Further Mathematics A-Level

สำหรับสมการพหุนาม ราก จะเชื่อมโยงกับ สัมประสิทธิ์ สำหรับ $ax^2 + bx + c = 0$ ที่มีราก $\alpha, \beta$:

สำหรับสมการกำลังสาม $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ ที่มีราก $\alpha, \beta, \gamma$: ผลบวกแบบ $\sum\alpha$ และ $\sum\alpha\beta$ เป็น ฟังก์ชันสมมาตร ของราก (ไม่เปลี่ยนแปลงหากสลับราก) เพื่อหาสมการwhose roots are changed in a simple way, ใช้ การแทนค่า (เช่น วาง $w = \alpha + 1$)

ตัวอย่างทำ. สมการ $x^2 - 5x + 6 = 0$ มีราก $\alpha, \beta$. หาสมการwhose roots are $\alpha + 1, \beta + 1$.

ที่นี่ $\alpha + \beta = 5$ และ $\alpha\beta = 6$. ผลบวกใหม่คือ $(\alpha + 1) + (\beta + 1) = 7$ และผลคูณใหม่คือ $(\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha\beta + \alpha + \beta + 1 = 6 + 5 + 1 = 12$. ดังนั้นสมการใหม่คือ

ฟังก์ชันตรรกยะ เป็นเศษส่วนของพหุนามสองตัว เมื่อตัวบนมีดีกรีสูงกว่าตัวล่างพอดีหนึ่งขั้น กราฟจะมี เส้นเอียงอนันต์ (เส้นเฉียงที่เส้นโค้งเข้าใกล้); หาค่าได้โดยการหารออก คุณควร还能 connects the graph of $y = f(x)$ to those of $y^2 = f(x)$, $y = \dfrac{1}{f(x)}$, $y = |f(x)|$ and $y = f(|x|)$. หาเซตของค่าที่ฟังก์ชันสามารถรับได้โดยใช้ ดิสคริมิแนนต์ และระบุจุด เปลี่ยนทิศทาง ของมัน

ตัวอย่างทำ. หาเส้นเอียงอนันต์ของ $y = \dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1}$.

หารเศษส่วนออก: $\dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1} = x + \dfrac{1}{x + 1}$. เมื่อ $x \to \pm\infty$ เศษเหลือ $\dfrac{1}{x+1} \to 0$ ดังนั้นกราฟจะเข้าใกล้เส้น $y = x$ — ซึ่งคือเส้นอสมптอทเฉียง

เรียนรู้ผลลัพธ์มาตรฐาน:

วิธีผลต่าง รวมนิพจน์โดยตัดพจน์ตรงกลางออก: ถ้าใช้ เศษส่วนย่อย เขียนแต่ละพจน์ในรูป $f(r) - f(r+1)$, แทบทุกสิ่งจะตัดกัน จากผลรวมของ $n$ พจน์ คุณสามารถตรวจสอบว่าอนุกรมนี้เป็น อนุกรมลู่เข้า หรือไม่ และหากเป็น如此 จะหา ผลรวมอนันต์ ของมันได้

ตัวอย่างมีคำตอบ. หา $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} (2r + 1)$.

เมทริกซ์ คือตารางสี่เหลี่ยมผืนผ้าของตัวเลข การบวกเมทริกซ์ บวกสมาชิกในตำแหน่งที่ตรงกัน; สามารถลบและคูณเมทริกซ์ได้ (การคูณคือแถว $\times$ คูณ คอลัมน์) เมทริกซ์ศูนย์ มีสมาชิกทุกตัวเป็น $0$, และ เมทริกซ์เอกลักษณ์ (หรือ เมทริกซ์หน่วย) $I$ ทำให้เมทริกซ์ใดไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การคูณ

สำหรับเมทริกซ์ขนาด $2\times 2$ $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, ดีเทอร์มิแนนต์ คือ $\det A = ad - bc$. ถ้า $\det A \neq 0$ เมทริกซ์นี้จะไม่ выроเจิด (non-singular) (แต่ถ้าไม่เป็นเช่นนั้นจะเป็น เมทริกซ์ выроเจิด / singular matrix), และ เมทริกซ์ผกผัน คือ

สำหรับผลิตภัณฑ์, $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$. เมทริกซ์ $2\times 2$ สามารถแสดง การแปลงเรขาคณิต ของระนาบ — การหมุน, การสะท้อน, การขยายขนาด, การยืด หรือ การบิดเบี้ยว: ดีเทอร์มิแนนต์ให้ปัจจัยการปรับพื้นที่, และการคูณ $AB$ หมายถึง "ทำ $B$, แล้ว $A$" จุดหรือเส้นที่ไม่เคลื่อนที่เรียกว่า จุดคงที่ และ เส้นคงที่

ตัวอย่างมีคำตอบ. หาผกผันของ $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$.

$\det A = 3\times 4 - 1\times 2 = 10$, ดังนั้น

พิกัดเชิงขั้ว กำหนดจุดโดยระยะ $r$ จากจุดกำเนิดและมุม $\theta$.它们เชื่อมโยงกับ พิกัดคาร์ทีเซียน ผ่าน

คุณควรวาดแผนภาพ เส้นโค้งเชิงขั้ว ง่ายๆ, และหาพื้นที่ของส่วนวงกลมด้วย

ตัวอย่างมีคำตอบ. แปลงสมการเชิงขั้ว $r = 4\cos\theta$ เป็นรูปแบบคาร์ทีเซียน.

คูณทั้งสองข้างด้วย $r$: $r^2 = 4r\cos\theta$, ดังนั้น $x^2 + y^2 = 4x$. การทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์จะได้ $(x - 2)^2 + y^2 = 4$, ซึ่งเป็นวงกลมที่มีรัศมี $2$ และมีศูนย์กลางอยู่ที่ $(2, 0)$.

ในสามมิติ ระนาบ สามารถเขียนได้เป็น $ax + by + cz = d$, หรือ $\mathbf{r}\cdot\mathbf{n} = p$, หรือ $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$ นอกเหนือจากผลคูณสเกลาร์แล้ว ยังมี ผลคูณเวกเตอร์ ของ เวกเตอร์ สองตัว:

ซึ่งให้เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับทั้งสอง ตัว Using scalar and vector products you can find distances, angles, and where lines and planes meet — including the shortest distance between skew lines.

ตัวอย่างมีคำตอบ. หา $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ สำหรับ $\mathbf{a} = \mathbf{i} + \mathbf{j}$ และ $\mathbf{b} = \mathbf{j} + \mathbf{k}$.

การพิสูจน์โดยอุปมากรรมทางคณิตศาสตร์ ใช้ยืนยันผลลัพธ์สำหรับจำนวนเต็มบวกทุก $n$ ในสองขั้นตอน:

1. กรณีฐาน: แสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์นั้นเป็นจริงสำหรับ $n = 1$.
2. ขั้นอุปนัย: สมมติว่าเป็นจริงสำหรับ $n = k$, จากนั้นพิสูจน์它为 $n = k + 1$.

หากทั้งสองขั้นทำงานได้สำเร็จ, ผลลัพธ์จะเป็นจริงสำหรับทุก $n$. มักจะเริ่มจากการทำ ข้อสันนิษฐาน (การเดาอย่างมีเหตุผล) จากบางกรณี, แล้วยืนยันโดย การพิสูจน์แบบอุปนัย.

ตัวอย่างแบบฝึกหัด. พิสูจน์ว่า $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r = \tfrac12 n(n+1)$.

กรณีฐาน $n = 1$: ด้านซ้ายคือ $1$ และด้านขวาคือ $\tfrac12(1)(2) = 1$. เป็นจริง. ขั้นอุปนัย: สมมติ $\displaystyle\sum_{r=1}^{k} r = \tfrac12 k(k+1)$. ดังนั้น

นี่คือสูตรที่มี $n = k + 1$, ดังนั้นโดยการอุปนัย มันจึงเป็นจริงสำหรับทุก $n$.

• ใช้ ความสัมพันธ์ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ (ผลรวม, ผลรวมของคู่, ผลคูณ) แทนการแก้พหุนาม.
• สำหรับ การพิสูจน์ด้วยการอุปนัย, จัดการกรณีฐาน, สมมติผลลัพธ์สำหรับ $n = k$, พิสูจน์它为 $n = k+1$, และเขียนบทสรุปที่ชัดเจน.
• วาดแผนภาพ กราฟฟังก์ชันอัตราส่วน พร้อมเส้นประสมและจุดกลับตัว; ใช้ วิธีผลต่าง สำหรับการหาผลรวม.
• สำหรับ เมทริกซ์, ต้องรู้ดีเทอร์มิแนนต์, ผกผัน, และเส้นคงที่, และตีความการแปลงแต่ละชนิดในเชิงเรขาคณิต.

ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกถูกสร้างจากฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล:

ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นไปตามเอกลักษณ์คล้ายกับตรีโกณมิติ โดยหลักๆ คือ $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$. ฟังก์ชัน ผกผัน (reciprocals) ทั้งสามเสริมชุดนี้ให้สมบูรณ์: $\operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x}$, $\operatorname{cosech} x = \dfrac{1}{\sinh x}$, และ $\coth x = \dfrac{1}{\tanh x} = \dfrac{\cosh x}{\sinh x}$ – ซึ่งทั้งหมดสร้างจาก $e^x$ เช่นกัน และมีประโยชน์ในการจดจำเพื่อใช้ในอินทิกรัลและสเกลคะแนน The inverse hyperbolic functions มี รูปแบบลอการิทึม, ตัวอย่างเช่น $\sinh^{-1} x = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$.

ตัวอย่างวิธีทำ. แสดงว่า $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$

คุณสามารถเขียนสมการเชิงเส้นสามสมการในสามตัวแปรให้เป็น สมการเมทริกซ์ เดียว $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$. หาก $A$ เป็น non-singular จะมีคำตอบเดียว; ถ้า $A$ เป็น singular สมการอาจไม่สอดคล้องกัน (ไม่มีคำตอบ) หรือมีคำตอบจำนวนนับไม่ถ้วน

สำหรับเมทริกซ์สี่เหลี่ยม $A$, สมการลักษณะเฉพาะ (characteristic equation) คือ $\det(A - \lambda I) = 0$. คำตอบของมันคือ ค่าไอเกน (eigenvalues) $\lambda$, และสำหรับแต่ละค่า เวกเตอร์ $\mathbf{v}$ ที่ satisfy $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ จะเรียกว่า เวกเตอร์ไอเกน (eigenvector). จากนั้นคุณสามารถเขียน $A = QDQ^{-1}$, โดยที่ $D$คือ เมทริกซ์แนวทแยง ของค่าไอเกนและคอลัมน์ของ $Q$คือเวกเตอร์ไอเกน

ตัวอย่างวิธีทำ. หา eigenvalues ของ $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

สมการลักษณะเฉพาะคือ

ดังนั้น $\lambda = 1$ หรือ $\lambda = 3$. (Eigenvector สำหรับ $\lambda = 3$ คือ $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ และสำหรับ $\lambda = 1$ คือ $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$.)

ตอนนี้คุณสามารถหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกและฟังก์ชันผกผัน $\sin^{-1}x$, $\tan^{-1}x$, $\sinh^{-1}x$ เป็นต้น คุณสามารถหา $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ สำหรับโค้งที่กำหนดโดยทางอ้อมหรือแบบพารามิترได้เช่นกัน

อนุกรมมาคลอริน (Maclaurin's series) เขียนฟังก์ชันให้อยู่ในรูปอนุกรมกำลัง:

ตัวอย่างเช่น $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots$

ตัวอย่างวิธีทำ. หา Maclaurin series ของ $f(x) = \ln(1+x)$ ไปจนถึงพจน์ที่มี $x^3$

$f(0) = 0$; $f'(x) = \dfrac{1}{1+x}$ ดังนั้น $f'(0) = 1$; $f''(x) = \dfrac{-1}{(1+x)^2}$ ดังนั้น $f''(0) = -1$; $f'''(x) = \dfrac{2}{(1+x)^3}$ ดังนั้น $f'''(0) = 2$. แทนค่าลงในอนุกรม:

จำอินทิกรัลมาตรฐานเหล่านี้:

การแทนค่าตรีโกณมิติ, การแทนค่าไฮเปอร์โบลิก, หรือ การเติมให้สมบูรณ์กำลังสอง (completing the square) ในตัวส่วน สามารถจัดการกับรูปแบบที่เกี่ยวข้องได้ สูตรลดรูป (reduction formula) เชื่อมโยงอินทิกรัล $I_n$ กับ $I_{n-1}$ ทำให้คุณสามารถคำนวณทีละขั้นได้ การอินทิเกรตยังให้ ความยาวส่วนโค้ง (arc length) ของ曲线และ พื้นที่ผิวจากการหมุน (surface area of revolution) เมื่อcurve หมุนรอบแกน

ตัวอย่างมีคำตอบ. หา $\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}\,dx$.

ที่นี่ $a^2 = 4$, ดังนั้น $a = 2$ และ

การจำกัดผลรวมด้วยอินทิกรัล. วาดสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความกว้างหนึ่งหน่วยใต้หรือเหนือ curve ที่ลดลงเช่น $y=\frac1x$. สี่เหลี่ยมผืนผ้าแต่ละอันมีความสูง $\frac1r$ ถูกขังอยู่ระหว่างแถบอินทิกรัลสองแถบ ดังนั้นเมื่อรวมกันจะได้

การหดขนาดความกว้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้าให้เหลือ $\frac1n\to 0$ จะเปลี่ยนผลรวมดังกล่าวให้เป็น Riemann sum ซึ่งเท่ากับอินทิกรัลในลิมิต เช่น $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{r=1}^{n}f\!\left(\frac{r}{n}\right)=\int_0^1 f(x)\,dx$

จำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบขั้วคือ $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$. ทฤษฎีบทเดโมวัวร์ (De Moivre's theorem) กล่าวว่าสำหรับจำนวนเต็ม $n$ ใดๆ,

ใช้เพื่อขยาย $\cos n\theta$ และ $\sin n\theta$ เป็นกำลัง เพื่อรวมอนุกรม และหา $n$ รากของเอกฐาน (roots of unity) (คำตอบของ $z^n = 1$, เรียงห่างกันเท่าๆ รอบวงกลมหน่วย)

ตัวอย่างวิธีทำ. ใช้ทฤษฎีบทเดโมวัวร์เพื่อเขียน $\cos 3\theta$ ในเทอมของ $\cos\theta$

lấyส่วนจริงของ $(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos 3\theta + i\sin 3\theta$:

สำหรับสมการเชิงเส้นอันดับหนึ่ง $\dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)$, คูณด้วย ตัวประกอบอินทิเกรต (integrating factor) $\mu = e^{\int P\,dx}$. ด้านซ้ายจะกลายเป็น $\dfrac{d}{dx}(\mu y)$, sehinggaคุณสามารถอินทิเกรตโดยตรง

สำหรับสมการเชิงเส้นสัมประสิทธิ์คงที่ คำตอบทั่วไป (general solution) คือผลบวกของสองส่วน: ฟังก์ชันเสริม (complementary function) (คำตอบของสมการwhen side kanan ตั้งเป็น $0$, หาได้จาก auxiliary equation) และ อินทิกรัลเฉพาะ (particular integral) (คำตอบใดคำตอบหนึ่งของสมการเต็ม) เงื่อนไขเริ่มต้น (Initial conditions) จะกำหนดค่าคงที่เพื่อให้ได้ คำตอบเฉพาะ (particular solution); สมการที่ง่ายกว่าที่มี ตัวแปรแยกได้ (separable variables) จะอินทิเกรตโดยตรง

ตัวอย่างวิธีทำ. แก้ $\dfrac{dy}{dx} + 2y = e^x$

ตัวประกอบอินทิเกรตคือ $\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$. คูณทั่วแล้วจะได้ $\dfrac{d}{dx}\!\left(y\,e^{2x}\right) = e^{3x}$, ดังนั้น

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง สัมประสิทธิ์คงที่ สำหรับ $\dfrac{d^2y}{dx^2}+b\dfrac{dy}{dx}+cy=f(x)$ ให้แก้ สมการช่วย $m^2+bm+c=0$. ฟังก์ชันเสริมขึ้นอยู่กับรากของสมการนี้:

• รากจริงที่แตกต่างกันสองค่า $m_1,m_2$: $y=Ae^{m_1x}+Be^{m_2x}$;
• รากซ้ำ $m$: $y=(A+Bx)e^{mx}$;
• รากเชิงซ้อน $p\pm qi$: $y=e^{px}(A\cos qx+B\sin qx)$.

จากนั้นเพิ่มผลเฉลยเฉพาะโดยลองใช้รูปแบบที่ตรงกับ $f(x)$ (พหุนาม, $ae^{bx}$, หรือ $a\cos px+b\sin px$); หากรูปแบบทดสอบนั้นปรากฏอยู่ในฟังก์ชันเสริมอยู่แล้ว ให้ คูณด้วย $x$

ตัวอย่างวิธีทำ. แก้ $\dfrac{d^2y}{dx^2}-4\dfrac{dy}{dx}+4y=0$. สมการช่วย $m^2-4m+4=(m-2)^2=0$ มีรากซ้ำ $m=2$ ดังนั้น $y=(A+Bx)e^{2x}$.

• จำ เอกลักษณ์ forecast hyperbolic และอนุพันธ์ของมันได้ และใช้ฟังก์ชัน forecast hyperbolic แบบผกผันในการหาปริพันธ์
• แก้ สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น โดยหาฟังก์ชันเสริม $+$ ผลเฉลยเฉพาะ แล้วใช้เงื่อนไขขอบเขต
• ใช้ ทฤษฎีบท de Moivre สำหรับเลขยกกำลังและรากของจำนวนเชิงซ้อน และการพิสูจน์เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ
• ลดรูปปริพันธ์ให้อยู่ในมาตรฐาน bằng การแทนตัวแปรที่กำหนดให้

วัตถุ โปรเจกไทล์ เคลื่อนที่อย่างอิสระภายใต้แรงโน้มถ่วง จึงมี ความเร่งคงที่ $g$ ชี้ลงด้านล่างและไม่มีความเร่งแนวนอน พิจารณาการเคลื่อนที่แนวนอนและแนวตั้งแยกจากกัน หากมันถูกยิงด้วยความเร็ว $u$ ที่มุม $\alpha$:

การกำจัด $t$ จะได้ สมการคาร์ทีเซียน ของ เส้นทาง (trajectory) ซึ่งเป็นพาราโบลา สำหรับความเร็วในการยิงคงที่ เส้นทางทั้งหมดจะอยู่ใต้ พาราโบลาค่าจำกัด (bounding parabola; envelope of reachable points) ระยะทางบนพื้นราบคือ $\dfrac{u^2\sin 2\alpha}{g}$ และความสูงสูงสุดคือ $\dfrac{u^2\sin^2\alpha}{2g}$

ตัวอย่างวิธีทำ. ขวดยิงด้วยความเร็ว $u = 20\ \text{m s}^{-1}$ ที่มุม $30^\circ$ เทียบกับแนวนอน หาระยะทางและความสูงสูงสุด

โมเมนต์ ของแรงรอบจุดหนึ่งคือ แรง $\times$ คูยะ距ตั้งฉาก; เป็นตัววัดผลหมุน น้ำหนักของวัตถุกระทำที่ ศูนย์มวล ซึ่งคุณสามารถหาได้โดยใช้ ความสมมาตร สำหรับรูปร่างแบนเรียบสม่ำเสมอ (แผ่นบาง; lamina), หรือโดยการพิจารณาวัตถุผสมเป็นกลุ่มของอนุภาค

วัตถุแข็งเกร็งที่อยู่ภายใต้ แรงระนาบ อยู่ในสภาวะ สมดุล เมื่อเงื่อนไขทั้งสองนี้เป็นจริง: ผลรวมเวกเตอร์ของแรงเป็นศูนย์ และผลรวมโมเมนต์รอบจุดใด ๆ เป็นศูนย์ วัตถุนั้นอาจอยู่ในสภาวะใกล้จะ คว่ำ (toppling) หรือ ลื่นไถล (sliding)

ตัวอย่างวิธีทำ. คานสม่ำเสมอ $AB$ ยาว $4\ \text{m}$ และมีน้ำหนัก $100\ \text{N}$ วางอยู่บนจุดหมุนที่ $A$. แรงตั้งฉาก $F$ ที่ $B$ ทำให้คานอยู่ในแนวนอน หา $F$

คำนวณโมเมนต์รอบ $A$ (น้ำหนักกระทำที่ศูนย์กลาง, $2\ \text{m}$ จาก $A$):

สำหรับอนุภาคที่เคลื่อนที่ในวงกลมรัศมี $r$, ความเร็วเชิงมุม $\omega$ เชื่อมโยงกับความเร็วด้วย $v = r\omega$. ความเร่งชี้เข้าหาจุดศูนย์กลาง —即 ความเร่งสู่ศูนย์กลาง — ซึ่งมีขนาด

ใน วงกลมแนวนอน ความเร็วคงที่ — какใน ลูกตุ้มนูน (conical pendulum; มวลแขวนบนเชือก) ใน วงกลมแนวตั้ง ใช้กฎอนุรักษ์พลังงาน เพราะความเร็วเปลี่ยนตามความสูง; แรงสัมผัสปกติ หรือแรงตึงเชือกทำหน้าที่เป็นแรงสู่ศูนย์กลาง

ตัวอย่างวิธีทำ. อนุภาคเคลื่อนที่ในวงกลมแนวนอนรัศมี $2\ \text{m}$ ด้วยความเร็วเชิงมุม $3\ \text{rad s}^{-1}$. หาความเร็วและความเร่งของมัน

กฎของฮุก บอกว่าแรงตึงในสายยางยืดหรือสปริงเป็นสัดส่วนกับการยืดออก $x$:

โดยที่ $L$ คือความยาวธรรมชาติและ $\lambda$ คือ โมดูลัสของความยืดหยุ่น. การยืดออกเก็บ พลังงานศักย์ยืดหยุ่น ไว้:

ตัวอย่างวิธีทำ. สายยางยืดมีความยาวธรรมชาติ $2\ \text{m}$ และโมดูลัส $50\ \text{N}$ ถูกยืดออก $0.5\ \text{m}$. หาแรงตึงและพลังงานที่เก็บไว้

เมื่อแรงขึ้นอยู่กับตำแหน่ง $x$, ใช้ความเร่งในรูปแบบ $a = v\dfrac{dv}{dx}$ ซึ่งแปลงกฎของนิวตันให้เป็น สมการเชิงอนุพันธ์ ที่เชื่อมโยง $v$ กับ $x$

ตัวอย่างที่คำนวณแล้ว. อนุภาคที่มีมวล $8\ \text{kg}$ เคลื่อนที่ตามเส้นตรงภายใต้ แรงแปรผัน ขนาด $(x^3 + 4x)\ \text{N}$ ที่กระทำในทิศทางของการเคลื่อนที่ เมื่อ $x = 0$, $v = 1$. จงหา $v$ ในรูปของ $x$.

กฎของนิวตันให้ $8v\dfrac{dv}{dx} = x^3 + 4x$. แยกตัวแปรและอินทิเกรต:

เมื่อ $x = 0$, $v = 1$ ให้ $C = 4$, ดังนั้น $4v^2 = \tfrac14 x^4 + 2x^2 + 4 = 4\left(\tfrac{x^2}{4} + 1\right)^2$. จึงได้ $v = \tfrac14 x^2 + 1$.

ในการชนกัน โมเมนตัมเชิงเส้นรวม จะถูก conserve — ซึ่งเรียกว่า การ conserveโมเมนตัมเชิงเส้น. ความยืดหยุ่นวัดโดย กฎการทดลองของนิวตัน ซึ่งนิยาม สัมประสิทธิ์ความคืนตัว $e$:

ที่นี่ $e = 1$ คือการชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์ (ไม่มีการสูญเสียพลังงาน) และ $e = 0$ คือการชนแบบไม่ยืดหยุ่น (วัตถุติดกัน) ในการชนแบบ เอียง ให้แยกความเร็วตามแนวและตั้งฉากกับแนวการชน โดยประยุกต์ใช้ค่าสัมประสิทธิ์ความคืนตัวตามแนวนั้นเท่านั้น

ตัวอย่างที่คำนวณแล้ว. ทรงกลม $A$ ที่มีมวล $2\ \text{kg}$ เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว $5\ \text{m s}^{-1}$ ชนกับทรงกลม $B$ ที่หยุดนิ่งซึ่งมีมวล $3\ \text{kg}$ โดยมี $e = 0.5$. จงหาความเร็วหลังจากการชน

โมเมนตัม: $2(5) = 2v_A + 3v_B$, ดังนั้น $2v_A + 3v_B = 10$. สัมประสิทธิ์ความคืนตัว: $v_B - v_A = 0.5(5) = 2.5$. แก้ระบบสมการจะได้ $v_A = 0.5\ \text{m s}^{-1}$ และ $v_B = 3.0\ \text{m s}^{-1}$.

• สำหรับ ** projectile** ให้แยกเป็นcomponent การเคลื่อนที่แนวนอน (ความเร็วคงที่) และแนวตั้ง ($a = g$) เชื่อมต่อกันด้วยเวลาเดียวกัน
• สำหรับ วัตถุแข็งที่สมดุล ให้หาโมเมนต์รอบจุดที่ลบแรงที่ไม่ทราบค่าออก
• สำหรับการเคลื่อนที่วงกลม ใช้ $F = mv^2/r = m\omega^2 r$ เข้าหาจุดศูนย์กลาง; ในวงกลมแนวตั้งต้องตรวจสอบความเร็วขั้นต่ำที่สุดที่จุดสูงสุด
• กับ แรงแปรผัน ใช้ $a = v\,\frac{dv}{dx}$ และอินทิเกรต; พลังงานศักย์ยืดหยุ่น $= \frac{\lambda x^2}{2L}$.

ตัวแปรต่อเนื่อง $X$ อธิบายได้ด้วย ฟังก์ชันความหนาของความน่าจะเป็น $f(x)$ ซึ่งอาจกำหนดเป็นpiecewise. ความน่าจะเป็นในช่วงหนึ่งคือพื้นที่ใต้ $f$, และค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันใดๆ ของ $X$ คือ

ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม $F(x) = P(X \leqslant x)$ คือผลรวมสะสม: $F(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$, และ $f(x) = F'(x)$. ใช้ $F$ เพื่อหาความน่าจะเป็นและ เปอร์เซ็นไทล์ (เช่น ค่ามัธยฐาน แก้สมการ $F(x) = 0.5$).

ตัวอย่างที่คำนวณแล้ว. ตัวแปรหนึ่งมี $f(x) = \tfrac12 x$ สำหรับ $0 \leqslant x \leqslant 2$. จงหาค่ามัธยฐาน

ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมคือ $F(x) = \displaystyle\int_0^x \tfrac12 t\,dt = \tfrac14 x^2$. ตั้ง $F(m) = 0.5$:

การแจกแจงของตัวแปรที่เกี่ยวข้อง. ถ้า $Y=g(X)$, จงหาการแจกแจงของ $Y$ ผ่านฟังก์ชันสะสมของมัน. สำหรับ $Y=X^2$: $F_Y(y)=P(X^2\leqslant y)=P(-\sqrt y\leqslant X\leqslant\sqrt y)=F_X(\sqrt y)-F_X(-\sqrt y)$, แล้วหาอนุพันธ์เพื่อได้ $f_Y=F_Y'$. เมื่อ $g$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มขึ้นอย่าง monotonic จะมีวิธีลัดคือ $F_Y(y)=F_X\big(g^{-1}(y)\big)$.

ตัวอย่างที่คำนวณแล้ว. เมื่อ $f_X(x)=\tfrac12 x$ บน $[0,2]$ (ดังนั้น $F_X(x)=\tfrac14 x^2$), ให้ $Y=X^2$. สำหรับ $0\leqslant y\leqslant 4$, $F_Y(y)=F_X(\sqrt y)=\tfrac14 y$, ดังนั้น $f_Y(y)=F_Y'(y)=\tfrac14$ – นั่นคือ $Y$ มีการแจกแจงแบบสม่ำเสมอบน $[0,4]$.

เมื่อตัวอย่างมีขนาดเล็กและความแปรปรวนของประชากรไม่ทราบ ให้ใช้การทดสอบสมมติฐานบนการแจกแจง $t$ แทนที่จะเป็นnormal. แนวคิดเดียวกันนี้ให้ ช่วงความเชื่อมั่น สำหรับค่าเฉลี่ย:

ซึ่ง $t$ มาจากตาราง $t$ ที่มี $n - 1$ องศาแห่งอิสรภาพ. เพื่อเปรียบเทียบประชากรสองกลุ่ม ให้ใช้การทดสอบ สองตัวอย่าง (two-sample) (2-sample) หรือการทดสอบ คู่ (paired-sample) $t$-test หลังจากหาค่าประมาณความแปรปรวนรวม (pooled estimate) ของความแปรปรวนร่วมกันเมื่อจำเป็นแล้ว.

ตัวอย่างที่คำนวณแล้ว. ตัวอย่างขนาด $n = 10$ มีค่าเฉลี่ย $\bar{x} = 50$ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $s = 4$. จงหาช่วงความเชื่อมั่น $95\%$ สำหรับค่าเฉลี่ย (ใช้ $t = 2.262$ สำหรับ $9$ degrees of freedom).

การทดสอบ $\chi^2$ (chi-squared test) เปรียบเทียบจำนวนสังเกตได้ $O$ กับจำนวนคาดหวัง $E$ จาก การแจกแจงทฤษฎี:

เปรียบเทียบกับค่าในตารางสำหรับจำนวน degrees of freedom ที่ถูกต้อง. ใช้งานสองแบบ: การทดสอบ ความเหมาะสมของการจัดวาง (ข้อมูลสอดคล้องกับโมเดลที่เสนอหรือไม่?) และการทดสอบ ความเป็นอิสระ ของตัวแปรสองตัวใน ตารางถ่วงน้ำหนัก

ตัวอย่างที่คำนวณแล้ว. สี่หมวดหมู่ที่มีความน่าเท่ากันให้จำนวนสังเกตได้ $20, 30, 25, 25$ (ดังนั้นจำนวนคาดหวังแต่ละอันคือ $25$). ทดสอบความเหมาะสมที่ระดับ $5\%$

ด้วย $4 - 1 = 3$ degrees of freedom ค่าในตารางคือ $7.815$. เนื่องจาก $2 < 7.815$, ไม่ปฏิเสธโมเดล

การทดสอบแบบไม่พารามิเตอร์ (non-parametric test) ไม่สมมติฐานว่าข้อมูลมีการแจกแจงปกติ ดังนั้นจึงมีประโยชน์เมื่อสมมติฐานดังกล่าวไม่เป็นจริง การทดสอบพื้นฐานมีดังนี้:

• การทดสอบเครื่องหมาย (sign test): นับจำนวนค่าที่อยู่เหนือและต่ำกว่ามัธยฐานที่เสนอ แล้วทดสอบจำนวนเหล่านั้นด้วยโมเดลทวินาม;
• การทดสอบWilcoxon signed-rank (การทดสอบคู่จับคู่สำหรับข้อมูลที่จับคู่กัน) ซึ่งใช้ขนาดของความแตกต่างไม่ใช่เพียงเครื่องหมายของความแตกต่าง;
• การทดสอบWilcoxon rank-sum สำหรับเปรียบเทียบตัวอย่างอิสระสองกลุ่ม

ตัวอย่างฝึกหัด. ทดสอบว่ามัธยฐานเป็น $5$ หรือไม่ ในตัวอย่าง $10$ ค่า (ไม่มีค่าเท่ากับ $5$), มี $9$ ค่าอยู่ เหนือ $5$ และมี $1$ ค่าอยู่ด้านล่าง ทดสอบที่ระดับ $5\%$ (สองหาง).

ภายใต้ $H_0$ (มัธยฐาน $= 5$) จำนวนค่าที่อยู่เหนือจะปฏิบัติตาม $B(10, 0.5)$. ผลลัพธ์ที่สังเกตได้ ($9$ ค่าอยู่เหนือ) เป็นค่าสุดขั้ว ดังนั้นให้หา $P(X \geq 9) = \binom{10}{9}(0.5)^{10} + (0.5)^{10} = \dfrac{11}{1024} = 0.0107$. สำหรับการทดสอบสองหาง ให้เปรียบเทียบกับ $\tfrac{1}{2}(5\%) = 0.025$. เนื่องจาก $0.0107 < 0.025$, ปฏิเสธ $H_0$: มีหลักฐานว่ามัธยฐานไม่ใช่ $5$.

ฟังก์ชันสร้างโอกาสของตัวแปรไม่ต่อเนื่อง $X$ คือ

มันรวมการแจกแจงทั้งหมดไว้ในฟังก์ชันเดียว ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนหาได้จากอนุพันธ์ที่ $t = 1$: $E(X) = G'(1)$ และ $\mathrm{Var}(X) = G''(1) + G'(1) - \big(G'(1)\big)^2$. นอกจากนี้ PGF ของผลรวมของตัวแปรอิสระคือผลคูณของ PGF ของตัวแปรเหล่านั้น

ตัวอย่างฝึกหัด. $X$ มี $P(X=0) = 0.5$, $P(X=1) = 0.3$, $P(X=2) = 0.2$. หา $E(X)$ โดยใช้ PGF.

ที่นี่ $G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t^2$, ดังนั้น $G'(t) = 0.3 + 0.4t$ และ

• สำหรับ ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง, pdf จะอินทิเกรตได้ $1$ ในช่วงของตัวแปร, และ $E(X) = \int x f(x)\,dx$.
• ใช้ การแจกแจง$t$ เมื่อตัวอย่างมีขนาดเล็กและความแปรปรวนของประชากรไม่ทราบ; ระบุองศาอิสระ
• สำหรับการทดสอบ chi-squared คำนวณ $\sum (O-E)^2/E$, เปรียบเทียบกับค่าวิกฤตที่องศาอิสระทางขวา, และ รวมคลาสที่มี $E < 5$
• ระบุ $H_0$ และ $H_1$ และให้ข้อสรุป ในบริบท สำหรับทุกการทดสอบ