Этот материал охватывает тему 8, Теория вероятностей. Разделы, помеченные (Extended), проверяются только на расширенных экзаменах; всё остальное — для обоих уровней.
Вероятность
Математика IGCSE · Тема 8
7:31
Вероятность
Завтра пойдет дождь? Автобус опоздает? Эта монета покажет шестерку? Почти ничего в жизни не является абсолютно вероятным, и почти ничего невозможно. Большинство вещей находится…
Английское озвучивание · Английский + китайские субтитры (встроенные)
8.1
Шкала вероятностей
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Понимать и использовать шкалу вероятностей от 0 до 1. | Обозначения вероятностей не требуются. Вероятности следует указывать в виде дроби, десятичной дроби или процента. Задачи могут требовать использования информации из таблиц, графиков или диаграмм Венна (ограничено двумя множествами). |
| 2 Вычислять вероятность одиночного события. | |
| 3 Понимание того, что вероятность ненаступления события равна 1 минус вероятность наступления этого события. | Например: вероятность того, что счетчик синего цвета, составляет 0.8. Какова вероятность того, что он не синий? |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Понимайте и используйте шкалу вероятностей от 0 до 1. | $\text{P}(A)$ — это вероятность $A$ |
| 2 Понимание и использование вероятностной нотации. | $\text{P}(A')$ — это вероятность ненаступления события $A$ |
| 3 Вычисляйте вероятность одного события. | Вероятности следует указывать в виде дроби, десятичной дроби или процента. Задачи могут требовать использования данных из таблиц, графиков или диаграмм Эйлера-Венна. |
| 4 Понимайте, что вероятность ненаступления события = 1 – вероятность наступления этого события. | Например, зная $\text{P}(B) = 0.8$, найдите $\text{P}(B')$ |
Источник: Программа Cambridge International
Вероятность оценивает, насколько возможно наступление события. Она измеряется по шкале от $0$ (невозможно) до $1$ (вероятно), и может быть записана в виде дроби, десятичного числа или процента. Мы используем $\text{P}(A)$ для обозначения вероятности события $A$.
Для равновозможных исходов,
$$\text{P}(\text{event}) = \frac{\text{number of favourable outcomes}}{\text{total number of outcomes}}.$$
Вероятность того, что событие не произойдет, равна
$$\text{P}(A') = 1 - \text{P}(A).$$
Разобранное решение. В мешке находятся $3$ красных и $5$ синих фишек. Найдите вероятность не вытянуть красный.
$$\text{P}(\text{red}) = \frac{3}{8}, \qquad \text{P}(\text{not red}) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}.$$
Исследовать
Шкала вероятностей
Переместите маркер от 0 (невозможно) до 1 (определено), чтобы разместить событие на шкале вероятностей.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| probability/ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | вероятность |
| event/ɪˈvent/ | событие |
| outcome/ˈaʊtkʌm/ | исход |
8.2
Относительная частота и ожидаемая частота
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Понимать относительную частоту как оценку вероятности. | напр. использовать результаты экспериментов с вращающимся стрелочным индикатором для оценки вероятности заданного исхода. |
| 2 Вычислять ожидаемые частоты. | напр. использовать вероятность для оценки ожидаемого значения из генеральной совокупности. Включает понимание понятий справедливость, смещение и случайность. |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Понимать относительную частоту как оценку вероятности. | напр. использовать результаты экспериментов с вращающимся стрелочным индикатором для оценки вероятности заданного исхода. |
| 2 Вычисляйте ожидаемую частоту. | Например, используйте вероятность для оценки ожидаемого значения из генеральной совокупности. |
| Включает понимание понятий «справедливость», «смещение» (bias) и «случайность». |
Источник: Программа Cambridge International
Когда исходы не являются равновозможными, проведите эксперимент. Относительная частота оценивает вероятность:
$$\text{relative frequency} = \frac{\text{number of times it happened}}{\text{total number of trials}}.$$
Чем больше опытов вы проводите, тем точнее оценка. Справедливый объект дает равные шансы; объект с смещением — нет; случайный означает, что каждый исход происходит случайно.
Ожидаемая частота — это количество раз, которое событие ожидается в $n$ испытаниях:
$$\text{expected frequency} = \text{P}(\text{event}) \times n.$$
Разобранное решение. Вероятность выпадения шестёрки составляет $\tfrac{1}{6}$. Сколько шестёрок ожидается при $300$ бросках?
$$\frac{1}{6} \times 300 = 50.$$
Исследовать
Вероятность броска двух костей
Бросайте две кости много раз: столбцы сначала колеблются, но затем стабилизируются в теоретическом треугольнике с пиком у 7 — экспериментальная вероятность приближается к теоретической.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| relative frequency/ˈrelətɪv ˈfriːkwənsi/ | относительная частота |
| fair/feə/ | справедливый |
| bias/ˈbaɪəs/ | смещение |
| random/ˈrændəm/ | случайный |
| expected frequency/ekˈspektɪd ˈfriːkwənsi/ | ожидаемая частота |
| combined events/kəmˈbaɪnd ɪˈvents/ | комбинированные события |
| independent events/ˌɪndɪˈpendənt ɪˈvents/ | независимые события |
| mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/ | взаимоисключающие |
| sample space diagram/ˈsæmpl speɪs ˈdaɪəɡræm/ | диаграмма пространства исходов |
| Venn diagram/ven ˈdaɪəɡræm/ | диаграмма Венна |
8.3
Совместные события
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| Вычислять вероятность совместных событий, используя, где уместно: • диаграммы пространства элементарных исходов • диаграммы Венна • деревья вероятностей. | Совместные события рассматриваются только с возвратом. |
| Диаграммы Венна ограничиваются двумя множествами. | |
| В деревьях вероятностей исходы записываются в концах ветвей, а вероятности — вдоль ветвей. |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| Вычисляйте вероятность совместных событий, используя, где уместно: • диаграммы пространства элементарных исходов • диаграммы Эйлера-Венна | Совместные события могут быть как с возвращением, так и без возвращения. |
| Обозначения $\text{P}(A \cap B)$ и $\text{P}(A \cup B)$ могут использоваться в контексте диаграмм Эйлера-Венна. | |
| • деревья решений (деревья вероятностей). | На деревьях решений результаты (исходы) записываются в конце ветвей, а вероятности — рядом с ветвями. |
Источник: Программа Cambridge International
Для двух или более событий вместе (совместные события) помогают два правила:
- И (оба происходят): умножьте вероятности — когда события независимы (одно не влияет на другое).
- ИЛИ (происходит любое из них): сложите вероятности — когда события несовместны (они не могут происходить одновременно).
Три рисунка помогут вам структурировать работу.
Диаграммы пространства элементарных исходов
Диаграмма пространства элементарных исходов — это таблица или сетка, перечисляющая все возможные исходы — полезна для двух кубиков или двух индикаторов. Подсчитайте нужные исходы из общего количества.
Диаграммы Венна
Диаграмма Венна группирует исходы в пересекающиеся множества. Из нее можно прочитать $\text{P}(A \cap B)$ (в обоих) и $\text{P}(A \cup B)$ (в любом из них).
Дерево вероятностей
Дерево вероятностей показывает каждый этап как набор ветвей. Запишите вероятность на каждой ветви и исход в конце. Умножайте вдоль ветвей, затем складывайте пути, которые вам нужны.
Разобранное решение (с возвращением). Из мешка ($3$ красных, $5$ синих) вытягивают фишку, возвращают её, а затем вытягивают вторую. Это с возвращением, поэтому шансы не меняются. Найдите вероятность вытянуть две красные.
$$\text{P}(\text{red, red}) = \frac{3}{8} \times \frac{3}{8} = \frac{9}{64}.$$
Разобранное решение (без возвращения, Расширенное). Теперь первую фишку не возвращают — вытягивание без возвращения. После извлечения одной красной остается $2$ красных из $7$:
$$\text{P}(\text{red, red}) = \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{56} = \frac{3}{28}.$$
Исследовать
Дерево вероятностей
Перемножайте вероятности вдоль каждой ветви; четыре исхода всегда в сумме дают 1.
Исследовать
Комбинированные события
P(A ∩ B) = P(A)·P(B|A)
Объедините два события: площадная модель показывает И (пересечение) versus ИЛИ (объединение).
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| tree diagram/triː ˈdaɪəɡræm/ | дерево вероятностей |
| with replacement/wɪð rɪˈpleɪsmənt/ | с возвратом |
| without replacement/wɪˈðaʊt rɪˈpleɪsmənt/ | без возврата |
| conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | условная вероятность |
8.4
Условная вероятность (Расширенная)
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| Вычисляйте условную вероятность с использованием диаграмм Эйлера-Венна, деревьев решений и таблиц. | Знание обозначений, таких как $\text{P}(A|B)$, и формул, связанных с условной вероятностью, не требуется. |
Источник: Программа Cambridge International
Условная вероятность — это вероятность одного события при условии, что другое уже произошло. Прочитайте её из диаграммы Венна, таблицы двусторонней классификации или дерева вероятностей, рассматривая только ту часть, которая соответствует условию.
Разобранное решение. В классе из $30$ учеников, $18$ изучают французский язык, и из них $7$ также изучают немецкий. Выбирают студента, изучающего французский. Найдите вероятность того, что он также изучает немецкий.
Рассмотрите только $18$ студентов, изучающих французский:
$$\text{P}(\text{German} \mid \text{French}) = \frac{7}{18}.$$
Исследовать
Деревья вероятностей
Измените вероятности ветвлений и считайте совместные и условные вероятности с деревья.
8.4
Советы для экзамена
- Каждая вероятность находится между $0$ и $1$, а вероятности всех исходов в сумме составляют $1$.
- Для «и» (оба события) умножьте вероятности; для «или» (любое из событий) сложите их. На дереве вероятностей умножайте вдоль ветвей.
- Следите за без возвращения: вторая вероятность меняется, так как один предмет уже был удален.
- Ожидаемая частота = вероятность × количество испытаний.
Интерактивные уроки по этой теме
Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.