Условная вероятность
| English | Русский |
|---|---|
| conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | условная вероятность |
| two-way table/tuː weɪ ˈteɪbl/ | двумерная таблица |
| dependent/dɪˈpendənt/ | зависимый |
Вопрос детектива
- Вы знаете, что кто-то изучает французский. Какова вероятность, что он также изучает немецкий?
- Это не то же самое, что «какова вероятность, что кто-то изучает оба предмета?» — вы сузили группу до только студентов, изучающих французский.
- Это условная вероятность: вероятность $B$ при условии, что $A$ уже произошло.
Как это читать
- $\text{P}(B \mid A)$ означает «вероятность $B$ при условии $A$».
- Смотрите только на часть, соответствующую условию — на диаграмме Венна, в таблице или на дереве.
В классе из $30$ человек, $18$ изучают французский. Из них $18$, а среди них $7$ также изучают немецкий. $\text{P}(\text{German} \mid \text{French}) = \dfrac{7}{18}$.
На дереве вероятностей вероятности перемножаются вдоль ветвей; здесь два красных дают $\tfrac38\times\tfrac38=\tfrac{9}{64}$
Условная вероятность
P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B)
Когда одно событие влияет на другое, условные вероятности меняются — и формула Байеса обратима.
Из 18 учеников, изучающих французский язык, 7 также изучают немецкий. P(немецкий | французский) = 7/a. Чему равно a?
При условии, что они изучают французский, общим делителем являются 18 учеников, изучающих французский.
Условная вероятность — это вероятность события:
Это вероятность события B при условии, что произошло событие A.
Из 100 человек 40 — женщины; среди них 10 левшей. Каково P(левша | женщина) в виде десятичной дроби?
10/40 = 0.25.
Формула (Расширенная)
Знаменатель меняется. В условной вероятности всё, на что делится, — это только группа, удовлетворяющая условию, а не всё население. Это самая частая ошибка.
P(B | A) = P(A и B) / P(______).
P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A). Знаменатель — это вероятность условия.
На двумерной таблице
- Чтобы найти $\text{P}(B \mid A)$: посмотрите на строку (или столбец) для $A$ и найдите дробь, которая также соответствует $B$.
- Сумма по строке является знаменателем, а не общая сумма.
Из 20 студентов 12 пьют чай; из них 3 также пьют кофе. P(кофе | чай) = 3/a. Чему равно a?
Условие задано для 12 любителей чая, поэтому a = 12.
Независимые и зависимые события
- Если $\text{P}(B \mid A) = \text{P}(B)$, события независимы — знание того, что произошло $A$, не меняет вероятность $B$.
- Если они различаются, события зависимы.
Условная вероятность ограничивает внимание группой, соответствующей условию — как если бы мы смотрели только внутрь одной области диаграммы Венна.
Если P(B | A) = P(B), то события A и B независимы.
Независимость означает, что знание о том, что произошло A, не изменяет вероятность B.
Условие для меньшей группы
- Из 30 учеников 18 изучают французский язык, а 7 из них изучают немецкий. Зная, что они изучают французский, используйте $p=7/18$, а не $7/30$; условие выбирает только 18 учеников.
- Пусть 12 учеников во всём классе изучают немецкий язык. Тогда $P(G)=12/30=0.4$ отличается от $P(G\mid F)=7/18$. Два этих события не являются независимыми для этих данных.
Среди 18 студентов-французов, 9 также изучают немецкий язык. Найдите P(Немецкий | Французский).
Ограничьте знаменатель студентами-французами: 9/18 = 0.5.
Вы поняли
- условная вероятность $=$ вероятность $B$ при условии, что $A$ уже произошло
- ограничьте свое внимание только группой, удовлетворяющей условию
- $\text{P}(\text{German} \mid \text{French}) = \dfrac{7}{18}$ (среди только студентов, изучающих французский)