Contextual Applications of Differentiation · ⁨Контекстные применения дифференцирования⁩

Как только вы научитесь вычислять производные, вы сможете использовать их для описания реального мира. Производная $f'(x)$ является мгновенной скоростью изменения величины $f$ по отношению к её аргументу. Правильное чтение и формулировка этой скорости — оцениваемый навык.

Единицы измерения имеют значение. Единица измерения $f'(x)$ равна единице измерения $f$, деленной на единицу измерения $x$. Если $C(t)$ — это количество акров, а $t$ — недели, то $C'(t)$ выражается в акрах в неделю. На экзамене задание «Используя правильные единицы измерения, интерпретируйте смысл $g'(140)$» требует полного предложения: значение, величину, слово скорости per («в») и момент времени. Например: «$g'(140)=2.3$ означает, что в момент времени $x=140$ величина увеличивается примерно на $2.3$ единиц в единицу $x$.»

Для частицы, движущейся по прямой, три функции времени связаны через дифференцирование:

• положение $s(t)$;
• скорость $v(t)=s'(t)$ – со знаком; знак указывает направление движения;
• ускорение $a(t)=v'(t)=s''(t)$.

Ключевые показания (частые части экзаменационных заданий):

• Частица покоится, когда $v(t)=0$.
• Она движется вправо/вверх, когда $v(t)>0$, и влево/вниз, когда $v(t)<0$; меняет направление в точках, где $v$ меняет знак.
• Скорость — это $|v(t)|$. Скорость увеличивается, когда $v$ и $a$ имеют одинаковый знак (частица ускоряется), и уменьшается, когда они имеют разные знаки.

Внимательно различайте скорость (имеет направление) и модуль скорости (не имеет) — экзамен проверяет именно эту разницу.

Разбор примера. Частица движется со скоростью $s(t)=t^3-6t^2+9t$. Тогда $v(t)=3(t-1)(t-3)$, значит она покоится в точках $t=1$ и $t=3$ и меняет направление в каждой из них. В момент $t=2$, $v=-3<0$ и $a(2)=6(2)-12=0$; сразу после этого, $a>0$, пока $v<0$, поэтому частица замедляется там.

Та же идея производной моделирует любую изменяющуюся величину: опорожняющийся бак, распространяющееся население, остывающая чашка.Whenever a problem says "the rate at which...", it is describing a derivative. Read the units to know which quantity's rate you have, then interpret in context.

В задаче о связанных скоростях несколько величин изменяются вместе со временем, вам известны некоторые скорости, но нужно найти другую. Двигатель этой задачи — правило цепочки: дифференцируйте связь по времени $t$. Каждая переменная становится функцией $t$, поэтому каждая производная получает множитель «$\,/\,dt$». Также могут потребоваться правила произведения и частного.

Надежная процедура — и шаблон для получения полного балла на экзамене:

1. Обозначьте переменные и запишите известные скорости и неизвестную скорость (например, «$\dfrac{dh}{dt}=-2$ см/день, найдите $\dfrac{dV}{dt}$»).
2. Запишите уравнение, связывающее величины (часто геометрическая или формула объема).
3. Дифференцируйте обе части по $t$ (правило цепочки) — до подстановки чисел.
4. Подставьте известные значения в интересующий момент и решите относительно неизвестной скорости.
5. Укажите ответ с единицами измерения и правильным знаком (у убывающей величины скорость отрицательна).

Подстановка чисел слишком рано — классическая ошибка: сначала дифференцируйте общую зависимость, а затем подставляйте значения.

Разобранный пример. Объём сферического шарика растёт со скоростью $\dfrac{dV}{dt}=100\ \text{cm}^3/\text{s}$. Из $V=\tfrac43\pi r^3$ дифференцируем сначала: $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$. При $r=5$, $100=4\pi(25)\dfrac{dr}{dt}$, следовательно, $\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{1}{\pi}\approx0.32\ \text{cm/s}$.

Рядом с точкой касания гладкая кривая выглядит как касательная прямая — это локальная линейность. Так что касательная дает линейное приближение (линеаризацию) функции вблизи этой точки:

Используйте её для оценки значения $f$ в точке $x$, близкой к $a$.

Завышение или занижение? Ответ следует из выпуклости. Если график является выпуклым вниз (вогнутым вверх) в окрестности $a$ (он изгибается выше касательной), то значение на касательной является занижением. Если же он выпуклый вверх (вогнутый вниз), касательная проходит выше кривой, что даёт завышение. Задания экзаменов проверяют это рассуждение, поэтому обоснуйте ответ знаком производной $f''$.

Когда прямая подстановка в частное пределов дает неопределенную форму $\dfrac{0}{0}$ или $\dfrac{\infty}{\infty}$, можно воспользоваться правилом Лопиталя:

при условии существования правостороннего предела. Продифференцируйте числитель и знаменатель отдельно (это не правило частного), затем снова попробуйте вычислить предел. Сначала убедитесь, что форма действительно является $\tfrac{0}{0}$ или $\tfrac{\infty}{\infty}$ — применение правила к любой другой форме является ошибкой.

Разобранный пример. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$ даёт $\tfrac00$, поэтому дифференцируем числитель и знаменатель: $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}=1$. И $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}$ также равно $\tfrac00$; оно превращается в $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2e^{2x}}{1}=2$.

• В задачах движения: скорость есть производная от положения, ускорение — производная от скорости; скорость увеличивается, когда скорость и ускорение имеют одинаковый знак.
• Для связанных скоростей продифференцируйте связывающее уравнение по времени, затем подставьте данные значения последними.
• Используйте касательную прямую для линейного приближения рядом с известной точкой; она точна только в непосредственной близости.
• Чтение знака скорости: положительный означает, что величины изменяются в одном направлении, отрицательный — в противоположном.
• Всегда указывайте единицы измерения и интерпретируйте ответ в контексте.