אלגברה וגרפים

באלגברה אנחנו משתמשים באותיות כדי לייצג מספרים. אות שערך שלה יכול להשתנות היא משתנה. הצבה פירוטה להציב מספר במקום האות.

דוגמה מופת. מצאו את הערך של $3x^{2} - 2y$ כאשר $x = 4$ ו$y = 5$.

איבר הוא חלק יחיד בביטוי, כמו $5a$ או $-9b$. איברים דומים הם בעלי בדיוק אותיות זהות; ניתן לחבר או לחסר אותם. המספר שמופיע לפני האות הוא מקדם.

דוגמה מפורטת. פשטו $2a^{2} + 3ab - 1 + 5a^{2} - 9ab + 4$.

אסוף איברים דומים: $2a^{2} + 5a^{2} = 7a^{2}$, $3ab - 9ab = -6ab$, $-1 + 4 = 3$. לכן התשובה היא

להפריק אגפים פתוחים (לשלוף סוגריים) כולל כפל. הכפל כל איבר בתוך הסוגריים באיבר מחוץ להם; בשני סוגריים, הכפל כל איבר בראשון בכל איבר בשני.

דוגמאות מפורטות.

עבור שלושה סוגריים (מתקדם), פתח שניים תחילה, ואז הכפל בסוגר השלישי:

לפרק לגורמים הוא הפועל ההפוך לפתיחה: כתוב את הביטוי כמכפלת סוגריים. תמיד הוצא תחילה את הגורם המשותף.

דוגמה מופתרת. $9x^{2} + 15xy = 3x(3x + 5y)$, מכיוון ש$3x$ מחלק את שני האיברים.

התבניות הבאות הן מתקמות.

קבוצות (ארבעה איברים): הוצא גורם משותף מכל זוג.

הפרש ריבועים: $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$.

ריבוע מושלם: $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$.

ביטויים ריבועיים $ax^{2} + bx + c$: מצא שני מספרים שמכפלתם היא $a \times c$ וסכומם $b$, והפרד את האיבר האמצעי.

דוגמה מופתרת. פרק לגורמים $2x^{2} + 7x + 3$.

כאן $a \times c = 6$ ו$b = 7$. המספרים $1$ ו$6$ מתאימים. הפרד וקבץ:

עבור $ax^{3} + bx^{2} + cx$, הוצא תחילה את הגורם המשותף $x$: $2x^{3} + 7x^{2} + 3x = x(2x^{2} + 7x + 3) = x(x + 3)(2x + 1)$.

השלמת ריבוע כותבת מחדש את $x^{2} + bx + c$ כ$(x + p)^{2} + q$. קח חצי מהמקדם של $x$, העלה בריבוע, ואז איזן.

דוגמה פתורה. כתוב את $x^{2} + 6x + 1$ בצורת ריבוע משלים.

חצי מ$6$ הוא $3$, ו$3^{2} = 9$:

כאשר ל-$x^{2}$ יש מקדם, הוצא אותו קודם מהאיברים הראשונים:

שבר אלגברי הוא שבר בו יש אלגברה במונה או במכנה. חבר ומחסר באמצעות מכנה משותף; כפול וחלק כמו בשברים רגילים.

דוגמאות מפורטות.

לצמצם ביטוי רציונלי, פרק למכפלים את המונה והמכנה, ולאחר מכן צמצם סוגריים משותפים.

חוקי המעריכים עובדים גם עם אותיות: $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$, $a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$, ו$(a^{m})^{n} = a^{mn}$.

דוגמאות מפורטות.

ניתן גם לפתור משוואות מעריכים פשוטות על ידי כתיבת שני האגפים באותו בסיס.

דוגמה פתורה. פתור $2^{x} = 32$. מכיוון ש$32 = 2^{5}$, תקבל $x = 5$.

משוואה אומרת ששני ביטויים שווים. כדי לפתור משוואה ליניארית, ביצע את אותה פעולה בשני האגפים עד שהנעלם יישאר לבד.

דוגמה מופתרת. פתור את $5 - 2x = 3(x + 7)$.

משוואות שבריות (רחב)

משוואה שברית היא משוואה בה הנעלם נמצא במכנה. כפל את שני האגפים במכנה כדי להסיר אותו.

דוגמה מופתרת. פתור את $\dfrac{x}{2x + 1} = 4$.

משוואות בו-זמניות

משוואות סימולטניות הן שתי משוואות הפותרות יחד. עבור שתי משוואות ליניאריות, חבר או חסר כדי להסיר אות אחת.

דוגמה פתורה. פתור $2x + y = 7$ ו$3x - y = 8$.

הוספת מוסיפה $y$: $5x = 15$, ולכן $x = 3$. לאחר מכן $y = 7 - 2(3) = 1$.

למשוואה ליניארית אחת ומשוואה ריבועית אחת (מורחב), הצב את הליניארית בתוך העקומה.

דוגמה פתורה. פתור $y = x + 2$ ו$y = x^{2}$.

ולכן $x = 2$ (הנותן $y = 4$) או $x = -1$ (הנותן $y = 1$).

פתרון משוואות ריבועיות (מורחב)

ישנן שלוש שיטות.

• על ידי פירוק לגורמים: $x^{2} + 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x + 2)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = -2$ או $x = -3$.
• על ידי השלמה לריבוע: $x^{2} + 6x + 1 = 0 \Rightarrow (x + 3)^{2} = 8 \Rightarrow x + 3 = \pm 2\sqrt{2} \Rightarrow x = -3 \pm 2\sqrt{2}$.
• על ידי הנוסחה לדיסקרימיננטה, הנתונה במבחן:
  $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}.$$

דוגמה מוצעת (נוסחה). פתור $2x^{2} + 3x - 1 = 0$. כאן $a = 2$, $b = 3$, $c = -1$:

שינוי נושא

כדי שנות את הנושא של נוסחה, יש לסדר אותה כך שאות נבחרת תהיה לבדה בצד אחד.

דוגמה מוצעת. עשה את $r$ לנושא של $A = \pi r^{2}$ (מורחב, בשל החזקה).

כאשר האות מופיעה פעמיים (מורחב), אסוף את האיברים האלה ופצל. כדי לעשות את $x$ לנושא של $y = \dfrac{x + 1}{x - 1}$:

אי-שוויון משתמש ב$<$, $>$, $\leqslant$ או $\geqslant$. פתור אותו כמו משוואה, אך הפוך את הסימן אם כופלים או מחלקים במספר שלילי.

דוגמה מופתרת. פתור את $-3 \leqslant 3x - 2 < 7$.

הוסף $2$ לכל החלקים, ולאחר מכן חלק ב$3$:

על ציר המספרים, השתמש בעיגול פתוח עבור $<$ או $>$ (ערך לא כלול) ועיגול סגור עבור $\leqslant$ או $\geqslant$ (ערך כלול).

אזורים (הרחבה)

אי-שוויון בשני אותיות מתאר אזור בגרף. ציירו את הקו הגבולי (מפוספס עבור $<$ או $>$, רציף עבור $\leqslant$ או $\geqslant$) וצלבו את הצד הרצוי. ייתכן שתבקשו גם לרשום את אי-השוויונים המגדירים אזור נתון.

סדרה היא רשימת מספרים הנחייקים כלל מסוים. הכלל מהאיבר לקודמו מורה כיצד למצוא את האיבר הבא מהאיבר שקדם לו.

כדי למצוא את הכלל לאיבר במיקום $n$ (ה-$n$ איבר), השתמשו בשינויים בין האיברים.

סדרה ליניארית (האיברים עולים באותו סכום בכל פעם). ההפרש הוא כפולה של $n$.

דוגמה מפורטת. מצאו את ה-$n$ איבר של $2, 5, 8, 11, \dots$

האיברים עולים ב-$3$, ולכן התחילו עם $3n$. מכיוון ש-$3 \times 1 = 3$ אך האיבר הראשון הוא $2$, חסרו $1$: ה-$n$ איבר הוא $3n - 1$.

סדרה ריבועית (ההפרשים עצמם משתנים באותו סכום). ההפרש השני שווה ל-$2 \times$ המקדם של $n^{2}$.

דוגמה מפורטת. מצאו את ה-$n$ איבר של $2, 5, 10, 17, \dots$

ההפרשים הראשונים הם $3, 5, 7$; ההפרש השני הוא $2$, ולכן חלק ה-$n^{2}$ הוא $1n^{2}$. בהחסרת $n^{2}$ ($1, 4, 9, 16$) מהסדרה נותרה $1, 1, 1, 1$. לכן האיבר ה-$n$ הוא $n^{2} + 1$.

סדרה קובית כמו $1, 8, 27, 64, \dots$ יש לה $n$ איבר $n^{3}$. סדרה מעריכית כמו $2, 6, 18, 54, \dots$ כופלת במספר קבוע בכל פעם; כאן ה-$n$ איבר הוא $2 \times 3^{\,n-1}$.

שתי כמויות נמצאות ב-יחס ישיר אם האחת היא תמיד כפולה קבועה של השנייה: $y \propto x$ משמעותו $y = kx$, כאשר $k$ הוא קבוע. הן נמצאות ב-יחס הפוך אם אחת עולה כאשר השנייה יורדת: $y \propto \dfrac{1}{x}$ משמעותו $y = \dfrac{k}{x}$. הסמל $\propto$ נקרא "יחס proportionality ל-". ניתן גם להיות ביחס לריבוע, שורש ריבועי, מערך או שורש מערכי.

דוגמה מפורטת. $y$ נמצא בפרופורציה ישירה ל-$x$, וערכו $y = 12$ כאשר $x = 3$. מצאו $y$ כאשר $x = 7$.

תחילה מצאו את $k$: $12 = k \times 3$, ולכן $k = 4$ ו-$y = 4x$. לאחר מכן $y = 4 \times 7 = 28$.

השיפוע (המדרגה) של גרף מראה קצב שינוי.

• גרף מסע (גרף מרחב–זמן) בעל שיפוע השווה למהירות; חלק שטוח מציע שהגוף אינו נע.
• גרף המרה הוא קו ישר המשמש להמרה בין שני יחידות (לדוגמה, מיילים וקילומטרים).

גרפי מהירות–זמן (הרחבה)

בגרף מהירות–זמן השיפוע הוא האצה (או התאטה אם המהירות יורדת), והשטח מתחת לגרף הוא המרחק שעבר.

דוגמה פותרת. רכב מאיץ ממצב רך עד $20\text{ m/s}$ בתוך $8\text{ s}$, ולאחר מכן נשאר ב$20\text{ m/s}$ במשך $12\text{ s}$. מצאו את ההאצה ואת המרחק הכולל.

האצה $= \dfrac{20}{8} = 2.5\text{ m/s}^{2}$. המרחק הוא השטח: משולש פלו מלבן,

ציור גרף דורש טבלת ערכים: בחרו ערכים של $x$, חשבו $y$, ציירו את הנקודות וחברו ביניהן בקו חלק.

הנקודות בהן הגרף חותך את ציר ה$x$ (הציר האופקי) הן השורשים — הפתרונות של $y = 0$.

ניתן לפתור משוואה על ידי קריאת גרף. נקודת החיתוך של קו ועקומה נותנת את הפתרון לשתי המשוואות יחד.

עבור צמיחה מעריכית ונפילה מעריכית, הגרף של $y = a\,b^{x} + c$ עולה (או יורד)越来越快并趋近于水平线。

ציור מהיר אמור להראות את הצורה הנכונה והתכונות המרכזיות: היכן הוא חותך את הצירים, כל סימטריה, וכל קו שהעקומה שואפת אליו.

לפרבולה, השלמה לריבוע נותנת את נקודת הקצה (הנקודה הנמוכה או הגבוהה ביותר). לדוגמה, ל-$y = (x + 3)^{2} - 8$ יש נקודת קצה ב-$(-3, -8)$.

אסימפטוטה היא קו שהעקומה מתקרבת אליו越来越 but never touches — למשל, ציר ה-$x$ עבור $y = \dfrac{a}{x}$, או הקו $y = b$ עבור $y = a\,r^{x} + b$.

גזירה מוצאת את השיפוע של עקומה בכל נקודה. ניתן להעריך זאת על ידי שרטוט משיק (קו שמגע בעקומה בנקודה אחת בלבד) ומדידת השיפוע שלו.

הכלל המדויק: אם $y = ax^{n}$, אז ה-נגזרת היא

גזור סכום איבר איבר.

דוגמה מפורטת. אם $y = x^{3} + 2x^{2} - 5x$, אזי $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 3x^{2} + 4x - 5$.

נקודת עצירה (נקודת קצה) היא שם שבה השיפוע הוא אפס, ולכן משווים $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0$ לאפס.

דוגמה מפורטת. מצאו את נקודת הקצה של $y = x^{2} - 6x + 5$.

נקודת הקצה היא $(3, -4)$. כדי לקבוע האם נקודת קצה היא מקסימום או מינימום, בדקו את סימן השיפוע בשני צדדיה, או השתמשו בנגזרת השנייה (חיובי פירושו מינימום).

פונקציה ממירה כל קלט ליציאה אחת. אנו כותב $f(x)$, לדוגמה $f(x) = 3x - 5$, כך ש-$f(2) = 1$. קבוצת הקלטים המותרים היא התחום; קבוצת תוצאות האפשריות היא הטווח.

הפונקציה ההפוכה $f^{-1}(x)$ ביטול הפונקציה. למציאתה, כתוב $y = f(x)$, החלף את התפקידים, והפוך ל-$x$.

דוגמה מפורטת. מצא את ההפוך של $f(x) = 3x - 5$.

פונקציה מורכבת יישמת פונקציה אחת לאחר השנייה: $gf(x)$ פירושו "עשה $f$ תחילה, אחר כך $g$".

דוגמה מופרשת. אם $f(x) = 2x$ ו-$g(x) = x + 3$, אז

• כאשר פותחים סוגריים, הכפל כל איבר ושים לב לחזקות, במיוחד עם מינוס מול: $-(x - 3) = -x + 3$.
• כדי לפתור משוואה, עשה אותו דבר בשני הצדדים. כאשר מכפילים או מחלקים אי-שוויון במספר שלילי, הפוך את הסימן.
• פירוק לגורמים: קח תחילה את הגורם המשותף הגדול ביותר, אחר כך חפש הפרש ריבועים או דפוס ריבועי.
• ריבועי בדרך כלל יש שתי פתרונות – תן את שניהם. בדוק האם השאלה רוצה פירוק, הנוסחה, או השלמת ריבוע.
• בהצבה בנוסחה, הנח כל ערך בסוגריים תחילה, כך שחזקות וסימנים יצאו נכון.