Дифференцирование: Определение и фундаментальные свойства

AP Calculus AB · Тема 2

Просмотр слайдов Тренировать

Видеоурок по этой теме Открыть страницу видео

2.1

Средняя и мгновенная скорости изменения

Программа

Принцип (CHA-2): Производные позволяют определять скорости изменения в конкретный момент времени, применяя пределы к знаниям о скоростях изменения на интервалах.

Цель обучения CHA-2.A: Определять средние скорости изменения с использованием разностных отношений.

CHA-2.A.1 Разностные отношения $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ и $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ выражают среднюю скорость изменения функции на интервале.

Цель обучения CHA-2.B: Представить производную функции как предел разностного отношения.

CHA-2.B.1 Мгновенная скорость изменения функции в точке $x=a$ может быть выражена через $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ или $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$, при условии существования предела. Это эквивалентные формы определения производной и обозначаются как $f'(a)$.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Американские горки на подъёмнике: производная измеряет мгновенную скорость изменения положения

Производная по определению

Единица 1 построила понятие предела. Единица 2 использует его для определения производной — точной скорости изменения в точке.

Мгновенная скорость изменения — это угловой коэффициент касательной в точке

На интервале средняя скорость изменения представляет собой разностное отношение. Приводятся две эквивалентные формы:

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \qquad\text{and}\qquad \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$

Первое использует шаг размера $h$ от $a$; второе использует две точки $x$ и $a$. Оба вычисляют $\dfrac{\text{change in output}}{\text{change in input}}$ на интервале.

Мгновенная скорость изменения в точке $x=a$ — это то, к чему стремится разностное отношение при уменьшении интервала до нуля. Этот предел и есть производная в точке $a$, которая записывается как $f'(a)$:

$$f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},$$

при условии существования этого предела.

Исследовать

От средней скорости к мгновенной

y = ax³ + bx² + cx + d

Перетащите точку: секущая, проходящая через две близкие точки, приближается к касательной при их слиянии. Наклон касательной равен производной — мгновенной скорости изменения.

Словарь Тренировать

English	Русский
derivative/dɪˈrɪvətɪv/	производной
difference quotient/ˈdɪfrəns ˈkwəʊʃənt/	разностное отношение
instantaneous/ˌɪnstənˈteɪnɪəs/	мгновенная
first principles/fɜːst ˈprɪnsɪplz/	первоначальные принципы
notations/nəʊˈteɪʃnz/	обозначения
slope/sləʊp/	наклоне графика
tangent line/ˈtændʒənt laɪn/	касательная прямая

2.2

Определение производной и её обозначения

Программа

Enduring Understanding	Learning Objective	Essential Knowledge
CHA-2 Derivatives allow us to determine rates of change at an instant by applying limits to knowledge about rates of change over intervals.	CHA-2.B Represent the derivative of a function as the limit of a difference quotient.	CHA-2.B.2 The derivative of $f$ is the function whose value at $x$ is $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, provided this limit exists. CHA-2.B.3 For $y=f(x)$, notations for the derivative include $\dfrac{dy}{dx}$, $f'(x)$, and $y'$. CHA-2.B.4 The derivative can be represented graphically, numerically, analytically, and verbally.
	CHA-2.C Determine the equation of a line tangent to a curve at a given point.	CHA-2.C.1 The derivative of a function at a point is the slope of the line tangent to a graph of the function at that point.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Пусть точка $a$ изменяется, тогда производная становится новой функцией:

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

Это определение производной (иногда называют дифференцированием «по определению»). Её значение в каждой точке $x$ является мгновенной скоростью изменения в этой точке.

Распространённые обозначения для производной функции $y=f(x)$:

$$\frac{dy}{dx}, \qquad f'(x), \qquad y'.$$

Производную можно представлять графически, численно, аналитически и вербально — будьте готовы переходить между этими формами.

Геометрический смысл. Производная в точке — это угловой коэффициент касательной к графику в этой точке. Таким образом, касательная в точке $x=a$ проходит через точку $\big(a, f(a)\big)$ с угловым коэффициентом $f'(a)$:

$$y - f(a) = f'(a)\,(x-a).$$

Запись уравнения этой прямой — стандартная задача на экзамене, поэтому держите формулу прямой с заданным угловым коэффициентом под рукой.

Угловые коэффициенты хорд стремятся к угловому коэффициенту касательной: производная — это предел средних скоростей — При приближении точки $Q$ к точке $P$ угловой коэффициент каждой хорды (средней скорости) стремится к угловому коэффициенту касательной — производной $f'(a)$.

2.3

Оценка производной в точке

Программа

Принцип (CHA-2): Производные позволяют определять скорости изменения в конкретный момент времени, применяя пределы к знаниям о скоростях изменения на интервалах.

Цель обучения CHA-2.D: Оценивать производные.

CHA-2.D.1 Производную в точке можно оценить на основе информации, представленной в таблицах или графиках.
CHA-2.D.2 Технологии могут использоваться для вычисления или оценки значения производной функции в точке.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Не всегда доступна формула функции. Когда функция задана таблицей или графиком, оцените производную $f'(a)$ с помощью разностного отношения на малом интервале вокруг точки $a$. Таблица со значениями по обе стороны от $a$ даёт наилучшую оценку:

$$f'(a) \approx \frac{f(b)-f(c)}{b-c},\qquad \text{where } c < a < b \text{ are the closest table inputs}.$$

Технологии (калькулятор) также могут оценить производную в точке.

Навык для экзамена (встречается почти каждый год). Вопросы типа «Оцените $M'(7.5)$, используя среднюю скорость изменения функции $M$ на интервале $5 \le t \le 10$» требуют именно этого разностного отношения. Покажите настройку:

$$M'(7.5) \approx \frac{M(10)-M(5)}{10-5}.$$

Полный балл требуется подставить числа и указать правильные единицы измерения (выходная единица на входную единицу), так как они берутся из реальных моделей.

Словарь Тренировать

English	Русский
table/ˈteɪbl/	таблица
units/ˈjuːnɪts/	единиц
differentiable/ˈdɪfərenʃɪəbl/	дифференцируема
continuous/kənˈtɪnjuːəs/	непрерывными
corner/ˈkɔːnə/	угол
vertical tangent/ˈvɜːtɪkl ˈtændʒənt/	вертикальная касательная
power rule/ˈpaʊə ruːl/	правило степени
Constant multiple/ˈkɒnstənt ˈmʌltɪpl/	постоянный множитель
polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/	полиномом

2.4

Когда существует производная?

Программа

Принцип (FUN-2): Осознание того, что производная функции также является функцией, позволяет нам развивать знания о связанных свойствах обеих величин.

Цель обучения FUN-2.A: Объяснить связь между дифференцируемостью и непрерывностью.

FUN-2.A.1 Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. В частности, если точка не принадлежит области определения $f$, то она не принадлежит и области определения $f'$.
FUN-2.A.2 Непрерывная функция может не быть дифференцируемой в некоторой точке своей области определения.
- Иллюстративные примеры для FUN-2.A.2:
  - Левосторонний и правосторонний пределы разностного отношения не равны, как в случае $f(x)=|x|$ в точке $x=0$.
  - Касательная вертикальна и не имеет наклона, как в случае $f(x)=\sqrt[3]{x}$ в точке $x=0$.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Дифференцируемость сильнее, чем непрерывность. Ключевая связь:

Если $f$ дифференцируема в точке, то $f$ непрерывна в этой точке.

Таким образом, дифференцируемость влечет непрерывность. Обратное неверно: непрерывная функция может не быть дифференцируемой. Два способа, когда это происходит:

Угол: пределы левосторонней и правосторонней разностных отношений расходятся, как у $f(x)=|x|$ в $x=0$.
Вертикальная касательная: наклон бесконечен (нет действительного числа), как у $f(x)=\sqrt[3]{x}$ в $x=0$.

Два способа, по которым непрерывная функция не является дифференцируемой: угол и вертикальная касательная

Кроме того, точка вне области определения $f$ не может находиться в области определения $f'$. Используйте contrapositive на экзамене: если $f$ не непрерывна в $a$, то $f$ не дифференцируема в $a$.

2.5

Правило степени

Программа

Принцип (FUN-3): Осознание возможностей применения правил дифференцирования может упростить процесс нахождения производных.

Цель обучения FUN-3.A: Вычислять производные известных функций.

FUN-3.A.1 Прямое применение определения производной и конкретных правил может быть использовано для вычисления производной функций вида $f(x)=x^{r}$.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Отныне мы используем правила вместо определения через предел каждый раз. Правило степени обрабатывает любую степень $x$:

$$\frac{d}{dx}\,x^{r} = r\,x^{\,r-1}\qquad\text{for any real } r.$$

Оно работает для целочисленных степеней, отрицательных степеней ($\tfrac{1}{x}=x^{-1}$) и корней ($\sqrt{x}=x^{1/2}$) — сначала перепишите как степень, затем примените правило.

Исследовать

Степенная функция и нарастающий наклон

y = ax³ + bx² + cx + d

Правило дифференцирования степени $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ выносит показатель степени как множитель. Для $x^3$ наклон быстро растет при движении $x$ от 0 — кривая становится круче.

2.6

Правила константы, суммы, разности и константного множителя

Программа

Принцип (FUN-3): Осознание возможностей применения правил дифференцирования может упростить процесс нахождения производных.

Цель обучения FUN-3.A: Вычислять производные известных функций.

FUN-3.A.2 Суммы, разности и константные множители функций могут быть продифференцированы с использованием правил дифференцирования.
FUN-3.A.3 Правило степени в сочетании со свойствами суммы, разности и константного множителя может быть использовано для нахождения производных полиномиальных функций.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Эти правила позволяют дифференцировать почленно:

Константа: $\dfrac{d}{dx}\,k = 0$ (константа не меняется).
Константный множитель: $\dfrac{d}{dx}\big[k\,f(x)\big] = k\,f'(x)$.
Сумма / разность: $\dfrac{d}{dx}\big[f(x)\pm g(x)\big] = f'(x)\pm g'(x)$.

В сочетании с правилом степени они дифференцируют любой полином почленно. Пример:

$$\frac{d}{dx}\big(4x^3 - 5x + 7\big) = 12x^2 - 5.$$

2.7

Производные sin x, cos x, e^x и ln x

Программа

Принцип (FUN-3): Осознание возможностей применения правил дифференцирования может упростить процесс нахождения производных.

Цель обучения FUN-3.A: Вычислять производные известных функций.

FUN-3.A.4 Конкретные правила могут быть использованы для нахождения производных синуса, косинуса, показательных и логарифмических функций.

Долгосрочное понимание (LIM-3): Логическое рассуждение с использованием определений, теорем и свойств позволяет определить предел.

Цель обучения LIM-3.A: Интерпретировать предел как определение производной.

LIM-3.A.1 В некоторых случаях распознавание выражения, соответствующего определению производной функции, производная которой известна, предлагает стратегию для определения предела.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Выучите эти четыре базовых производных наизусть:

$$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \qquad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x,$$

$$\frac{d}{dx}e^{x} = e^{x}, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}\ \ (x>0).$$

Обратите внимание на знак минус при производной косинуса и на то, что $e^{x}$ является своей собственной производной.

Предел, который на самом деле является производной (LIM-3.A.1). Иногда предел тайно является определением известной производной. Если вы распознаете

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

для функции $f$, производную которой вы знаете, просто вычислите $f'(a)$. Например, $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}+h\big)-1}{h} = \left.\frac{d}{dx}\sin x\right|_{x=\pi/2} = \cos\tfrac{\pi}{2} = 0$.

Исследовать

Форма sin x (производная которой равна cos x)

y = asin(bx + c) + d

Производная $\sin x$ равна $\cos x$: наклон кривой синуса максимален в точках пересечения с нулем и равен нулю в вершинах. Наблюдайте за кривой, чтобы ощутить, где её наклон крутой или пологий.

2.8

Правило произведения

Программа

Принцип (FUN-3): Осознание возможностей применения правил дифференцирования может упростить процесс нахождения производных.

Цель обучения FUN-3.B: Вычислять производные произведений и отношений дифференцируемых функций.

FUN-3.B.1 Производные произведений дифференцируемых функций можно найти с использованием правила произведения.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Правило произведения как растущий прямоугольник

Произведение двух функций не дифференцируется путем умножения их производных. Используйте правило произведения:

$$\frac{d}{dx}\big[u\,v\big] = u'v + uv'.$$

"Производная первого умножается на второе плюс первое умножается на производную второго." Пример:

$$\frac{d}{dx}\big(x^2 e^{x}\big) = 2x\,e^{x} + x^2 e^{x}.$$

Экзаменационные вопросы часто создают новую функцию из заданных частей, например $k'(x) = \big(f(x)\big)^2 g(x)$, и просят объединить правила, считывая значения из таблицы.

Словарь Тренировать

English	Русский
product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/	правило произведения

2.9

Правило частного

Программа

Принцип (FUN-3): Осознание возможностей применения правил дифференцирования может упростить процесс нахождения производных.

Цель обучения FUN-3.B: Вычислять производные произведений и отношений дифференцируемых функций.

FUN-3.B.2 Производные частных дифференцируемых функций можно найти с использованием правила частного.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Для частного используйте правило частного:

$$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{u}{v}\right] = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}.$$

"Нижнее умножить на производную верхнего, минус верхнее умножить на производную нижнего, все делить на квадрат нижнего." Порядок важен из-за знака минус, поэтому пишите числитель внимательно. Пример:

$$\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{\cos x}\right) = \frac{1\cdot\cos x - x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos x + x\sin x}{\cos^2 x}.$$

2.10

Производные tan x, cot x, sec x и csc x

Программа

Принцип (FUN-3): Осознание возможностей применения правил дифференцирования может упростить процесс нахождения производных.

Цель обучения FUN-3.B: Вычислять производные произведений и отношений дифференцируемых функций.

FUN-3.B.3 Преобразование тангенса, котангенса, секанса и косеканса с использованием тождеств позволяет дифференцировать их, применяя правила производных.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Правило частного: дифференцирование дроби

Остальные тригонометрические производные не нужно запоминать отдельно — вы переписываете их с помощью тождеств и применяете правило частного (или произведения). Например, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, поэтому правило частного дает

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cos x - \sin x(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.$$

Тот же метод (переписывание $\cot x=\tfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\tfrac{1}{\cos x}$, $\csc x=\tfrac{1}{\sin x}$) дает $-\csc^2 x$, $\sec x\tan x$ и $-\csc x\cot x$.

Производные высших порядков. Повторное дифференцирование $f'$ дает вторую производную $f''(x)$ (или $\tfrac{d^2y}{dx^2}$) — скорость изменения скорости изменения. Часть экзамена вроде «Найдите $k''(3)$» означает просто продифференцировать дважды, а затем подставить. Вы также можете оценить вторую производную по таблице, применив метод средней скорости изменения к значениям $f'$.

Разобранный пример. Продифференцируйте $f(x)=x^2\sin x$ с помощью правила произведения $(uv)'=u'v+uv'$: возьмите $u=x^2$ ($u'=2x$) и $v=\sin x$ ($v'=\cos x$), получив $f'(x)=2x\sin x+x^2\cos x$. Всегда сначала читайте структуру — произведение требует правила произведения, а не правила степени, примененного к каждому множителю отдельно.

Словарь Тренировать

English	Русский
quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/	правило частного
identities/aɪˈdentɪtiz/	тождества
second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/	вторую производную

2.10

Советы для экзамена

Производная — это наклон касательной — предел наклона секущей $\tfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ при $h\to0$.
Запомните правила: степени, произведения, частного, а также производные от $\sin$, $\cos$, $e^x$ и $\ln x$.
Дифференцируемость влечет непрерывность, но не наоборот (угол или острая вершина непрерывны, но не дифференцируемы).
Различайте среднюю скорость изменения (наклон секучей на интервале) и мгновенную скорость (производную в точке).
Уравнение касательной записывайте в виде $y-f(a)=f'(a)(x-a)$.

Интерактивные уроки по этой теме

Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.

Архив экзаменационных работ

Больше тем в AP Calculus AB