Implicit Differentiation · Diferenciação Implícita
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| implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | diferenciação implícita |
| implicit/ɪmˈplɪsɪt/ | implícita |
When you can't solve for $y$
- The circle $x^2+y^2=25$ defines $y$ implicitly 隐式 — you can't write it as a single $y=f(x)$.
- Yet the curve still has a slope at each point. How do we get $\tfrac{dy}{dx}$ without solving for $y$?
- The trick: differentiate both sides with respect to $x$, treating $y$ as a hidden function of $x$.
- This is implicit differentiation 隐函数求导.
Quando não pode resolver para $y$
- O círculo $x^2+y^2=25$ define $y$ implicitamente 隐式 — você não pode escrevê-lo como um único $y=f(x)$.
- Mas a curva ainda tem uma inclinação em cada ponto. Como obtemos $\tfrac{dy}{dx}$ sem resolver para $y$?
- O truque: diferencie ambos os lados com respeito a $x$, tratando $y$ como uma função oculta de $x$.
- Isso é diferenciação implícita 隐函数求导.
An equation like $x^2+y^2=25$ defines $y$ ____, since it is not solved for $y$. · Uma equação como $x^2+y^2=25$ define $y$ ____, pois não está resolvida para $y$.
That is why we use implicit differentiation. · É por isso que usamos diferenciação implícita.
Every $y$ term triggers the chain rule
- Because $y$ secretly depends on $x$, differentiating a $y$-term needs the chain rule.
- $\dfrac{d}{dx}[y^2]=2y\cdot\dfrac{dy}{dx}$ — the extra $\tfrac{dy}{dx}$ is the inner derivative.
- $\dfrac{d}{dx}[x^2]=2x$ as usual (no $y$, no extra factor).
- So each time you differentiate a term containing $y$, tack on a $\tfrac{dy}{dx}$.
Cada termo $y$ aciona a regra da cadeia
- Como $y$ depende secretamente de $x$, diferenciar um termo $y$ exige a regra da cadeia.
- $\dfrac{d}{dx}[y^2]=2y\cdot\dfrac{dy}{dx}$ — o fator extra $\tfrac{dy}{dx}$ é a derivada interna.
- $\dfrac{d}{dx}[x^2]=2x$ como de costume (sem $y$, sem fator extra).
- Então, toda vez que diferenciar um termo contendo $y$, adicione um $\tfrac{dy}{dx}$.
Differentiating with respect to $x$, $\dfrac{d}{dx}[y^2]=$ · Diferenciando em relação a $x$, $\dfrac{d}{dx}[y^2]=$
Chain rule: $2y$ times the inner derivative $\tfrac{dy}{dx}$. · Regra da Cadeia: $2y$ vezes a derivada interna $\tfrac{dy}{dx}$.
Solve for $\tfrac{dy}{dx}$
- After differentiating, you get an equation with $\tfrac{dy}{dx}$ scattered around.
- Collect all $\tfrac{dy}{dx}$ terms on one side, everything else on the other.
- Factor out $\tfrac{dy}{dx}$ and divide to isolate it.
- The result usually depends on both $x$ and $y$ — that's expected for a curve.
Resolva para $\tfrac{dy}{dx}$
- Após diferenciar, você terá uma equação com $\tfrac{dy}{dx}$ espalhados por aí.
- Agrupar todos os termos $\tfrac{dy}{dx}$ de um lado, e tudo o mais do outro.
- Colocar em evidência $\tfrac{dy}{dx}$ e dividir para isolá-lo.
- O resultado geralmente depende de ambos $x$ e $y$ — isso é esperado para uma curva.
A tangent slope on a curve · Uma inclinação tangencial em uma curva
y = √(25 − x²) (upper semicircle) · y = √(25 − x²) (semicírculo superior)
Even a curve you can't solve for $y$ has a tangent at each point — implicit differentiation finds that slope. · Mesmo uma curva que você não pode resolver para $y$ tem uma tangente em cada ponto — a diferenciação implícita encontra essa inclinação.
Put the implicit-differentiation steps in order. · Coloque os passos da diferenciação implícita em ordem.
Differentiate, collect, solve, then evaluate. · Diferencie, agrupe, resolva, depois avalie.
Evaluate at a point
- To get an actual slope, plug a point $(x,y)$ on the curve into your $\tfrac{dy}{dx}$ formula.
- For $x^2+y^2=25$: differentiating gives $2x+2y\tfrac{dy}{dx}=0$, so $\tfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$.
- At $(3,4)$: slope $=-\tfrac34$. At $(3,-4)$: slope $=+\tfrac34$.
- The same $x$ can give different slopes — because the curve has two $y$-branches.
Avaliar em um ponto
- Para obter uma inclinação real, substitua um ponto $(x,y)$ na curva na sua fórmula de $\tfrac{dy}{dx}$.
- Para $x^2+y^2=25$: a diferenciação resulta em $2x+2y\tfrac{dy}{dx}=0$, logo $\tfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$.
- Em $(3,4)$: inclinação $=-\tfrac34$. Em $(3,-4)$: inclinação $=+\tfrac34$.
- O mesmo $x$ pode dar inclinações diferentes — porque a curva tem duas ramificações de $y$.
For · A favor $x^2+y^2=25$, $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$. Find the slope at $(3,4)$ (a decimal). · Para $x^2+y^2=25$, $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$. Encontre a inclinação em $(3,4)$ (um decimal).
$-\tfrac{3}{4}=-0.75$.
The factor $\tfrac{dy}{dx}$ is added to every term, including pure $x$ terms like $x^2$. · O fator $\tfrac{dy}{dx}$ é adicionado a cada termo, incluindo termos puros de $x$ como $x^2$.
Only terms containing $y$ get the $\tfrac{dy}{dx}$ factor. · Apenas termos contendo $y$ recebem o fator $\tfrac{dy}{dx}$.
Differentiating $xy$ with respect to $x$ gives... · Diferenciar $xy$ em relação a $x$ resulta em...
Product rule: $\frac{d}{dx}[xy]=1\cdot y+x\cdot\tfrac{dy}{dx}$. · Regra do produto: $\frac{d}{dx}[xy]=1\cdot y+x\cdot\tfrac{dy}{dx}$.
The chain-rule factor $\tfrac{dy}{dx}$ appears only on terms containing $y$. $\frac{d}{dx}[x^3]=3x^2$ (no factor), but $\frac{d}{dx}[y^3]=3y^2\tfrac{dy}{dx}$. Forgetting the $\tfrac{dy}{dx}$ on $y$-terms is the defining mistake of implicit differentiation. And a product like $xy$ needs the product rule: $\frac{d}{dx}[xy]=y+x\tfrac{dy}{dx}$.
O fator da regra da cadeia $\tfrac{dy}{dx}$ aparece apenas nos termos contendo $y$. $\frac{d}{dx}[x^3]=3x^2$ (sem fator), mas $\frac{d}{dx}[y^3]=3y^2\tfrac{dy}{dx}$. Esquecer o $\tfrac{dy}{dx}$ nos termos $y$ é o erro definidor da diferenciação implícita. E um produto como $xy$ precisa da regra do produto: $\frac{d}{dx}[xy]=y+x\tfrac{dy}{dx}$.
Find $\tfrac{dy}{dx}$ for $x^2+y^2=25$ at the point $(3,4)$.
- Differentiate: $2x+2y\dfrac{dy}{dx}=0$.
- Solve: $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2x}{2y}=-\dfrac{x}{y}$.
- At $(3,4)$: $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{4}$ — the tangent slope there.
Encontre $\tfrac{dy}{dx}$ para $x^2+y^2=25$ no ponto $(3,4)$.
- Diferencie: $2x+2y\dfrac{dy}{dx}=0$.
- Resolver: $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2x}{2y}=-\dfrac{x}{y}$.
- Em $(3,4)$: $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{4}$ — a inclinação da tangente naquele ponto.
Implicit differentiation: differentiate both sides with respect to $x$, treating $y$ as a function of $x$ so every $y$-term picks up a $\tfrac{dy}{dx}$ (chain rule); then collect, factor, and solve for $\tfrac{dy}{dx}$. Plug in a point on the curve to get a slope. The answer usually depends on both $x$ and $y$.
Diferenciação implícita: diferencie ambos os lados com respeito a $x$, tratando $y$ como uma função de $x$ para que todo termo $y$ receba um $\tfrac{dy}{dx}$ (regra da cadeia); depois agrupe, coloque em evidência e resolva para $\tfrac{dy}{dx}$. Substitua um ponto na curva para obter a inclinação. A resposta geralmente depende de ambos $x$ e $y$.