Дифференциальные уравнения

AP Calculus BC · Тема 7

Просмотр слайдов Тренировать

Видеоурок по этой теме Открыть страницу видео

7.1

Моделирование ситуаций с помощью дифференциальных уравнений

Программа

Принцип устойчивости (FUN-7): Решение дифференциальных уравнений позволяет определять функции и создавать модели.

Цель обучения FUN-7.A: Интерпретировать словесные формулировки задач как дифференциальные уравнения, содержащие выражение производной.

FUN-7.A.1 Дифференциальные уравнения связывают функцию независимой переменной и производные этой функции.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Дифференциальное уравнение связывает функцию с её производными. Многие реальные ситуации описываются скоростью изменения: «популяция растет со скоростью, пропорциональной её размеру» записывается как $\dfrac{dP}{dt}=kP$. Составление уравнения по словесному описанию — определение того, что изменяется и чему эта скорость пропорциональна, — это первый необходимый навык.

7.2

Проверка решений дифференциальных уравнений

Программа

Принцип устойчивости (FUN-7): Решение дифференциальных уравнений позволяет определять функции и создавать модели.

Цель обучения FUN-7.B: Проверять решения дифференциальных уравнений.

FUN-7.B.1 Производные могут использоваться для проверки того, что функция является решением данного дифференциального уравнения.
FUN-7.B.2 У дифференциального уравнения может быть бесконечно много общих решений.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Решение — это функция, удовлетворяющая уравнению. Чтобы проверить предполагаемое решение, продифференцируйте его и подставьте в уравнение, убедившись, что обе части совпадают. Общее решение содержит константу $C$; частное решение определяет значение $C$ на основе начального условия.

7.3

Построение полей направлений

Программа

Принцип устойчивости (FUN-7): Решение дифференциальных уравнений позволяет определять функции и создавать модели.

Цель обучения FUN-7.C: Оценивать решения дифференциальных уравнений.

FUN-7.C.1 Поле направлений — это графическое представление дифференциального уравнения на конечном множестве точек плоскости.
FUN-7.C.2 Поля направлений дают информацию о поведении решений дифференциальных уравнений первого порядка.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Поля направлений и кривые решений

Поле направлений рисует короткий отрезок во многих точках, каждый из которых имеет наклон $\dfrac{dy}{dx}$, который задает уравнение в этой точке. Оно визуализирует семейство кривых решений без их явного нахождения. Чтобы построить такое поле, вычислите правую часть в каждой узловой точке сетки и нарисуйте отрезок соответствующего наклона.

Поле направлений показывает градиент везде; кривые решений следуют ему

Исследовать

Чтение дифференциального уравнения как поля направлений

Поле направлений отображает наклон $dy/dx$ в каждой точке. Кривая решения проходит сквозь него, оставаясь касательной к маленьким сегментам — можно нарисовать её, следуя потоку.

Словарь Тренировать

English	Русский
differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/	дифференциальное уравнение
slope field/sləʊp fiːld/	поле направлений
Euler's method/ˈɔɪləz ˈmeθəd/	метод Эйлера
separable/ˈsepərəbl/	разделяемое
initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/	начальное условие
exponential growth or decay/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ ɔː dɪˈkeɪ/	экспоненциальный рост или спад
logistic model/ləˈdʒɪstɪk ˈmɒdl/	логистическая модель
carrying capacity/ˈkæriɪŋ kəˈpæsɪti/	ёмкость среды

7.4

Анализ с использованием полей направлений

Программа

Принцип устойчивости (FUN-7): Решение дифференциальных уравнений позволяет определять функции и создавать модели.

Цель обучения FUN-7.C: Оценивать решения дифференциальных уравнений.

FUN-7.C.3 Решения дифференциальных уравнений представляют собой функции или семейства функций.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Кривая решения следует по отрезкам, подобно лодке, плывущей по течению. По полю направлений можно набросать частное решение, проходящее через заданную точку, описать долгосрочное поведение и определить места, где решения выравниваются (наклоны близки к нулю) — рассуждая о решениях исключительно по изображению.

7.5

Приближенное решение с помощью метода Эйлера

Программа

Принцип устойчивости (FUN-7): Решение дифференциальных уравнений позволяет определять функции и создавать модели.

Цель обучения FUN-7.C: Оценивать решения дифференциальных уравнений.

FUN-7.C.4 Метод Эйлера предоставляет алгоритм приближенного нахождения решения дифференциального уравнения или точки на кривой решения. Только BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Метод Эйлера

Метод Эйлера приближенно находит решение численно, двигаясь вдоль поля направлений. Начиная с известной точки, сделайте маленький шаг $\Delta x$ и обновите значение:

$$y_{\text{new}}=y_{\text{old}}+\frac{dy}{dx}\cdot\Delta x.$$

Повторяйте для каждого шага. Чем меньше шаги, тем точнее приближение. (Это техника только для уровня BC.)

Навык для экзамена: умейте выполнить два или три шага метода Эйлера вручную по таблице и знайте, что метод Эйлера занижает или завышает значение в зависимости от выпуклости решения.

Разобранный пример. Найдите приближенное значение $y(1)$ для $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, с шагом $\Delta x=0.5$. Шаг 1: наклон в точке $(0,1)$ равен $0+1=1$, следовательно, $y(0.5)\approx 1+1(0.5)=1.5$. Шаг 2: наклон в точке $(0.5,1.5)$ равен $0.5+1.5=2$, следовательно, $y(1)\approx 1.5+2(0.5)=2.5$.

7.6

Нахождение общих решений методом разделения переменных

Программа

Принцип устойчивости (FUN-7): Решение дифференциальных уравнений позволяет определять функции и создавать модели.

Цель обучения FUN-7.D: Определять общие решения дифференциальных уравнений.

FUN-7.D.1 Некоторые дифференциальные уравнения можно решить методом разделения переменных.
FUN-7.D.2 Нахождение первообразных (интегрирование) может использоваться для поиска общих решений дифференциальных уравнений.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

E. coli под микроскопом: дифференциальные уравнения моделируют экспоненциальный рост

Разделяющееся дифференциальное уравнение можно записать так, чтобы все $y$'ы были на одной стороне, а все $x$'ы — на другой, после чего проинтегрировать:

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\ \Rightarrow\ \int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx.$$

Это дает общее решение (с константой $+C$), основной аналитический метод решения дифференциальных уравнений в данном курсе.

Разобранный пример. Решите $\dfrac{dy}{dx}=xy$ при условии $y(0)=2$. Разделяя переменные, $\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx$ приводит к $\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C$, откуда $y=Ae^{x^2/2}$. Условие $y(0)=2$ дает значение $A=2$, следовательно, $y=2e^{x^2/2}$.

7.7

Нахождение частных решений с использованием начальных условий

Программа

Принцип устойчивости (FUN-7): Решение дифференциальных уравнений позволяет определять функции и создавать модели.

Цель обучения FUN-7.E: Определять частные решения дифференциальных уравнений.

FUN-7.E.1 Общее решение может описывать бесконечно много решений дифференциального уравнения. Через заданную точку проходит только одно частное решение.
FUN-7.E.2 Функция $F$, заданная формулой $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$, является частным решением дифференциального уравнения $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, удовлетворяющим условию $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Решения дифференциальных уравнений могут иметь ограничения области определения.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Начальное условие (известная точка, например, $y(0)=5$) фиксирует константу $C$. Найдите общее решение, подставьте условие, чтобы найти $C$, затем запишите частное решение. Следите за областью определения — частное решение верно только на интервале, содержащем начальную точку.

Константа порождает семейство кривых; начальное условие выбирает одну конкретную

7.8

Экспоненциальные модели с дифференциальными уравнениями

Программа

Принцип устойчивости (FUN-7): Решение дифференциальных уравнений позволяет определять функции и создавать модели.

Цель обучения FUN-7.F: Интерпретировать смысл дифференциального уравнения и его переменных в контексте задачи.

FUN-7.F.1 Конкретные приложения нахождения общих и частных решений дифференциальных уравнений включают движение вдоль прямой и экспоненциальный рост и убывание.
FUN-7.F.2 Модель экспоненциального роста и убывания, вытекающая из утверждения «Скорость изменения величины пропорциональна ее размеру», имеет вид $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

Цель обучения FUN-7.G: Определять общие и частные решения для задач, связанных с дифференциальными уравнениями в контексте.

FUN-7.G.1 Модель экспоненциального роста и убывания $\dfrac{dy}{dt} = ky$ с начальным условием $y = y_0$ при $t = 0$ имеет решения вида $y = y_0 e^{kt}$.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Экспоненциальный и логистический рост

Уравнение $\dfrac{dy}{dt}=ky$ означает, что скорость изменения пропорциональна величине — что дает экспоненциальный рост или спад. Разделение переменных приводит к

$$y=y_0 e^{kt},$$

где $k>0$ соответствует росту, а $k<0$ — спаду. Это моделирует неограниченный рост популяции, радиоактивный распад и непрерывно начисляемый процент.

Остывающая чашка кофе: закон Ньютона охлаждения — классическая модель дифференциальных уравнений — Остывающая чашка кофе: закон охлаждения Ньютона — классическая модель дифференциальных уравнений

Исследовать

Модель экспоненциального роста/спада

y = a·e^(bx) + c

Уравнение $dy/dt=ky$ имеет экспоненциальные решения: величина изменяется со скоростью, пропорциональной самому себе, что дает неограниченный рост ($k>0$) или спад к нулю ($k<0$).

7.9

Логистические модели с дифференциальными уравнениями

Программа

Принцип устойчивости (FUN-7): Решение дифференциальных уравнений позволяет определять функции и создавать модели.

Цель обучения FUN-7.H: Интерпретировать смысл логистической модели роста в контексте задачи. Только BC

FUN-7.H.1 Модель логистического роста, возникающая из утверждения «Скорость изменения величины пропорциональна как самой величине, так и разности между величиной и предельным значением», имеет вид $\dfrac{dy}{dt} = ky(a - y)$. Только BC
FUN-7.H.2 Логистическое дифференциальное уравнение и начальные условия могут быть интерпретированы без решения самого уравнения. Только BC
FUN-7.H.3 Предельное значение (предельная емкость) логистического дифференциального уравнения при стремлении независимой переменной к бесконечности может быть определено с использованием модели логистического роста и начальных условий. Только BC
FUN-7.H.4 Значение зависимой переменной в логистическом дифференциальном уравнении в момент максимальной скорости изменения может быть определено с использованием модели логистического роста и начальных условий. Только BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Реальный рост ограничен ресурсами, поэтому логистическая модель добавляет емкость среды $L$:

$$\frac{dP}{dt}=kP\!\left(1-\frac{P}{L}\right).$$

Рост является почти экспоненциальным, когда $P$ мало, замедляется по мере приближения $P$ к $L$ и останавливается на $P=L$. Ключевые факты BC: популяция стабилизируется на уровне $L$ ($\lim_{t\to\infty}P=L$), а рост происходит наиболее быстро при $P=\tfrac{L}{2}$ (точка перегиба S-образной кривой). От вас требуется считывать $L$ и значение максимальной скорости роста непосредственно из уравнения.

Разобранный пример. Для $\dfrac{dP}{dt}=0.05\,P\!\left(1-\dfrac{P}{2000}\right)$ ёмкость среды составляет $L=2000$ (популяция стабилизируется там), а рост наиболее быстрый при $P=\dfrac{L}{2}=1000$ — оба значения считываются напрямую из уравнения без необходимости решения.

Логистическая модель растет наиболее быстро при P=L/2 и стабилизируется на уровне ёмкости среды L

7.9

Советы для экзамена

Решите разделимое уравнение, перенеся все $y$ в одну сторону, а все $x$ — в другую, затем проинтегрировав обе части (добавьте константу $+C$ один раз).
Используйте начальное условие, чтобы найти конкретное решение ($C$).
Нарисуйте или прочитайте поле направлений: маленькие отрезки показывают значение $\tfrac{dy}{dx}$ в каждой точке, а кривая решения следует им.
Распознавайте экспоненциальные модели $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (рост/убывание).
Дифференциальное уравнение дает наклон — вам нужно проинтегрировать, чтобы восстановить функцию.

Интерактивные уроки по этой теме

Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.

Архив экзаменационных работ

Больше тем в AP Calculus BC