เรขาคณิตพิกัด

Mathematics IGCSE · หัวข้อ 3

ดูสไลด์ ฝึกฝน

บทเรียนวิดีโอสำหรับหัวข้อนี้ เปิดหน้าวิดีโอ

เอกสารนี้ครอบคลุมหัวข้อที่ 3, เรขาคณิตพิกัด ส่วนที่ระบุ (ส่วนขยาย) จะทดสอบเฉพาะในข้อสอบส่วนขยาย; ส่วนอื่นเป็นสำหรับทั้งสองระดับ

3.1

พิกัด

หลักสูตร

เนื้อหารายวิชา	หมายเหตุและตัวอย่าง
ใช้และตีความพิกัดคาร์เทเซียนในสองมิติ

แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International

มุมมองจากอากาศของตารางถนนในเมือง — ตารางถนนในเมือง: ทุกสถานที่ถูกกำหนดโดยพิกัดของมัน

จุดบนกราฟอธิบายได้ด้วย พิกัด บางครั้งเรียกว่าพิกัดคาร์ทีเซียน เขียน $(x, y)$. ตัวเลขแรกคือค่าแนวนอนและตัวเลขที่สองคือค่าแนวตั้ง

เส้นจำนวนสองเส้นคือ แกน: แกนแนวนอน $x$ และ แกนแนวตั้ง $y$
พวกมันตัดกันที่ จุดกำเนิด, จุด $(0, 0)$
แกนแบ่งตารางออกเป็นสี่ จตุภาค

ดังนั้น จุด $(3, -2)$ จะหาได้โดยการเคลื่อนที่ $3$ ไปทางขวา และ $2$ ลงมา

ตารางพิกัดที่มีแกน x และ y มีฉลาก จุดกำเนิด O จตุภาคทั้งสี่ถูกกำหนดเป็น I ถึง IV และมีจุด (3, -2) แสดงบนกราฟ — แกนตัดกันที่จุดกำเนิด $O$ และแบ่งระนาบออกเป็นสี่จตุภาค; $(3,-2)$ หมายถึง ขวา 3 แล้วลง 2

สำรวจ

ระนาบพิกัด

y = mx + c

ทุกจุดมีพิกัด (x, y) เส้นตรงคือเซตของจุดที่ y ขึ้นอยู่กับ x ในรูปแบบที่กำหนดตายตัว

คำศัพท์ ฝึกฝน

English	ไทย
coordinates/kəʊˈɔːdɪnəts/	พิกัด
axes/ˈæksɪz/	แกน
horizontal/ˌhɒrɪˈzɒntl/	เป็นแนวนอน
vertical/ˈvɜːtɪkl/	แนวตั้ง
origin/ˈɒrɪdʒɪn/	จุดเริ่มต้น
quadrants/ˈkwɒdrənts/	จตุภาค

3.5

สมการของเส้นตรง

หลักสูตร

เนื้อหารายวิชา

หมายเหตุและตัวอย่าง

ตีความและหาค่าสมการของกราฟเส้นตรงในรูปแบบ $y = mx + c$.

คำถามอาจ: • ใช้และขอเส้นในรูปแบบ $y = mx + c$, $x = k$ • เกี่ยวข้องกับการหาค่าสมการเมื่อมีกราฟให้ • ขอความชันหรือ $y$-จุดตัดของกราฟจากสมการ, เช่น หาความชันและ $y$-จุดตัดของกราฟที่มีสมการ $y = 6x + 3$. ผู้เข้าสอบควรให้สมการของเส้นตรงในรูปแบบที่ลดทอนอย่างสมบูรณ์ที่สุด.

เนื้อหารายวิชา

หมายเหตุและตัวอย่าง

ตีความและหาสมการของกราฟเส้นตรง

คำถามอาจ: • ใช้และขอเส้นในรูปแบบต่าง ๆ เช่น $ax + by = c$, $y = mx + c$, $x = k$ • เกี่ยวข้องกับการหาสมการเมื่อให้กราฟ • ขอหาความชันหรือ $y$-intercept ของกราฟจากสมการ เช่น หาความชันและ $y$-intercept ของกราฟที่มีสมการ $5x + 4y = 8$. ผู้เข้าสอบควรให้สมการของเส้นตรงในรูปแบบที่ลดรูปอย่างสมบูรณ์

แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International

เส้นตรงส่วนใหญ่สามารถเขียนในรูป

$$y = mx + c,$$

โดยที่ $m$ คือ ความชัน (ระดับความชัน) และ $c$ คือ ค่าตัดแกน — ค่า $y$ ที่เส้นตัดกับแกน $y$

เส้นแบบ $x = k$ (เช่น $x = 3$) เป็นเส้น แนวตั้ง
เส้นแบบ $y = k$ (เช่น $y = 3$) เป็นเส้น แนวนอน

เส้นอาจถูกกำหนดให้ในรูป $ax + by = c$ จัดรูปใหม่ให้เป็น $y = mx + c$ เพื่ออ่านค่าความชันและค่าตัดแกน

ตัวอย่างวิธีทำ หาความชันและค่าตัดแกน $y$ ของ $5x + 4y = 8$

$$4y = -5x + 8 \;\Rightarrow\; y = -\tfrac{5}{4}x + 2.$$

ดังนั้น ความชันคือ $-\tfrac{5}{4}$ และค่าตัดแกน $y$ คือ $2$

สำรวจ

y = mx + c

y = ax + b

ลากความชันและจุดตัดแกน a คือความชัน (ความชัน) และ b คือจุดที่เส้นตัดแกน y

3.3

ความชัน

หลักสูตร

เนื้อหารายวิชา	หมายเหตุและตัวอย่าง
หาความชันของเส้นตรง	จากตารางพิกัดเท่านั้น

เนื้อหารายวิชา	หมายเหตุและตัวอย่าง
1 หาความชันของเส้นตรง
2 คำนวณความชันของเส้นตรงจากพิกัดของจุดสองจุดบนเส้นนั้น

แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International

y = mx + c: ความชันและค่าตัดแกน, แบบสด

ถนนเขาเลี้ยวคดที่ชันมาก — ถนนเขาที่ชัน: ความชันวัดระดับความชันจากการยกขึ้นต่อระยะทางตามแนวนอน

ความชัน วัดว่าเส้นมีความชันแค่ไหน:

$$m = \frac{\text{change in } y}{\text{change in } x} = \frac{\text{rise}}{\text{run}}.$$

ความชันบวกจะพุ่งขึ้นไปทางขวา; ความชันลบจะพุ่งลงมาทางขวา

ตัวอย่างวิธีทำ หาความชันของเส้นผ่าน $(1, 2)$ และ $(4, 11)$

$$m = \frac{11 - 2}{4 - 1} = \frac{9}{3} = 3.$$

เส้นตรงบนตารางพิกัด โดยมีการระบุจุดตัดแกน y ที่ c=1 และมีสามเหลี่ยมความชันแสดงระยะทางตามแนวนอน 1 และการยกขึ้น 2 — สำหรับ $y=mx+c$ เส้นตัดกับแกน $y$ ที่ $c$ และความชัน $m$ คือ การยกขึ้นหารด้วยระยะทางตามแนวนอน

สำรวจ

ความชัน

y = ax + b

ความชัน a วัดความชัน — การขึ้นเหนือการเคลื่อนที่

คำศัพท์ ฝึกฝน

English	ไทย
gradient/ˈɡreɪdɪənt/	ความชัน
intercept/ˌɪntəˈsept/	จุดตัดแกน
table of values/ˈteɪbl ɒv ˈvæljuːz/	ตารางค่า
line segment/laɪn ˈseɡmənt/	ส่วนของเส้นตรง

3.2

การวาดกราฟเส้นตรง

หลักสูตร

เนื้อหารายวิชา	หมายเหตุและตัวอย่าง
วาดกราฟเส้นตรงสำหรับสมการเชิงเส้น	สมการจะอยู่ในรูปแบบ $y = mx + c$ (เช่น $y = -2x + 5$) เว้นแต่จะมีตารางค่าให้มา

เนื้อหารายวิชา	หมายเหตุและตัวอย่าง
วาดกราฟเส้นตรงสำหรับสมการเชิงเส้น	ตัวอย่างได้แก่: • $y = -2x + 5$ • $y = 7 - 4x$ • $3x + 2y = 5$.

แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International

ในการวาด $y = mx + c$ วิธีที่เร็วที่สุดคือ:

ทำเครื่องหมายค่าตัดแกน $c$ บนแกน $y$
ใช้ความชันเพื่อก้าวไปยังจุดเพิ่มเติม (สำหรับ $m = 3$ ให้ไปขวา $1$ และขึ้น $3$)
เชื่อมจุดต่างๆ ด้วยเส้นตรง

คุณสามารถสร้าง ตารางค่า เล็กๆ ได้: เลือกค่า $x$ สองหรือสามค่า คำนวณค่า $y$ และแสดงจุดบนกราฟ

การวาด y เท่ากับ 3x ลบ 1: ทำเครื่องหมายค่าตัดแกนที่ลบ 1 ก้าวขวา 1 ขึ้น 3 ซ้ำสองครั้งเพื่อหาจุดเพิ่มเติม จากนั้นเชื่อมจุดด้วยเส้น — การวาดเส้นอย่างรวดเร็ว: ทำเครื่องหมายค่าตัดแกน แล้วใช้ความชันเพื่อก้าวไปยังจุดใหม่

3.5

การหาค่าสมการของเส้นตรง

หลักสูตร

เนื้อหารายวิชา

หมายเหตุและตัวอย่าง

ตีความและหาค่าสมการของกราฟเส้นตรงในรูปแบบ $y = mx + c$.

คำถามอาจ: • ใช้และขอเส้นในรูปแบบ $y = mx + c$, $x = k$ • เกี่ยวข้องกับการหาค่าสมการเมื่อมีกราฟให้ • ขอความชันหรือ $y$-จุดตัดของกราฟจากสมการ, เช่น หาความชันและ $y$-จุดตัดของกราฟที่มีสมการ $y = 6x + 3$. ผู้เข้าสอบควรให้สมการของเส้นตรงในรูปแบบที่ลดทอนอย่างสมบูรณ์ที่สุด.

เนื้อหารายวิชา

หมายเหตุและตัวอย่าง

ตีความและหาสมการของกราฟเส้นตรง

คำถามอาจ: • ใช้และขอเส้นในรูปแบบต่าง ๆ เช่น $ax + by = c$, $y = mx + c$, $x = k$ • เกี่ยวข้องกับการหาสมการเมื่อให้กราฟ • ขอหาความชันหรือ $y$-intercept ของกราฟจากสมการ เช่น หาความชันและ $y$-intercept ของกราฟที่มีสมการ $5x + 4y = 8$. ผู้เข้าสอบควรให้สมการของเส้นตรงในรูปแบบที่ลดรูปอย่างสมบูรณ์

แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International

หากคุณทราบความชัน $m$ และจุดหนึ่งบนเส้น ให้แทนค่าจุดลงใน $y = mx + c$ เพื่อหาค่า $c$

ตัวอย่างวิธีทำ เส้นตรงเส้นหนึ่งมีความชัน $3$ และผ่านจุด $(1, 2)$ จงหาสมการของเส้นนั้น

$$y = 3x + c, \qquad 2 = 3(1) + c, \qquad c = -1.$$

ดังนั้น สมการคือ $y = 3x - 1$ (หากคุณได้รับข้อมูลจุดสองจุด ให้หาความชันก่อน แล้วจึงทำข้อนี้)

3.4

ความยาวและจุดกึ่งกลาง (ส่วนขยาย)

หลักสูตร

เนื้อหารายวิชา	หมายเหตุและตัวอย่าง
1 คำนวณความยาวของเส้นตรง
2 หาพิกัดของจุดกึ่งกลางของเส้นตรง

แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International

ส่วนเส้นตรง คือส่วนตรงระหว่างจุดสองจุด

ในการหา ความยาว ของส่วนเส้นระหว่าง $(x_1, y_1)$ และ $(x_2, y_2)$ ให้ใช้ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส กับช่องว่างตามแนวนอนและแนวตั้ง:

$$\text{length} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.$$

ในการหา จุดกึ่งกลาง (จุดที่อยู่ตรงกลางพอดี) ให้หาค่าเฉลี่ยของพิกัด:

$$\text{midpoint} = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \; \frac{y_1 + y_2}{2} \right).$$

ตัวอย่างวิธีทำ หาความยาวและจุดกึ่งกลางของส่วนเส้นจาก $(1, 2)$ ถึง $(4, 6)$

$$\text{length} = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.$$

$$\text{midpoint} = \left( \frac{1 + 4}{2}, \; \frac{2 + 6}{2} \right) = (2.5, \, 4).$$

ส่วนเส้นจาก (1,2) ถึง (4,6) บนตารางพิกัด โดยมีสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉาก 3 และ 4 ความยาว 5 และจุดกึ่งกลาง (2.5, 4) แสดงไว้ — ช่องว่างตามแนวนอน (3) และช่องว่างแนวตั้ง (4) สร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้นความยาวคือ $\sqrt{3^2+4^2}=5$; จุดกึ่งกลางคือค่าเฉลี่ยของพิกัด

สำรวจ

ห้องปฏิบัติการความยาวและจุดกึ่งกลาง

จุดกึ่งกลางอยู่กึ่งกลางระหว่างจุดปลาย

เคลื่อนที่ตามส่วนของเส้นตรงและดูจุดกึ่งกลางว่าเป็นครึ่งหนึ่งของระยะ

คำศัพท์ ฝึกฝน

English	ไทย
length/leŋθ/	ความยาว
Pythagoras' theorem/paɪˈθæɡərəs ˈθɪərəm/	ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/	จุดกึ่งกลาง

3.6

เส้นขนาน

หลักสูตร

เนื้อหารายวิชา	หมายเหตุและตัวอย่าง
หาความชันและสมการของเส้นตรงที่ขนานกับเส้นที่กำหนดให้	เช่น หาสมการของเส้นที่ขนานกับ $y = 4x - 1$ และผ่าน $(1, -3)$

แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International

เส้นขนาน ไม่เคยตัดกัน ดังนั้นจึงมี ความชันเท่ากัน

ตัวอย่างวิธีทำ. หาสมการของเส้นตรงที่ขนานกับ $y = 4x - 1$ และผ่านจุด $(1, -3)$

ความชันก็คือ $4$ แทนค่าจุดเข้าไป:

$$-3 = 4(1) + c \;\Rightarrow\; c = -7,$$

ดังนั้น เส้นคือ $y = 4x - 7$

สามเส้นขนานที่มีความชัน 4 และค่าตัดแกนต่างกัน; เส้นที่ผ่านจุดที่กำหนด 1 ลบ 3 คือ y เท่ากับ 4x ลบ 7 — เส้นขนาน: มีความชันเท่ากัน แต่ค่าตัดแกนต่างกัน

สำรวจ

ขนาน & ตั้งฉาก

y = ax + b

ขนาน意味着 share a gradient; ตั้งฉากgradient multiply to −1.

คำศัพท์ ฝึกฝน

English	ไทย
parallel/ˈpærəlel/	并联电路中

3.7

เส้นตั้งฉาก (ส่วนขยาย)

หลักสูตร

เนื้อหารายวิชา	หมายเหตุและตัวอย่าง
หาความชันและสมการของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดให้	ตัวอย่างได้แก่: • หาความชันของเส้นที่ตั้งฉากกับ $2y = 3x + 1$ • หาสมการของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของเส้นเชื่อมระหว่างจุด $(-3, 8)$ และ $(9, -2)$.

แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International

เส้นสองเส้นเป็น เส้นตั้งฉาก หากพวกมันตัดกันที่ มุมฉาก ผลคูณของความชันของทั้งสองเส้นจะเป็น $-1$:

$$m_1 \times m_2 = -1, \qquad \text{so} \qquad m_2 = -\frac{1}{m_1}.$$

พูดเป็นภาษาธรรมดา: สลับเศษส่วนและเปลี่ยนเครื่องหมาย

ตัวอย่างวิธีทำ หาความชันของเส้นที่ตั้งฉากกับ $2y = 3x + 1$

จัดรูปใหม่: $y = \tfrac{3}{2}x + \tfrac{1}{2}$ ดังนั้นความชันคือ $\tfrac{3}{2}$ ความชันที่ตั้งฉากคือ $-\tfrac{2}{3}$

ตารางพิกัดสองชุดวางติดกัน: ทางซ้ายมีสองเส้นขนานที่มีความชันเท่ากัน ทางขวามีสองเส้นตั้งฉากที่ตัดกันที่มุมฉาก — เส้นขนานมีความชันเท่ากัน; ความชันที่ตั้งฉากเมื่อคูณกันจะได้ $-1$

เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก

เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก ของส่วนเส้นจะตัดส่วนนั้นเป็นสองเท่าที่มุมฉาก ในการหาสมการ: หาค่าจุดกึ่งกลางก่อน แล้วใช้ความชันที่ตั้งฉากผ่านจุดกึ่งกลางนั้น

ตัวอย่างวิธีทำ หาเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของส่วนเส้นที่เชื่อม $(-3, 8)$ และ $(9, -2)$

จุดกึ่งกลาง: $\left( \frac{-3 + 9}{2}, \frac{8 + (-2)}{2} \right) = (3, 3)$
ความชันของส่วนเส้น: $\frac{-2 - 8}{9 - (-3)} = \frac{-10}{12} = -\tfrac{5}{6}$
ความชันที่ตั้งฉาก: $\frac{6}{5}$

ผ่าน $(3, 3)$: $\; 3 = \tfrac{6}{5}(3) + c \Rightarrow c = 3 - \tfrac{18}{5} = -\tfrac{3}{5}$ ดังนั้นเส้นแบ่งครึ่งคือ

$$y = \tfrac{6}{5}x - \tfrac{3}{5}.$$

คำศัพท์ ฝึกฝน

English	ไทย
perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/	ตั้งฉาก
right angle/raɪt ˈæŋɡl/	มุมฉาก
perpendicular bisector/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə baɪˈsektə/	เส้นตั้งฉากตรงกลาง

3.7

ข้อแนะนำสำหรับการสอบ

เส้นตรงคือ $y = mx + c$: $m$ คือ ความชัน และ $c$ คือตำแหน่งที่เส้นตัดกับแกน $y$
ความชัน = (การเปลี่ยนแปลงของ $y$) ÷ (การเปลี่ยนแปลงของ $x$) รักษาลำดับของพิกัดทั้งสองให้เหมือนกันทั้งด้านบนและด้านล่าง
เส้นขนาน มีความชัน เท่ากัน; เส้นตั้งฉาก มีความชันที่คูณกันได้ $-1$ (ค่าผกผันลบ)
จุดกึ่งกลางคือค่าเฉลี่ยของพิกัด; ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดคำนวณได้จากทฤษฎีบทพีทาโกรัสจากความแตกต่าง

บทเรียนเชิงโต้ตอบสำหรับหัวข้อนี้

ทำทีละขั้นตอน พร้อมแบบฝึกหัดตรวจสอบผลทันที

ข้อสอบย้อนหลัง

หัวข้อเพิ่มเติมใน Mathematics IGCSE