数

異なる種類の数の単語を理解しておく必要があります。受験官はこれらの正しい使用時に点数を与えます。

自然数と整数

• natural numbers（自然数） — 数えるための数 $1, 2, 3, 4, \dots$
• integers（整数） — 正の整数、負の整数、またはゼロを含む整数：$\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$

約数と倍数

• factor（約数） は、ある数を割り切って**余り（remainder）**を残さない因数です。$18$の約数は$1, 2, 3, 6, 9, 18$です。
• multiple（倍数） は、ある数に整数を掛けたものです。$6$の倍数は$6, 12, 18, 24, \dots$です。
• common factor（公約数） は、2つの数の両方の約数である数です。
• common multiple（公倍数） は、2つの数の両方の倍数である数です。

素数、平方数、立方数

• prime number（素数） は、ちょうど2つの約数を持ちます：$1$と自分自身。最初の素数は$2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$です。$1$が素数ではないことに注意してください。
• square number（平方数） は、整数に自分自身を掛けた数：$1, 4, 9, 16, 25, \dots$
• cube number（立方数） は、整数を3回掛け合わせた数：$1, 8, 27, 64, \dots$

有理数、無理数、逆数

• rational number（有理数） は、2つの整数の分数（fraction） $\frac{a}{b}$として表せます。例：$\frac{3}{4}$、$5$、$0.7$。
• irrational number（無理数） は、この方法では表せません。例：$\pi$と$\sqrt{2}$。
• ある数の**reciprocal（逆数）**は、$1$をその数で割ったものです。$4$の逆数は$\frac{1}{4}$、$0.25$の逆数は$4$、$\frac{2}{3}$の逆数は$\frac{3}{2}$です。

素因数分解、最大公約数、最小公倍数

$1$以上のすべての整数は素数か、あるいは素数の**積（product）として表せます。ある数をその素因数（prime factors）**の積として表すには、割り切れる最も小さい素数で割り続けましょう。

** worked example（worked example）。** $72$をその素因数の積として表しなさい。

2つの数のhighest common factor (HCF, 最大公約数) は、両方に共通する最大の約数です。lowest common multiple (LCM, 最小公倍数) は、両方に共通する最小の倍数です。素因数分解を使うと早く求められます。

** worked example（worked example）。** $72$と$120$のHCFとLCMを求めなさい。

まずそれぞれを素数の積として表します：

• HCF：両方に登場する各素数の**最低（lowest）**の累乗を取る：$2^{3} \times 3 = 24$。
• LCM：すべての素数の**最高（highest）**の累乗を取る：$2^{3} \times 3^{2} \times 5 = 360$。

**set（集合）とは、物体の集まりのこと。集合内の各物体は集合のelement（要素）**です。以下の記法を知っておくべきです：

**Venn diagram（ベン図）**は、各集合を長方形（普遍集合）の中に描かれた円で表します。Coreでは2つの集合を使用し、Extendedでは3つの集合を使用することもあります。

解法例. $\mathscr{E} = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, $A = \{\text{even numbers}\}$, $B = \{\text{multiples of } 3\}$.

• $A = \{2,4,6,8,10\}$ と $B = \{3,6,9\}$ 。
• $A \cap B = \{6\}$ — 両方の集合に共通する唯一の数字。
• $A \cup B = \{2,3,4,6,8,9,10\}$ — どちらか一方の集合に含まれる数字。
• $n(A \cup B) = 7$.

集合は法則として表されることもあります。例えば、$C = \{x : 1 \leqslant x \leqslant 5\}$ は「$x$ という条件を満たすすべての$1 \leqslant x \leqslant 5$ の値」を意味します。

• 冪（インデックスとも呼ばれ、複数は indices）は、ある数を何回自分自身で掛け合わせるかを示します: $2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$。
• 平方根とは、その数を二乗したときに元の数になる値です: $\sqrt{169} = 13$ because $13^{2} = 169$。
• 立方根も同様に三乗について成り立ちます: $\sqrt[3]{8} = 2$ because $2^{3} = 8$。

$1^2$ から $15^2$ までの平方（およびその平方根）、そして $1, 2, 3, 4, 5$ と $10$ の立方は暗記しておけるようにしてください。

解法例. $5^{2} \times \sqrt[3]{8}$ を計算せよ。

同じ底の冪の積・商を扱う際は、以下の規則を使用します:

特殊な冪の値:

($a^{\frac{m}{n}}$ のような分数指数は 拡張 項目です。)

解法例.

• $2^{-3} \times 2^{4} = 2^{-3+4} = 2^{1} = 2.$
• $(2^{3})^{2} = 2^{6} = 64.$
• $2^{3} \div 2^{4} = 2^{3-4} = 2^{-1} = \dfrac{1}{2}.$
• $7^{-2} = \dfrac{1}{7^{2}} = \dfrac{1}{49}.$
• $81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9.$
• $8^{-\frac{2}{3}} = \dfrac{1}{8^{\frac{2}{3}}} = \dfrac{1}{\left(\sqrt[3]{8}\right)^{2}} = \dfrac{1}{2^{2}} = \dfrac{1}{4}.$

標準形式では、数字を $A \times 10^{n}$ の形で表し、ここで $1 \leqslant A < 10$ と $n$ は整数です。非常に大きいまたは非常に小さい数字に使用されます。

変換するには、小数点の移動位数を数えます:

• $4\,500\,000 = 4.5 \times 10^{6}$ — 小数点が $6$ 個左へ移動するため、指数は正となります。
• $0.00072 = 7.2 \times 10^{-4}$ — 小数点が $4$ 個右へ移動するため、指数は負となります。

解法例. $(3 \times 10^{5}) \times (2 \times 10^{-2})$ を計算せよ。

先頭の数字同士をかけ、指数を足します:

無理数とは、無理数の値を持つ根のことです。例えば $\sqrt{5}$ 。四捨五入せず、正確な値として残します。 useful な規則が2つあります:

最大の平方因数を取り出して無理数を整理します。

解法例. $\sqrt{20}$ と $\sqrt{200} - \sqrt{32}$ を整理せよ。

分母の有理化とは、分数の分母（分母）にある無理数を消去することです。分子と分母に無理数を消す値を掛けてください。

解法例. $\dfrac{10}{\sqrt{5}}$ と $\dfrac{1}{-1+\sqrt{3}}$ を有理化せよ。

分数には分子（上）と分母（下）があります。

• 真分数: 分子が分母より小さいもの。例: $\frac{3}{4}$。
• 仮分数: 分子が分母以上であるもの。例: $\frac{7}{4}$。
• 帯分数: 整数部分と分数部分组成されるもの。例: $1\frac{3}{4}$。

仮分数と帯分数の変換: $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$ because $7 \div 4 = 1$ remainder $3$。

小数は小数点以降の桁の位取りを使います。百分率は「$100$ に対する」という意味なので、$37\% = \frac{37}{100} = 0.37$ です。

形式間の変換

最大公因数で分子と分母を割り、分数を最简形にします: $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ (both divided by $6$)。

循環小数 (拡張)

循環小数とは、同じ数字が無限に繰り返される小数です。繰り返し部分はドットで表します: $0.1\dot{7} = 0.1777\ldots$ と $0.\dot{1}2\dot{3} = 0.123123\ldots$。

循環小数を分数に変換するには、繰り返し部分を揃えるよう掛けてから引き算を行います。

解法例. $0.1\dot{7}$ を分数で表せ。

Let $x = 0.1777\ldots$ Only the $7$ repeats, so use $10x$ and $100x$:

演算の優先順位

この順で計算します — 演算の優先順位: まず括弧、次に指数（冪と根号）、次に掛け算と割り算（左から右へ）、最後に足し算と引き算（左から右へ）。

解法例. $-6 \times -3 + 7 \times 2$ を計算せよ。

掛け算を先に計算: $-6 \times -3 = 18$ と $7 \times 2 = 14$。その後足し算: $18 + 14 = 32$。

負の数

• 負の数の加算: $5 + (-3) = 5 - 3 = 2$。
• 負の数の減算: $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$。
• 掛け算や割り算: 同じ符号なら正、異なる符号なら負。よって $-6 \times -3 = 18$ だが $-12 \div 4 = -3$。

温度が $-5\,{}^{\circ}\text{C}$ から $3\,{}^{\circ}\text{C}$ に変わった場合、$8\,{}^{\circ}\text{C}$ の上昇です。

分数の計算

• 掛け算: 分子同士をかけ、分母同士をかける: $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$。
• 除算： 第二の分数の逆数を掛けて計算する： $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$ 。
• 足し算または引き算： 分母の最小公倍数（通分）を用います。

** worked example.** $1\frac{7}{15} - \frac{4}{5}$ を計算し、答えを最も簡単な形にしてください。

帯分数を仮分数に変換し、分母を $15$ にします：

数の**大きさ（magnitude）**を比較するために、以下の記号を使います：

混合されたリストを大小順に並べ替えるには、まずすべての値を小数に変換します。

** worked example.** $34\%$, $\frac{1}{3}$, $\frac{3}{10}$ を小さい順に並べ替えてください。

小数で表すと $34\% = 0.34$, $\frac{1}{3} = 0.333\ldots$, $\frac{3}{10} = 0.3$ です。したがって、順序は

金額に対するパーセンテージを求める。 $15\%$ の $\$80 = 0.15 × 80 = \$12$。

ある金額を別の金額の何パーセントかとして表す。 $18$ 点中 $25$ 点は $\frac{18}{25} \times 100\% = 72\%$ です。

増減率には、

** worked example.** 価格が $\$40$ to $\$50$ から上がりました。増減率を求めなさい。

変化量は $\$10$, so $\frac{10}{40} × 100% = 25%$ の増加です。

素早い方法は乗数を使うことです。$15\%$ だけ増やすなら $1.15$ で掛け、$15\%$ だけ減らすなら $0.85$ で掛けます。

単利と複利

利息は借入や預金に対して支払われるお金です。元本とは最初のお金を指します。

• 単利は、元本のみに基づいて毎年同じ額を支払います：
  $$I = \frac{P \times r \times t}{100},$$
  ここで、$P$ は元本、$r$ は年率（パーセント表示）、$t$ は年数を表します。
• 複利は、毎年の利息を加算するため、翌年はより大きな総額に対して利息が発生します：
  $$\text{final value} = P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^{t}.$$

** worked example.** $\$500$ saved at $4\%$ compound interest for $3$ years の値を求めよ。

逆パーセンテージ（拡張）

逆パーセンテージの問題は、変化後の金額を与え、元の金額を求めるものです。解くには、乗数で割ります（単にパーセンテージを引かないように注意）。

** worked example.** コートが $\$60$ after a $20%$ の値上げ后、原价是多少？

$\$60$ is $120%$ of the original, so the original price is $60 ÷ 1.2 = \$50$。

ある量が各時間周期で同じ割合で変化する場合、それは指数関数的成長（大きくなる）または指数関数的減衰（小さくなる）を示します。複利の公式を使用します。車などの価値が毎年減少するような減価償却は減衰です。

** worked example.** 価値が$\$20\,000$ loses $15\%$ of its value each year. Find its value after $4$ years の自動車がある。

乗数は $0.85$ なので、

比は量を比較したもので、$a:b$ のように書きます。分数のように最大公因数で割って単純化します：$20:30:40 = 2:3:4$。

比による分配。 $\$48$ in the ratio $3:5$ を分配します。

部分の合計数は $3 + 5 = 8$ です。1部分は $48 \div 8 = \$6$. So the shares are $3 × 6 = \$18$ および $5 \times 6 = \$30$ です。

比例とは2つの比が等しいことを意味します。レシピ、地図のスケール、最良の価値の計算に使います。

** worked example.** $3$ 本のペンを$\$1.80$. Find the cost of $7$ で購入した。

1ペンの価格は $1.80 \div 3 = \$0.60$. So $7$ pens cost $7 × 0.60 = \$4.20$。

レートは異なる単位で測定された2つの量を比較したもので、例としてキロあたりの価格や、時間あたりの距離などがあります。

平均速度には、

** worked example.** サイクリストが $45\text{ km}$ を $3$ 時間 $45$ 分で走りました。平均速度を求めなさい。

まず時間を時間に変換します：$3$ h $45$ min $= 3.75$ h。次に

他のレートも同様に機能します。密度は質量と体積から求められます：

他の例としては流量、燃料消費量、人口密度があります。レートに特別な公式が必要である場合（例えば圧力）、問題文に与えられます。

四捨五入

• 小数点以下桁数（d.p.）: 小数点以降の桁数。$3.14159$ を $2$ d.p. にすると $3.14$ です。
• 有効数字（s.f.）: 最初のゼロでない数字から数えた桁数。$5764$ を $1$ s.f. にすると $6000$ です；$0.004067$ を $2$ s.f. にすると $0.0041$ です。

四捨五入のルール：次の桁を見る。$5$ 以上なら切り上げ、それより小さいなら切り捨てを行う。

推計

推計して答えを出すには、すべての数を $1$ s.f. に丸めてから計算します。

** worked example.** $\dfrac{41.3}{9.79 \times 0.765}$ を推計しなさい。

丸めた値は、実際にその値に丸められるあらゆる数です。最小の可能な値を下限、最大の値を上限と呼びます。単位で最も近い値に丸める場合、境界値は両側で半単位の位置にあります。

** worked example. ** 高さが $h$ で、メートル単位の最も近い値に丸めて $635\text{ m}$ です。境界値を求めなさい。

したがって、下限は $634.5\text{ m}$ 、上限は $635.5\text{ m}$ です。

計算における境界値（拡張）

境界値を組み合わせて、求める境界値を得ます。

** worked example. ** 長方形の辺の長さは $8\text{ cm}$ と $5\text{ cm}$ で、それぞれセンチメートル単位の最も近い値に丸めています。最大 possible 面積 を求めなさい。

両方の辺の上限を使用します：$8.5 \times 5.5 = 46.75\text{ cm}^{2}$ 。（最小の面積は下限を使用します：$7.5 \times 4.5 = 33.75\text{ cm}^{2}$ 。）

$\text{speed} = \dfrac{\text{distance}}{\text{time}}$ のような除算された量に対して、最大 の速度は、最大 の距離を 最小 の時間で割ることで求められます。

• $60$ 秒 $= 1$ 分、$60$ 分 $= 1$ 時間、$24$ 時間 $= 1$ 日、そして $1$ 年 $= 365$ 日。
• 24時間表記では時間を4桁で表します：$3.15$ p.m. は $15\,15$ です。

** worked example. ** 映画の開始時間が $19\,35$ で、上映時間が $70$ 分です。終了時間を求めなさい。

$70$ 分 $= 1$ 時間 $10$ 分。$1$ 時間を加えると $20\,35$ になり、$10$ 分を加えると $20\,45$ になります。

時刻表や時差の問題では、場所間の時間差を加算または減算します。

通貨は通常の小数として扱いますが、答えは $2$ 桁の小数点以下（例：$\$4.8$ is written $\$4.80$）にします。

通貨変換。 為替レート を掛け率として使用します。

** worked example. ** 為替レートは $\$1 = €0.92$. Convert $\$150$ （ユーロ）であり、$€138$ をドルに戻すこと。

• 計算中に途中まで丸めないでください。完全な値を保持し、最終的な答えだけを丸めます。
• 時間は時間の小数として入力します：$2$ 時間 $30$ 分は $2.5$ 時間であり、$2.30$ ではありません。
• 表示を文脈に合わせて読み取ります：通貨の場合、$4.8$ は $\$4.80$; in time, $3.25$ hours means $3$ hours $15$ 分を意味します。

• BIDMAS（括弧、累乗、除法/乗法、加減法）の順に従い、負の数の積は正になることを覚えてください。
• 標準形では、前の数は1から10の間です。小さな数（例：$0.0004$ ）は10の負の累乗を持ちます。
• パーセンテージ変化は元の金額に基づいて計算されます。逆パーセンテージの場合、掛け率で割ります（例：$\div 1.2$ は $20\%$ の上昇を取り消します）。
• 途中まで丸めないでください — 完全な値を保持し、問題が求める精度（小数点以下の桁数または有効数字）で最後に丸めます。
• 精度の限界において、単位で最も近い値に丸めた値は、両側最大で $0.5$ であることができます（例：$8$ は $7.5 \le x < 8.5$ を意味します）。