Oscilações

Uma partícula move-se com movimento harmônico simples 简谐运动 (MHS) quando sua aceleração 加速度 é:

• proporcional ao seu deslocamento de um ponto fixo de equilíbrio 平衡, e
• direcionada de volta para esse ponto — oposta em sinal ao deslocamento.

A equação definidora é

onde $x$ é o deslocamento 位移 em relação ao equilíbrio e $\omega$ é uma constante positiva, a frequência angular 角频率. O sinal negativo significa "direcionado de volta para o equilíbrio".

A definição de duas marcas. O movimento harmônico simples é o movimento em que a aceleração é proporcional ao deslocamento de um ponto fixo e está sempre direcionado para esse ponto (na direção oposta ao deslocamento). Ambas as partes são necessárias. "A significância do sinal negativo": a aceleração está na direção oposta ao deslocamento — sempre em direção à posição de equilíbrio. "Affirme o que significa a frequência das oscilações": o número de oscilações completas por unidade de tempo.

Muitos sistemas fazem isso perto de um equilíbrio estável: uma massa em uma mola 弹簧, um pêndulo 单摆 (pequena oscilação), um bloco flutuante empurrado para baixo, a carga em um capacitor 电容器 em um circuito LC, átomos em um sólido.

Termos-chave

• deslocamento $x$ — distância do equilíbrio em um momento (um vetor ao longo da linha de movimento).
• amplitude 振幅 $x_{0}$ — o maior deslocamento em relação ao equilíbrio. Sempre positivo.
• período 周期 $T$ — o tempo para uma oscilação completa.
• frequência 频率 $f$ — o número de oscilações por segundo; $f = 1/T$. Unidade: Hz.
• frequência angular $\omega$ — $\omega = 2\pi/T = 2\pi f$. Unidade: $\text{rad s}^{-1}$.
• diferença de fase 相位差 — a fração de um ciclo (em radianos) pela qual uma oscilação antecede ou atrasa outra. Um quarto de ciclo de distância é uma diferença de fase de $\pi/2$.

Então $T = 2\pi/\omega$ e $f = \omega/(2\pi)$ — dado qualquer um de $\omega$, $f$, $T$ você pode encontrar os outros.

Exemplo resolvido. Uma massa em uma mola oscila com MHS de amplitude $0.050\ \text{m}$ e frequência $2.5\ \text{Hz}$. Encontre sua aceleração máxima.

A frequência angular é $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 2.5 = 15.7\ \text{rad s}^{-1}$. A aceleração é maior nos extremos, onde $|a| = \omega^{2}x_{0}$:

Mostrando que um movimento é harmônico simples

A derivação favorita de quatro marcas do exame, e a receita é sempre a mesma: (1) desloque o objeto por $x$ do equilíbrio; (2) encontre a força restauradora resultante, que resulta como $F = -(\text{constant}) \times x$; (3) aplique a segunda lei de Newton, $a = F/m = -(\text{constant}/m)\,x$; (4) isso tem a forma $a = -\omega^{2}x$, então o movimento é harmônico simples com $\omega^{2} = \text{constant}/m$, e $T = 2\pi/\omega$. Diga em palavras por que a força aponta de volta para o equilíbrio e por que ela é proporcional a $x$ — esses são os pontos, não a álgebra.

Exemplo resolvido. Uma massa $m$ pende de uma mola de constante elástica $k$. Mostre que, quando deslocada e liberada, ela se move com movimento harmônico simples, e encontre o período.

No equilíbrio, a tensão da mola equilibra o peso. Desloque a massa uma distância $x$ para baixo: a tensão aumenta em $kx$ (Lei de Hooke), então há uma força resultante $kx$ para cima, em direção ao equilíbrio. Segunda lei de Newton: $a = -\dfrac{k}{m}x$. Isso é $a = -\omega^{2}x$ com $\omega^{2} = k/m$, então o movimento é harmônico simples e $T = 2\pi/\omega = 2\pi\sqrt{m/k}$. (Um carrinho segurado entre dois molas idênticas tem ambas puxando-o de volta, $F = -2kx$, então $\omega^{2} = 2k/m$.)

Exemplo resolvido. Um bloco cuboidal de área transversal $A$ e massa $m$ flutua em um líquido de densidade $\rho$ com sua base a uma profundidade $h$ abaixo da superfície. Ele é empurrado para baixo uma pequena distância $x$ e liberado. Mostre que oscila com movimento harmônico simples e encontre o período em termos de $h$ e $g$.

Quando o bloco é empurrado para baixo por $x$, um volume extra $Ax$ fica submerso, então a empuxo 浮力 aumenta pelo peso desse líquido extra, $\rho g A x$; essa força extra atua para cima, em direção à posição de equilíbrio. Logo, $a = -\dfrac{\rho g A}{m}x$: proporcional a $x$ e de sentido oposto, então o movimento é harmônico simples com $\omega^{2} = \rho g A/m$. Em equilíbrio, o empuxo sobre o volume submerso $Ah$ iguala ao peso, $\rho g A h = mg$, então $m = \rho A h$ e $\omega^{2} = g/h$: $T = 2\pi\sqrt{h/g}$ — a mesma forma que um pêndulo de comprimento $h$.

Exemplo resolvido. Um tubo em U de área transversal $A$ contém líquido de densidade $\rho$; a coluna em cada braço tem comprimento $L$. O líquido é deslocado de modo que uma superfície esteja $x$ acima de seu nível de equilíbrio e a outra $x$ abaixo. Mostre que o líquido oscila com movimento harmônico simples.

As duas superfícies agora diferem em altura por $2x$, então uma coluna de líquido de altura $2x$ está desbalanceada: a força restauradora sobre o líquido é o peso dessa coluna, $2x\rho g A$, direcionada para nivelar as superfícies. A massa sendo movida é todo o líquido, $2L\rho A$. Então $a = -\dfrac{2x\rho g A}{2L\rho A} = -\dfrac{g}{L}x$: harmônico simples, com $\omega^{2} = g/L$ e $T = 2\pi\sqrt{L/g}$. Note que $\rho$ e $A$ cancelam — o período depende nem do líquido nem do tubo.

Se a partícula começa em $x = 0$ movendo-se na direção positiva em $t = 0$, então

Diferenciar uma vez dá a velocidade 速度:

onde $v_{0} = x_{0} \omega$ é a velocidade máxima (quando a partícula passa pela posição de equilíbrio).

Diferenciar novamente dá a aceleração:

que é novamente a equação definidora do MHS. (Se a partícula começar na posição extrema $x = x_{0}$ em $t = 0$, use $x = x_{0} \cos(\omega t)$. Escolha a que se adapta às condições iniciais.)

Velocidade em termos de deslocamento

Uma relação útil que não usa tempo:

• no equilíbrio ($x = 0$): $v = \pm \omega x_{0}$ (velocidade máxima). Ambos os sinais, porque a partícula passa pelo equilíbrio duas vezes a cada ciclo.
• nos extremos ($x = \pm x_{0}$): $v = 0$ (parada por um instante).

Exemplo resolvido. A mesma oscilação tem amplitude $x_{0} = 0.050\ \text{m}$ e frequência angular $\omega = 15.7\ \text{rad s}^{-1}$. Encontre a velocidade quando o deslocamento é $x = 0.030\ \text{m}$.

Lendo o gráfico de $v$–$x$. Sua largura fornece a amplitude ($x = \pm x_{0}$ quando $v = 0$) e sua altura a velocidade máxima ($v = \pm\omega x_{0}$ em $x = 0$), logo $\omega = v_{0}/x_{0}$ e o período são obtidos. Ao ser solicitado a esboçar $a$ contra $x$ nos mesmos eixos, desenhe a reta que passa pela origem com inclinação negativa $-\omega^{2}$, atingindo $\mp\omega^{2}x_{0}$ em $x = \pm x_{0}$.

Exemplo resolvido. A velocidade de um bloco oscilante varia com o tempo segundo $v = 0.56\sin(5.1t)$, com $v$ em $\text{m s}^{-1}$ e $t$ em segundos. Encontre a amplitude, o período e a aceleração máxima.

Compare com $v = v_{0}\sin\omega t$: $v_{0} = 0.56\ \text{m s}^{-1}$ e $\omega = 5.1\ \text{rad s}^{-1}$. Como $v_{0} = \omega x_{0}$, a amplitude é $x_{0} = 0.56/5.1 = 0.11\ \text{m}$; $T = 2\pi/\omega = 1.2\ \text{s}$; $a_{\text{max}} = \omega^{2}x_{0} = \omega v_{0} = 5.1 \times 0.56 = 2.9\ \text{m s}^{-2}$. (Como este $v$ é um seno, o bloco estava em uma extremidade em $t = 0$: seu deslocamento é um cosseno.)

MHS como a sombra do movimento circular. Uma bola movendo-se ao redor de um círculo de raio $R$ com velocidade angular $\omega$, iluminada lateralmente, projeta uma sombra que se move para frente e para trás com movimento harmônico simples de amplitude $R$ e mesmo $\omega$: o deslocamento da sombra é $x = R\cos\omega t$ (se começar em uma posição extrema), sua velocidade máxima é $R\omega$ e sua aceleração máxima $R\omega^{2}$. Para um círculo de diâmetro $0.46\ \text{m}$ e $\omega = 1.9\ \text{rad s}^{-1}$, a sombra tem amplitude $0.23\ \text{m}$, $v_{0} = 0.44\ \text{m s}^{-1}$ e $a_{\text{max}} = 0.83\ \text{m s}^{-2}$ — maior nas duas extremidades de sua trajetória e sempre direcionada de volta para o centro.

Gráficos contra o tempo

Para $x = x_{0}\sin\omega t$:

• $x$ vs $t$ — uma curva senoide, amplitude $x_{0}$, período $T = 2\pi/\omega$.
• $v$ vs $t$ — uma curva cossenoide, adiantada em relação a $x$ por $\pi/2$, amplitude $\omega x_{0}$.
• $a$ vs $t$ — uma curva seno negativa, fora de fase com $x$ por $\pi$ (180°), amplitude $\omega^{2} x_{0}$.

Gráfico de $a$ contra $x$

Uma reta que passa pela origem com inclinação negativa $-\omega^{2}$. Assim você pode ler $\omega$ do gráfico: inclinação $= -\omega^{2}$, logo $\omega = \sqrt{|\text{gradient}|}$, então $T = 2\pi / \omega$. Este é um padrão comum em provas.

Exemplo resolvido. Um gráfico da altura $h$ de um objeto de massa $36\ \text{kg}$ submetido a movimento harmônico vertical mostra $h$ variando entre $2\ \text{m}$ e $10\ \text{m}$, com uma oscilação completa a cada $4.0\ \text{s}$. Encontre a amplitude, a frequência angular, a velocidade máxima, a aceleração máxima e a energia cinética máxima.

Amplitude $x_{0} = (10 - 2)/2 = 4.0\ \text{m}$ (metade da faixa pico a pico; a altura de equilíbrio é $6\ \text{m}$). $\omega = 2\pi/T = 2\pi/4.0 = 1.57\ \text{rad s}^{-1}$. $v_{\text{max}} = \omega x_{0} = 6.3\ \text{m s}^{-1}$; $a_{\text{max}} = \omega^{2}x_{0} = 9.9\ \text{m s}^{-2}$; $E_{\text{K,max}} = \tfrac{1}{2}mv_{\text{max}}^{2} = \tfrac{1}{2} \times 36 \times 6.28^{2} = 7.1 \times 10^{2}\ \text{J}$. Ler a amplitude como a faixa total de altura em vez de metade dela é o erro mais comum aqui.

Exemplo resolvido. Um pequeno objeto repousa sobre uma plataforma horizontal que oscila verticalmente com movimento harmônico simples de amplitude $6.0\ \text{mm}$. Encontre a frequência mais alta na qual o objeto permanece em contato com a plataforma durante todo o movimento e indique onde, no decorrer do movimento, o contato é perdido primeiro.

O objeto deixa a plataforma quando a aceleração descendente da plataforma excede $g$ — no topo da oscilação, onde a aceleração é máxima e dirigida para baixo: a plataforma então afasta-se mais rápido do que o objeto consegue. O limite é $\omega^{2}x_{0} = g$: $\omega = \sqrt{9.81/0.0060} = 40\ \text{rad s}^{-1}$, logo $f = \omega/2\pi = 6.4\ \text{Hz}$. Abaixo disso, a força normal de contato no topo é pequena, mas positiva; acima dela, é zero.

Um oscilador harmônico simples continua trocando energia entre duas formas:

• energia cinética 动能 $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$.
• energia potencial $E_{\text{P}}$ (elástica para uma mola, gravitacional para um pêndulo).

Sem amortecimento 阻尼, a energia total é constante (isto é conservação de energia 能量守恒).

Máximo e mínimo

• nenhuma equilíbrio ($x = 0$): $v$ é maior, logo $E_{\text{K}}$ é maior e $E_{\text{P}}$ é menor (zero, por escolha).
• nas extremidades ($x = \pm x_{0}$): $v = 0$, logo $E_{\text{K}} = 0$ e $E_{\text{P}}$ são maiores.

Energia total

Usando $v_{\text{max}} = \omega x_{0}$:

Dois fatos-chave: a energia total é proporcional ao quadrado da amplitude (dobrar $x_{0}$ resulta em quatro vezes a energia) e a $\omega^{2}$.

Energia contra o deslocamento

Usando $v^{2} = \omega^{2}(x_{0}^{2} - x^{2})$:

Assim $E_{\text{K}}$ é uma parábola voltada para baixo (pico em $x = 0$, zero em $x = \pm x_{0}$) e $E_{\text{P}}$ é uma parábola voltada para cima (zero em $x = 0$, maior em $x = \pm x_{0}$). Sua soma é constante.

Exemplo resolvido. Uma massa $0.20\ \text{kg}$ oscila com amplitude $x_{0} = 0.050\ \text{m}$ e frequência angular $\omega = 15.7\ \text{rad s}^{-1}$. Encontre a energia total da oscilação.

A energia total é igual à energia cinética máxima, conforme a massa passa por $x = 0$ em $v_{\text{max}} = \omega x_{0}$:

Isso permanece constante, trocando entre formas cinética e potencial duas vezes por ciclo.

Descrevendo a troca sem cálculo. Em uma extremidade do movimento, o oscilador está momentaneamente em repouso: sua energia cinética é zero e sua energia potencial é máxima. Ao se mover em direção ao equilíbrio, a força restauradora realiza trabalho sobre ele, convertendo energia potencial em energia cinética; na posição de equilíbrio, a energia cinética é máxima e a energia potencial mínima. Além dele, a energia cinética converte-se novamente em energia potencial até a outra extremidade. A total permanece constante, e a troca ocorre duas vezes por oscilação, logo os gráficos de energia contra o tempo têm o dobro da frequência do gráfico de deslocamento.

Exemplo resolvido. Uma massa pendular de massa $0.81\ \text{kg}$ oscila com pequenas oscilações de amplitude $32\ \text{mm}$ e período $1.9\ \text{s}$. Encontre a energia total da oscilação e declare o que acontece com ela se a amplitude cair para $16\ \text{mm}$.

$\omega = 2\pi/1.9 = 3.31\ \text{rad s}^{-1}$; $E = \tfrac{1}{2}m\omega^{2}x_{0}^{2} = \tfrac{1}{2} \times 0.81 \times 3.31^{2} \times 0.032^{2} = 4.5 \times 10^{-3}\ \text{J}$. Reduzir a amplitude pela metade reduz a energia a um quarto ($E \propto x_{0}^{2}$), resultando em $1.1 \times 10^{-3}\ \text{J}$; a diferença foi dissipada como energia térmica devido à resistência do ar.

Uma força resistiva (atrito 摩擦力, arrasto 阻力, resistência do ar 空气阻力) causa amortecimento — a amplitude diminui com o tempo à medida que a energia é perdida como calor. Três casos nomeados:

Amortecimento leve

A amplitude diminui lentamente ao longo de muitos ciclos (um caso de amortecimento leve 轻阻尼). O sistema ainda oscila perto de sua frequência natural, mas cada ciclo é menor que o anterior. A suspensão de um carro tem amortecimento leve a médio, de modo que as irregularidades desaparecem, mas a condução permanece suave.

Amortecimento crítico

O menor amortecimento que traz o sistema de volta ao equilíbrio sem ultrapassá-lo e sem oscilar — um caso de amortecimento crítico 临界阻尼. Ele retorna no menor tempo possível. Um galvanômetro 检流计 ou um voltímetro analógico voltímetro 电压表 é criticamente amortecido para que o ponteiro se estabilize rapidamente.

Amortecimento pesado

Tanta resistência que o sistema retorna lentamente, sem oscilação, mas mais devagar que o caso crítico — um caso de amortecimento pesado 过阻尼. Uma porta com fechador forte é pesadamente amortecida.

Em um gráfico de deslocamento contra o tempo: amortecimento leve é uma onda cujo tamanho desaparece suavemente; amortecimento crítico retorna rapidamente sem ultrapassar; amortecimento pesado retorna lentamente.

Conforme a prova pergunta. Amortecimento é a diminuição da amplitude de uma oscilação causada por uma força resistiva que dissipa a energia do oscilador. No amortecimento leve, o sistema oscila com uma amplitude que diminui gradualmente (exponencialmente) com o tempo; o período é quase inalterado. No amortecimento crítico, o sistema retorna ao equilíbrio no menor tempo possível sem oscilar. No amortecimento pesado, ele retorna ao equilíbrio lentamente, sem oscilar. Esboçando-os: a curva de amortecimento leve é uma onda seno dentro de um envelope encolhendo; as curvas crítica e pesada ambas caem a zero sem cruzar o eixo, sendo a pesada mais lenta.

Exemplo resolvido. Um ímã de barra pendurado em uma mola com um polo dentro de uma bobina conectada, através de um interruptor, a um resistor. O ímã é posto a oscilar. Explique por que as oscilações morrem mais rapidamente quando o interruptor é fechado.

O ímã em movimento altera o fluxo magnético que liga a bobina, induzindo uma f.e.m. (lei de Faraday); com o interruptor fechado, uma corrente flui pelo resistor dissipando energia como calor. Pela lei de Lenz, a corrente induzida se opõe ao movimento do ímã — uma força resistiva adicional. Essa energia vem da oscilação, logo a amplitude diminui mais rápido: o circuito adiciona amortecimento. Com o interruptor aberto, há uma f.e.m., mas nenhuma corrente, logo não há perda de energia extra.

Uma oscilação forçada 受迫振动 é acionada por uma força periódica externa em uma frequência $f_{\text{d}}$ escolhida pelo experimentador. O sistema então oscila nesta frequência de acionamento 驱动频率 $f_{\text{d}}$, não em sua própria frequência natural. Um gráfico de amplitude contra $f_{\text{d}}$ é uma curva de ressonância 共振曲线 com um pico.

Ressonância

Ressonância 共振 acontece quando a frequência de acionamento é igual à frequência natural 固有频率 $f_{0}$. Na ressonância, a amplitude é maior e a transferência de energia do atuador é mais eficiente.

Exemplos:

• Um balanço empurrado no ritmo certo acumula grande amplitude.
• Um copo de vinho quebrado por um som em sua frequência natural de ressoância.
• Um edifício sacudido por um terremoto cuja frequência coincide com uma frequência natural — engenheiros projetam edifícios para que suas frequências naturais evitem a faixa principal dos terremotos.

A forma do pico depende do amortecimento: menor amortecimento → um pico mais agudo e alto; maior amortecimento → um pico mais largo e baixo, deslocado ligeiramente para uma frequência menor.

A definição de duas marcas. Ressonância é a condição na qual um sistema é forçado a oscilar em sua frequência natural, e a amplitude da oscilação é máxima (a transferência de energia do atuador é maior). Ambas as partes — frequência de acionamento igual à frequência natural, e amplitude máxima — são necessárias.

Exemplo resolvido. Uma bola em uma corda esticada tem uma frequência natural de $4.0\ \text{Hz}$. A corda é acionada por um gerador de vibração cuja frequência aumenta lentamente de $0$ para $10\ \text{Hz}$. Esboce a variação da amplitude da bola com a frequência de acionamento e declare o efeito de adicionar amortecimento.

A curva começa com uma amplitude pequena e não nula em baixa frequência, sobe até um pico agudo em $4.0\ \text{Hz}$, e cai em direção a zero em alta frequência; o pico está na frequência natural, e só lá a amplitude é máxima. Mais amortecimento torna o pico mais baixo e mais largo e o desvia ligeiramente para uma frequência menor; a amplitude longe da ressonância quase não muda.

Uma questão de definição é avaliada contra wording fixo. Aprenda estas exatamente, e dê apenas uma resposta.

• A condição de MHS é $a = -\omega^2 x$ (aceleração proporcional ao deslocamento, direcionada de volta ao equilíbrio); para provar que um movimento é MHS, encontre a força restauradora, mostre que é proporcional a $x$ e direcionada de volta, e leia $\omega^{2}$.
• Aprenda $x = x_0\sin\omega t$ (ou cos), $v_{max} = \omega x_0$, $a_{max} = \omega^2 x_0$ e $v = \pm\omega\sqrt{x_0^2 - x^2}$; KE e PE trocam-se com a energia total constante, $E = \tfrac{1}{2}m\omega^{2}x_{0}^{2} \propto x_{0}^{2}$.
• A velocidade é zero nos extremos e máxima no centro; a aceleração é maior nos extremos e zero no centro.
• A amplitude é metade da amplitude total de crista a crista de um gráfico de deslocamento; $\omega$ vem do período, ou do gradiente de $a$–$x$, ou de $v_{0}/x_{0}$.
• Ressonância ocorre quando a frequência de acionamento é igual à frequência natural; o amortecimento reduz e alarga o pico.

Erros comuns

• Definir MHS como "oscilação sobre uma posição de equilíbrio". O gabarito quer aceleração proporcional ao deslocamento e direcionada para o ponto fixo.
• Dizer que o sinal negativo significa que a aceleração é negativa. Significa que a aceleração está na direção oposta ao deslocamento.
• Esboçando $v$ contra $x$ como uma linha reta. É uma elipse; $a$ contra $x$ é a linha reta.
• Considerar a amplitude como a faixa total do deslocamento. É metade da faixa.
• Definir ressonância como "grande amplitude". É oscilação forçada na frequência natural, resultando na amplitude máxima.
• Chamar amortecimento crítico de "sem amortecimento", ou amortecimento pesado de "retorno mais rápido". Amortecimento crítico é o retorno mais rápido sem oscilação; amortecimento pesado é mais lento.