Astronomia e cosmologia

A luminosidade 光度 $L$ de uma estrela é a potência 功率 total de radiação que ela emite — a energia 能量 irradiada por segundo em todas as direções. Unidade: watt (W).

A definição de uma marca. A luminosidade de uma estrela é a potência total de radiação emitida pela estrela (ou a energia total emitida por unidade de tempo). É uma propriedade da estrela sozinha; como ela parece brilhante da Terra depende também de quão longe está. Perguntado por duas razões pelas quais algumas estrelas parecem mais brilhantes que outras, dê exatamente essas duas: uma maior luminosidade e uma menor distância (o fluxo cai conforme $1/d^{2}$).

À distância $d$, essa potência se espalhou sobre uma esfera de área $4\pi d^{2}$. A intensidade de fluxo radiante 辐射通量密度 $F$ (potência por unidade de área) à distância $d$ é

Exemplo resolvido. A luminosidade do Sol é $L = 3.8 \times 10^{26}\ \text{W}$. Encontre a intensidade de fluxo radiante na Terra, a uma distância $d = 1.5 \times 10^{11}\ \text{m}$.

Unidade: $\text{W m}^{-2}$. Esta é a lei do inverso do quadrado 平方反比定律 para o fluxo: dobrar a distância reduz o fluxo a um quarto. Um telescópio mede $F$; se $L$ é conhecido, a distância segue:

*As quatro unidades do Telescópio Very Large do ESO no Chile, usadas para medir o fluxo de estrelas distantes

*A mesma potência se espalha sobre uma área maior à medida que a distância aumenta, então o fluxo cai conforme $1/d^{2}$

*Plot $F$ contra $1/d^{2}$ e a lei do inverso do quadrado torna-se uma linha reta pela origem; sua inclinação é $L/4\pi$

Lendo o gráfico. Um gráfico de $F$ contra $1/d^{2}$ para uma estrela é uma linha reta passando pela origem com inclinação $L/4\pi$, então $L = 4\pi \times \text{gradient}$; uma estrela mais luminosa dá uma linha mais íngreme. Uma estrela cuja galáxia se afasta ainda obedece à lei do inverso do quadrado, mas a luz que recebemos está desviada para o vermelho, então o fluxo em cada comprimento de onda é deslocado ao longo do espectro, e um detector sensível a uma faixa pode ver uma fração diferente.

Exemplo resolvido. O Sol tem raio $6.96 \times 10^{8}\ \text{m}$ e temperatura de superfície $5780\ \text{K}$. Uma sonda espacial com um painel solar $2.0\ \text{m}^{2}$ está $4.5 \times 10^{10}\ \text{m}$ do centro do Sol. Encontre a potência incidente no painel quando este estiver voltado para o Sol.

Luminosidade: $L = 4\pi\sigma r^{2}T^{4} = 4\pi(5.67 \times 10^{-8})(6.96 \times 10^{8})^{2}(5780)^{4} = 3.85 \times 10^{26}\ \text{W}$. Fluxo na sonda: $F = L/(4\pi d^{2}) = 3.85 \times 10^{26}/[4\pi(4.5 \times 10^{10})^{2}] = 1.5 \times 10^{4}\ \text{W m}^{-2}$, onze vezes o fluxo na Terra. Potência no painel: $P = FA = 1.5 \times 10^{4} \times 2.0 = 3.0 \times 10^{4}\ \text{W}$. O fluxo é potência por unidade de área perpendicular à radiação; um painel inclinado recebe $FA\cos\theta$.

Uma vela padrão 标准烛光 é um objeto cuja luminosidade é conhecida pelo seu tipo. Uma vez que encontra uma num galáxias distantes e mede o seu fluxo $F$, obtém a sua distância de $d = \sqrt{L/(4\pi F)}$.

Exemplos:

• Variáveis Cefeidas 造父变星 (estrelas pulsantes) — o período de pulsação está fortemente ligado à luminosidade, portanto o período fornece $L$.
• Supernovas do Tipo Ia 超新星 — uma anã branca que atinge uma massa crítica e explode tem sempre aproximadamente a mesma luminosidade de pico.

Uma vela padrão fornece $L$ sem precisar saber a distância previamente, permitindo alcançar galáxias muito além da parallaxe 视差.

A definição. Uma vela padrão é um objeto (uma estrela ou uma supernova) de luminosidade conhecida. A luminosidade é conhecida porque é fixada por uma propriedade que pode ser medida de qualquer distância: o período de pulsação de uma variável Cefeide, ou o tipo de uma supernova.

"Explique como uma vela padrão é usada para determinar a distância de uma galáxia" (três marcas). (1) Identifica-se uma vela padrão na galáxia (uma variável Cefeide, cujo período dá a sua luminosidade, ou uma supernova do Tipo Ia) para que a sua luminosidade $L$ seja conhecida. (2) Mede-se a intensidade do fluxo radiante $F$ da sua luz ao chegar à Terra. (3) A distância deriva da lei do inverso do quadrado, $d = \sqrt{L/(4\pi F)}$. A ordem importa: a luminosidade vem do tipo da vela, não da distância, que é o que se pretende encontrar.

Exemplo resolvido. Uma supernova do Tipo Ia, com luminosidade $1.0 \times 10^{36}\ \text{W}$ no seu pico, é observada com um fluxo de pico de $2.0 \times 10^{-14}\ \text{W m}^{-2}$. A que distância está a sua galáxia?

$d = \sqrt{L/(4\pi F)} = \sqrt{1.0 \times 10^{36}/(4\pi \times 2.0 \times 10^{-14})} = 6.3 \times 10^{24}\ \text{m}$, cerca de $670$ milhões de anos-luz 光年 ($1\ \text{ly} = 9.5 \times 10^{15}\ \text{m}$). Uma Cefeide, com uma luminosidade da ordem de $10^{30}\ \text{W}$, não poderia ser vista a essa distância; as supernovas são as velas para o Universo distante.

Lei do deslocamento de Wien

Um corpo quente emite um espectro contínuo (corpo negro 黑体) com um pico num comprimento de onda 波长 $\lambda_{\text{max}}$ determinado pela sua temperatura 温度. Lei do deslocamento de Wien 维恩位移定律:

Exemplo resolvido. O espectro de corpo negro de uma estrela tem um pico em $\lambda_{\text{max}} = 500\ \text{nm}$. Encontre a sua temperatura de superfície. ($b = 2.90 \times 10^{-3}\ \text{m K}$.)

Estrelas mais quentes têm picos em comprimentos de onda mais curtos: uma estrela vermelha fria ($\sim 3000\ \text{K}$) tem pico no infravermelho; o Sol ($\sim 5800\ \text{K}$) tem pico próximo de $500\ \text{nm}$; uma estrela azul-branca quente ($\sim 20{,}000\ \text{K}$) tem pico no ultravioleta. Medir $\lambda_{\text{max}}$ dá a temperatura de superfície.

"Enuncie a lei do deslocamento de Wien" (duas marcas). O comprimento de onda em que a intensidade da radiação de um corpo negro é máxima é inversamente proporcional à sua temperatura termodinâmica: $\lambda_{\text{max}} \propto 1/T$, ou $\lambda_{\text{max}} T = \text{constant}$ ($2.90 \times 10^{-3}\ \text{m K}$). Diga "comprimento de onda de máxima intensidade", não apenas "o comprimento de onda", e a temperatura deve estar em kelvin. A lei descreve o pico da curva contínua do corpo negro, não as linhas espectrais.

Lei de Stefan–Boltzmann

Uma estrela, tratada como uma esfera de corpo negro de raio $r$ e temperatura de superfície $T$, tem luminosidade

onde $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\ \text{W m}^{-2}\ \text{K}^{-4}$ é a constante de Stefan–Boltzmann 斯特藩-玻尔兹曼常量 (a lei de Stefan–Boltzmann 斯特藩-玻尔兹曼定律). Duas fortes dependências:

• $L \propto r^{2}$ — dobro do raio, quatro vezes a luminosidade (mesmo $T$).
• $L \propto T^{4}$ — dobro da temperatura, dezesseis vezes a luminosidade (mesmo $r$).

Exemplo resolvido. Uma estrela tem raio $r = 7.0 \times 10^{8}\ \text{m}$ e temperatura de superfície $T = 5800\ \text{K}$. Encontre a sua luminosidade. ($\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\ \text{W m}^{-2}\ \text{K}^{-4}$.)

Estimativa do raio de uma estrela

Combine as duas leis:

1. meça $\lambda_{\text{max}}$ → obtenha $T$ da lei de Wien.
2. encontre $L$ (ex. a partir do fluxo $F$ e da distância $d$: $L = 4\pi d^{2} F$).
3. resolva a lei de Stefan–Boltzmann para $r$: $r = \sqrt{L/(4\pi \sigma T^{4})}$.

É assim que os astrônomos estimam raios de estrelas que não podem ver como discos.

Exemplo resolvido (o raio do Sol). A intensidade do fluxo radiante da luz solar na Terra é $1370\ \text{W m}^{-2}$ a uma distância de $1.50 \times 10^{11}\ \text{m}$, e o espectro do Sol tem um pico em $500\ \text{nm}$. Estime o raio do Sol.

Luminosidade: $L = 4\pi d^{2}F = 4\pi(1.50 \times 10^{11})^{2}(1370) = 3.87 \times 10^{26}\ \text{W}$. Temperatura: $T = b/\lambda_{\text{max}} = 2.90 \times 10^{-3}/(500 \times 10^{-9}) = 5800\ \text{K}$. Raio: $r = \sqrt{L/(4\pi\sigma T^{4})} = \sqrt{3.87 \times 10^{26}/[4\pi(5.67 \times 10^{-8})(5800)^{4}]} = 6.9 \times 10^{8}\ \text{m}$. Três passos, cada um uma fórmula de uma linha; mantenha a precisão total de $L$ e $T$ até ao final, pois $T$ está elevado à quarta potência.

Exemplo resolvido. Uma estrela numa galáxia distante tem uma intensidade de fluxo radiante de $2.52 \times 10^{-8}\ \text{W m}^{-2}$ na Terra, a uma distância de $4.16 \times 10^{17}\ \text{m}$, e uma temperatura de superfície de $9500\ \text{K}$. Encontre o seu raio.

$L = 4\pi d^{2}F = 4\pi(4.16 \times 10^{17})^{2}(2.52 \times 10^{-8}) = 5.48 \times 10^{28}\ \text{W}$. Então $r = \sqrt{5.48 \times 10^{28}/[4\pi(5.67 \times 10^{-8})(9500)^{4}]} = 3.1 \times 10^{9}\ \text{m}$, cerca de quatro vezes o raio do Sol. Verifique o sentido: uma estrela $140$ vezes mais luminosa que o Sol mas apenas $1.6$ vezes mais quente deve ser consideravelmente maior, já que $L \propto r^{2}T^{4}$.

Porque $T^{4}$ importa tanto. Duas estrelas do mesmo raio a $3000\ \text{K}$ e $6000\ \text{K}$ diferem em luminosidade por $2^{4} = 16$ vezes; um pequeno erro na temperatura é um grande erro na luminosidade, razão pela qual o comprimento de onda de pico deve ser lido cuidadosamente e, para uma galáxia em recuo, corrigido por redshift (abaixo).

Redshift cosmológico

As linhas espectrais 谱线 da luz de galáxias distantes são vistas em comprimentos de onda mais longos do que os seus valores laboratoriais conhecidos — todo o espectro é esticado em direção ao vermelho. Este é o redshift 红移.

Lendo-o como um desvio Doppler, a galáxia está a mover-se para longe. Para $v \ll c$:

onde $\Delta\lambda = \lambda_{\text{observed}} - \lambda_{\text{emitted}}$ e $v$ é a velocidade de recessão 退行. Exemplo: luz emitida em $4.62 \times 10^{-7}\ \text{m}$ mas vista em $4.91 \times 10^{-7}\ \text{m}$ dá $\Delta\lambda = 0.29 \times 10^{-7}\ \text{m}$ e

Por que o redshift significa um Universo em expansão

Quase toda a galáxia distante tem redshift (algumas próximas têm blueshift 蓝移 por movimento local). Assim, as galáxias estão, em média, a afastar-se — não só de nós mas umas das outras. O Universo está em expansão, com o espaço entre galáxias a esticar-se. Galáxias mais distantes têm redshift maior.

"Enuncie o que se entende por redshift." O comprimento de onda observado da radiação (as suas linhas espectrais) de uma fonte é maior do que o comprimento de onda emitido, porque a fonte está a afastar-se do observador. É o efeito Doppler 多普勒效应 para a luz: a variação fracional no comprimento de onda iguala a variação fracional na frequência e, para $v \ll c$, a razão $v/c$.

Exemplo resolvido. Uma linha de hidrogênio medida no laboratório em $656.3\ \text{nm}$ é observada na luz de uma galáxia em $660.9\ \text{nm}$. Encontre a velocidade de recessão da galáxia e, usando $H_{0} = 2.3 \times 10^{-18}\ \text{s}^{-1}$, a sua distância.

$\Delta\lambda = 660.9 - 656.3 = 4.6\ \text{nm}$, logo $v = c\,\Delta\lambda/\lambda = (3.00 \times 10^{8})(4.6/656.3) = 2.1 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$. Distância: $d = v/H_{0} = 2.1 \times 10^{6}/2.3 \times 10^{-18} = 9.1 \times 10^{23}\ \text{m}$ (cerca de $100$ milhões de anos-luz). Divida pelo comprimento de onda emitido (laboratorial) e mantenha os nanómetros consistentes na razão.

Exemplo resolvido (ao contrário). Uma galáxia em Corona Borealis recede a $21\,400\ \text{km s}^{-1}$. Em que comprimento de onda é observada a sua linha de hidrogênio $656.3\ \text{nm}$?

$\Delta\lambda = \lambda v/c = 656.3 \times (2.14 \times 10^{7}/3.00 \times 10^{8}) = 46.8\ \text{nm}$, logo a linha aparece em $703\ \text{nm}$, movida do vermelho quase para o infravermelho. Cada linha e todo o espectro contínuo são esticados pelo mesmo fator $(1 + v/c) = 1.071$.

Uma armadilha que o exame coloca. Se o comprimento de onda de pico do espectro de uma galáxia em recessão for introduzido diretamente na lei de Wien, a temperatura sai demasiado baixa, porque o $\lambda_{\text{max}}$ observado é maior do que o emitido. Corrija o pico primeiro: $\lambda_{\text{emitted}} = \lambda_{\text{observed}}/(1 + v/c)$. Pedido para esboçar o espectro observado nos mesmos eixos que o emitido, desenhe a mesma forma deslocada para comprimentos de onda mais longos, incluindo o pico.

"Explique como o desvio para o vermelho leva à ideia de que o Universo está em expansão" (três marcas). (1) As linhas espectrais de (quase) todas as galáxias distantes estão deslocadas para comprimentos de onda maiores, então (2) pelo efeito Doppler, as galáxias estão se afastando de nós, e (3) quanto mais distante uma galáxia, maior é seu desvio para o vermelho e, portanto, sua velocidade: isso seria visto de qualquer galáxia se o espaço entre todas as galáxias estivesse se expandindo, então o Universo como um todo está em expansão, não apenas se afastando da Terra.

Lei de Hubble

A relação entre a velocidade de recessão $v$ e a distância $d$ é a Lei de Hubble 哈勃定律:

onde $H_{0}$ é a constante de Hubble 哈勃常数 ($\approx 2.3 \times 10^{-18}\ \text{s}^{-1}$). Use sempre unidades SI. Exemplo: uma galáxia com recessão a $1.9 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$ está a $d = v/H_{0} \approx 8.3 \times 10^{24}\ \text{m}$.

"Enuncie a lei de Hubble" (duas marcas). A velocidade de recessão de uma galáxia é (diretamente) proporcional à sua distância da Terra (do observador): $v = H_{0}d$, onde $v$ é a velocidade de recessão, $d$ a distância e $H_{0}$ a constante de Hubble. Identifique cada símbolo quando solicitado. O valor de $H_{0}$ é citado na prova em unidades SI ($\text{s}^{-1}$), então $v$ deve estar em $\text{m s}^{-1}$ e $d$ em metros, nunca quilômetros por segundo por megaparsec.

Exemplo resolvido. Uma estrela em uma galáxia distante emite radiação cuja intensidade pico está em $4.62 \times 10^{-7}\ \text{m}$; o pico na luz recebida na Terra está em $4.91 \times 10^{-7}\ \text{m}$. Encontre a temperatura da superfície da estrela, a velocidade de recessão da galáxia e sua distância ($H_{0} = 2.3 \times 10^{-18}\ \text{s}^{-1}$).

Temperatura a partir do pico emitido: $T = 2.90 \times 10^{-3}/4.62 \times 10^{-7} = 6300\ \text{K}$. Velocidade: $v = c\,\Delta\lambda/\lambda = (3.00 \times 10^{8})(0.29/4.62) = 1.9 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$, cerca de $6\%$ de $c$. Distância: $d = v/H_{0} = 1.9 \times 10^{7}/2.3 \times 10^{-18} = 8.2 \times 10^{24}\ \text{m}$ (cerca de $870$ milhões de anos-luz). Usar o pico observado para a temperatura teria dado $5900\ \text{K}$, $400\ \text{K}$ demasiado baixo.

Da Lei de Hubble ao Big Bang

A Lei de Hubble significa que as galáxias estiveram juntas. Correndo a expansão para trás, todas as distâncias encolhem a zero em $t = -1/H_{0}$ — o Universo já foi um ponto minúsculo, extremamente denso e quente. Isso é o Big Bang 大爆炸. A idade do Universo (para expansão constante) é aproximadamente

A expansão, o desvio para o vermelho das galáxias, a radiação cósmica de fundo micro-ondas 宇宙微波背景, e as abundâncias de hidrogênio/hélio são as principais evidências para o Big Bang.

"Explique como a Lei de Hubble leva à teoria do Big Bang" (três marcas). (1) As galáxias estão se afastando com velocidades proporcionais às suas distâncias, então (2) se o tempo for invertido, cada galáxia, independentemente da distância, chega ao mesmo ponto no mesmo momento, $t = d/v = 1/H_{0}$ atrás; (3) então o Universo deve ter começado como um único ponto de enorme densidade e temperatura que tem se expandido desde então. A estimativa de idade: $1/H_{0} = 1/(2.3 \times 10^{-18}) = 4.3 \times 10^{17}\ \text{s}$, e dividindo por $3.16 \times 10^{7}\ \text{s}$ por ano dá $1.4 \times 10^{10}$ anos. Isso assume que a taxa de expansão não mudou; é uma estimativa, não uma medição.

Escada de distâncias

Os astrônomos combinam métodos, cada um calibrado pelo método abaixo:

1. parallax — para estrelas próximas.
2. velas padrão (Cefeidas, supernovas tipo Ia) — para galáxias.
3. Lei de Hubble ($d = v/H_{0}$, com $v$ do desvio para o vermelho) — para galáxias muito distantes.

Uma questão de definição é avaliada contra wording fixo. Aprenda estas exatamente, e dê apenas uma resposta.

• Duas receitas: distância = $L$ da vela, $F$ medida, $d = \sqrt{L/(4\pi F)}$; raio = $T$ de $\lambda_{\text{max}}$, $L$ de $F$ e $d$, $r$ de $L = 4\pi\sigma r^{2}T^{4}$. Escreva cada etapa como sua própria fórmula.
• $F$ é um fluxo (por metro quadrado), $L$ uma potência; $L = 4\pi d^{2}F$ os conecta e $4\pi$ faz parte de ambas as leis.
• Wien: $\lambda_{\text{max}}$ em metros, $T$ em kelvin. Stefan–Boltzmann: $r^{2}$ e $T^{4}$; um erro de $10\%$ em $T$ é um erro de $46\%$ em $L$.
• Redshift: $\Delta\lambda/\lambda_{\text{emitted}} = v/c$; depois $d = v/H_{0}$ em unidades SI. Corrija o comprimento de onda pico de uma galáxia em recessão antes de usar a lei de Wien.
• As três respostas "explique" (vela padrão para distância, desvio para o vermelho para expansão, Lei de Hubble para o Big Bang) são marcadas ponto a ponto: três afirmações cada, em ordem.
• A idade do Universo é $1/H_{0}$, cerca de $14$ bilhões de anos; enuncie a suposição de uma taxa de expansão constante.

Erros comuns

• Definir luminosidade como brilho, ou como potência por unidade de área; isto é o fluxo.
• Encontrar a luminosidade de uma vela padrão a partir de sua distância, o que é circular; a luminosidade vem de seu tipo.
• Usar graus Celsius nas leis de Wien ou Stefan, ou esquecer a quarta potência.
• Dividir $\Delta\lambda$ pelo comprimento de onda observado em vez do emitido, ou misturar nanômetros e metros em uma mesma razão.
• Usar $H_{0}$ com $v$ em $\text{km s}^{-1}$; converter para $\text{m s}^{-1}$.
• Alimentar um comprimento de onda pico com desvio para o vermelho na lei de Wien e relatar uma temperatura demasiado baixa.
• Enunciar a Lei de Hubble sem "proporcional" ou sem dizer o que $v$ e $d$ são.
• Explicar o Big Bang sem o argumento de reversão temporal de que todas as galáxias estavam juntas em $t = 1/H_{0}$ atrás.