IGCSE Mathematics · Matematika IGCSE · Topic 5 · Topik 5
7:47
Metrasi
Piramida Agung Giza telah berdiri selama empat setengah ribu tahun. Berapa banyak batu yang ada di dalamnya? Sekitar dua setengah juta meter kubik — dan satu…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Narasi bahasa Inggris · Subtitle bahasa Inggris + 中文 disematkan langsung
This handout covers Topic 5, Mensuration (measuring length, area and volume). The Core and Extended content here is almost the same. In the exam, some formulas are given in the List of formulas, but you should still learn them all.
Lembar kerja ini mencakup Topik 5, Mensurasi (mengukur panjang, luas, dan volume). Konten Inti dan Lanjut di sini hampir sama. Dalam ujian, beberapa rumus diberikan dalam Daftar rumus, tetapi Anda tetap harus menghafalnya semua.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Use metric units of mass, length, area, volume and capacity in practical situations and convert quantities into larger or smaller units. | Units include: • mm, cm, m, km • $\text{mm}^2$, $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$ • $\text{mm}^3$, $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ • ml, l • g, kg. Conversion between units includes: • between different units of area, e.g. $\text{cm}^2 \leftrightarrow \text{m}^2$ • between units of volume and capacity, e.g. $\text{m}^3 \leftrightarrow \text{litres}$. |
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| Gunakan satuan metrik massa, panjang, luas, volume, dan kapasitas dalam situasi praktis dan konversikan kuantitas ke satuan yang lebih besar atau lebih kecil. | Unit termasuk: • mm, cm, m, km • $\text{mm}^2$, $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$ • $\text{mm}^3$, $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ • ml, l • g, kg. Konversi antar unit mencakup: • antar satuan luas yang berbeda, mis. $\text{cm}^2 \leftrightarrow \text{m}^2$ • antar satuan volume dan kapasitas, mis. $\text{m}^3 \leftrightarrow \text{litres}$. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
We use metric 公制 units for mass 质量 (g, kg), length 长度 (mm, cm, m, km), area 面积, volume 体积 and capacity 容量 (ml, litres — the space inside a container).
To change units, be careful with squares and cubes:
Worked example. Convert $3\text{ m}^{2}$ to $\text{cm}^{2}$.
Kami menggunakan satuan metrik untuk massa (g, kg), panjang (mm, cm, m, km), luas, volume, dan kapasitas (ml, liter — ruang di dalam wadah).
Untuk mengubah satuan, perhatikan kuadrat dan pangkat tiga:
Contoh terpecahkan. Konversi $3\text{ m}^{2}$ ke $\text{cm}^{2}$.
Choose the unit that matches the measurement scale. · Pilih satuan yang sesuai dengan skala pengukuran.
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| metric/ˈmetrɪk/ | metrik |
| mass/mæs/ | massa |
| volume/ˈvɒljuːm/ | volume |
| capacity/kəˈpæsɪti/ | daya dukung |
| perimeter/pəˈrɪmɪtə/ | keliling |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Carry out calculations involving the perimeter and area of a rectangle, triangle, parallelogram and trapezium. | Except for area of a triangle, formulas are not given. |
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| Lakukan perhitungan yang melibatkan keliling dan luas persegi panjang, segitiga, jajargenjang, dan trapesium. | Kecuali untuk luas segitiga, rumus tidak diberikan. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Carry out calculations involving the perimeter and area of a rectangle, triangle, parallelogram and trapezium. | Except for the area of a triangle, formulas are not given. |
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| Lakukan perhitungan yang melibatkan keliling dan luas persegi, segitiga, jajar genjang dan trapesium. | Kecuali untuk luas segitiga, rumus tidak diberikan. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
The perimeter 周长 is the distance all the way round a shape. The area is the amount of flat space inside it. Here $b$ is the base 底 and $h$ is the perpendicular height 高.
| Shape | Area |
|---|---|
| rectangle 矩形 | $\text{length} \times \text{width}$ |
| triangle 三角形 | $\tfrac{1}{2} \times b \times h$ |
| parallelogram 平行四边形 | $b \times h$ |
| trapezium 梯形 | $\tfrac{1}{2}(a + b)h$, where $a$ and $b$ are the two parallel sides |
Worked example. A trapezium has parallel sides $6\text{ cm}$ and $10\text{ cm}$, and height $4\text{ cm}$. Find its area.
Keliling adalah jarak mengelilingi seluruh bangun. Luas adalah jumlah ruang datar di dalamnya. Di sini $b$ adalah alas dan $h$ adalah tinggi tegak lurus.
| Bangun | Luas |
|---|---|
| persegi panjang | $\text{length} \times \text{width}$ |
| segitiga | $\tfrac{1}{2} \times b \times h$ |
| jajar genjang | $b \times h$ |
| trapesium | $\tfrac{1}{2}(a + b)h$, di mana $a$ dan $b$ adalah dua sisi sejajar |
Contoh terpecahkan. Sebuah trapesium memiliki sisi sejajar $6\text{ cm}$ dan $10\text{ cm}$, serta tinggi $4\text{ cm}$. Tentukan luasnya.
area = side^2 · luas = sisi^2
Change side length and see why area grows quadratically. · Ubah panjang sisi dan lihat mengapa luas bertambah secara kuadrat.
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| length/leŋθ/ | panjang |
| area/ˈeərɪə/ | luas |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. |
| 2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle, where the sector angle is a factor of $360^\circ$. | Formulas are given in the List of formulas. |
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| 1 Lakukan perhitungan yang melibatkan keliling dan luas lingkaran. | Jawaban mungkin diminta dalam bentuk $\pi$. |
| 2 Lakukan perhitungan yang melibatkan panjang busur dan luas juring sebagai pecahan dari keliling dan luas lingkaran, di mana sudut juring merupakan faktor dari $360^\circ$. | Rumus diberikan dalam Daftar rumus. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. Formulas are given in the List of formulas. |
| 2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle. | Includes minor and major sectors. |
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| 1 Lakukan perhitungan yang melibatkan keliling dan luas lingkaran. | Jawaban mungkin diminta dalam bentuk $\pi$. Rumus diberikan dalam Daftar rumus. |
| 2 Lakukan perhitungan yang melibatkan panjang busur dan luas sektor sebagai pecahan dari keliling dan luas lingkaran. | Termasuk sektor minor dan major. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
For a circle 圆 with radius 半径 $r$ (and diameter 直径 $d = 2r$):
The circumference 圆周 is the distance round the circle.
Worked example. A circle has radius $7\text{ cm}$. Find its circumference and area (leave $\pi$ in the answer).
Untuk lingkaran dengan jari-jari $r$ (dan diameter $d = 2r$):
Keliling lingkaran adalah jarak mengelilingi lingkaran.
Contoh terpecahkan. Sebuah lingkaran memiliki jari-jari $7\text{ cm}$. Temukan keliling dan luasnya (biarkan $\pi$ dalam jawaban).
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| circle/ˈsɜːkl/ | lingkaran |
| radius/ˈreɪdɪəs/ | jari-jari |
| diameter/daɪˈæmɪtə/ | diameter |
| circumference/sɜːˈkʌmfrəns/ | keliling |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. |
| 2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle, where the sector angle is a factor of $360^\circ$. | Formulas are given in the List of formulas. |
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| 1 Lakukan perhitungan yang melibatkan keliling dan luas lingkaran. | Jawaban mungkin diminta dalam bentuk $\pi$. |
| 2 Lakukan perhitungan yang melibatkan panjang busur dan luas juring sebagai pecahan dari keliling dan luas lingkaran, di mana sudut juring merupakan faktor dari $360^\circ$. | Rumus diberikan dalam Daftar rumus. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. Formulas are given in the List of formulas. |
| 2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle. | Includes minor and major sectors. |
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| 1 Lakukan perhitungan yang melibatkan keliling dan luas lingkaran. | Jawaban mungkin diminta dalam bentuk $\pi$. Rumus diberikan dalam Daftar rumus. |
| 2 Lakukan perhitungan yang melibatkan panjang busur dan luas sektor sebagai pecahan dari keliling dan luas lingkaran. | Termasuk sektor minor dan major. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
An arc 弧 is part of the circumference. A sector 扇形 is a "pizza slice" between two radii. If the sector angle is $\theta$, the arc and sector are that fraction $\dfrac{\theta}{360}$ of the whole circle:
A small slice is a minor sector 小扇形; the large rest is a major sector 大扇形.
Worked example. Find the arc length 弧长 and area of a sector with angle $90^{\circ}$ and radius $8\text{ cm}$.
The fraction is $\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$, so
Busur adalah bagian dari keliling lingkaran. Juring adalah "irisan pizza" antara dua jari-jari. Jika sudut juring adalah $\theta$, busur dan juring tersebut merupakan pecahan $\dfrac{\theta}{360}$ dari seluruh lingkaran:
Irisan kecil disebut juring minor; sisa besar disebut juring mayor.
Contoh terpecahkan. Tentukan panjang busur dan luas juring dengan sudut $90^{\circ}$ dan jari-jari $8\text{ cm}$.
Pecahannya adalah $\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$, sehingga
s = rθ · A = ½r²θ
A bigger angle or radius means a longer arc and larger sector area. · Sudut lebih besar atau jari-jari lebih besar berarti busur yang lebih panjang dan area juring yang lebih besar.
Change the angle and radius and read off the arc length and sector area — a fraction of the whole circle. · Ubah sudut dan jari-jari dan baca panjang busur dan luas juring — pecahan dari seluruh lingkaran.
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| arc/ɑːk/ | busur |
| sector/ˈsektə/ | sektor |
| minor sector/ˈmaɪnə ˈsektə/ | sektor minor |
| major sector/ˈmeɪdʒə ˈsektə/ | sektor mayor |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | panjang busur |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Carry out calculations and solve problems involving the surface area and volume of a: • cuboid • prism • cylinder • sphere • pyramid • cone. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. The following formulas are given in the List of formulas: • curved surface area of a cylinder • curved surface area of a cone • surface area of a sphere • volume of a prism • volume of a pyramid • volume of a cylinder • volume of a cone • volume of a sphere. The term prism refers to any solid with a uniform cross-section, e.g. a cylindrical sector. |
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| Lakukan perhitungan dan selesaikan masalah yang melibatkan luas permukaan dan volume dari: • balok • prisma • silinder • bola • limas • kerucut. | Jawaban dapat diminta dalam bentuk $\pi$. Rumus-rumus berikut diberikan dalam Daftar rumus: • luas permukaan lengkung silinder • luas permukaan lengkung kerucut • luas permukaan bola • volume prisma • volume limas • volume silinder • volume kerucut • volume bola. Istilah prisma merujuk pada setiap benda padat dengan penampang seragam, mis. sektor silinder. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
The surface area 表面积 is the total area of all the outside faces. The volume is the space inside. For these solids ($r$ = radius, $h$ = height):
| Solid | Volume | Surface area |
|---|---|---|
| cuboid 长方体 | $\text{length} \times \text{width} \times \text{height}$ | add the six faces |
| prism 棱柱 | (cross-section 横截面 area) $\times$ length | — |
| cylinder 圆柱 | $\pi r^{2} h$ | $2\pi r h$ (curved surface area 侧面积) $+\, 2\pi r^{2}$ |
| pyramid 棱锥 | $\tfrac{1}{3} \times \text{base area} \times h$ | — |
| cone 圆锥 | $\tfrac{1}{3}\pi r^{2} h$ | $\pi r l$ (curved) $+\, \pi r^{2}$, where $l$ is the slant height 斜高 |
| sphere 球 | $\tfrac{4}{3}\pi r^{3}$ | $4\pi r^{2}$ |
Worked example. A cylinder has radius $5\text{ cm}$ and height $10\text{ cm}$. Find its volume and total surface area (in terms of $\pi$).
Luas permukaan adalah total luas semua sisi luar. Volume adalah ruang di dalamnya. Untuk benda-benda ini ($r$ = jari-jari, $h$ = tinggi):
| Benda Padu | Volume | Luas Permukaan |
|---|---|---|
| balok | $\text{length} \times \text{width} \times \text{height}$ | tambahkan enam sisi |
| prisma | (luas potongan melintang) $\times$ × panjang | — |
| silinder | $\pi r^{2} h$ | $2\pi r h$ (luas permukaan lengkung) $+\, 2\pi r^{2}$ |
| piramida | $\tfrac{1}{3} \times \text{base area} \times h$ | — |
| kerucut | $\tfrac{1}{3}\pi r^{2} h$ | $\pi r l$ (melengkung) $+\, \pi r^{2}$, di mana $l$ adalah garis pelukis |
| bola | $\tfrac{4}{3}\pi r^{3}$ | $4\pi r^{2}$ |
Contoh terpecahkan. Sebuah silinder memiliki jari-jari $5\text{ cm}$ dan tinggi $10\text{ cm}$. Tentukan volumenya dan luas permukaan totalnya (dalam bentuk $\pi$).
surface area grows with scale^2 · luas permukaan tumbuh sebanding dengan scale^2
Change length scale and see volume grow faster than surface area. · Ubah skala panjang dan lihat volume tumbuh lebih cepat daripada luas permukaan.
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| base/beɪs/ | basis |
| height/haɪt/ | tinggi |
| rectangle/ˈrektæŋɡl/ | persegi panjang |
| triangle/ˈtraɪæŋɡl/ | segitiga |
| parallelogram/ˌpærəˈleləɡræm/ | jajargenjang |
| trapezium/trəˈpiːzɪəm/ | trapesium |
| surface area/ˈsɜːfɪs ˈeərɪə/ | luas permukaan |
| cuboid/ˈkjuːbɔɪd/ | balok |
| prism/ˈprɪzəm/ | prisma |
| cross-section/krɒs ˈsekʃn/ | potongan melintang |
| cylinder/ˈsɪlɪndə/ | silinder |
| curved surface area/kɜːvd ˈsɜːfɪs ˈeərɪə/ | luas permukaan lengkung |
| pyramid/ˈpɪrəmɪd/ | piramida |
| cone/kəʊn/ | kerucut |
| slant height/slænt haɪt/ | garis miring |
| sphere/sfɪə/ | bola |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations and solve problems involving perimeters and areas of: • compound shapes • parts of shapes. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. |
| 2 Carry out calculations and solve problems involving surface areas and volumes of: • compound solids • parts of solids. | e.g. find the volume of half of a sphere. |
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| 1 Lakukan perhitungan dan selesaikan masalah yang melibatkan keliling dan luas: • bangun majemuk • bagian-bagian bangun. | Jawaban dapat diminta dalam bentuk $\pi$. |
| 2 Lakukan perhitungan dan selesaikan masalah yang melibatkan luas permukaan dan volume: • bangun majemuk • bagian-bagian bangun. | mis. temukan volume setengah dari sebuah bola. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations and solve problems involving perimeters and areas of: • compound shapes • parts of shapes. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. |
| 2 Carry out calculations and solve problems involving surface areas and volumes of: • compound solids • parts of solids. | e.g. find the surface area and volume of a frustum. |
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| 1 Lakukan perhitungan dan selesaikan masalah yang melibatkan keliling dan luas: • bangun majemuk • bagian-bagian bangun. | Jawaban dapat diminta dalam bentuk $\pi$. |
| 2 Lakukan perhitungan dan selesaikan masalah yang melibatkan luas permukaan dan volume dari: • padatan majemuk • bagian-bagian padatan. | Mis. temukan luas permukaan dan volume frustum. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
A compound shape 组合图形 is made by joining or cutting simple shapes. Split it into parts you know, then add or subtract.
For "parts" of a circle or solid, take the right fraction. For example, a hemisphere 半球 (half a sphere) has volume
A frustum 平截头体 is a cone or pyramid with its top cut off; find its volume by subtracting the small top cone from the whole cone.
Worked example. Find the area of a shape made of a rectangle $8\text{ cm} \times 5\text{ cm}$ with a semicircle of diameter $5\text{ cm}$ on one end.
The semicircle has radius $2.5\text{ cm}$:
Bangun gabungan dibuat dengan menyambungkan atau memotong bangun sederhana. Pisahkan menjadi bagian-bagian yang Anda ketahui, lalu tambahkan atau kurangkan.
Untuk "bagian" lingkaran atau benda padu, ambil pecahan yang tepat. Misalnya, hemisfer (setengah bola) memiliki volume
Frustum adalah kerucut atau piramida dengan bagian atasnya dipotong; temukan volumenya dengan mengurangi kerucut kecil di atas dari kerucut utuh.
Contoh terpecahkan. Tentukan luas bangun yang terdiri dari persegi panjang $8\text{ cm} \times 5\text{ cm}$ dengan setengah lingkaran berdiameter $5\text{ cm}$ di salah satu ujungnya.
Setengah lingkaran tersebut memiliki jari-jari $2.5\text{ cm}$:
Break a compound shape into simple parts, then recombine. · Belah bangun majemuk menjadi bagian sederhana, lalu gabungkan kembali.
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| compound shape/ˈkɒmpaʊnd ʃeɪp/ | bentuk majemuk |
| hemisphere/ˈhemɪsfɪə/ | hemisfer |
| frustum/ˈfrʌstəm/ | frustum |
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Kerjakan langkah demi langkah, dengan latihan pengecekan instan.
Past Papers · Soal-Soil Masa Lalu
Loading subjects… · Memuat mata pelajaran…