AP Calculus BC · ⁨AP Kalkulus BC⁩

Kalkulus adalah matematika dari perubahan dan akumulasi. Ia menjawab dua pertanyaan besar: seberapa cepat sesuatu berubah saat ini, dan berapa banyak yang telah terkumpul sejauh ini? Unit 1 membangun satu alat yang menjadi dasar kedua pertanyaan tersebut – yaitu limit.

Mulailah dengan sebuah teka-teki. Speedometer mobil menunjukkan $60$ km/jam. Apa artinya itu pada satu saat tertentu? Kecepatan adalah jarak dibagi waktu. Namun pada satu saat tertentu tidak ada waktu yang berlalu dan tidak ada jarak yang ditempuh, sehingga pecahannya tampak seperti $\tfrac{0}{0}$ – tak terdefinisi.

• Laju perubahan rata-rata menggunakan seluruh interval: perubahan pada satu kuantitas dibagi perubahan pada kuantitas lain. Laju ini terbagi dengan nol, sehingga tak terdefinisi, ketika perubahan input akan bernilai nol.
• Laju perubahan sesaat adalah apa yang kita inginkan pada suatu titik. Ini adalah nilai yang mendekati laju rata-rata mendekati seiring interval mengecil menuju panjang nol.

Langkah cerdasnya bukan memasukkan angka nol (tak terdefinisi), melainkan mengamati apa yang didekati oleh laju rata-rata seiring interval menjadi semakin kecil. Nilai yang didekati ini adalah limit. Jadi kalkulus memungkinkan kita mendeskripsikan perubahan dalam sesaat – sebagai limit dari laju rata-rata atas interval yang semakin pendek. Satu ide ini menggerakkan turunan (Unit 2) dan, jika dijalankan ke arah sebaliknya, integral (Unit 6). Segala hal lainnya dalam unit ini mendefinisikan limit dengan cermat dan menghitungnya secara andal.

Diberikan fungsi $f$, limit dari $f(x)$ saat $x$ mendekati $c$ adalah bilangan real $R$ jika $f(x)$ dapat dibuat sembarang dekat dengan $R$ dengan mengambil $x$ cukup dekat dengan $c$ – tetapi tidak sama dengan $c$. Kita tulis

dan membacanya: "limit dari $f(x)$, saat $x$ mendekati $c$, sama dengan $R$."

Kalimat terakhir adalah inti dari limit: ia menggambarkan perilaku dari $f$ dekat $c$, bukan nilai di $c$. Fungsi mungkin tidak terdefinisi pada $c$, atau terdefinisi tetapi sama dengan sesuatu yang lain – limit tidak peduli.

Limit dapat ditunjukkan dengan tiga cara: grafis, numerik (tabel), dan analitik (aljabar). Belajar berpindah antar representasi ini adalah keterampilan inti.

(Catatan: definisi epsilon-delta untuk limit tidak diujikan dalam Ujian AP, jadi lembar kerja ini tidak menggunakannya.)

Grafik sering kali merupakan cara tercepat untuk membaca limit. Untuk menemukan $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)$, gerakkan jari Anda sepanjang kurva menuju $x = c$ dari setiap sisi dan tanyakan: ketinggian apa yang sedang dituju kurva?

• Jejak dari kiri (input lebih kecil dari $c$): ini memberikan limit kiri, $\displaystyle \lim_{x \to c^-} f(x)$.
• Jejak dari kanan (input lebih besar dari $c$): ini memberikan limit kanan, $\displaystyle \lim_{x \to c^+} f(x)$.
• Ini adalah limit satu sisi. Jika keduanya mengarah ke ketinggian yang sama $R$, maka limit dua sisi ada dan $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = R$.

Yang terpenting, abaikan titik itu sendiri. Grafik menandai perbedaan antara limit dan nilainya:

• Lingkaran terbuka menandai ketinggian yang didekati kurva tetapi tidak dicapai – sebuah "lubang".
• Lingkaran tertutup menandai nilai aktual $f(c)$.

Sehingga kurva mungkin mendekati $R = 3$ dari kedua sisi (limit adalah $3$) sementara titik berisi berada pada ketinggian $5$ (nilai $f(c) = 5$). Limitnya adalah $3$; keduanya tidak harus cocok.

Limit tidak ada (sering ditulis TDA) ketika kedua sisi tidak sepakat (loncatan), ketika fungsi tak terbatas (tumbuh tanpa batas), atau ketika ia bergetar selamanya di dekat $c$. Sebagai contoh:

Perhatikan skala grafik: gambar yang diperkecil bisa menyembunyikan perilaku penting di dekat suatu titik, jadi konfirmasikan dengan aljabar jika memungkinkan.

Ketika Anda memiliki data atau rumus tetapi tidak ada gambar, tabel nilai mengestimasi limit secara numerik. Pilih input yang merayap menuju $c$ dari kedua sisi dan amati outputnya.

Sebagai contoh, untuk mengestimasi $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ (yang merupakan $\tfrac{0}{0}$ pada $x=2$):

$x$	$1.9$	$1.99$	$1.999$	$\to 2 \leftarrow$	$2.001$	$2.01$	$2.1$
$f(x)$	$3.9$	$3.99$	$3.999$	?	$4.001$	$4.01$	$4.1$

Kedua sisi melangkah menuju $4$, jadi kita mengestimasi limit adalah $4$. Tabel hanya menyarankan nilai – itu adalah estimasi numerik, bukan bukti.

Sebagian besar limit ditemukan secara analitik menggunakan teorema limit. Jika $\lim_{x\to c} f(x)$ dan $\lim_{x\to c} g(x)$ keduanya ada, limit dari kombinasi adalah kombinasi yang sama dari limit-limit tersebut:

• Jumlah / selisih: $\displaystyle \lim_{x\to c}\big[f(x)\pm g(x)\big] = \lim_{x\to c}f(x) \pm \lim_{x\to c}g(x)$
• Perkalian: $\displaystyle \lim_{x\to c}\big[f(x)\,g(x)\big] = \lim_{x\to c}f(x)\cdot\lim_{x\to c}g(x)$
• Pembagian: $\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)}$, asalkan limit penyebut bukan $0$.
• Komposit: jika $g$ kontinu pada $\lim_{x\to c} f(x)$, maka $\displaystyle \lim_{x\to c} g\big(f(x)\big) = g\!\left(\lim_{x\to c} f(x)\right)$.

Aturan praktis: untuk fungsi yang dibangun dari polinomial, akar, dan sejenisnya, cobalah substitusi langsung terlebih dahulu – masukkan $x = c$. Jika Anda mendapatkan bilangan real, itulah limitnya. Limit satu sisi mematuhi teorema yang sama, dibaca dari satu arah saja.

Substitusi langsung terkadang menghasilkan bentuk tak tentu $\tfrac{0}{0}$. Ini tidak berarti limit gagal – melainkan Anda harus menulis ulang fungsi ke dalam bentuk ekuivalen yang menghilangkan masalah, lalu substitusi. Tiga langkah standar:

• Faktorkan dan coret fungsi rasional. Contoh: $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4$.
• Kalikan dengan konjugat untuk menyederhanakan radikal. Contoh: $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{x\big(\sqrt{x+1}+1\big)} = \frac{1}{2}$.
• Gunakan bentuk alternatif fungsi trigonometri (identitas) untuk menyederhanakan.

Faktor yang dicoret adalah alasan mengapa grafik asli memiliki lubang: kedua fungsi sepakat di mana saja kecuali pada $x=c$, sehingga mereka memiliki limit yang sama di sana.

Ini adalah topik keterampilan, bukan konten baru: pilih alat yang tepat untuk limit di depan Anda.

1. Coba substitusi langsung terlebih dahulu. Jawaban nyata berarti Anda selesai.
2. Mendapatkan $\tfrac{0}{0}$? Tulis ulang – faktorkan dan coret, atau gunakan konjugat, atau identitas trigonometri – lalu substitusi.
3. Angka bukan nol dibagi $0$ (seperti $\tfrac{5}{0}$)? Limitnya tak hingga atau DNE – periksa tanda dari setiap sisi (lihat asimtot vertikal di bawah).
4. Saat $x\to\pm\infty$? Bandingkan suku-suku dominan (lihat limit pada tak hingga).
5. Terjebak di antara dua fungsi? Teorema apit mungkin berlaku.

Teorema penjepit (juga disebut teorema sandwich) menemukan limit dengan menjebak fungsi di antara dua fungsi lainnya. Jika $g(x) \le f(x) \le h(x)$ mendekati $c$, dan

maka $f$ terjepit ke tempat yang sama: $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x) = L$.

Dua hasil terkenal yang dibuktikan dengan cara ini, keduanya digunakan di seluruh kalkulus, adalah:

Topik keterampilan lain: limit yang sama hidup dalam grafik, tabel, dan bentuk aljabar, dan Anda harus mampu menerjemahkan di antaranya. Grafik menunjukkan bentuk dan lubang atau lompatan apa pun; tabel memberikan bukti numerik; aljabar memberikan nilai eksak dan alasan. Jawaban kuat menggunakan satu representasi untuk mengkonfirmasi representasi lainnya.

Sebuah fungsi tidak berkelanjutan (diskontinu) pada $c$ ketika grafiknya "patah" di sana. Ada tiga jenis:

• Ketidaklanjutan yang dapat dihilangkan – satu lubang tunggal. Limit dua arah ada, tetapi titiknya hilang atau salah tempat.
• Ketidaklanjutan loncat – kedua limit satu arah ada tetapi berbeda, sehingga kurvanya melompat.
• Ketidaklanjutan tak hingga – fungsi meledak menuju $\pm\infty$ pada asimtot vertikal.

Kelanjutan didefinisikan melalui uji tiga bagian. Fungsi $f$ berkelanjutan (kontinu) pada $x=c$ persis ketika ketiga hal berikut terpenuhi:

Dengan kata lain: titik ada, limit ada, dan keduanya sepakat. Jika salah satu gagal, $f$ tidak berkelanjutan pada $c$. Uji ini adalah tulang punggung hampir setiap soal kelanjutan, jadi pelajari sebagai daftar periksa.

Sebuah fungsi berkelanjutan pada sebuah interval jika ia berkelanjutan pada setiap titik interval tersebut. Anda jarang memeriksa titik demi titik, karena keluarga utuh berkelanjutan pada domain mereka:

Fungsi polinomial, rasional, pangkat, eksponensial, logaritmik, dan trigonometri berkelanjutan pada setiap titik domain mereka.

Jadi fungsi rasional berkelanjutan di mana-mana kecuali di mana penyebutnya nol; $\ln x$ berkelanjutan untuk $x>0$; dan seterusnya. Mengetahui ini memungkinkan Anda menyatakan kelanjutan dengan cepat dan benar.

Jika limit ada pada sebuah lubang, ketidaklanjutan itu dapat dihilangkan: definisikan ulang fungsi pada titik tersebut agar sama dengan limit, dan grafiknya diperbaiki. Secara formal, tetapkan nilai yang hilang ke $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x)$.

Untuk fungsi yang didefinisikan secara parsial, kelanjutan pada batas $x=c$ memerlukan kedua bagian tersebut bertemu: nilai bagian kiri, nilai bagian kanan, dan $f(c)$ harus semuanya sama. Ini adalah pengaturan ujian umum – Anda menyelesaikan untuk parameter (konstan tak diketahui) yang membuat bagian-bagian tersebut cocok:

Ide limit diperluas menjadi limit tak hingga. Ketika fungsi tumbuh tanpa batas di sekitar $x=c$, kita menuliskan $\lim_{x\to c} f(x) = \pm\infty$. Ini menggambarkan asimtot vertikal pada $x=c$: grafik memeluk garis vertikal $x=c$ dan melesat menuju $\pm\infty$.

Hal ini terjadi di mana angka bukan nol dibagi sesuatu yang mendekati $0$, seperti pada nol penyebut yang tidak dicoret. Selalu periksa setiap sisi secara terpisah – kedua sisi dapat melesat ke arah berlawanan (satu ke $+\infty$, satu ke $-\infty$).

Kita juga dapat membiarkan input bertambah: limit di tak hingga menggambarkan perilaku akhir fungsi saat $x\to\pm\infty$. Jika output terkonsentrasi menuju nilai finite $L$, maka $y=L$ adalah asimtot horizontal.

Untuk fungsi rasional, bandingkan derajat pembilang dan penyebut:

• derajat pembilang < derajat penyebut $\Rightarrow$ limitnya adalah $0$ (asimtot $y=0$);
• derajat pembilang = derajat penyebut $\Rightarrow$ limitnya adalah rasio koefisien teratas;
• derajat pembilang > derajat penyebut $\Rightarrow$ fungsi tidak terbatas (tidak ada asimtot horizontal).

Secara lebih umum, kita membandingkan besar relatif (laju pertumbuhan relatif) dari fungsi-fungsi: semakin jauh ke kanan, eksponensial mengalahkan polinomial mana pun, dan polinomial mengalahkan logaritma mana pun. Di ujian, "saat $t\to\infty$, besaran mana yang lebih besar/ke mana laju cenderung?" dijawab dengan limit tak hingga.

Teorema Nilai Antara adalah teorema eksistensi – ia menjamin suatu nilai ada tanpa memberi tahu di mana posisinya:

Jika $f$ kontinu pada interval tertutup $[a,b]$, dan $d$ adalah bilangan apa pun antara $f(a)$ dan $f(b)$, maka terdapat setidaknya satu bilangan $c$ dalam $(a,b)$ dengan $f(c)=d$.

Kurva yang tidak terputus tidak dapat melewatkan ketinggian di antara titik ujungnya – kurva tersebut harus melewati setiap ketinggiannya.

Keterampilan ujian – bagaimana memberikan justifikasi dengan IVT. Pertanyaan ini muncul hampir setiap tahun (misalnya, "Haruskah ada nilai $c$ dengan $R(c)=155$?" atau "Apakah ada waktu ketika $r'(t)=-6$?"). Justifikasi bernilai penuh memiliki tiga langkah:

1. Nyatakan kontinuitas. Katakan bahwa fungsi itu kontinu pada $[a,b]$ (sering karena fungsi itu terdiferensiasi, atau diberikan sebagai kontinu).
2. Tunjukkan $d$ terjebak. Hitung dua nilai titik ujung dan tunjukkan bahwa target $d$ terletak di antara keduanya, mis. $f(a) < d < f(b)$.
3. Simpulkan dengan nama. "Menurut Teorema Nilai Antara, terdapat sebuah $c$ dalam $(a,b)$ dengan $f(c)=d$."

Melewati pernyataan kontinuitas, atau tidak menunjukkan bahwa $d$ berada di antara titik ujung, akan menghilangkan poin – teorema membutuhkan kedua kondisi tersebut.

Contoh terpecahkan. Hitung $\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2-5}{2x^2+x}$. Bagi atas dan bawah dengan pangkat tertinggi, $x^2$: $\dfrac{3-5/x^2}{2+1/x}\to\dfrac{3-0}{2+0}=\dfrac{3}{2}$. Karena limit adalah bilangan finite, garis $y=\tfrac{3}{2}$ adalah asimtot horizontal dari grafik.

• Limit menggambarkan apa yang $f(x)$ mendekati, yang tidak harus sama dengan $f(a)$ — limit dua sisi hanya ada jika kedua sisinya setuju.
• Cobalah substitusi langsung terlebih dahulu; untuk bentuk $\tfrac00$, faktorkan dan coret atau rasionalkan sebelum mensubstitusikan.
• Fungsi tersebut kontinu pada $a$ ketika limitnya ada, $f(a)$ terdefinisi, dan keduanya sama.
• Gunakan Teorema Nilai Antara untuk menjamin akar: fungsi kontinu yang berubah tanda pada $[a,b]$ mengambil semua nilai di antaranya.
• Bacalah asimtot horizontal dari perilaku akhir (limit pada $\pm\infty$) dan asimtot vertikal di mana penyebut (bukan pembilang) bernilai nol.

Unit 1 membangun konsep limit. Unit 2 menggunakannya untuk mendefinisikan turunan – laju perubahan yang tepat di suatu titik.

Selama suatu interval, laju perubahan rata-rata adalah kuosien selisih. Dua bentuk ekuivalen muncul:

Yang pertama menggunakan langkah ukuran $h$ dari $a$; yang kedua menggunakan dua titik $x$ dan $a$. Keduanya menghitung $\dfrac{\text{change in output}}{\text{change in input}}$ dalam interval tersebut.

Laju perubahan sesaat di $x=a$ adalah apa yang didekati oleh kuosien selisih saat interval menyusut menjadi nol. Limit ini adalah turunan di $a$, ditulis $f'(a)$:

dengan syarat limit tersebut ada.

Biarkan titik $a$ bervariasi dan turunannya menjadi fungsi baru:

Ini adalah definisi turunan (kadang disebut mendifferensiasikan "dari prinsip pertama"). Nilainya pada setiap $x$ adalah laju perubahan sesaat di sana.

Notasi umum untuk turunan $y=f(x)$ adalah:

Turunan dapat direpresentasikan secara geometris, numerik, analitik, dan verbal – bersiaplah untuk berpindah di antaranya.

Makna geometris. Turunan di suatu titik adalah kemiringan dari garis singgung terhadap grafik di sana. Jadi garis singgung di $x=a$ melalui $\big(a, f(a)\big)$ dengan kemiringan $f'(a)$:

Menuliskan garis ini adalah tugas rutin ujian, jadi siapkan bentuk titik-kemiringan.

Anda tidak selalu memiliki rumus. Ketika fungsi diberikan melalui tabel atau grafik, estimasi turunan $f'(a)$ dengan kuosien selisih pada interval kecil di sekitar $a$. Tabel dengan nilai di kedua sisi $a$ memberikan estimasi terbaik:

Teknologi (kalkulator) juga dapat mengestimasi turunan di suatu titik.

Keterampilan ujian (muncul hampir setiap tahun). Pertanyaan seperti "Hampirkan $M'(7.5)$ menggunakan laju perubahan rata-rata $M$ selama interval $5 \le t \le 10$" meminta tepat kuosien selisih ini. Tunjukkan pengaturannya:

Kredit penuh memerlukan angka yang dimasukkan dan satuan yang benar (satuan output per satuan input), karena ini berasal dari model dunia nyata.

Diferensiasi lebih kuat daripada kontinuitas. Hubungan utamanya:

Jika $f$ dapat diturunkan pada suatu titik, maka $f$ kontinu di sana.

Jadi diferensiasi menyiratkan kontinuitas. Kebalikannya salah: fungsi yang kontinu bisa gagal diturunkan. Dua cara hal ini terjadi:

• Sudut tajam: limit rasio selisih kiri dan kanan berbeda, seperti $f(x)=|x|$ pada $x=0$.
• Garis singgung vertikal: kemiringannya tak hingga (tidak ada bilangan real), seperti pada $f(x)=\sqrt[3]{x}$ di $x=0$.

Juga, titik di luar domain $f$ tidak dapat berada di dalam domain $f'$. Gunakan kontraposisi dalam ujian: jika $f$ tidak kontinu di $a$, maka $f$ tidak dapat diturunkan di $a$.

Dari sini kita menggunakan aturan alih-alih definisi limit setiap kali. Aturan pangkat menangani pangkat apa pun dari $x$:

Ini berlaku untuk pangkat bilangan bulat, pangkat negatif ($\tfrac{1}{x}=x^{-1}$), dan akar ($\sqrt{x}=x^{1/2}$) – tulis ulang sebagai pangkat terlebih dahulu, lalu terapkan aturan tersebut.

Aturan-aturan ini memungkinkan Anda menurunkan suku demi suku:

• Konstanta: $\dfrac{d}{dx}\,k = 0$ (konstanta tidak berubah).
• Kelipatan konstanta: $\dfrac{d}{dx}\big[k\,f(x)\big] = k\,f'(x)$.
• Jumlah / Selisih: $\dfrac{d}{dx}\big[f(x)\pm g(x)\big] = f'(x)\pm g'(x)$.

Digabungkan dengan aturan pangkat, mereka menurunkan suku polinomial mana pun secara individual. Contoh:

Hafalkan empat turunan blok pembangun ini:

Perhatikan tanda minus pada turunan kosinus, dan bahwa $e^{x}$ adalah turunannya sendiri.

Limit yang sebenarnya adalah turunan (LIM-3.A.1). Terkadang limit secara diam-diam merupakan definisi dari turunan yang diketahui. Jika Anda mengenali

untuk fungsi $f$ yang turunannya Anda ketahui, cukup evaluasi $f'(a)$. Misalnya, $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}+h\big)-1}{h} = \left.\frac{d}{dx}\sin x\right|_{x=\pi/2} = \cos\tfrac{\pi}{2} = 0$.

Perkalian dua fungsi bukan diturunkan dengan mengalikan turunannya. Gunakan aturan perkalian:

"Turunan pertama dikali kedua, ditambah pertama dikali turunan kedua." Contoh: Soal ujian sering membangun fungsi baru dari potongan yang diberikan, mis. $k'(x) = \big(f(x)\big)^2 g(x)$, dan meminta Anda menggabungkan aturan sambil membaca nilai dari tabel.

Untuk pembagian, gunakan aturan pembagian:

"Bawah dikali turunan atas, dikurangi atas dikali turunan bawah, semua dibagi dengan bawah kuadrat." Urutan penting karena tanda minus, jadi tulis pembilang dengan hati-hati. Contoh:

Turunan trigonometri lainnya tidak dihafal terpisah – Anda menulis ulang mereka dengan identitas dan menerapkan aturan bagi (atau perkalian). Misalnya, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, sehingga aturan pembagian memberikan

Metode yang sama (menulis $\cot x=\tfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\tfrac{1}{\cos x}$, $\csc x=\tfrac{1}{\sin x}$) menghasilkan $-\csc^2 x$, $\sec x\tan x$, dan $-\csc x\cot x$.

Turunan tingkat tinggi. Menurunkan $f'$ lagi menghasilkan turunan kedua $f''(x)$ (atau $\tfrac{d^2y}{dx^2}$) – laju perubahan dari laju perubahan. Bagian ujian seperti "Temukan $k''(3)$" hanya berarti menurunkan dua kali, lalu substitusi. Anda juga dapat memperkirakan turunan kedua dari tabel dengan menerapkan metode laju perubahan rata-rata ke nilai $f'$.

Contoh terpecahkan. Turunkan $g(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ dengan aturan hasil bagi $\left(\tfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$: ambil $u=\sin x$, $v=x$, menghasilkan $g'(x)=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}$. Jaga urutan $u'v-uv'$ di pembilang -- menukar suku akan membalik tanda dan kehilangan poin.

• Turunan adalah kemiringan garis singgung – limit dari kemiringan tali busur $\tfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ saat $h\to0$.
• Hafalkan aturan: pangkat, perkalian, pembagian, dan turunan dari $\sin$, $\cos$, $e^x$, dan $\ln x$.
• Diferensiasi menyiratkan kontinuitas, tetapi tidak sebaliknya (sudut tajam atau kusp itu kontinu namun tidak dapat diturunkan).
• Bedakan laju perubahan rata-rata (kemiringan tali busur dalam interval) dari laju instan (turunan pada suatu titik).
• Berikan persamaan garis singgung sebagai $y-f(a)=f'(a)(x-a)$.

Unit 2 menurunkan fungsi tunggal. Unit 3 menurunkan fungsi yang dibangun di dalam fungsi lain. Aturan rantai menurunkan fungsi komposit $f\big(g(x)\big)$:

"Turunan fungsi luar (meninggalkan bagian dalam tetap), dikali turunan bagian dalam." Turunan dalam $g'(x)$ adalah bagian yang sering dilupakan siswa, jadi selalu tanyakan "apa bagian dalamnya, dan berapa turunannya?" Contoh:

Dalam notasi Leibniz, dengan $y=f(u)$ dan $u=g(x)$, aturannya tertulis $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ – $du$ perantara seolah "saling menghilangkan." Soal ujian sering memberikan tabel untuk $f$, $g$, $f'$, $g'$ dan meminta $h'(a)$ di mana $h(x)=f\big(g(x)\big)$; hitung $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$ dengan membaca nilai-nilainya.

Contoh dikerjakan. Turunkan $h(x)=(2x^2+1)^5$. Fungsi luar adalah "(sesuatu)$^5$" dan fungsi dalamnya adalah $2x^2+1$:

“Beberapa kurva didefinisikan secara implisit – melalui persamaan dalam $x$ dan $y$ yang tidak diselesaikan untuk $y$, seperti $x^2+y^2=25$. Turunan implisit menemukan $\dfrac{dy}{dx}$ tanpa harus menyelesaikan untuk $y$ terlebih dahulu. Ini hanyalah aturan rantai, dengan memperlakukan $y$ sebagai fungsi dari $x$.”

Metodenya: turunkan kedua ruas terhadap $x$; setiap kali Anda menurunkan suku $y$, kalikan dengan $\dfrac{dy}{dx}$ (aturan rantai); kemudian selesaikan secara aljabar untuk $\dfrac{dy}{dx}$. Untuk $x^2+y^2=25$:

Contoh terpecahkan. Temukan garis singgung ke $x^2+y^2=25$ pada $(3,4)$. Di sini $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{4}$, sehingga garis singgungnya adalah $y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3)$ – tegak lurus terhadap jari-jari, seperti yang diprediksi geometri.

Keterampilan ujian – "Buktikan bahwa $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$". Perintah ini muncul setiap tahun (misalnya "Buktikan bahwa $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$"). Karena targetnya sudah diberikan, Anda harus menunjukkan setiap langkah aljabar dengan jelas: turunkan kedua ruas, gunakan aturan perkalian/rantai pada suku campuran $xy$, kumpulkan semua suku $\dfrac{dy}{dx}$ di satu sisi, faktorkan, lalu bagi. Baris akhir yang benar tetapi melewatkan aljabar akan mendapat nilai rendah. Bagian lanjutan kemudian meminta garis singgung, atau di mana garis singgung horizontal ($\tfrac{dy}{dx}=0$, sehingga pembilangnya $0$) atau vertikal (penyebutnya $0$).

Jika $g$ adalah fungsi invers dari $f$ (sehingga $f(g(x))=x$), aturan rantai menghubungkan turunan keduanya:

Secara lisan: turunan fungsi invers pada suatu titik adalah resiprokal dari turunan fungsi asli pada titik yang sesuai. Pengaturan ujian umum menyediakan tabel dan titik $(a,b)$ pada $f$ (sehingga $(b,a)$ berada pada $g$), lalu meminta $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$.

Contoh terpecahkan. Jika $f(2)=5$ dan $f'(2)=3$, dan $g$ adalah invers dari $f$, maka $(5,2)$ terletak pada $g$ dan $g'(5)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{3}$.

Ide yang sama menghasilkan turunan dari fungsi trigonometri invers. Tiga yang harus Anda ketahui:

Gabungkan ini dengan aturan rantai ketika inputnya sendiri merupakan fungsi, mis. $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$.

Topik keterampilan: turunan nyata mencampur beberapa aturan, jadi bacalah struktur ekspresi terlebih dahulu, dari luar ke dalam.

• Apakah itu jumlah? Turunkan suku demi suku.
• Perkalian atau pembagian? Terapkan aturan itu, dan siap-siap menggunakan aturan rantai di dalamnya.
• Komposit (sesuatu di dalam sesuatu lain)? Aturan rantai.
• Diberikan secara implisit? Turunan implisit.

Sebutkan operasi terluar, terapkan aturannya, dan rekursif masuk ke dalam. Kerapian mencegah kesalahan tanda dan pencatatan yang memakan nilai.

Menurunkan $f'$ menghasilkan turunan kedua $f''$; pengulangan menghasilkan turunan orde lebih tinggi. Notasinya:

Turunan kedua mengukur bagaimana kemiringan berubah; ia menggerakkan kelengkungan dan percepatan dalam unit-unit selanjutnya. Untuk menemukan $f''$ secara implisit, turunkan lagi ekspresi untuk $\dfrac{dy}{dx}$ (dengan aturan hasil bagi dan rantai), lalu substitusikan $\dfrac{dy}{dx}$ kembali.

• Gunakan aturan rantai untuk fungsi komposit – turunkan bagian luar, lalu kalikan dengan turunan bagian dalam (faktor yang paling sering dilupakan).
• Untuk turunan implisit, turunkan kedua ruas terhadap $x$ dan lampirkan $\tfrac{dy}{dx}$ setiap kali $y$ diturunkan, kemudian selesaikan.
• Dapatkan turunan kedua dengan menurunkan dua kali (kecepatan → percepatan).
• Gabungkan aturan dengan hati-hati dalam ekspresi berlapis (rantai di dalam perkalian, dll.).
• Grafik fungsi invers adalah refleksi pada $y=x$; kemiringannya adalah resiprokal dari yang asli pada titik yang sesuai.

Setelah Anda dapat menghitung turunan, Anda menggunakannya untuk mendeskripsikan dunia nyata. Turunan $f'(x)$ adalah laju perubahan instan dari $f$ terhadap inputnya. Membaca dan melaporkan laju ini dengan benar adalah keterampilan yang dinilai.

Satuan itu penting. Satuan dari $f'(x)$ adalah satuan dari $f$ dibagi dengan satuan dari $x$. Jika $C(t)$ adalah jumlah acre dan $t$ dalam minggu, maka $C'(t)$ dalam acre per minggu. Dalam ujian, "Menggunakan satuan yang benar, interpretasikan makna dari $g'(140)$" menginginkan kalimat penuh: nilai, kuantitas, kata laju "per", dan saat. Misalnya: "$g'(140)=2.3$ berarti bahwa pada $x=140$, kuantitas meningkat sekitar $2.3$ unit per unit dari $x$."

Untuk partikel yang bergerak pada garis, tiga fungsi waktu terhubung melalui penurunan:

• posisi $s(t)$;
• kecepatan $v(t)=s'(t)$ – bertanda; tandanya memberikan arah;
• percepatan $a(t)=v'(t)=s''(t)$.

Pembacaan kunci (bagian ujian sering):

• Partikel diam ketika $v(t)=0$.
• Ia bergerak kanan/naik ketika $v(t)>0$ dan kiri/turun ketika $v(t)<0$; ia mengubah arah di mana $v$ mengubah tanda.
• Kecepatan adalah $|v(t)|$. Kecepatan meningkat ketika $v$ dan $a$ memiliki tanda yang sama (partikel melaju lebih cepat), dan menurun ketika mereka memiliki tanda berlawanan.

Bedakan dengan teliti antara kecepatan (memiliki arah) dan kelajuan (tidak memiliki) – ujian menguji perbedaan spesifik ini.

Contoh terpecahkan. Sebuah partikel bergerak dengan $s(t)=t^3-6t^2+9t$. Maka $v(t)=3(t-1)(t-3)$, jadi ia diam pada $t=1$ dan $t=3$ dan mengubah arah di masing-masing. Pada $t=2$, $v=-3<0$ dan $a(2)=6(2)-12=0$; sesaat setelah itu, $a>0$ sementara $v<0$, jadi partikel tersebut melambat di sana.

Ide turunan yang sama memodelkan besaran yang berubah apa pun: tangki yang dikosongkan, populasi yang berkembang, secangkir kopi yang mendingin. Setiap kali sebuah soal menyatakan "laju di mana...", itu sedang mendeskripsikan sebuah turunan. Bacalah satuannya untuk mengetahui laju dari besaran mana yang Anda miliki, lalu interpretasikan dalam konteksnya.

Dalam masalah laju berkaitan, beberapa besaran berubah bersama-sama seiring waktu, dan Anda mengetahui beberapa laju tetapi ingin mencari yang lain. Mesinnya adalah aturan rantai: turunkan sebuah hubungan terhadap waktu $t$. Setiap variabel menjadi fungsi dari $t$, sehingga setiap turunan mendapatkan faktor "$\,/\,dt$". Aturan perkalian dan pembagian juga mungkin diperlukan.

Prosedur yang dapat diandalkan – dan template skor penuh pada ujian:

1. Beri nama variabel dan tuliskan laju yang diberikan serta laju yang tidak diketahui (misalnya "$\dfrac{dh}{dt}=-2$ cm/hari, cari $\dfrac{dV}{dt}$").
2. Tulis persamaan yang menghubungkan besaran-besaran tersebut (sering berupa rumus geometris atau volume).
3. Turunkan kedua ruas terhadap $t$ (aturan rantai) – sebelum mensubstitusikan angka.
4. Substitusikan nilai-nilai yang diketahui pada saat yang dituju, dan selesaikan untuk laju yang tidak diketahui.
5. Nyatakan jawaban dengan satuan dan tanda yang benar (besaran yang menurun memiliki laju negatif).

Mensubstitusikan angka terlalu dini adalah kesalahan klasik: turunkan hubungan umum terlebih dahulu, lalu substitusikan.

Contoh terpecahkan. Volume balon spherical bertambah pada $\dfrac{dV}{dt}=100\ \text{cm}^3/\text{s}$. Dari $V=\tfrac43\pi r^3$, turunkan terlebih dahulu: $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$. Pada $r=5$, $100=4\pi(25)\dfrac{dr}{dt}$, sehingga $\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{1}{\pi}\approx0.32\ \text{cm/s}$.

Di dekat titik singgung, kurva yang mulus terlihat seperti garis singgungnya – ini disebut linearitas lokal. Jadi garis singgung memberikan pendekatan linear (linearisasi) dari fungsi di sekitar titik tersebut:

Gunakan ini untuk memperkirakan $f$ pada $x$ yang dekat dengan $a$.

Taksiran lebih tinggi atau lebih rendah? Jawabannya bergantung pada kecembungan. Jika grafik cekung ke atas di sekitar $a$ (melengkung di atas garis singgungnya), nilai garis singgung adalah taksiran lebih rendah. Jika cekung ke bawah, garis singgung berada di atas kurva, menghasilkan taksiran lebih tinggi. Bagian ujian menguji penalaran ini, jadi berikan justifikasi dengan tanda dari $f''$.

Ketika substitusi langsung dalam hasil bagi limit memberikan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$ atau $\dfrac{\infty}{\infty}$, Anda dapat menggunakan Aturan L'Hospital:

dengan syarat limit kanan ada. Turunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (ini bukan aturan hasil bagi), lalu coba limit lagi. Pertama konfirmasi bahwa bentuknya benar-benar $\tfrac{0}{0}$ atau $\tfrac{\infty}{\infty}$ – menerapkan aturan ini pada bentuk lain adalah kesalahan.

Contoh terpecahkan. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$ menghasilkan $\tfrac00$, jadi turunkan pembilang dan penyebut: $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}=1$. Dan $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}$ juga merupakan $\tfrac00$; menjadi $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2e^{2x}}{1}=2$.

• Dalam masalah gerak: kecepatan adalah turunan dari posisi, percepatan adalah turunan dari kecepatan; kecepatan meningkat ketika kecepatan dan percepatan memiliki tanda yang sama.
• Untuk laju berkaitan, turunkan persamaan penghubung terhadap waktu, lalu substitusikan nilai yang diberikan terakhir.
• Gunakan garis singgung untuk pendekatan linear di dekat titik yang diketahui; hal ini akurat hanya di dekatnya.
• Baca tanda laju: positif berarti besaran bergerak bersamaan, negatif berarti berlawanan.
• Selalu nyatakan satuan dan interpretasikan jawaban dalam konteksnya.

Teorema Nilai Rata-rata (MVT) menghubungkan laju perubahan rata-rata dengan laju perubahan sesaat:

Jika $f$ kontinu pada $[a,b]$ dan diferensiabel pada $(a,b)$, maka terdapat setidaknya satu titik $c$ di dalam $(a,b)$ di mana

$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Secara kata-kata: di suatu tempat di dalam interval, laju sesaat sama dengan laju rata-rata. Secara geometris, beberapa garis singgung sejajar dengan garis yang menghubungkan titik-titik ujung.

Keterampilan ujian. Seperti IVT, MVT adalah teorema eksistensi, dan soal meminta Anda untuk membenarkannya. Poin penuh memerlukan: (1) nyatakan $f$ kontinu pada $[a,b]$ dan terdiferensiasi pada $(a,b)$; (2) hitung laju rata-rata $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$; (3) simpulkan "menurut MVT terdapat sebuah $c$ di $(a,b)$ dengan $f'(c)$ sama dengan nilai tersebut." Kedua hipotesis harus disebutkan.

Contoh terpecahkan. Untuk $f(x)=x^2$ pada $[1,3]$, laju rata-rata adalah $\dfrac{9-1}{2}=4$; menetapkan $f'(c)=2c=4$ memberikan $c=2$, yang terletak dalam $(1,3)$ – titik yang terjamin.

Teorem Nilai Ekstrem (EVT) menjamin keberadaan ekstrema: sebuah fungsi kontinu pada interval tertutup $[a,b]$ akan mencapai keduanya, yaitu maksimum mutlak dan minimum mutlak pada interval tersebut.

Sebuah titik kritis adalah titik interior di mana $f'(x)=0$ atau $f'(x)$ tidak ada. Semua ekstrema lokal (relatif) terjadi pada titik kritis – tetapi tidak semua titik kritis adalah ekstrema. Jadi, titik kritis adalah kandidat; Anda harus menguji setiap satuannya.

Turunan pertama memberi tahu Anda di mana $f$ naik atau turun:

• $f'(x) > 0$ pada interval $\Rightarrow$ $f$ adalah meningkat di sana;
• $f'(x) < 0$ $\Rightarrow$ $f$ adalah menurun.

Dalam ujian, "temukan interval di mana $f$ naik" berarti: temukan titik kritisnya, lalu uji tanda dari $f'$ di antara mereka, dan berikan justifikasi dengan tanda dari $f'$ (alasan yang stated, bukan sekadar interval).

Untuk mengklasifikasikan titik kritis $x=c$ sebagai maksimum lokal, minimum lokal, atau keduanya, periksa bagaimana $f'$ berubah tandanya di sana:

• $f'$ berubah $+$ menjadi $-$ pada $c$ $\Rightarrow$ maksimum lokal;
• $f'$ berubah $-$ menjadi $+$ pada $c$ $\Rightarrow$ minimum lokal;
• Jika $f'$ tidak berubah tanda, maka $\Rightarrow$ tidak ada ekstrem.

Selalu nyatakan perubahan tanda sebagai justifikasi Anda.

Contoh terpecahkan. Untuk $f(x)=x^3-3x^2$, $f'(x)=3x(x-2)$ bernilai nol pada $x=0,2$. Tanda-tanda menunjukkan $+,-,+$, sehingga $x=0$ adalah maksimum lokal ($f=0$) dan $x=2$ adalah minimum lokal ($f=-4$).

Pada interval tertutup, ekstrema mutlak (global) hanya terjadi pada titik kritis atau ujung-ujung interval. Uji kandidat:

1. Daftar semua titik kritis dalam $[a,b]$ dan kedua ujung interval.
2. Evaluasi $f$ pada setiap kandidat.
3. Output terbesar adalah maksimum mutlak; yang terkecil adalah minimum mutlak.

Tampilkan tabel nilai – perbandingannya adalah argumennya.

Turunan kedua menggambarkan kelengkungan:

• $f'' > 0$ $\Rightarrow$ $f$ cembung ke atas (melengkung seperti cangkir; $f'$ meningkat);
• $f'' < 0$ $\Rightarrow$ $f$ cembung ke bawah ($f'$ menurun).

Titik belok adalah tempat kelengkungan berubah, yaitu di mana $f''$ berubah tanda (bukan hanya di mana $f''=0$). Laporkan koordinat-$x$-nya dan buktikan dengan perubahan tanda $f''$.

Cara alternatif untuk mengklasifikasikan titik kritis $c$ di mana $f'(c)=0$ =

• $f''(c) > 0$ $\Rightarrow$ cekung ke atas $\Rightarrow$ minimum lokal;
• $f''(c) < 0$ $\Rightarrow$ cekung ke bawah $\Rightarrow$ maksimum lokal;
• $f''(c) = 0$ $\Rightarrow$ uji ini tidak konklusif – beralihlah ke uji turunan pertama.

Kasus khusus: jika sebuah fungsi kontinu hanya memiliki satu titik kritis pada suatu interval dan itu adalah ekstrema lokal, titik tersebut juga merupakan ekstrema mutlak di sana.

Fitur utama dari $f$, $f'$, dan $f''$ saling memantulkan. Untuk menggambar sketsa atau membaca grafik:

• $f$ naik $\Leftrightarrow$ $f'$ di atas sumbu; $f$ memiliki maksimum lokal $\Leftrightarrow$ $f'$ menyilang dari $+$ ke $-$.
• $f$ cekung ke atas $\Leftrightarrow$ $f'$ meningkat $\Leftrightarrow$ $f''$ di atas sumbu; $f$ memiliki titik belok $\Leftrightarrow$ $f'$ memiliki ekstrema lokal $\Leftrightarrow$ $f''$ menyilang nol.

Ini adalah keterampilan membaca satu grafik untuk menjelaskan yang lain. Pengaturan ujian yang sangat umum memberikan grafik $f'$ dan meminta tentang $f$: di mana $f$ naik (di mana $f'>0$), di mana ekstrema $f$ (di mana $f'$ menyilang nol, dengan perubahan tanda), di mana $f$ cekung ke atas (di mana $f'$ meningkat). Jawab pertanyaan tentang $f$ menggunakan tinggi dan kemiringan dari grafik $f'$.

Optimisasi menggunakan turunan untuk menemukan nilai terbesar atau terkecil dari suatu kuantitas pada interval. Ini adalah mesin uji kandidat/uji turunan yang diterapkan pada tujuan nyata.

Prosedur yang dapat diandalkan:

1. Tuliskan kuantitas yang dioptimalkan sebagai fungsi dari satu variabel (gunakan persamaan kendala untuk menghilangkan variabel tambahan).
2. Nyatakan interval input yang diperbolehkan.
3. Temukan titik kritis ($f'=0$ atau tidak terdefinisi) dan uji (uji turunan pertama atau kedua, atau uji kandidat jika interval tertutup).
4. Jawab pertanyaan yang diajukan, dengan satuan dan interpretasi dalam konteks – luas maksimum, biaya minimum, dll.

Contoh terpecahkan. Dengan $100\ \text{m}$ pagar untuk kandang persegi panjang di depan dinding (hanya tiga sisi berpagar), misalkan sisi samping adalah $x$ dan sisi belakang $y=100-2x$. Luas $A(x)=x(100-2x)=100x-2x^2$ memiliki $A'(x)=100-4x=0$ pada $x=25$; karena $A''=-4<0$ ini adalah maksimum, menghasilkan $y=50$ dan $A=1250\ \text{m}^2$.

Semua ini berlaku untuk relasi yang terdefinisi secara implisit. Titik kritis dari relasi implisit adalah tempat $\dfrac{dy}{dx}=0$ (tangen horizontal) atau tidak terdefinisi (tangen vertikal). Karena $\dfrac{dy}{dx}$ biasanya merupakan relasi dalam $x$ dan $y$, dan turunan kedua melibatkan $x$, $y$, dan $\dfrac{dy}{dx}$, substitusikan kembali ekspresi turunan pertama Anda saat mencari $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, kemudian analisis kecekungan berdasarkan tandanya.

• $f'>0$ berarti naik, $f'<0$ turun; kandidat untuk ekstremum adalah tempat $f'=0$ atau tidak terdefinisi.
• Klasifikasikan titik kritis dengan perubahan tanda turunan pertama atau uji turunan kedua ($f''>0$ minimum, $f''<0$ maksimum).
• $f''>0$ cekung ke atas, $f''<0$ cekung ke bawah; titik belok adalah tempat kecekungan berubah ($f''$ berubah tanda).
• Untuk ekstremum absolut pada interval tertutup, juga periksa titik-titik ujung.
• Justifikasi setiap kesimpulan dengan mengutip tanda $f'$ atau $f''$ – ujian menuntut penalaran, bukan hanya jawaban.

Di mana turunan mengukur laju, integral mengukur akumulasi – total yang dibangun dari suatu laju. Jika laju perubahan berlaku sepanjang interval, luas antara grafiknya dan sumbu memberikan perubahan terkumulasi bersih. Ide "luas = perubahan total" ini adalah fondasi kalkulus integral.

Jumlah Riemann memperkirakan luas di bawah kurva dengan menjumlahkan luas persegi panjang tipis. Bagi $[a,b]$ menjadi subinterval dan gunakan tinggi fungsi pada ujung kiri, ujung kanan, atau titik tengah masing-masing. Jumlah trapesium menggunakan trapesium sebagai gantinya, meratakan dua tinggi ujung – biasanya lebih akurat. Dengan lebih banyak persegi panjang yang lebih tipis, estimasi membaik.

Keterampilan ujian: mampu menghitung estimasi kiri, kanan, titik tengah, dan trapesium dari tabel atau grafik, serta menyatakan apakah setiap taksiran lebih tinggi atau lebih rendah berdasarkan apakah fungsi tersebut naik/turun atau cekung ke atas/bawah.

Menulis jumlah Riemann dengan notasi penjumlahan $\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x$ dan membiarkan jumlah persegi panjang tumbuh tanpa batas memberikan luas eksak – integral tentu:

Integral adalah limit dari jumlah Riemann; $a$ dan $b$ adalah batas-batas integrasi.

Fungsi akumulasi $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ memberikan luas terkumulasi dari $a$ hingga $x$. Teorema Dasar Kalkulus (FTC) menyatakan bahwa turunannya adalah fungsi yang diintegralkan:

Diferensiasi dan integrasi adalah operasi terbalik. Dengan batas atas variabel dan aturan rantai, $\dfrac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt=f(u(x))\,u'(x)$.

Karena $g'(x)=f(x)$, grafik dari $f$ memberi Anda semua informasi tentang $g$: $g$ meningkat di mana $f>0$, menurun di mana $f<0$, memiliki ekstremum di mana $f$ melintasi nol, dan cekung ke atas di mana $f$ meningkat. Membaca koneksi-koneksi ini dari grafik $f$ merupakan tugas respons bebas klasik.

Integral tentu mematuhi aturan berguna: membalikkan batas mengubah tanda nilai ($\int_b^a=-\int_a^b$), integral atas interval lebar nol adalah $0$, mereka ditambahkan atas interval bersebelahan ($\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$), dan konstanta dapat dikeluarkan. Gunakan ini untuk menggabungkan atau memecah nilai integral yang diberikan.

Bentuk evaluasi FTC menghitung integral tentu dari antiturunan $F$ (di mana $F'=f$):

Jadi mengintegrasikan laju perubahan atas $[a,b]$ memberikan perubahan bersih dalam kuantitas – hasil yang paling sering digunakan dalam kursus.

Contoh terpecahkan. $\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx$: antiturunan adalah $F(x)=x^2+x$, sehingga nilainya adalah $F(3)-F(1)=12-2=10$.

Integral tak tentu $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ adalah keluarga semua antiturunan (sehingga konstanta integrasi $C$). Balikkan setiap aturan turunan: aturan pangkat menjadi $\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ (untuk $n\neq-1$), dengan $\int \frac1x\,dx=\ln|x|+C$, dan antiturunan dari $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, dan $\sec^2 x$ berasal langsung dari turunannya.

u-substitution membalikkan aturan rantai: pilih $u=g(x)$ sedemikian rupa sehingga $g'(x)$ juga muncul, mengubah $\int f(g(x))g'(x)\,dx$ menjadi $\int f(u)\,du$. Ingat untuk mengonversi $dx$ ke $du$ dan, untuk integral tentu, ubah batas-batasnya menjadi nilai-$u$ atau kembalikan ke $x$ di akhir.

Ketika fungsi rasional yang diintegrasikan "terlalu berat di atas" (derajat pembilang $\ge$ derajat penyebut), pembagian panjang menuliskannya kembali sebagai polinomial ditambah pecahan wajar yang dapat Anda integralkan. Melengkapi kuadrat sempurna pada penyebut mengubahnya menjadi bentuk seperti $u^2+a^2$, yang mengarah pada antiturunan arctangent $\frac1a\arctan\frac{u}{a}+C$.

Integrasi parsial membalikkan aturan perkalian:

Pilih $u$ agar menyederhanakan saat diturunkan dan $dv$ agar mudah diintegrasikan (panduan LIATE: logaritma, trigonometri invers, aljabar, trigonometri, eksponensial). Ini menangani perkalian seperti $\int x e^x\,dx$ dan $\int x\ln x\,dx$, terkadang diterapkan dua kali.

Contoh terpecahkan. Untuk $\int x e^x\,dx$, pilih $u=x$ ($du=dx$) dan $dv=e^x\,dx$ ($v=e^x$):

Pecahan parsial memecah fungsi rasional dengan penyebut yang dapat difaktorkan menjadi jumlah pecahan yang lebih sederhana:

setiap di antaranya terintegralkan menjadi logaritma. Teknik ini penting untuk persamaan diferensial logistik dalam bab berikutnya.

Sebuah integral tak hingga memiliki batas tak hingga dari pengintegralan atau diskontinuitas tak hingga pada fungsi yang diintegrasikan. Nilailah sebagai limit: $\int_a^\infty f\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f\,dx$. Jika limitnya adalah bilangan terbatas, integral tersebut konvergen; jika tidak, integral tersebut divergen.

Contoh terpecahkan. $\displaystyle\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^b=\lim_{b\to\infty}\left(1-\frac1b\right)=1$, sehingga ia konvergen ke $1$. Sebaliknya, $\int_1^\infty \frac1x\,dx$ menghasilkan $\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$ dan divergen – bentuk fungsi yang sama bisa berakhir dengan cara apa pun.

Ujian BC mengharapkan Anda untuk mengenal metode mana yang sesuai: aturan dasar, substitusi (pola aturan rantai), bagian per bagian (perkalian), pecahan parsial (rasional yang dapat difaktorkan), atau pembagian panjang/melengkapi kuadrat sempurna. Kemampuan melihat sebuah integral dan memilih alat yang tepat dengan cepat itu sendiri merupakan keterampilan yang diujikan.

• Integrasi adalah antidiferensiasi; gunakan aturan pangkat $\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ dan jangan lupa $+C$.
• Teorema Fundamental menghubungkan keduanya: $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$, dan $\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$.
• Perkirakan integral tertentu dengan jumlah Riemann atau aturan trapesium dari tabel nilai.
• Integral tertentu adalah luas bermula (di bawah sumbu dihitung negatif); pecah pada perubahan tanda untuk luas total.
• Gunakan substitusi u dan ingatlah untuk mengubah batas (atau-substitusi balik) sesuai.

Sebuah persamaan diferensial menghubungkan suatu fungsi dengan turunannya. Banyak situasi nyata dijelaskan oleh laju: "populasi tumbuh pada laju yang berbanding lurus dengan ukurannya" menjadi $\dfrac{dP}{dt}=kP$. Menyusun persamaan dari deskripsi lisan – mengidentifikasi apa yang berubah dan terhadap apa itu berbanding lurus – adalah keterampilan pertama.

Sebuah solusi adalah fungsi yang memenuhi persamaan. Untuk memverifikasi solusi yang diusulkan, turunkan fungsi tersebut dan substitusikan ke dalam persamaan, memeriksa apakah kedua sisi sama. Solusi umum mengandung konstanta $C$; solusi khusus menetapkan $C$ dari suatu kondisi.