The Chain Rule · A Regra da Cadeia
| English | Português |
|---|---|
| composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/ | função composta |
| Chain Rule/tʃeɪn ruːl/ | Regra da Cadeia |
| outer/ˈaʊtə/ | externo |
| inner/ˈɪnə/ | interna |
Functions inside functions
- What is the derivative of $(3x+1)^{5}$? It's a power of a function — a composite function 复合函数.
- Expanding it would be brutal. There's a rule built exactly for this: the Chain Rule 链式法则.
- A composite is "an outer function wrapped around an inner one," like $f(g(x))$.
- The Chain Rule differentiates the layers one at a time and multiplies.
Funções dentro de funções
- Qual é a derivada de $(3x+1)^{5}$? É uma potência de uma função — uma função composta 复合函数.
- Expandi-la seria terrível. Existe uma regra construída exatamente para isso: a Regra da Cadeia 链式法则.
- Uma composta é "uma função externa envolvida ao redor de uma interna", como $f(g(x))$.
- A Regra da Cadeia diferencia as camadas uma de cada vez e multiplica.
The rule
- For $y=f(g(x))$:
-
$$\frac{d}{dx}\big[f(g(x))\big]=f'(g(x))\cdot g'(x)$$
- In words: derivative of the outer (leaving the inner alone) times the derivative of the inner.
- The little "$\cdot\, g'(x)$" is the piece people forget — it's the whole point.
A regra
- Para $y=f(g(x))$:
-
$$\frac{d}{dx}\big[f(g(x))\big]=f'(g(x))\cdot g'(x)$$
- Em palavras: derivada da externa (deixando a interna sozinha) vezes a derivada da interna.
- O pequeno "$\cdot\, g'(x)$" é a parte que as pessoas esquecem — é o ponto principal.
A composite curve · Uma curva composta
y = ax² + bx + c
A composite like $(3x+1)^2$ is steeper than its inner line alone — the chain rule multiplies the inner rate in. · Uma composição como $(3x+1)^2$ é mais íngreme que sua linha interna sozinha — a regra da cadeia multiplica a taxa interna.
The Chain Rule gives $\dfrac{d}{dx}[f(g(x))]=$ · A Regra da Cadeia fornece $\dfrac{d}{dx}[f(g(x))]=$
Outer derivative at the inner, times the inner derivative. · Derivada externa no ponto interno, vezes a derivada interna.
Spot the outer and inner
- Before differentiating, name the outer 外层 and inner 内层 functions.
- In $(3x+1)^5$: outer is "(something)$^5$", inner is $3x+1$.
- Outer derivative: $5(3x+1)^4$. Inner derivative: $3$.
- Multiply: $\dfrac{d}{dx}[(3x+1)^5]=5(3x+1)^4\cdot 3=15(3x+1)^4$.
Identifique a externa e a interna
- Antes de diferenciar, nomeie as funções externa 外层 e interna 内层.
- Em $(3x+1)^5$: a parte externa é "(algo)$^5$", a interna é $3x+1$.
- Derivada externa: $5(3x+1)^4$. Derivada interna: $3$.
- Multiplique: $\dfrac{d}{dx}[(3x+1)^5]=5(3x+1)^4\cdot 3=15(3x+1)^4$.
For · A favor $y=(2x+1)^3$, find $y'$ at $x=0$. (Chain rule: $3(2x+1)^2\cdot2$.) · Para $y=(2x+1)^3$, encontre $y'$ em $x=0$. (Regra da Cadeia: $3(2x+1)^2\cdot2$.)
$y'=6(2x+1)^2$; at $0$: $6(1)=6$. · $y'=6(2x+1)^2$; em $0$: $6(1)=6$.
For · A favor $\sqrt{x^2+1}=(x^2+1)^{1/2}$, select all · todos correct identifications. · Para $\sqrt{x^2+1}=(x^2+1)^{1/2}$, selecione todas as identificações corretas.
The square root is the outer; $x^2+1$ is the inner with derivative $2x$. · A raiz quadrada é a externa; $x^2+1$ é a interna com derivada $2x$.
Chaining with the other rules
- The Chain Rule stacks with everything: power, product, quotient, and elementary derivatives.
- $\dfrac{d}{dx}[\sin(x^2)]=\cos(x^2)\cdot 2x$ — outer $\sin$, inner $x^2$.
- $\dfrac{d}{dx}[e^{3x}]=e^{3x}\cdot 3=3e^{3x}$.
- For deeply nested functions, peel one layer at a time, multiplying each inner derivative as you go.
Encadeando com outras regras
- A Regra da Cadeia empilha com tudo: potência, produto, quociente e derivadas elementares.
- $\dfrac{d}{dx}[\sin(x^2)]=\cos(x^2)\cdot 2x$ — externa $\sin$, interna $x^2$.
- $\dfrac{d}{dx}[e^{3x}]=e^{3x}\cdot 3=3e^{3x}$.
- Para funções profundamente aninhadas, descasque uma camada de cada vez, multiplicando cada derivada interna conforme avança.
What is $\dfrac{d}{dx}[\sin(x^2)]$? · O que é $\dfrac{d}{dx}[\sin(x^2)]$?
Outer $\cos(x^2)$ times inner derivative $2x$. · Externo $\cos(x^2)$ vezes derivada interna $2x$.
The factor most often forgotten in the chain rule is the ____ derivative $g'(x)$. · O fator mais esquecido frequentemente na regra da cadeia é a derivada ____ $g'(x)$.
You must multiply by $g'(x)$ after differentiating the outer. · Você deve multiplicar por $g'(x)$ após diferenciar o externo.
What is $\dfrac{d}{dx}[e^{3x}]$? · O que é $\dfrac{d}{dx}[e^{3x}]$?
Outer $e^{3x}$ times inner derivative $3$. · Externo $e^{3x}$ vezes derivada interna $3$.
Never forget to multiply by the inner derivative $g'(x)$. $\frac{d}{dx}[\sin(x^2)]$ is $\cos(x^2)\cdot 2x$, not just $\cos(x^2)$. Leaving off the "$\cdot\,g'(x)$" is the single most common calculus error — the outer derivative alone is only half the answer.
Nunca se esqueça de multiplicar pela derivada interna $g'(x)$. $\frac{d}{dx}[\sin(x^2)]$ é $\cos(x^2)\cdot 2x$, não apenas $\cos(x^2)$. Deixar de fora o "$\cdot\,g'(x)$" é o único erro de cálculo mais comum — a derivada externa sozinha é apenas metade da resposta.
Differentiate $y=\sqrt{x^2+1}$.
- Rewrite: $y=(x^2+1)^{1/2}$. Outer: $(\ )^{1/2}$; inner: $x^2+1$.
- Outer derivative: $\tfrac12(x^2+1)^{-1/2}$. Inner derivative: $2x$.
- $y'=\tfrac12(x^2+1)^{-1/2}\cdot 2x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
Diferencie $y=\sqrt{x^2+1}$.
- Reescreva: $y=(x^2+1)^{1/2}$. Externa: $(\ )^{1/2}$; interna: $x^2+1$.
- Derivada externa: $\tfrac12(x^2+1)^{-1/2}$. Derivada interna: $2x$.
- $y'=\tfrac12(x^2+1)^{-1/2}\cdot 2x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
The Chain Rule differentiates a composite function: $\frac{d}{dx}[f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x)$ — derivative of the outer (inner untouched) times the derivative of the inner. Identify the layers first, and never drop the $\cdot\,g'(x)$ factor. It combines with every other rule for nested expressions.
A Regra da Cadeia diferencia uma função composta: $\frac{d}{dx}[f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x)$ — derivada da externa (interna intocada) vezes a derivada da interna. Identifique as camadas primeiro e nunca solte o fator $\cdot\,g'(x)$. Combina com todas as outras regras para expressões aninhadas.