Аналитические приложения дифференцирования

Теорема Лагранжа о среднем значении (MVT) связывает среднюю скорость изменения с мгновенной:

Если $f$ непрерывна на $[a,b]$ и дифференцируема на $(a,b)$, то существует хотя бы одна точка $c$ в $(a,b)$, где

$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Словно: где-то внутри интервала мгновенная скорость равна средней скорости. Геометрически: некоторая касательная параллельна секущей, соединяющей концы интервала.

Навык для экзамена. Как и теорема о промежуточных значениях (IVT), теорема Лагранжа (MVT) является теоремой существования, поэтому в вопросах требуется обоснование. Полный ответ требует: (1) указать, что $f$ непрерывна на $[a,b]$ и дифференцируема на $(a,b)$; (2) вычислить среднюю скорость $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$; (3) сделать вывод: «по MVT существует $c$ в $(a,b)$, при котором $f'(c)$ равно этому значению». Оба условия должны быть названы.

Разобранный пример. Для функции $f(x)=x^2$ на отрезке $[1,3]$ средняя скорость составляет $\dfrac{9-1}{2}=4$; приравнивание $f'(c)=2c=4$ даёт $c=2$, которое лежит внутри интервала $(1,3)$ — гарантированной точки.

Теорема Вейерштрасса (EVT) гарантирует существование экстремумов: функция, непрерывная на замкнутом интервале $[a,b]$, достигает как абсолютного максимума, так и абсолютного минимума на этом отрезке.

Критическая точка — это внутренняя точка, где $f'(x)=0$ или $f'(x)$ не существует. Все локальные (относительные) экстремумы возникают в критических точках, но не каждая критическая точка является экстремумом. Таким образом, критические точки — это кандидаты; каждую необходимо проверить.

Первая производная показывает, где $f$ возрастает или убывает:

• $f'(x) > 0$ на интервале $\Rightarrow$ $f$ возрастает там;
• $f'(x) < 0$ $\Rightarrow$ $f$ убывает.

На экзамене задание «найдите интервалы возрастания функции $f$» означает: найдите критические точки, затем проверьте знак $f'$ между ними и обоснуйте знаком $f'$ (укажите причину, а не просто назовите интервал).

Чтобы классифицировать критическую точку $x=c$ как локальный максимум, локальный минимум или Neither, проверьте, как меняется знак $f'$ в этой точке:

• $f'$ меняет $+$ на $-$ в $c$ $\Rightarrow$ локальный максимум;
• $f'$ изменяется $-$ на $+$ в $c$ $\Rightarrow$ локальном минимуме;
• $f'$ не меняет знак $\Rightarrow$Neither.

Всегда указывайте смену знака в качестве обоснования.

Разобранное решение. Для $f(x)=x^3-3x^2$, значение $f'(x)=3x(x-2)$ равно нулю в точке $x=0,2$. Знаки дают $+,-,+$, следовательно, $x=0$ является локальным максимумом ($f=0$), а $x=2$ — локальным минимумом ($f=-4$).

На замкнутом интервале абсолютные (глобальные) экстремумы могут находиться только в критических точках или на концах отрезка. Тест кандидатов:

1. Запишите все критические точки в $[a,b]$ а также два конца отрезка.
2. Вычислите значение $f$ для каждого кандидата.
3. Наибольшее значение выхода — абсолютный максимум; наименьшее — абсолютный минимум.

Представьте таблицу значений — сравнение является доказательством.

Вторая производная описывает изгиб:

• $f'' > 0$ $\Rightarrow$ $f$ выпукла вверх (изгибается как чаша; $f'$ возрастает);
• $f'' < 0$ $\Rightarrow$ $f$ выпукла вниз ($f'$ убывает).

Точка перегиба — это место, где выпуклость меняется, т.е. где $f''$ меняет знак (а не просто где $f''=0$). Укажите ее координату $x$ и обоснуйте сменой знака $f''$.

Альтернативный способ классификации критической точки $c$, где $f'(c)=0$:

• $f''(c) > 0$ $\Rightarrow$ выпукла вверх $\Rightarrow$ локальный минимум;
• $f''(c) < 0$ $\Rightarrow$ выпукла вниз $\Rightarrow$ локальный максимум;
• $f''(c) = 0$ $\Rightarrow$ тест не дает ответа — вернитесь к тесту первой производной.

Особый случай: если непрерывная функция имеет только одну критическую точку на интервале, и она является локальным экстремумом, то эта точка также является абсолютным экстремумом на этом интервале.

Ключевые особенности $f$, $f'$ и $f''$ зеркально отражают друг друга. Чтобы построить эскиз или читать графики:

• $f$ возрастает $\Leftrightarrow$ $f'$ выше оси; $f$ имеет локальный максимум $\Leftrightarrow$ $f'$ пересекает ось, переходя с $+$ на $-$.
• $f$ выпукла вверх $\Leftrightarrow$ $f'$ возрастает $\Leftrightarrow$ $f''$ выше оси; $f$ имеет точку перегиба $\Leftrightarrow$ $f'$ имеет локальный экстремум $\Leftrightarrow$ $f''$ пересекает ноль.

Это навык чтения одного графика для описания другого. Очень частая ситуация на экзамене: дан график $f'$, и нужно ответить о $f$: где $f$ возрастает (где $f'>0$), где находятся экстремумы $f$ (где $f'$ пересекает ноль со сменой знака), где $f$ выпукла вверх (где $f'$ возрастает). Отвечайте на вопросы о $f$, используя высоту и наклон графика $f'$.

Оптимизация использует производную для нахождения наибольшего или наименьшего значения величины на интервале. Это применение механизма тестирования кандидатов/производной для достижения реальной цели.

Надежный алгоритм:

1. Запишите оптимизируемую величину как функцию одного переменного (используйте уравнение связи для исключения лишних).
2. Укажите допустимый интервал значений аргумента.
3. Найдите критические точки ($f'=0$ или не существует) и проверьте их (тест первой производной, тест второй производной или тест кандидатов, если интервал замкнут).
4. Дайте ответ на поставленный вопрос, указав единицы измерения и интерпретацию в контексте задачи — например, максимальная площадь, минимальные затраты и т. д.

Разобранное решение. Имеется $100\ \text{m}$ метров забора для прямоугольного загона у стены (ограждаются только три стороны). Пусть боковые стороны равны $x$, а дальняя сторона $y=100-2x$. Площадь $A(x)=x(100-2x)=100x-2x^2$ достигает экстремума $A'(x)=100-4x=0$ в точке $x=25$; поскольку $A''=-4<0$, это максимальное значение, что соответствует размерам $y=50$ и $A=1250\ \text{m}^2$.

Все сказанное распространяется на неявно заданные зависимости. Критическая точка неявной зависимости находится там, где $\dfrac{dy}{dx}=0$ (горизонтальная касательная) или производная не существует (вертикальная касательная). Поскольку $\dfrac{dy}{dx}$ обычно является зависимостью между $x$ и $y$, а вторая производная включает $x$, $y$ и $\dfrac{dy}{dx}$, подставьте выражение для первой производной обратно при вычислении $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, затем определите выпуклость по знаку результата.

• $f'>0$ означает возрастание, $f'<0$ убывание; кандидаты на экстремум находятся там, где $f'=0$ или не существует.
• Классифицируйте критическую точку с помощью смены знака первой производной или теста второй производной ($f''>0$ — минимум, $f''<0$ — максимум).
• $f''>0$ функция выпукла вниз, $f''<0$ — выпукла вверх; точка перегиба — место изменения выпуклости ($f''$ меняет знак).
• Для нахождения абсолютного экстремума на замкнутом интервале также проверьте концы отрезка.
• Обоснуйте каждый вывод, ссылаясь на знак $f'$ или $f''$ — экзамен требует обоснования, а не просто ответа.