Turunan: Fungsi Komposit, Implisit, dan Invers

AP Kalkulus BC · Topik 3

Lihat Salindia Latih

Pelajaran video untuk topik ini Buka halaman video

3.1

Aturan Rantai

Silabus

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-3): Mengenali peluang untuk menerapkan aturan turunan dapat menyederhanakan diferensiasi.

Tujuan Pembelajaran FUN-3.C: Menghitung turunan dari komposisi fungsi-fungsi yang terdiferensiasi.

FUN-3.C.1 Aturan rantai menyediakan cara untuk men-diferensiasikan fungsi komposit.

Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP

Jalan setapak gunung: fungsi komposit mengurung laju perubahan (aturan rantai) — Jalan gunung: fungsi komposit mengumpulkan laju perubahan (aturan rantai)

Aturan rantai

Unit 2 menurunkan fungsi tunggal. Unit 3 menurunkan fungsi yang dibangun di dalam fungsi lain. Aturan rantai menurunkan fungsi komposit $f\big(g(x)\big)$:

$$\frac{d}{dx}\,f\big(g(x)\big) = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).$$

"Turunan fungsi luar (meninggalkan bagian dalam tetap), dikali turunan bagian dalam." Turunan dalam $g'(x)$ adalah bagian yang sering dilupakan siswa, jadi selalu tanyakan "apa bagian dalamnya, dan berapa turunannya?" Contoh:

$$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.$$

Dalam notasi Leibniz, dengan $y=f(u)$ dan $u=g(x)$, aturannya tertulis $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ – $du$ perantara seolah "saling menghilangkan." Soal ujian sering memberikan tabel untuk $f$, $g$, $f'$, $g'$ dan meminta $h'(a)$ di mana $h(x)=f\big(g(x)\big)$; hitung $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$ dengan membaca nilai-nilainya.

Contoh dikerjakan. Turunkan $h(x)=(2x^2+1)^5$. Fungsi luar adalah "(sesuatu)$^5$" dan fungsi dalamnya adalah $2x^2+1$:

$$h'(x)=5(2x^2+1)^4\cdot 4x=20x(2x^2+1)^4.$$

Kosa kata Latih

English	Bahasa Indonesia
chain rule/tʃeɪn ruːl/	aturan rantai
composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/	fungsi komposit
Implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/	Diferensiasi implisit
inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/	fungsi invers
reciprocal/rɪˈsɪprəkl/	resiprokal
inverse trigonometric functions/ɪnˈvɜːs ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ˈfʌŋkʃnz/	fungsi trigonometri invers
second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/	turunan kedua
concavity/kənˈkævɪti/	kelengkungan

3.2

Diferensiasi Implisit

Silabus

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-3): Mengenali peluang untuk menerapkan aturan turunan dapat menyederhanakan diferensiasi.

Tujuan Pembelajaran FUN-3.D: Menghitung turunan dari fungsi yang didefinisikan secara implisit.

FUN-3.D.1 Aturan rantai merupakan dasar bagi diferensiasi implisit.

Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP

“Beberapa kurva didefinisikan secara implisit – melalui persamaan dalam $x$ dan $y$ yang tidak diselesaikan untuk $y$, seperti $x^2+y^2=25$. Turunan implisit menemukan $\dfrac{dy}{dx}$ tanpa harus menyelesaikan untuk $y$ terlebih dahulu. Ini hanyalah aturan rantai, dengan memperlakukan $y$ sebagai fungsi dari $x$.”

Metodenya: turunkan kedua ruas terhadap $x$; setiap kali Anda menurunkan suku $y$, kalikan dengan $\dfrac{dy}{dx}$ (aturan rantai); kemudian selesaikan secara aljabar untuk $\dfrac{dy}{dx}$. Untuk $x^2+y^2=25$:

$$2x + 2y\frac{dy}{dx}=0 \;\Longrightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.$$

Contoh terpecahkan. Temukan garis singgung ke $x^2+y^2=25$ pada $(3,4)$. Di sini $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{4}$, sehingga garis singgungnya adalah $y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3)$ – tegak lurus terhadap jari-jari, seperti yang diprediksi geometri.

Turunan implisit memberikan garis singgung pada lingkaran, tegak lurus terhadap jari-jari

Keterampilan ujian – "Buktikan bahwa $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$". Perintah ini muncul setiap tahun (misalnya "Buktikan bahwa $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$"). Karena targetnya sudah diberikan, Anda harus menunjukkan setiap langkah aljabar dengan jelas: turunkan kedua ruas, gunakan aturan perkalian/rantai pada suku campuran $xy$, kumpulkan semua suku $\dfrac{dy}{dx}$ di satu sisi, faktorkan, lalu bagi. Baris akhir yang benar tetapi melewatkan aljabar akan mendapat nilai rendah. Bagian lanjutan kemudian meminta garis singgung, atau di mana garis singgung horizontal ($\tfrac{dy}{dx}=0$, sehingga pembilangnya $0$) atau vertikal (penyebutnya $0$).

3.3

Menurunkan Fungsi Invers

Silabus

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-3): Mengenali peluang untuk menerapkan aturan turunan dapat menyederhanakan diferensiasi.

Tujuan Pembelajaran FUN-3.E: Menghitung turunan dari fungsi invers dan fungsi trigonometri invers.

FUN-3.E.1 Aturan rantai dan definisi fungsi invers dapat digunakan untuk mencari turunan dari fungsi invers, asalkan turunannya ada.

Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP

Jika $g$ adalah fungsi invers dari $f$ (sehingga $f(g(x))=x$), aturan rantai menghubungkan turunan keduanya:

$$g'(x) = \frac{1}{f'\big(g(x)\big)},\qquad\text{provided } f'\big(g(x)\big)\neq 0.$$

Secara lisan: turunan fungsi invers pada suatu titik adalah resiprokal dari turunan fungsi asli pada titik yang sesuai. Pengaturan ujian umum menyediakan tabel dan titik $(a,b)$ pada $f$ (sehingga $(b,a)$ berada pada $g$), lalu meminta $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$.

Contoh terpecahkan. Jika $f(2)=5$ dan $f'(2)=3$, dan $g$ adalah invers dari $f$, maka $(5,2)$ terletak pada $g$ dan $g'(5)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{3}$.

Fungsi invers adalah bayangan cermin dari fungsi tersebut pada garis y = x

Jelajahi

Fungsi eksponensial dan inversnya, logaritma

y = a·e^(bx) + c

Fungsi invers mencerminkan melintasi $y=x$ dan kemiringannya saling berkebalikan. Di mana satu fungsi curam, inversnya landai.

3.4

Menurunkan Fungsi Trigonometri Invers

Silabus

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-3): Mengenali peluang untuk menerapkan aturan turunan dapat menyederhanakan diferensiasi.

Tujuan Pembelajaran FUN-3.E: Menghitung turunan dari fungsi invers dan fungsi trigonometri invers.

FUN-3.E.2 Aturan rantai yang diterapkan dengan definisi fungsi invers, atau rumus turunan dari fungsi invers, dapat digunakan untuk menemukan turunan fungsi trigonometri invers.

Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP

Ide yang sama menghasilkan turunan dari fungsi trigonometri invers. Tiga yang harus Anda ketahui:

$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}, \quad \frac{d}{dx}\text{arcsec}\,x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$

Gabungkan ini dengan aturan rantai ketika inputnya sendiri merupakan fungsi, mis. $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$.

3.5

Memilih Prosedur untuk Menghitung Turunan

Silabus

Topik ini bertujuan untuk berfokus pada keterampilan memilih prosedur yang tepat untuk menghitung turunan. Siswa harus diberikan kesempatan untuk berlatih kapan dan bagaimana menerapkan semua tujuan pembelajaran yang berkaitan dengan perhitungan turunan.

Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP

Topik keterampilan: turunan nyata mencampur beberapa aturan, jadi bacalah struktur ekspresi terlebih dahulu, dari luar ke dalam.

Apakah itu jumlah? Turunkan suku demi suku.
Perkalian atau pembagian? Terapkan aturan itu, dan siap-siap menggunakan aturan rantai di dalamnya.
Komposit (sesuatu di dalam sesuatu lain)? Aturan rantai.
Diberikan secara implisit? Turunan implisit.

Sebutkan operasi terluar, terapkan aturannya, dan rekursif masuk ke dalam. Kerapian mencegah kesalahan tanda dan pencatatan yang memakan nilai.

3.6

Menghitung Turunan Orde Tinggi

Silabus

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-3): Mengenali peluang untuk menerapkan aturan turunan dapat menyederhanakan diferensiasi.

Tujuan Pembelajaran FUN-3.F: Menentukan turunan orde lebih tinggi dari suatu fungsi.

FUN-3.F.1 Mendifferensiasikan $f'$ menghasilkan turunan kedua $f''$, dengan syarat turunan dari $f'$ ada; mengulangi proses ini menghasilkan turunanorde lebih tinggi dari $f$.
FUN-3.F.2 Turunan orde lebih tinggi direpresentasikan dengan berbagai notasi. Untuk $y = f(x)$, notasi untuk turunan kedua meliputi $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$, $f''(x)$, dan $y''$. Turunan orde lebih tinggi dapat disimbolkan $\dfrac{d^n y}{dx^n}$ atau $f^{(n)}(x)$.

Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP

Menurunkan $f'$ menghasilkan turunan kedua $f''$; pengulangan menghasilkan turunan orde lebih tinggi. Notasinya:

$$f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=y'', \qquad\text{and in general}\qquad f^{(n)}(x)=\frac{d^n y}{dx^n}.$$

Turunan kedua mengukur bagaimana kemiringan berubah; ia menggerakkan kelengkungan dan percepatan dalam unit-unit selanjutnya. Untuk menemukan $f''$ secara implisit, turunkan lagi ekspresi untuk $\dfrac{dy}{dx}$ (dengan aturan hasil bagi dan rantai), lalu substitusikan $\dfrac{dy}{dx}$ kembali.

Jelajahi

Turunan kedua adalah kemiringan dari kemiringan

y = ax³ + bx² + cx + d

Mendiferensiasikan lagi menghasilkan $f''$, laju perubahan kemiringan. Di mana kemiringan meningkat, kurva membengkok ke atas.

3.6

Tips ujian

Gunakan aturan rantai untuk fungsi komposit – turunkan bagian luar, lalu kalikan dengan turunan bagian dalam (faktor yang paling sering dilupakan).
Untuk turunan implisit, turunkan kedua ruas terhadap $x$ dan lampirkan $\tfrac{dy}{dx}$ setiap kali $y$ diturunkan, kemudian selesaikan.
Dapatkan turunan kedua dengan menurunkan dua kali (kecepatan → percepatan).
Gabungkan aturan dengan hati-hati dalam ekspresi berlapis (rantai di dalam perkalian, dll.).
Grafik fungsi invers adalah refleksi pada $y=x$; kemiringannya adalah resiprokal dari yang asli pada titik yang sesuai.

Pelajaran interaktif untuk topik ini

Kerjakan langkah demi langkah, dengan latihan pengecekan instan.

Soal-Soil Masa Lalu

Topik lain dalam AP Kalkulus BC