IGCSE Mathematics · מתמטיקה IGCSE · Topic 5 · נושא 5
7:47
Mensuration · מידות גיאומטריות
The Great Pyramid of Giza has stood for four and a half thousand years. How much stone is inside it? About two and a half million cubic metres — and one…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · קריאת קול באנגלית · תרגום אנגלי + סינית שרוף בתוך הסרטון
This handout covers Topic 5, Mensuration (measuring length, area and volume). The Core and Extended content here is almost the same. In the exam, some formulas are given in the List of formulas, but you should still learn them all.
דף זה מכסה נושא 5, מנסורציה (מדידת אורך, שטח ונפח). התוכן הבסיסי והמתקדם כאן זהה כמעט לחלוטין. במבחן, חלק מהפורמולות נתונות בטבלת הפורמולות, אך עדיין יש ללמוד אותן כולן.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Use metric units of mass, length, area, volume and capacity in practical situations and convert quantities into larger or smaller units. | Units include: • mm, cm, m, km • $\text{mm}^2$, $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$ • $\text{mm}^3$, $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ • ml, l • g, kg. Conversion between units includes: • between different units of area, e.g. $\text{cm}^2 \leftrightarrow \text{m}^2$ • between units of volume and capacity, e.g. $\text{m}^3 \leftrightarrow \text{litres}$. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| השתמש ביחידות מטריות של מסה, אורך, שטח, נפח וקיבולת במצבים פרקטיים והפך כמות ליחידות גדולות או קטנות יותר. | היחידות כוללות: • מ"מ, ס"מ, מ', ק"מ • $\text{mm}^2$, $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$ • $\text{mm}^3$, $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ • מ"ל, ל' • ג', ק"ג. ההמרה בין יחידות כוללת: • בין יחידות שונות של שטח, לדוגמה $\text{cm}^2 \leftrightarrow \text{m}^2$ • בין יחידות של נפח וקיבולת, לדוגמה $\text{m}^3 \leftrightarrow \text{litres}$. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
We use metric 公制 units for mass 质量 (g, kg), length 长度 (mm, cm, m, km), area 面积, volume 体积 and capacity 容量 (ml, litres — the space inside a container).
To change units, be careful with squares and cubes:
Worked example. Convert $3\text{ m}^{2}$ to $\text{cm}^{2}$.
אנו משתמשים ביחידות מטריות עבור מסה (g, kg), אורך (mm, cm, m, km), שטח, נפח ו-קיבולת (ml, ליטר — המקום בתוך מיכל).
כדי לשנות יחידות, יש להיזהר עם ריבועים ומעריכים:
דוגמה מופתרת. המירו $3\text{ m}^{2}$ ל$\text{cm}^{2}$.
Choose the unit that matches the measurement scale. · בחר את היחידה המתאימה לקנה מידת המדידה.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Carry out calculations involving the perimeter and area of a rectangle, triangle, parallelogram and trapezium. | Except for area of a triangle, formulas are not given. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| בצע חישובים הקשורים להיקף ולשטח של מלבן, משולש, מקבילית ומלבנה. | למעט שטח של משולש, הנוסחות אינן נתונות. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Carry out calculations involving the perimeter and area of a rectangle, triangle, parallelogram and trapezium. | Except for the area of a triangle, formulas are not given. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| ביצוע חישובים העוסקים בהיקף ובשטח של מלבן, משולש, מקבילית וטרפז. | למעט שטח של משולש, הנוסחות אינן נתונות. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
The perimeter 周长 is the distance all the way round a shape. The area is the amount of flat space inside it. Here $b$ is the base 底 and $h$ is the perpendicular height 高.
| Shape | Area |
|---|---|
| rectangle 矩形 | $\text{length} \times \text{width}$ |
| triangle 三角形 | $\tfrac{1}{2} \times b \times h$ |
| parallelogram 平行四边形 | $b \times h$ |
| trapezium 梯形 | $\tfrac{1}{2}(a + b)h$, where $a$ and $b$ are the two parallel sides |
Worked example. A trapezium has parallel sides $6\text{ cm}$ and $10\text{ cm}$, and height $4\text{ cm}$. Find its area.
ההיקף הוא המרחק לכל אורך הגבול של הצורה. השטח הוא כמות החלל השטוח בתוכה. כאן $b$ הוא הבסיס ו$h$ הוא הגובה האנכי.
| צורה | שטח |
|---|---|
| מלבן | $\text{length} \times \text{width}$ |
| משולש | $\tfrac{1}{2} \times b \times h$ |
| מקבילית | $b \times h$ |
| טרפז | $\tfrac{1}{2}(a + b)h$, כאשר $a$ ו$b$ הן שתי הצלעות המקבילות |
דוגמה מופתרת. לטרפז יש צלעות מקבילות $6\text{ cm}$ ו$10\text{ cm}$, וגובה $4\text{ cm}$. מצאו את שטחו.
area = side^2 · שטח = צלע^2
Change side length and see why area grows quadratically. · שנו את אורך הצלע וראו מדוע השטח גדל באופן ריבועי.
| English | עברית |
|---|---|
| metric/ˈmetrɪk/ | מטרי |
| mass/mæs/ | מסה |
| length/leŋθ/ | אורך |
| area/ˈeərɪə/ | שטח |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. |
| 2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle, where the sector angle is a factor of $360^\circ$. | Formulas are given in the List of formulas. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 בצוע חישובים הקשורים להיקף ולשטח של מעגל. | ייתכן שתתבקש לתת תשובות בצורה עם $\pi$. |
| 2 בצוע חישובים הקשורים לאורך קשת ושטח משולש כשבר מההיקף והשטח של מעגל, כאשר זווית המשולש היא גורם של $360^\circ$. | הנוסחאות נתונות ברשימת הנוסחאות. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. Formulas are given in the List of formulas. |
| 2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle. | Includes minor and major sectors. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 ביצוע חישובים העוסקים בהיקף ובשטח של מעגל. | ייתכן שתתבקש לענות במונחי $\pi$. הנוסחאות ניתנות ברשימת הנוסחאות. |
| 2 ביצוע חישובים העוסקים באורך קשת ובשטח מקטע כשבר מההיקף ובשטח של מעגל. | כולל מקטעים מינוריים ומג'ורים. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
For a circle 圆 with radius 半径 $r$ (and diameter 直径 $d = 2r$):
The circumference 圆周 is the distance round the circle.
Worked example. A circle has radius $7\text{ cm}$. Find its circumference and area (leave $\pi$ in the answer).
לעיגול עם רדיוס $r$ (וקוטר $d = 2r$):
ההיקף הוא המרחק סביב המעגל.
דוגמה מפורטת. למעגל יש רדיוס $7\text{ cm}$. חשב את ההיקף והשטח שלו (השאיר $\pi$ בתשובה).
| English | עברית |
|---|---|
| circle/ˈsɜːkl/ | מעגל |
| radius/ˈreɪdɪəs/ | רדיוס |
| diameter/daɪˈæmɪtə/ | קוטר |
| circumference/sɜːˈkʌmfrəns/ | היקף |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. |
| 2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle, where the sector angle is a factor of $360^\circ$. | Formulas are given in the List of formulas. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 בצוע חישובים הקשורים להיקף ולשטח של מעגל. | ייתכן שתתבקש לתת תשובות בצורה עם $\pi$. |
| 2 בצוע חישובים הקשורים לאורך קשת ושטח משולש כשבר מההיקף והשטח של מעגל, כאשר זווית המשולש היא גורם של $360^\circ$. | הנוסחאות נתונות ברשימת הנוסחאות. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. Formulas are given in the List of formulas. |
| 2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle. | Includes minor and major sectors. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 ביצוע חישובים העוסקים בהיקף ובשטח של מעגל. | ייתכן שתתבקש לענות במונחי $\pi$. הנוסחאות ניתנות ברשימת הנוסחאות. |
| 2 ביצוע חישובים העוסקים באורך קשת ובשטח מקטע כשבר מההיקף ובשטח של מעגל. | כולל מקטעים מינוריים ומג'ורים. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
An arc 弧 is part of the circumference. A sector 扇形 is a "pizza slice" between two radii. If the sector angle is $\theta$, the arc and sector are that fraction $\dfrac{\theta}{360}$ of the whole circle:
A small slice is a minor sector 小扇形; the large rest is a major sector 大扇形.
Worked example. Find the arc length 弧长 and area of a sector with angle $90^{\circ}$ and radius $8\text{ cm}$.
The fraction is $\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$, so
קשת היא חלק מההיקף. משולש מעגלי הוא "פרוסת פיצה" בין שני רדיוסים. אם זווית המשולש היא $\theta$, הקשת והמשולש הם השבר $\dfrac{\theta}{360}$ של המעגל כולו:
פרוסה קטנה היא משולש מעגלי מינורי; החלק הגדול שנותר הוא משולש מעגלי מאיורי.
דוגמה מפורטת. חשב את אורך הקשת ושטח משולש מעגלי עם זווית $90^{\circ}$ ורדיוס $8\text{ cm}$.
השבר הוא $\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$, לכן
s = rθ · A = ½r²θ
A bigger angle or radius means a longer arc and larger sector area. · זווית או רדיוס גדולים יותר מובילים לקשת ארוכה ושטח סקטור גדול יותר.
Change the angle and radius and read off the arc length and sector area — a fraction of the whole circle. · שנה את הזווית ואת הרדיוס וקרא את אורך הקשת ושטח המלבנת — כשבר מכל המעגל.
| English | עברית |
|---|---|
| arc/ɑːk/ | קשת |
| sector/ˈsektə/ | תחום |
| minor sector/ˈmaɪnə ˈsektə/ | מיקרו-מיקום (קטע קטן) |
| major sector/ˈmeɪdʒə ˈsektə/ | מיקרו-מיקום (קטע גדול) |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | אורך קשת |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Carry out calculations and solve problems involving the surface area and volume of a: • cuboid • prism • cylinder • sphere • pyramid • cone. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. The following formulas are given in the List of formulas: • curved surface area of a cylinder • curved surface area of a cone • surface area of a sphere • volume of a prism • volume of a pyramid • volume of a cylinder • volume of a cone • volume of a sphere. The term prism refers to any solid with a uniform cross-section, e.g. a cylindrical sector. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| בצע חישובים ופתור בעיות הקשורות לשטח הפנים ולנפח של: • קובייה • גוף ישר • צילינדר • כדור • פירמידה • חרוט. | ייתכן שתתבקש לתת תשובות בצורה עם $\pi$. הנוסחאות הבאות נתונות ברשימת הנוסחאות: • שטח הצד של צילינדר • שטח הצד של חרוט • שטח הפנים של כדור • נפח של גוף ישר • נפח של פירמידה • נפח של צילינדר • נפח של חרוט • נפח של כדור. המונח "גוף ישר" מתייחס לכל גוף בעל חתך אחיד, לדוגמה ערך צילינדרלי. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
The surface area 表面积 is the total area of all the outside faces. The volume is the space inside. For these solids ($r$ = radius, $h$ = height):
| Solid | Volume | Surface area |
|---|---|---|
| cuboid 长方体 | $\text{length} \times \text{width} \times \text{height}$ | add the six faces |
| prism 棱柱 | (cross-section 横截面 area) $\times$ length | — |
| cylinder 圆柱 | $\pi r^{2} h$ | $2\pi r h$ (curved surface area 侧面积) $+\, 2\pi r^{2}$ |
| pyramid 棱锥 | $\tfrac{1}{3} \times \text{base area} \times h$ | — |
| cone 圆锥 | $\tfrac{1}{3}\pi r^{2} h$ | $\pi r l$ (curved) $+\, \pi r^{2}$, where $l$ is the slant height 斜高 |
| sphere 球 | $\tfrac{4}{3}\pi r^{3}$ | $4\pi r^{2}$ |
Worked example. A cylinder has radius $5\text{ cm}$ and height $10\text{ cm}$. Find its volume and total surface area (in terms of $\pi$).
השטח הפנים הוא השטח הכולל של כל הפנים החיצוניות. הנפח הוא המקום בפנים. עבור גופים אלו ($r$ = רדיוס, $h$ = גובה):
| גוף | נפח | שטח פנים |
|---|---|---|
| קוביה | $\text{length} \times \text{width} \times \text{height}$ | חבר את שש הפנים |
| גוף ישר | (שטח חתך רוחב) $\times$ אורך | — |
| צילינדר | $\pi r^{2} h$ | $2\pi r h$ (שטח פנים מעוגל) $+\, 2\pi r^{2}$ |
| פירמידה | $\tfrac{1}{3} \times \text{base area} \times h$ | — |
| קונוס | $\tfrac{1}{3}\pi r^{2} h$ | $\pi r l$ (מעוגל) $+\, \pi r^{2}$, כאשר $l$ הוא הגובה האלכסוני |
| כדור | $\tfrac{4}{3}\pi r^{3}$ | $4\pi r^{2}$ |
דוגמה מפורטת. לצילינדר יש קוטר $5\text{ cm}$ וגובה $10\text{ cm}$. מצאו את נפחו ואת שטח הפנים הכולל (בעזרת $\pi$).
surface area grows with scale^2 · שטח הפנים גדל ביחס למעלה^2
Change length scale and see volume grow faster than surface area. · שנו את קנה המידה האורכי והצפו לנפח לגדול מהר משטח הפנים.
| English | עברית |
|---|---|
| volume/ˈvɒljuːm/ | נפח |
| capacity/kəˈpæsɪti/ | קיבולת |
| perimeter/pəˈrɪmɪtə/ | היקף |
| base/beɪs/ | בסיס |
| height/haɪt/ | גובה |
| rectangle/ˈrektæŋɡl/ | מלבן |
| triangle/ˈtraɪæŋɡl/ | משולש |
| parallelogram/ˌpærəˈleləɡræm/ | מקבילית |
| trapezium/trəˈpiːzɪəm/ | טרפז |
| surface area/ˈsɜːfɪs ˈeərɪə/ | שטח פני |
| cuboid/ˈkjuːbɔɪd/ | קובייה מוארכת (תאבוק) |
| prism/ˈprɪzəm/ | גוף זוויתי |
| cross-section/krɒs ˈsekʃn/ | חצייה רוחבית |
| cylinder/ˈsɪlɪndə/ | צילינדר |
| curved surface area/kɜːvd ˈsɜːfɪs ˈeərɪə/ | שטח פנים מעוגל |
| pyramid/ˈpɪrəmɪd/ | פירמידה |
| cone/kəʊn/ | חרוט |
| slant height/slænt haɪt/ | גובה אלכסוני |
| sphere/sfɪə/ | כדור |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations and solve problems involving perimeters and areas of: • compound shapes • parts of shapes. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. |
| 2 Carry out calculations and solve problems involving surface areas and volumes of: • compound solids • parts of solids. | e.g. find the volume of half of a sphere. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 בצוע חישובים ופתור בעיות הקשורות להיקפים ולשטחים של: • צורות מורכבות • חלקים מצורות. | ייתכן שתתבקש לתת תשובות בצורה עם $\pi$. |
| 2 בצוע חישובים ופתור בעיות הקשורות לשטחי פנים ולנפחים של: • גופים מורכבים • חלקים מגופים. | לדוגמה: מצא את הנפח של חצי מכדור. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations and solve problems involving perimeters and areas of: • compound shapes • parts of shapes. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. |
| 2 Carry out calculations and solve problems involving surface areas and volumes of: • compound solids • parts of solids. | e.g. find the surface area and volume of a frustum. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 בצוע חישובים ופתור בעיות הקשורות להיקפים ולשטחים של: • צורות מורכבות • חלקים מצורות. | ייתכן שתתבקש לתת תשובות בצורה עם $\pi$. |
| 2 ביצוע חישובים ופתרון בעיות העוסקות בשטחי פנים ובנפחים של: • גוף מורכב • חלקי גוף. | לדוגמה: מציאת שטח הפנים והנפח של פרוסת קונוס. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
A compound shape 组合图形 is made by joining or cutting simple shapes. Split it into parts you know, then add or subtract.
For "parts" of a circle or solid, take the right fraction. For example, a hemisphere 半球 (half a sphere) has volume
A frustum 平截头体 is a cone or pyramid with its top cut off; find its volume by subtracting the small top cone from the whole cone.
Worked example. Find the area of a shape made of a rectangle $8\text{ cm} \times 5\text{ cm}$ with a semicircle of diameter $5\text{ cm}$ on one end.
The semicircle has radius $2.5\text{ cm}$:
צורה מורכבת נוצרת מהצמדת או חיתוך של צורות פשוטות. פרקו אותה לחלקים הידועים לכם, ואז תוסיפו או תחסרו.
עבור "חלקים" של עיגול או צורה מוצקה, קחו את השבר המתאים. לדוגמה, למחצית כדור (המיספירה) יש נפח
פרוסת חרוט היא חרוט או פירמידה שראשה נחתך; מצאו את נפחה על ידי חיסור החרוט הקטן העליון מהחרוט השלם.
דוגמה מפורטת. מצאו את שטח הצורה הנוצרת מריבוע $8\text{ cm} \times 5\text{ cm}$ עם מחצית עיגול בקוטר $5\text{ cm}$ בקצה אחד.
למחצית העיגול יש קוטר $2.5\text{ cm}$:
Break a compound shape into simple parts, then recombine. · פרקו צורה מורכבת לחלקים פשוטים, ואז איחדו אותם מחדש.
| English | עברית |
|---|---|
| compound shape/ˈkɒmpaʊnd ʃeɪp/ | צורה מורכבת |
| hemisphere/ˈhemɪsfɪə/ | חצי כדור |
| frustum/ˈfrʌstəm/ | פיסטה (חרוט חתוך) |
Work through it step by step, with instant-check exercises. · לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.
Loading subjects… · טוען נושאים…