Differential Equations

微分方程式は関数とその導関数との関係を表します。多くの現実の事象は変化率で記述されます。「個体数がその大きさに比例して増加する」ことは $\dfrac{dP}{dt}=kP$ となります。言葉での説明から方程式を立てる（何が変化しているか、それに比例的是什么かを特定する）ことが最初のスキルです。

解とは、方程式を満たす関数のことです。検証するには、提案された解を微分して方程式に代入し、両辺が一致するか確認します。一般解には定数 $C$ が含まれ、特殊解は条件から $C$ を固定したものです。

傾き場は、方程式が示す傾き $\dfrac{dy}{dx}$ を持つ短い線分を多数の点に描きます。解を解くことなく、解曲線の家族を可視化します。スケッチするには、各格子点で右辺を計算し、その傾きの線分を描きます。

解曲線は川の流れに従う船のように、線分に沿って進みます。傾き場から特定の点を通る特殊解をスケッチしたり、長期行動を記述したり、解が平坦になる場所（傾きがゼロに近い場所）を特定したりできます – 図のみから解について推論する能力です。

Euler法は、傾き場に沿ってステップを踏むことで数値的に解を近似します。既知の点から始め、小さなステップ $\Delta x$ を取り、更新します：

各ステップで繰り返します。ステップが小さいほど近似は良くなります。（これはBC-onlyの技法です。）

Exam skill: テーブルから手動でEulerステップを2〜3回実行でき、Euler法が解のconcavityに応じてunder- or over-estimates（過小評価または過大評価）することを知っています。

Worked example. $y(1)$ を近似します。 $\dfrac{dy}{dx}=x+y$ 、 $y(0)=1$ で、ステップ $\Delta x=0.5$ を使用します。 Step 1: $(0,1)$ での傾きは $0+1=1$ なので、 $y(0.5)\approx 1+1(0.5)=1.5$ です。 Step 2: $(0.5,1.5)$ での傾きは $0.5+1.5=2$ なので、 $y(1)\approx 1.5+2(0.5)=2.5$ です。

可分微分方程式は、すべての $y$ を片側に、すべての $x$ を他方に置いてから積分できる形に書けます：

これにより一般解（定数 $+C$ を含む）が得られ、これが本課程における微分方程式を解く主要な解析的手法です。

Worked example. $\dfrac{dy}{dx}=xy$ を $y(0)=2$ で解きます。可分化すると、 $\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx$ から $\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C$ となり、したがって $y=Ae^{x^2/2}$ です。条件 $y(0)=2$ から $A=2$ が得られるため、 $y=2e^{x^2/2}$ となります。

初期条件（既知の点、例： $y(0)=5$ ）は定数 $C$ を決定します。一般解を解き、条件を代入して $C$ を見つけ、特殊解を書きます。定義域に注意してください – 特殊解は初期点を含む区間でのみ有効です。

方程式 $\dfrac{dy}{dt}=ky$ は、変化率が量に proportional （比例）であることを示しており、指数関数的増減を与えます。変数分離を行うと

が得られ、 $k>0$ は増減、 $k<0$ は減少を表します。これは無制限の個体数増減、放射性崩壊、複利の連続複利をモデル化します。

実際の成長は資源によって制限されるため、ロジスティックモデルは carrying capacity $L$ を追加します：

$P$ が小さいとき、増殖はほぼ指数関数的であり、$P$ が $L$ に近づくにつれて減速し、$P=L$ で停止します。AP BCの重要な事実: 個体数は $L$ で一定になる ($\lim_{t\to\infty}P=L$)、また $P=\tfrac{L}{2}$ のときに最も速く増殖する (S字曲線の変曲点)。$L$ と最大増殖値を方程式から直接読み取ることを期待されます。

** worked example.** $\dfrac{dP}{dt}=0.05\,P\!\left(1-\dfrac{P}{2000}\right)$ について、環境収容力は $L=2000$ (個体数がそこで一定になる) であり、増殖が最も速いのは $P=\dfrac{L}{2}=1000$ です – これらは方程式からそのまま読み取れます。計算は不要です。

• 可分方程式 を解くには、$y$ を片方、$x$ を他方に集め、両辺を積分します（定数 $+C$ を加えます）。
• 初期条件を用いて $C$ を見つけ（特殊解を得ます）。
• 傾き場 を描画または読み取ります。各点における小さな線分は $\tfrac{dy}{dx}$ を示しており、解曲線はその方向に従います。
• 指数関数モデル $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$（増減）を識別します。
• 微分方程式は傾きを与えます。関数を復元するためには積分を行う必要があります。