối với một hàm $f$ mà bạn biết đạo hàm của nó, chỉ cần đánh giá $f'(a)$. Ví dụ, $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}+h\big)-1}{h} = \left.\frac{d}{dx}\sin x\right|_{x=\pi/2} = \cos\tfrac{\pi}{2} = 0$.

Khám phá

Hình dạng của sin x (có đạo hàm là cos x)

y = asin(bx + c) + d

Đạo hàm của $\sin x$ là $\cos x$: độ dốc của đường cong sin lớn nhất tại nơi sin cắt trục hoành và bằng không tại các đỉnh. Hãy quan sát đường cong để cảm nhận nơi nào có độ dốc dốc hay phẳng.

2.8

Quy tắc Tích

Chương trình

Hiểu biết Cốt lõi (FUN-3): Nhận ra các cơ hội để áp dụng các quy tắc đạo hàm có thể giúp đơn giản hóa quá trình vi phân.

Mục tiêu Học tập FUN-3.B: Tính đạo hàm của tích và thương các hàm số khả vi.

FUN-3.B.1 Đạo hàm của tích các hàm khả vi có thể được tìm thấy bằng quy tắc tích.

Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP

Quy tắc tích như hình chữ nhật đang mở rộng

Tích của hai hàm không được đạo hàm bằng cách nhân các đạo hàm lại với nhau. Hãy sử dụng quy tắc tích:

$$\frac{d}{dx}\big[u\,v\big] = u'v + uv'.$$

"Đạo hàm của hàm đầu tiên nhân với hàm thứ hai, cộng với hàm đầu tiên nhân với đạo hàm của hàm thứ hai." Ví dụ:

$$\frac{d}{dx}\big(x^2 e^{x}\big) = 2x\,e^{x} + x^2 e^{x}.$$

Câu hỏi thi thường xây dựng một hàm mới từ các thành phần đã cho, ví dụ $k'(x) = \big(f(x)\big)^2 g(x)$, và yêu cầu bạn kết hợp các quy tắc trong khi đọc giá trị từ bảng số liệu.

Từ vựng Luyện tập

English	Tiếng Việt
product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/	quy tắc tích

2.9

Quy thương

Chương trình

Hiểu biết Cốt lõi (FUN-3): Nhận ra các cơ hội để áp dụng các quy tắc đạo hàm có thể giúp đơn giản hóa quá trình vi phân.

Mục tiêu Học tập FUN-3.B: Tính đạo hàm của tích và thương các hàm số khả vi.

FUN-3.B.2 Đạo hàm của thương các hàm khả vi có thể được tìm thấy bằng quy thương.

Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP

Đối với thương, hãy sử dụng quy tắc thương:

$$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{u}{v}\right] = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}.$$

"Mẫu số nhân đạo hàm của tử số, trừ đi tử số nhân đạo hàm của mẫu số, tất cả chia cho bình phương mẫu số." Thứ tự quan trọng do dấu trừ, nên hãy viết tử số cẩn thận. Ví dụ:

$$\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{\cos x}\right) = \frac{1\cdot\cos x - x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos x + x\sin x}{\cos^2 x}.$$

2.10

Đạo hàm của tan x, cot x, sec x và csc x

Chương trình

Hiểu biết Cốt lõi (FUN-3): Nhận ra các cơ hội để áp dụng các quy tắc đạo hàm có thể giúp đơn giản hóa quá trình vi phân.

Mục tiêu Học tập FUN-3.B: Tính đạo hàm của tích và thương các hàm số khả vi.

FUN-3.B.3 Sắp xếp lại các hàm tangent, cotangent, secant và cosecant bằng cách sử dụng các đẳng thức cho phép vi phân bằng cách áp dụng các quy tắc đạo hàm.

Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP

Quy tắc thương: đạo hàm của một phân thức

Các đạo hàm lượng giác còn lại không cần học thuộc riêng biệt – bạn viết lại chúng bằng hằng đẳng thức và áp dụng quy tắc thương (hoặc tích). Ví dụ, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, nên quy tắc thương cho

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cos x - \sin x(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.$$

Cùng phương pháp (viết $\cot x=\tfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\tfrac{1}{\cos x}$, $\csc x=\tfrac{1}{\sin x}$) sẽ cho $-\csc^2 x$, $\sec x\tan x$, và $-\csc x\cot x$.

Đạo hàm cấp cao. Đạo hàm lại $f'$ sẽ tạo ra đạo hàm cấp hai $f''(x)$ (hoặc $\tfrac{d^2y}{dx^2}$) – tốc độ thay đổi của tốc độ thay đổi. Một phần câu hỏi như "Tìm $k''(3)$" chỉ có nghĩa là đạo hàm hai lần, sau đó thay số. Bạn cũng có thể ước lượng đạo hàm cấp hai từ bảng số liệu bằng cách áp dụng phương pháp tốc độ biến thiên trung bình lên các giá trị $f'$.

Ví dụ minh họa. Đạo hàm $f(x)=x^2\sin x$ bằng quy tắc tích $(uv)'=u'v+uv'$: lấy $u=x^2$ ($u'=2x$) và $v=\sin x$ ($v'=\cos x$), thu được $f'(x)=2x\sin x+x^2\cos x$. Luôn đọc cấu trúc trước — một tích cần quy tắc tích, không phải quy tắc lũy thừa áp dụng riêng cho từng thừa số.

Từ vựng Luyện tập

English	Tiếng Việt
quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/	quy tắc thương
identities/aɪˈdentɪtiz/	hằng đẳng thức
second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/	đạo hàm cấp hai

2.10

Mẹo làm bài thi

Đạo hàm là độ dốc của tiếp tuyến — giới hạn của độ dốc dây cung $\tfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ khi $h\to0$ tiến tới.
Học thuộc các quy tắc: lũy thừa, tích, thương, và đạo hàm của $\sin$, $\cos$, $e^x$, và $\ln x$.
Khả vi suy ra liên tục, nhưng không ngược lại (một góc nhọn hoặc đỉnh nhọn vẫn liên tục nhưng không khả vi).
Phân biệt tốc độ biến thiên trung bình (độ dốc dây cung trên một khoảng) với tốc độ biến thiên tức thời (đạo hàm tại một điểm).
Viết phương trình đường tiếp tuyến theo dạng $y-f(a)=f'(a)(x-a)$.

Bài học tương tác về chủ đề này

Làm theo từng bước, kèm theo bài tập kiểm tra ngay lập tức.

Nhiều chủ đề hơn trong AP Giải tích AB