Комбинированные события
| English | Русский |
|---|---|
| independent/ˌɪndɪˈpendənt/ | независимы |
| mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/ | взаимоисключающие |
| sample space/ˈsæmpl speɪs/ | пространство исходов |
| tree diagram/triː ˈdaɪəɡræm/ | дерево вероятностей |
| replacement/rɪˈpleɪsmənt/ | замена |
Два события одновременно
- Вы бросаете кубик и подбрасываете монету. Какова вероятность выпадения шестерки И орла?
- Комбинированные события требуют двух правил: И (умножение) и ИЛИ (сложение).
И — умножение (независимые события)
- Для двух независимых событий (одно не влияет на другое):
$\text{P}(\text{six and heads}) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{12}$.
Комбинированные события
P(A ∩ B) = P(A)·P(B|A)
Объедините два события: площадная модель показывает И (пересечение) versus ИЛИ (объединение).
Для двух независимых событий, происходящих одновременно (И), вы:
P(A и B) = P(A) × P(B) для независимых событий.
ИЛИ — сложение (несовместные события)
- Для двух несовместных событий (они не могут произойти одновременно):
Дерево вероятностей
Перемножайте вероятности вдоль каждой ветви; четыре исхода всегда в сумме дают 1.
Для несовместных событий P(A или B) = P(A) + P(B).
Несовместные события не могут произойти одновременно, поэтому их вероятности складываются.
Три способа представления исходов
- Диаграмма пространства исходов: таблица каждого исхода (два кубика → $36$ ячеек).
- Диаграмма Венна: сортирует исходы в пересекающиеся множества.
- Дерево вероятностей: ветвь на каждом этапе; умножать вдоль ветвей, затем складывать нужные пути.
Диаграмма Венна сортирует исходы: пересечение составляет $\text{P}(A\text{ and }B)$, а все внутри любого из кругов — $\text{P}(A\text{ or }B)$
Умножаем вдоль, складываем между. На дереве вероятностей: умножайте вероятности вдоль каждой ветви (чтобы получить вероятность этого пути), затем складывайте пути, которые вас интересуют (чтобы получить полную вероятность).
На сетке 6 на 6 для двух костей (36 ячеек) сколько ячеек дают сумму 7?
1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1 — шесть ячеек, значит P(7) = 6/36 = 1/6.
На дереве вероятностей вы ______ вдоль ветвей и складываете между путями.
Перемножайте вдоль каждой ветви, чтобы получить вероятность этого пути, затем сложите нужные пути.
С возвратом и без возврата
- С возвратом: шансы остаются неизменными каждый раз.
- Без возврата (Расширенный): общее количество и счет меняются после каждого извлечения.
- Мешок с $3$ красными, $5$ синими: P(красное, красное) с возвращением $= \dfrac{3}{8} \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{9}{64}$. Без возвращения $= \dfrac{3}{8} \times \dfrac{2}{7} = \dfrac{3}{28}$.
Диаграммы Венна показывают совместные события: пересечение (overlap) — это И, вся область (объединение) — это ИЛИ.
Мешок с 3 красными и 5 синими фишками, два извлечения С возвратом. P(красный, красный) = 9/b. Чему равно b?
(3/8) × (3/8) = 9/64, следовательно, b = 64.
Тот же мешок, БЕЗ возврата. После извлечения одного красного, сколько красных осталось?
Было 3 красных; одно извлечено, осталось 2 красных (из 7 фишек).
Ровно одно означает два пути
- Извлеките дважды из 2 красные и 3 синие жетоны с возвращением. На каждом этапе количество красных равно $2/5$, а синих — $3/5$. Ровно один красный включает комбинации RB и BR, следовательно, $p=(2/5)(3/5)+(3/5)(2/5)=12/25$.
- Хотя бы один красный проще найти через дополнение: $p=1-(3/5)^2=16/25$. Это включает RR, а также две смешанные комбинации; не путайте «ровно один» с «хотя бы один».
С возвращением из 2 красных и 3 синих фишек, найдите вероятность ровно одного красного при двух вытягиваниях.
События RB и BR дают 6/25 + 6/25 = 12/25 = 0.48.
Вы поняли
- И → умножать (независимые); ИЛИ → складывать (взаимоисключающие)
- на дереве: умножать вдоль ветвей, складывать нужные пути
- без возвращения вторая вероятность изменяется ($\dfrac{3}{8} \to \dfrac{2}{7}$)