Complex numbers (Further Pure 2) · Números complexos (Further Pure 2)
| English | Português |
|---|---|
| de Moivre's theorem/də ˈmɔɪvəz ˈθɪərəm/ | teorema de De Moivre |
| polar form/ˈpəʊlə fɔːm/ | forma polar |
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | argumento |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | módulo |
| imaginary part/ɪˈmædʒɪnəri pɑːt/ | parte imaginária |
| roots of unity/ruːts ɒv ˈjuːnɪti/ | raízes da unidade |
| unit circle/ˈjuːnɪt ˈsɜːkl/ | círculo unitário |
Raising to a power, the easy way
- To work out $(\cos\theta + i\sin\theta)^{10}$ the long way, you'd multiply ten times.
- De Moivre's theorem 棣莫弗定理 does it in one line — and as a bonus, it splits a circle into equal pieces.
Elevando a uma potência, o jeito fácil
- Para calcular $(\cos\theta + i\sin\theta)^{10}$ pelo caminho longo, você multiplicaria dez vezes.
- O teorema de De Moivre 棣莫弗定理 faz isso em uma linha — e como bônus, divide um círculo em partes iguais.
De Moivre's theorem
- A complex number in polar form 极坐标形式: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$.
- De Moivre's theorem — for any integer $n$:
- Raising to a power multiplies the argument 辐角 by $n$ (and the modulus 模 by $r^n$).
Teorema de De Moivre
- Um número complexo na forma polar 极坐标: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$.
- Teorema de De Moivre — para qualquer inteiro $n$:
- Elevar a uma potência multiplica o argumento 辐角 por $n$ (e o módulo 模 por $r^n$).
Complex numbers · Números complexos
z = x + yi
Plot z as a point: its distance from O is the modulus, its angle the argument. · Desenhe z como um ponto: a sua distância a O é o módulo, o seu ângulo é o argumento.
De Moivre's theorem states (cos θ + i sin θ)ⁿ equals: · O teorema de De Moivre afirma que (cos θ + i sin θ)ⁿ é igual a:
Raising to the power n multiplies the argument by n: cos nθ + i sin nθ. · Elevar à potência n multiplica o argumento por n: cos nθ + i sin nθ.
Expanding multiple angles
- Comparing real and imaginary parts 虚部 of $(\cos\theta + i\sin\theta)^n$ gives identities.
- Worked example: the real part of the cube gives $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$.
Expandindo múltiplos ângulos
- Comparar as partes real e imaginária 虚部 de $(\cos\theta + i\sin\theta)^n$ dá identidades.
- Exemplo resolvido: a parte real do cubo dá $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$.
Using de Moivre, cos 3θ expands to: · Usando De Moivre, cos 3θ expande-se para:
Take the real part of (cosθ + i sinθ)³: cos 3θ = 4cos³θ − 3cosθ. · Pegue a parte real de (cosθ + i sinθ)³: cos 3θ = 4cos³θ − 3cosθ.
The roots of unity 单位根
- The equation $z^n = 1$ has exactly $n$ solutions — the $n$th roots of unity.
- They lie on the unit circle 单位圆, equally spaced $\dfrac{360^\circ}{n}$ apart, starting at $1$.
The five solutions of $z^5 = 1$ sit on the unit circle, $72^\circ$ apart — a perfect pentagon.
Why equally spaced? Each root has modulus $1$ and arguments $\dfrac{360^\circ k}{n}$ for $k = 0, 1, \dots, n-1$ — so consecutive roots differ by the same angle.
As raízes da unidade 单位根
- A equação $z^n = 1$ tem exatamente $n$ soluções — as raízes $n$-ésimas da unidade.
- Elas estão sobre o círculo unitário 单位圆, igualmente espaçadas $\dfrac{360^\circ}{n}$ apart, começando em $1$.
As cinco soluções de $z^5 = 1$ estão no círculo unitário, $72^\circ$ apart — um pentágono perfeito.
Por que igualmente espaçadas? Cada raiz tem módulo $1$ e argumentos $\dfrac{360^\circ k}{n}$ para $k = 0, 1, \dots, n-1$ — então raizes consecutivas diferem pelo mesmo ângulo.
How many distinct roots of unity does the equation z⁵ = 1 have? · Quantas raízes distintas da unidade a equação z⁵ = 1 tem?
zⁿ = 1 has exactly n roots, equally spaced on the unit circle; here n = 5. · zⁿ = 1 tem exatamente n raízes, igualmente espaçadas na circunferência unitária; aqui n = 5.
The fifth-roots of unity are equally spaced on the unit circle. How many degrees apart are consecutive roots? · As raízes quintas da unidade estão igualmente espaçadas na circunferência unitária. Quantos graus se separam raízes consecutivas?
360°/5 = 72° between consecutive roots. · 360°/5 = 72° entre raízes consecutivas.
The n roots of unity are equally spaced around the unit circle. · As n raízes da unidade estão igualmente espaçadas à volta da circunferência unitária.
They sit at equal angular gaps of 360°/n around the circle. · Estão situadas com intervalos angulares iguais de 360°/n à volta do círculo.
Common slip
De Moivre needs polar form first. $(1 + i)^8$ is not $1^8 + i^8$ — convert $1+i$ to $r(\cos\theta+i\sin\theta)$ with $r = \sqrt2$, $\theta = 45^\circ$, then apply the theorem.
- Summing a series of $\cos$/$\sin$ terms uses the complex sum $C + \mathrm{i}S$ of complex numbers.
Erro comum
De Moivre precisa da forma polar primeiro. $(1 + i)^8$ não é $1^8 + i^8$ — converta $1+i$ para $r(\cos\theta+i\sin\theta)$ com $r = \sqrt2$, $\theta = 45^\circ$, então aplique o teorema.
- Somar uma série de termos $\cos$/$\sin$ usa a soma complexa $C + \mathrm{i}S$ de números complexos.
Before applying de Moivre to (1 + i)⁸, you must first write 1 + i in ______ form. · Antes de aplicar De Moivre a (1 + i)⁸, deve primeiro escrever 1 + i em forma ______.
Convert to r(cosθ + i sinθ) first, then raise to the power. · Converta para r(cosθ + i sinθ) primeiro, depois eleve à potência.
You've got it
- de Moivre: $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$
- it expands multiple angles, e.g. $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$
- the $n$ roots of unity are equally spaced $\dfrac{360^\circ}{n}$ apart on the unit circle
Entendeu?
- de Moivre: $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$
- expande múltiplos ângulos, ex. $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$
- as $n$ raízes da unidade estão igualmente espaçadas $\dfrac{360^\circ}{n}$ apart no círculo unitário