IGCSE Mathematics (0580) covers number, algebra and graphs, coordinate geometry, geometry, mensuration, trigonometry, transformations and vectors, probability and statistics.
Entry splits between Core and Extended, and Extended reaches noticeably further in algebra and trigonometry — confirm your tier before choosing what to practise.
Method marks are given for written work. A numerically wrong answer can still score most of the marks if the working is visible, and a correct answer with no working can score fewer. Writing every line is not neatness — it is points.
This handout covers Topic 1, Number. Cambridge Maths has two levels: Core and Extended. Parts marked (Extended) are only tested on the Extended papers; everything else is for both levels.
דף זה מכסה את הנושא 1, מספר. מתמטיקה Cambridge מציעה שני רמות: בסיסית (Core) ומורחבת (Extended). חלקים המסומנים (Extended) נבדקים רק בבחנים המורחבים; שאר החלקים מתאימים לשתי הרמות.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Identify and use: • natural numbers • integers (positive, zero and negative) • prime numbers • square numbers • cube numbers • common factors • common multiples • rational and irrational numbers • reciprocals. | Example tasks include: • convert between numbers and words, e.g. six billion is 6000000000 10007 is ten thousand and seven • express 72 as a product of its prime factors • find the highest common factor (HCF) of two numbers • find the lowest common multiple (LCM) of two numbers. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| זיהוי ושימוש ב: • מספרים טבעיים • שלמים (חיוביים, אפס ושליליים) • מספרים ראשוניים • מספרים ריבועיים • מספרים מעוכבים • גורמים משותפים • מכפלות משותפות • מספרים רציונליים ואי-רציונליים • הפוכים. | דוגמאות למשימות כוללות: • המרה בין מספרים למילים, לדוגמה: שישה מיליארד הם 6000000000 10007 הם עשר אלפים ושבע • ביטוי 72 כמכפלה של גורמים ראשוניים • מציאת הגורם המשותף הגדול ביותר (HCF) של שני מספרים • מציאת המכפלה המשותפת הקטנה ביותר (LCM) של שני מספרים. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
You must know the words for the different kinds of number. Examiners give marks for using them correctly.
Every integer above $1$ is prime, or can be written as a product 乘积 of prime numbers. To write a number as a product of its prime factors 质因数, keep dividing by the smallest prime that fits.
Worked example. Write $72$ as a product of its prime factors.
The highest common factor (HCF) 最大公因数 of two numbers is the largest factor they share. The lowest common multiple (LCM) 最小公倍数 is the smallest multiple they share. Prime factors give a quick method.
Worked example. Find the HCF and LCM of $72$ and $120$.
First write each as a product of primes:
אתה חייב לדעת את המילים עבור סוגי המספרים השונים. בוחנים נותנים ציונים על שימוש נכון בהם.
כל שלם מעל $1$ הוא ראשוני, או ניתן לכתוב כ-מכפלה של מספרים ראשוניים. כדי לכתוב מספר כמכפלה של גורמים ראשוניים, משיכים לחלק בקטן ביותר שמתאים.
דוגמה פותרת. כתבו $72$ כמכפלה של גורמים ראשוניים.
הגורם המשותף הגדול ביותר (HCF) של שני מספרים הוא הגורם הגדול ביותר שהם משתפים ביניהם. המכפלה המשותפת הקטנה ביותר (LCM) היא המכפלה הקטנה ביותר שהם משתפים ביניהם. גורמים ראשוניים מספקים שיטה מהירה.
דוגמה מופתרת. מצאו את ה-HCF וה-LCM של $72$ ו-$120$.
תחילה כתבו כל אחד מהם כמכפלת גורמים ראשוניים:
Every counting number is also an integer, every integer a rational — see how the number sets nest, and how union and intersection combine them. · כל מספר חיובי שלמה הוא גם מספר שלם, וכל מספר שלם הוא רציונלי — ראו כיצד קבוצות המספרים משתלבות זו בתוך זו, וכיצד איחוד וחיתוך משלבים אותן.
| English | עברית |
|---|---|
| natural number/ˈnætʃərəl ˈnʌmbə/ | מספר טבעי |
| integer/ˈɪntɪdʒə/ | מספר שלם |
| factor/ˈfæktə/ | גורם |
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | שארית |
| set/set/ | סט |
| element/ˈelɪmənt/ | אלמנט |
| universal set/ˌjuːnɪˈvɜːsl set/ | קבוצה אוניברסלית |
| complement/ˈkɒmplɪmənt/ | משלים |
| empty set/ˈempti set/ | קבוצה ריקה |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Understand and use set language, notation and Venn diagrams to describe sets. | Venn diagrams are limited to two sets. The following set notation will be used: • $n(A)$ Number of elements in set $A$ • $A'$ Complement of set $A$ • $\mathscr{E}$ Universal set • $A \cup B$ Union of $A$ and $B$ • $A \cap B$ Intersection of $A$ and $B$. Example definition of sets: $A = \{x : x \text{ is a natural number}\}$ $B = \{a, b, c, \dots\}$ $C = \{x : a \leqslant x \leqslant b\}$. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| הבן והשתמש בשפה, סימונים ותרשימי ון כדי לתאר קבוצות. | תרשימי ון מוגבלים לשתי קבוצות. הסימונים הבאים עבור קבוצות יושמשו: • $n(A)$ מספר האלמנטים בקבוצה $A$ • $A'$ משלים של קבוצה $A$ • $\mathscr{E}$ קבוצה אוניברסלית • $A \cup B$ איחוד של $A$ ו$B$ • $A \cap B$ חיתוך של $A$ ו$B$. הגדרת דוגמה לקבוצות: $A = \{x : x \text{ is a natural number}\}$ $B = \{a, b, c, \dots\}$ $C = \{x : a \leqslant x \leqslant b\}$. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Understand and use set language, notation and Venn diagrams to describe sets and represent relationships between sets. | Venn diagrams are limited to two or three sets. The following set notation will be used: • $n(A)$ Number of elements in set $A$ • $\in$ "... is an element of ..." • $\notin$ "... is not an element of ..." • $A'$ Complement of set $A$ • $\varnothing$ The empty set • $\mathscr{E}$ Universal set • $A \subseteq B$ $A$ is a subset of $B$ • $A \nsubseteq B$ $A$ is not a subset of $B$ • $A \cup B$ Union of $A$ and $B$ • $A \cap B$ Intersection of $A$ and $B$. Example definition of sets: $A = \{x : x \text{ is a natural number}\}$ $B = \{(x, y) : y = mx + c\}$ $C = \{x : a \leqslant x \leqslant b\}$ $D = \{a, b, c, \dots\}$. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| הבן והשתמש בשפת קבוצות, סימון ודיאגרמות ון כדי לתאר קבוצות ולהציג יחסים ביניהן. | דיאגרמות ון מוגבלות לשתי או שלוש קבוצות. הסימום הבא יושמש: • $n(A)$ מספר האלמנטים בקבוצה $A$ • $\in$ "... הוא אלמנט של ..." • $\notin$ "... אינו אלמנט של ..." • $A'$ משלים של קבוצה $A$ • $\varnothing$ הקבוצה הריקה • $\mathscr{E}$ הקבוצה האוניברסלית • $A \subseteq B$ $A$ היא תת-קבוצה של $B$ • $A \nsubseteq B$ $A$ אינה תת-קבוצה של $B$ • $A \cup B$ איחוד של $A$ ו-$B$ • $A \cap B$ חיתוך של $A$ ו-$B$. הגדרת דוגמה לקבוצות: $A = \{x : x \text{ is a natural number}\}$ $B = \{(x, y) : y = mx + c\}$ $C = \{x : a \leqslant x \leqslant b\}$ $D = \{a, b, c, \dots\}$. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
A set 集合 is a collection of objects. Each object in the set is an element 元素 of the set. You should know this notation:
| Symbol | Meaning |
|---|---|
| $n(A)$ | the number of elements in set $A$ |
| $x \in A$ | $x$ is an element of $A$ |
| $x \notin A$ | $x$ is not an element of $A$ |
| $\mathscr{E}$ | the universal set 全集 — everything being talked about |
| $A'$ | the complement 补集 of $A$ — everything not in $A$ |
| $\varnothing$ | the empty set 空集 — a set with no elements |
| $A \subseteq B$ | $A$ is a subset 子集 of $B$ — every element of $A$ is also in $B$ |
| $A \cup B$ | the union 并集 — elements in $A$ or $B$ or both |
| $A \cap B$ | the intersection 交集 — elements in both $A$ and $B$ |
A Venn diagram 维恩图 draws each set as a circle inside a rectangle (the universal set). Core uses two sets; Extended may use three.
Worked example. $\mathscr{E} = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, $A = \{\text{even numbers}\}$, $B = \{\text{multiples of } 3\}$.
You may also see a set written as a rule, e.g. $C = \{x : 1 \leqslant x \leqslant 5\}$ means "all values $x$ such that $1 \leqslant x \leqslant 5$".
קבוצה היא אוסף של אובייקטים. כל אובייקט בקבוצה הוא איבר של הקבוצה. עליכם לדעת סימון זה:
| סמל | משמעות |
|---|---|
| $n(A)$ | מספר האיברים בקבוצה $A$ |
| $x \in A$ | $x$ הוא איבר של $A$ |
| $x \notin A$ | $x$ אינו איבר של $A$ |
| $\mathscr{E}$ | הקבוצה האוניברסלית — כל מה שנדון |
| $A'$ | המשלים של $A$ — כל מה שלא נמצא ב-$A$ |
| $\varnothing$ | הקבוצה הריקה — קבוצה ללא איברים |
| $A \subseteq B$ | $A$ היא תת-קבוצה של $B$ — כל אלמנט ב-$A$ נמצא גם ב-$B$ |
| $A \cup B$ | איחוד — איברים הנמצאים ב-$A$ או ב-$B$ או בשניהם |
| $A \cap B$ | חיתוך — איברים הנמצאים גם ב-$A$ וגם ב-$B$ |
תרשים ון מצייר כל קבוצה כמעגל בתוך מלבן (הקבוצה האוניברסלית). השימוש הבסיסי כולל שתי קבוצות; הרחבה עשויה להשתמש בשלוש.
דוגמה מפורטת. $\mathscr{E} = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, $A = \{\text{even numbers}\}$, $B = \{\text{multiples of } 3\}$.
ייתכן ותראה קבוצה כתובה לפי כלל, למשל $C = \{x : 1 \leqslant x \leqslant 5\}$ פירושו "כל הערכים $x$ כך ש-$1 \leqslant x \leqslant 5$".
Tap the regions to see union, intersection and complement — the language of sets. · לחץ באזורים כדי לראות איחוד, חיתוך ומשלים — השפה של קבוצות.
| English | עברית |
|---|---|
| multiple/ˈmʌltɪpl/ | מכפלה |
| common factor/ˈkɒmən ˈfæktə/ | גורם משותף |
| common multiple/ˈkɒmən ˈmʌltɪpl/ | כפולה משותפת |
| prime number/praɪm ˈnʌmbə/ | מספר ראשוני |
| square number/skweə ˈnʌmbə/ | מסריבועי |
| cube number/kjuːb ˈnʌmbə/ | מקובי |
| rational number/ˈræʃənl ˈnʌmbə/ | מספר רציונלי |
| fraction/ˈfrækʃn/ | שבר (חלקיק) |
| irrational number/ɪˈræʃənl ˈnʌmbə/ | מספר אי-רציונלי |
| reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ | הופכי |
| product/ˈprɒdʌkt/ | מוצר |
| prime factor/praɪm ˈfæktə/ | גורם ראשוני |
| highest common factor/ˈhaɪɪst ˈkɒmən ˈfæktə/ | מכנה משותף גדול ביותר |
| lowest common multiple/ˈləʊɪst ˈkɒmən ˈmʌltɪpl/ | מכפלה משותפת קטנה ביותר |
| subset/ˈsʌbset/ | תת-קבוצה |
| union/ˈjuːnɪən/ | איחוד |
| intersection/ˌɪntəˈsekʃn/ | חתך |
| Venn diagram/ven ˈdaɪəɡræm/ | תרשים ון |
| power/ˈpaʊə/ | הספק |
| index/ˈɪndeks/ | מדד |
| square root/skweə ruːt/ | שורש ריבועי |
| cube root/kjuːb ruːt/ | שורש קובי |
| base/beɪs/ | בסיס |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Calculate with the following: • squares • square roots • cubes • cube roots • other powers and roots of numbers. | Includes recall of squares and their corresponding roots from 1 to 15, and recall of cubes and their corresponding roots of 1, 2, 3, 4, 5 and 10, e.g.: • Write down the value of $\sqrt{169}$ . • Work out $5^2 \times \sqrt[3]{8}$ . |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| חשבון עם הפעולות הבאות: • ריבועים • שורשים ריבועיים • מעריכים • שורשים מעריכיים • מערכים ושורשים אחרים של מספרים. | כולל זיכרון של ריבועים ושורשיהם המתאימים מ-1 עד 15, וזיכרון של מעריכים ושורשיהם המתאימים של 1, 2, 3, 4, 5 ו-10, למשל: • כתוב את הערך של $\sqrt{169}$. • חשב את $5^2 \times \sqrt[3]{8}$. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Calculate with the following: • squares • square roots • cubes • cube roots • other powers and roots of numbers. | Includes recall of squares and their corresponding roots from 1 to 15, and recall of cubes and their corresponding roots of 1, 2, 3, 4, 5 and 10, e.g.: • Write down the value of $\sqrt{169}$. • Work out $5^2 \times \sqrt[3]{8}$. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| חשב עם הפעולות הבאות: • ריבועים • שורשים ריבועיים • קוביות • שורשי קוביה • חזקות ושורשים אחרים למספרים. | כולל היכרות עם ריבועים ושורשיהם המתאימים מה-1 ל-15, והיכרות עם קוביות ושורשיהם המתאימים של 1, 2, 3, 4, 5 ו-10, לדוגמה: • כתוב את הערך של $\sqrt{169}$. • חשב את $5^2 \times \sqrt[3]{8}$. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
You should be able to recall the squares from $1^2$ to $15^2$ (and their roots), and the cubes of $1, 2, 3, 4, 5$ and $10$.
Worked example. Work out $5^{2} \times \sqrt[3]{8}$.
יש לזכור את הריבועים מהמספר $1^2$ ועד המספר $15^2$ (ושורשיהם), ואת הקוביות של $1, 2, 3, 4, 5$ ו-$10$.
דוגמה מפורטת. חשב את $5^{2} \times \sqrt[3]{8}$.
square = x^2 · ריבוע = x^2
Change the base and see powers grow while roots undo powers. · שנו את הבסיס וראו כיצד מערכים גדלים בעוד ששורשים מבטלים מערכים.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand and use indices (positive, zero and negative integers). | e.g. find the value of $7^{-2}$. |
| 2 Understand and use the rules of indices. | e.g. find the value of $2^{-3} \times 2^4$, $(2^3)^2$, $2^3 \div 2^4$. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 הבנה והשתמש במעריכים (מסרים שלמים חיוביים, אפס ושליליים). | למשל: מצא את הערך של $7^{-2}$. |
| 2 הבנה והשתמש בחוקי המעריכים. | למשל: מצא את הערך של $2^{-3} \times 2^4$, $(2^3)^2$, $2^3 \div 2^4$. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand and use indices (positive, zero, negative, and fractional). | Examples include: • $6^{\frac{1}{2}} = \sqrt{6}$ • $16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16}$ • find the value of $7^{-2}$, $81^{\frac{1}{2}}$, $8^{-\frac{2}{3}}$. |
| 2 Understand and use the rules of indices. | e.g. find the value of $2^{-3} \times 2^4$, $(2^3)^2$, $2^3 \div 2^4$. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 הבן והשתמש במדדים (חיוביים, אפס, שליליים ושבריים). | הדוגמאות כוללות: • $6^{\frac{1}{2}} = \sqrt{6}$ • $16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16}$ • מצא את הערך של $7^{-2}$, $81^{\frac{1}{2}}$, $8^{-\frac{2}{3}}$. |
| 2 הבנה והשתמש בחוקי המעריכים. | למשל: מצא את הערך של $2^{-3} \times 2^4$, $(2^3)^2$, $2^3 \div 2^4$. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
When you multiply or divide powers of the same base 底数, use these rules:
Some special powers:
(Fractional powers like $a^{\frac{m}{n}}$ are Extended.)
Worked examples.
כאשר מכפילים או מחלקים חזקות של בסיס זהה, השתמש בחוקים הבאים:
חזקות מיוחדות מסוימות:
(חזקות שבריות כמו $a^{\frac{m}{n}}$ הן רחבות.)
דוגמאות מפורטות.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use the standard form $A \times 10^n$ where $n$ is a positive or negative integer and $1 \leqslant A < 10$. | |
| 2 Convert numbers into and out of standard form. | |
| 3 Calculate with values in standard form. | Core candidates are expected to calculate with standard form only on Paper 3. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 השתמש בצורה הסטנדרטית $A \times 10^n$ כאשר $n$ הוא מספר שלם חיובי או שלילי ו$1 \leqslant A < 10$. | |
| 2 המרת מספרים לתוך ומהצורה הסטנדרטית. | |
| 3 חשבון עם ערכים בצורה סטנדרטית. | נבחנים בסיסיים צפויים לבצע חשבון בצורה סטנדרטית רק במסמך 3. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use the standard form $A \times 10^n$ where $n$ is a positive or negative integer and $1 \leqslant A < 10$. | |
| 2 Convert numbers into and out of standard form. | |
| 3 Calculate with values in standard form. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 השתמש בצורה הסטנדרטית $A \times 10^n$ כאשר $n$ הוא מספר שלם חיובי או שלילי ו$1 \leqslant A < 10$. | |
| 2 המרת מספרים לתוך ומהצורה הסטנדרטית. | |
| 3 ביצוע חישובים עם ערכים בצורה סטנדרטית. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
Standard form 科学记数法 writes a number as $A \times 10^{n}$, where $1 \leqslant A < 10$ and $n$ is an integer. It is used for very large or very small numbers.
To convert, count how many places the decimal point moves:
Worked example. Work out $(3 \times 10^{5}) \times (2 \times 10^{-2})$.
Multiply the front numbers and add the powers:
פורמט סטנדרטי כותב מספר כ $A \times 10^{n}$, כאשר $1 \leqslant A < 10$ ו-$n$ הם שלמים. הוא משמש למספרים גדולים מאוד או קטנים מאוד.
להמרה, ספרו כמה מקומות הנקודה העשרונית זזה:
דוגמה מפורטת. חשב את $(3 \times 10^{5}) \times (2 \times 10^{-2})$.
כפלו את המספרים הקדמיים והוסיפו את החזקות:
Follow a large or small number into a x 10^n form. · מרת מספר גדול או קטן לצורה A × 10^n.
| English | עברית |
|---|---|
| standard form/ˈstændəd fɔːm/ | צורה סטנדרטית |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand and use surds, including simplifying expressions. | Examples include: • $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ • $\sqrt{200} - \sqrt{32} = 6\sqrt{2}$. |
| 2 Rationalise the denominator. | Examples include: • $\frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$ • $\frac{1}{-1 + \sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 הבן והשתמש בשורשים ריבועיים, כולל פישוט ביטויים. | הדוגמאות כוללות: • $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ • $\sqrt{200} - \sqrt{32} = 6\sqrt{2}$. |
| 2 רציונליזציה של המכנה. | הדוגמאות כוללות: • $\frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$ • $\frac{1}{-1 + \sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
A surd 根式 is a root that is irrational, such as $\sqrt{5}$. Leave it in exact form instead of rounding. Two useful rules:
Simplify a surd by taking out the largest square factor.
Worked example. Simplify $\sqrt{20}$ and $\sqrt{200} - \sqrt{32}$.
To rationalise the denominator 分母有理化 means to remove a surd from the bottom of a fraction (the denominator 分母). Multiply the top and bottom by a value that clears the surd.
Worked example. Rationalise $\dfrac{10}{\sqrt{5}}$ and $\dfrac{1}{-1+\sqrt{3}}$.
שורש הוא שורש שאינו רציונלי, כמו $\sqrt{5}$. השאירו אותו בצורה מדויקת במקום לעגל. שני כללים שימושיים:
פשטו שורש על ידי הוצאת הגורם הריבועי הגדול ביותר.
דוגמה פותרת. פשטו את $\sqrt{20}$ ואת $\sqrt{200} - \sqrt{32}$.
כדי רציונליזציה של המכנה יש להסיר שורש מתחת לשבר (ה-מכנה). כפלו את המונה והמכנה בערך שמסיר את השורש.
דוגמה פותרת. רציונליזציה של $\dfrac{10}{\sqrt{5}}$ ושל $\dfrac{1}{-1+\sqrt{3}}$.
Break a surd into square factors and simplify it. · פצל שורש רדיקלי לגורמים ריבועיים ופשט אותו.
| English | עברית |
|---|---|
| surd/sɜːd/ | שורש ריבועי |
| rationalise the denominator/ˈræʃənəlaɪz ðə dɪˈnɒmɪneɪtə/ | השכלת המכנה |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | מכנה |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | מונה |
| proper fraction/ˈprɒpə ˈfrækʃn/ | שבר מצומצם |
| improper fraction/ɪmˈprɒpə ˈfrækʃn/ | שבר לא רגיל |
| mixed number/mɪkst ˈnʌmbə/ | מספר מעורב |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use the language and notation of the following in appropriate contexts: • proper fractions • improper fractions • mixed numbers • decimals • percentages. | Candidates are expected to be able to write fractions in their simplest form. Candidates are not expected to use recurring decimal notation. |
| 2 Recognise equivalence and convert between these forms. | Candidates are not expected to demonstrate the conversion of a recurring decimal to a fraction and vice versa. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 השתמש בשפה ובסימון של הדברים הבאים בהקשרים מתאימים: • שברים מצומצמים • שברים לא מצומצמים • מספרים מעורבים • עשרוניים • אחוזים. | נבחנים צפויים להיותHandler לכתוב שברים בצורתם המצומצמת ביותר. נבחנים אינם צפויים להשתמש בסימון עשרוני חוזר. |
| 2 זיהוי שוויון והמרה בין צורות אלו. | נבחנים אינם צפויים להדגיש המרת עשרוני חוזר לשבר ולהפך. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use the language and notation of the following in appropriate contexts: • proper fractions • improper fractions • mixed numbers • decimals • percentages. | Candidates are expected to be able to write fractions in their simplest form. Recurring decimal notation is required, e.g. • $0.1\dot{7} = 0.1777...$ • $0.1\dot{2}\dot{3} = 0.1232323...$ • $0.\dot{1}2\dot{3} = 0.123123...$ |
| 2 Recognise equivalence and convert between these forms. | Includes converting between recurring decimals and fractions and vice versa, e.g. write $0.1\dot{7}$ as a fraction. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 השתמש בשפה ובסימון של הפעולות הבאות בהקשרים המתאימים: • שברים רגילים • שברים לא רגילים • מספרים מעורבים • עשרונות • אחוזים. | מצופה מהנבחרים שיHandler to לכתוב שברים בצורתם המקומיינת. נדרש שימוש בסימון של עשרונות מחזוריים, לדוגמה: • $0.1\dot{7} = 0.1777...$ • $0.1\dot{2}\dot{3} = 0.1232323...$ • $0.\dot{1}2\dot{3} = 0.123123...$ |
| 2 זיהוי שוויון והמרה בין צורות אלו. | כולל המרה בין עשרונות מחזוריים לשברים והפך, לדוגמה, כתוב את $0.1\dot{7}$ כשבר. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
A fraction has a numerator 分子 (the top) and a denominator (the bottom).
Change between improper and mixed: $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$ because $7 \div 4 = 1$ remainder $3$.
A decimal 小数 uses place value after a point. A percentage 百分比 means "out of $100$", so $37\% = \frac{37}{100} = 0.37$.
| To change | Method | Example |
|---|---|---|
| fraction → decimal | divide top by bottom | $\frac{3}{8} = 3 \div 8 = 0.375$ |
| decimal → percentage | multiply by $100$ | $0.07 = 7\%$ |
| percentage → fraction | put over $100$, then simplify | $7\% = \frac{7}{100}$ |
| percentage → decimal | divide by $100$ | $34\% = 0.34$ |
Write a fraction in its simplest form 最简形式 by dividing the top and bottom by their HCF: $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ (both divided by $6$).
A recurring decimal 循环小数 repeats the same digits forever. Dots mark the repeating part: $0.1\dot{7} = 0.1777\ldots$ and $0.\dot{1}2\dot{3} = 0.123123\ldots$
To turn a recurring decimal into a fraction, multiply so the repeating parts line up, then subtract.
Worked example. Write $0.1\dot{7}$ as a fraction.
Let $x = 0.1777\ldots$ Only the $7$ repeats, so use $10x$ and $100x$:
לשבר יש מונה (החלק העליון) ו-מכנה (החלק התחתון).
המרה בין שבר לא נכון למס מעורב: $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$ כי $7 \div 4 = 1$ שארית $3$.
עשרוני משתמש בערך מקום אחרי הנקודה. אחוז אומר "מתוך $100$", כלומר $37\% = \frac{37}{100} = 0.37$.
| לשינוי | שיטה | דוגמה |
|---|---|---|
| שבר → עשרוני | לחלק את המונה במכנה | $\frac{3}{8} = 3 \div 8 = 0.375$ |
| עשרוני → אחוז | להכפיל ב-$100$ | $0.07 = 7\%$ |
| אחוז → שבר | לשים מעל $100$, ואז לפשט | $7\% = \frac{7}{100}$ |
| אחוז → עשרוני | לחלק ב-$100$ | $34\% = 0.34$ |
כתיבת שבר בצורתו הפשוטה ביותר על ידי חילוק המונה והמכנה בחלוק המשותף הגדול שלהם: $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ (שניהם חולקו ב-$6$).
עשרון מחזורי חוזר על אותם ספרות לנצח. נקודות מסמנות את החלק החוזר: $0.1\dot{7} = 0.1777\ldots$ ו-$0.\dot{1}2\dot{3} = 0.123123\ldots$
להמרת עשרון מחזורי לשבר, יש להכפיל כך שהחלקים החוזרים יסתדרו זה תחת זה, ולאחר מכן לבצע חיסור.
דוגמה מופת. כתוב את $0.1\dot{7}$ כשבר.
נסמן $x = 0.1777\ldots$ רק החלק ה-$7$ חוזר, לכן השתמש ב-$10x$ וב-$100x$:
Classify equivalent number forms and operations. · מיין צורות מספר שקולות ותפעולים.
| English | עברית |
|---|---|
| decimal/ˈdesɪml/ | עשרוני |
| recurring decimal/rɪˈkɜːrɪŋ ˈdesɪml/ | שבר עשרוני מחזורי |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Use the four operations for calculations with integers, fractions and decimals, including correct ordering of operations and use of brackets. | Includes: • negative numbers • improper fractions • mixed numbers • practical situations, e.g. temperature changes. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| השתמש בארבע הפעולות לחישוב עם מסרים שלמים, שברים ועשרוניים, כולל סדר נכון לפעולות השימוש בסוגריים. | כולל: • מסרים שליליים • שברים לא מצומצמים • מספרים מעורבים • מצבים פרקטיים, למשל שינויי טמפרטורה. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
Work in this order — the order of operations 运算顺序: brackets first, then indices (powers and roots), then multiply and divide (left to right), then add and subtract (left to right).
Worked example. Work out $-6 \times -3 + 7 \times 2$.
Do the multiplications first: $-6 \times -3 = 18$ and $7 \times 2 = 14$. Then add: $18 + 14 = 32$.
A change in temperature from $-5\,{}^{\circ}\text{C}$ to $3\,{}^{\circ}\text{C}$ is a rise of $8\,{}^{\circ}\text{C}$.
Worked example. Work out $1\frac{7}{15} - \frac{4}{5}$, giving the answer in its simplest form.
Change the mixed number to an improper fraction, then use denominator $15$:
עבד לפי הסדר הזה — סדר הפעולות: קודם סוגריים, לאחר מכן מעריכים (חזקות ושורשים), אחר כך כפל וחילוק (מימין לשמאל), לבסוף חיבור וחיסור (מימין לשמאל).
דוגמה מפורטת. חשב את $-6 \times -3 + 7 \times 2$.
בצעו קודם את הכפליות: $-6 \times -3 = 18$ ו-$7 \times 2 = 14$. לאחר מכן הוסיפו: $18 + 14 = 32$.
שינוי בטמפרטורה מ$-5\,{}^{\circ}\text{C}$ ל$3\,{}^{\circ}\text{C}$ הוא עלייה של $8\,{}^{\circ}\text{C}$.
דוגמה מופתרת. חשב $1\frac{7}{15} - \frac{4}{5}$, תן את התשובה בצורה הפשוטה ביותר.
המך את המספר המעורב לשבר לא-חוקי, ואז השתמש במכנה $15$:
| English | עברית |
|---|---|
| order of operations/ˈɔːdə ɒv ˌɒpəˈreɪʃnz/ | סדר פעולות |
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | גודל |
| multiplier/ˌmʌltɪˈplaɪə/ | כופל |
| ratio/ˈreɪʃɪəʊ/ | יחס |
| proportion/prəˈpɔːʃn/ | יחסים פרופורציונליים |
| scale/skeɪl/ | קנה מידה |
| rate/reɪt/ | קצב |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Order quantities by magnitude and demonstrate familiarity with the symbols $=, \ne, >, <, \geqslant$ and $\leqslant$. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| סדר כמויות לפי גודלן והראיית היכרות עם הסימנים $=, \ne, >, <, \geqslant$ ו$\leqslant$. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Order quantities by magnitude and demonstrate familiarity with the symbols $=, \neq, >, <, \geqslant$ and $\leqslant$. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| סדר כמויות לפי גודלן והראיית היכרות עם הסימנים $=, \neq, >, <, \geqslant$ ו$\leqslant$. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
Use these symbols to compare numbers by magnitude 大小 (size):
| Symbol | Meaning |
|---|---|
| $=$ | is equal to |
| $\neq$ | is not equal to |
| $>$ | is greater than |
| $<$ | is less than |
| $\geqslant$ | is greater than or equal to |
| $\leqslant$ | is less than or equal to |
To put a mixed list in order, change every value to a decimal first.
Worked example. Put $34\%$, $\frac{1}{3}$ and $\frac{3}{10}$ in order, smallest first.
As decimals: $34\% = 0.34$, $\frac{1}{3} = 0.333\ldots$, $\frac{3}{10} = 0.3$. So the order is
השתמש בסמלים הללו כדי להשוות בין מספרים לפי גודל (גודל):
| סמל | משמעות |
|---|---|
| $=$ | שווה ל- |
| $\neq$ | אינו שווה ל- |
| $>$ | גדול מ- |
| $<$ | קטן מ- |
| $\geqslant$ | גדול או שווה ל- |
| $\leqslant$ | קטן או שווה ל- |
כדי לסדר רשימה מעורבת, יש להמיר כל ערך לקדמי תחילה.
דוגמה מופרשת. סדרו את $34\%$, $\frac{1}{3}$ ו-$\frac{3}{10}$, מהקטן לגדול.
כקדמים: $34\% = 0.34$, $\frac{1}{3} = 0.333\ldots$, $\frac{3}{10} = 0.3$. ולכן הסדר הוא
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Calculate a given percentage of a quantity. | |
| 2 Express one quantity as a percentage of another. | |
| 3 Calculate percentage increase or decrease. | |
| 4 Calculate with simple and compound interest. | Formulas are not given. Percentage calculations may include: • deposit • discount • profit and loss (as an amount or a percentage) • earnings • percentages over 100%. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 חשב אחוז נתון מכמות. | |
| 2 ביטא כמות כאחוז מכמות אחרת. | |
| 3 חשב עלייה או ירידה באחוזים. | |
| 4 חשב עם ריבית פשוטה וריבית מורכבת. | הנוסחות אינן נתונות. חישובי אחוזים עשויים לכלול: • פיקדון • הנחה • רווח והפסד (כערך או כאחוז) • הכנסות • אחוזים מעל 100%. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Calculate a given percentage of a quantity. | |
| 2 Express one quantity as a percentage of another. | |
| 3 Calculate percentage increase or decrease. | |
| 4 Calculate with simple and compound interest. | Problems may include repeated percentage change. Formulas are not given. |
| 5 Calculate using reverse percentages. | e.g. find the cost price given the selling price and the percentage profit. Percentage calculations may include: • deposit • discount • profit and loss (as an amount or a percentage) • earnings • percentages over 100%. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 חשב אחוז נתון מכמות. | |
| 2 ביטא כמות כאחוז מכמות אחרת. | |
| 3 חשב עלייה או ירידה באחוזים. | |
| 4 חישובים עם ריבית פשוטה וריבית מורכבת. | בעיות עשויות להכליל שינוי אחוזי חוזר. הנוסחאות אינן מועطات. |
| 5 חישובים באמצעות אחוזים הפוכים. | לדוגמה: מציאת מחיר הרכישה בהתאם למחיר המכירה ולאחוז הרווח. חישובי אחוזים עשויים להכליל: • פקדונט • הנחה • רווח והפסד (כערך או כאחוז) • הכנסות • אחוזים מעל 100%. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
Find a percentage of an amount. $15\%$ of $\$80 = 0.15 \times 80 = \$12$.
Write one amount as a percentage of another. A score of $18$ out of $25$ is $\frac{18}{25} \times 100\% = 72\%$.
Percentage increase or decrease uses
Worked example. A price rises from $\$40$ to $\$50$. Find the percentage increase.
The change is $\$10$, so $\frac{10}{40} \times 100\% = 25\%$ increase.
A quick way is a multiplier 乘数. To increase by $15\%$, multiply by $1.15$; to decrease by $15\%$, multiply by $0.85$.
Interest 利息 is money paid for borrowing or for saving. The principal 本金 is the starting amount.
Worked example. Find the value of $\$500$ saved at $4\%$ compound interest for $3$ years.
A reverse percentage 逆百分比 problem gives the amount after a change and asks for the original. To solve it, divide by the multiplier — do not just take the percentage off.
Worked example. A coat costs $\$60$ after a $20\%$ increase. Find the original price.
$\$60$ is $120\%$ of the original, so the original price is $60 \div 1.2 = \$50$.
מצאו אחוז מכמות נתונה. $15\%$ מ-$\$80 = 0.15 \times 80 = \$12$.
כתבו כמות כאחוז של אחרת. נקודות $18$ מתוך $25$ הן $\frac{18}{25} \times 100\% = 72\%$.
עלייה או ירידה באחוזים משתמש ב-
דוגמה מופרשת. מחיר עולה מ-$\$40$ to $\$50$. מצאו את אחוז העלייה.
השינוי הוא $\$10$, so $\frac{10}{40} \times 100\% = 25\%$ עלייה.
דרך מהירה היא מכפיל. כדי לעלות ב-$15\%$, הכפילו ב-$1.15$; כדי לרדת ב-$15\%$, הכפילו ב-$0.85$.
ריבית היא סכום המיועד בתמורה להלוואה או לחיסכון. הסכום הראשוני הוא הסכמת ההתחלה.
דוגמה מפורטת. חשב את הערך של $\$500$ saved at $4\%$ compound interest for $3$ שנים.
בעניין אחוזים הפוכים נתון הסכום לאחר שינוי ומבקשים למצוא את המקורי. כדי לפתור, יש לחלק במכפיל — לא פשוט להוציא את האחוז.
דוגמה מפורטת. מעיל עולה $\$60$ after a $20\%$ עלייה. מצא את המחיר ההתחלתי.
$\$60$ is $120\%$ of the original, so the original price is $60 \div 1.2 = \$50$.
new value = old value x multiplier · ערך חדש = ערך ישן × כופל
Change the multiplier and see the final value change. · שנה את הכופל וראה כי הערך הסופי משתנה.
| English | עברית |
|---|---|
| percentage/pəˈsentɪdʒ/ | אחוזים |
| simplest form/ˈsɪmpəlɪst fɔːm/ | צורה פשוטה ביותר |
| interest/ˈɪntrest/ | ריבית |
| principal/ˈprɪnsɪpl/ | סך |
| simple interest/ˈsɪmpl ˈɪntrest/ | ריבית פשוטה |
| compound interest/ˈkɒmpaʊnd ˈɪntrest/ | ריבית מורכבת |
| reverse percentage/rɪˈvɜːs pəˈsentɪdʒ/ | אחוז הפוך |
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | צמיחה מעריכית |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Use exponential growth and decay. | e.g. depreciation, population change. Knowledge of e is not required. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| השתמש בצמיחה ודעיכה מעריכית. | לדוגמה, נזילה, שינוי בגודל אוכלוסייה. אין צורך בדעת המספר e. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
When a quantity changes by the same percentage in each time period, it shows exponential growth 指数增长 (it gets bigger) or exponential decay 指数衰减 (it gets smaller). Use the compound formula. Depreciation 折旧, where something like a car loses value each year, is decay.
Worked example. A car worth $\$20\,000$ loses $15\%$ of its value each year. Find its value after $4$ years.
The multiplier is $0.85$, so
כאשר כמות משתנה באותו אחוז בכל תקופת זמן, זהו גידול אקספוננציאלי (היא גדלה) או דעיכה אקספוננציאלית (היא קטנה). השתמש בנוסחת הריבית המורכבת. השקה, כאשר משהו כמו רכב מאבד ערך כל שנה, היא דעיכה.
דוגמה מפורטת. רכב ששוויו $\$20\,000$ loses $15\%$ of its value each year. Find its value after $4$ שנים.
המכפיל הוא $0.85$, ולכן
Money grows by (1 + r) every year, so compound interest curves above simple interest. Drag the rate and the number of years. · הכסף גדל פי (1 + r) כל שנה, ולכן עקומות הריבית המורכבת נמצאות מעל פני הריבית הפשוטה. גררו את קצב השינוי ואת מספר השנים.
y = a·bˣ
Change the base b: b > 1 grows, 0 < b < 1 decays — useful for interest and populations. · שנו את הבסיס b: אם b > 1 מתרחש צמיחה, ואם 0 < b < 1 מתרחשת דעיכה — שימושי לריבית ולאוכלוסיות.
| English | עברית |
|---|---|
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | דעיכת מעריכית |
| depreciation/dɪˌpriːʃɪˈeɪʃn/ | הכנסת שחיקה |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Understand and use ratio and proportion to: | |
| • give ratios in their simplest form | e.g. 20:30:40 in its simplest form is 2:3:4. |
| • divide a quantity in a given ratio | |
| • use proportional reasoning and ratios in context. | e.g. adapt recipes; use map scales; determine best value. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| הבנה ושימוש ביחס ובפרופורציה ל: | |
| • לתת יחס בצורה המוקצרת ביותר | לדוגמה: ⟦20:30:40⟧ בצורה המוקצרת ביותר הוא ⟦2:3:4⟧. |
| • לחלק כמות ביחס נתון | |
| • להשתמש בהסקה פרופורציונלית וביחסים בהקשר. | לדוגמה: התאמת מתכון; שימוש בקנה מידה במפה; קביעת ערך הטוב ביותר. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
A ratio 比 compares quantities, written like $a:b$. Simplify it like a fraction by dividing by the HCF: $20:30:40 = 2:3:4$.
Dividing in a ratio. Share $\$48$ in the ratio $3:5$.
The total number of parts is $3 + 5 = 8$. One part is $48 \div 8 = \$6$. So the shares are $3 \times 6 = \$18$ and $5 \times 6 = \$30$.
Proportion 比例 means two ratios are equal. Use it for recipes, map scales 比例尺 and finding best value.
Worked example. $3$ pens cost $\$1.80$. Find the cost of $7$ pens.
One pen costs $1.80 \div 3 = \$0.60$. So $7$ pens cost $7 \times 0.60 = \$4.20$.
יחס משווה בין כמויות, מכתיב כ$a:b$. פשוטו כשבר על ידי חלוקה ב-GCD: $20:30:40 = 2:3:4$.
חלוקה ביחס. חלק $\$48$ in the ratio $3:5$.
הסך הכל של החלקים הוא $3 + 5 = 8$. חלק אחד הוא $48 \div 8 = \$6$. So the shares are $3 \times 6 = \$18$ ו$5 \times 6 = \$30$.
פרופורציה משמעותה שני יחסים שווים. השתמש בזה במתכונות, קנה מידה של מפות ובחישוב ערך הטוב ביותר.
דוגמה פותרת. $3$ עטים עולים $\$1.80$. Find the cost of $7$ עטים.
עט אחד עולה $1.80 \div 3 = \$0.60$. So $7$ pens cost $7 × 0.60 = \$4.20$.
y = ax
Direct proportion is a straight line through the origin — double x and you double y. · יחס ישר הוא קו ישר העובר באפס — כפול את x וכפול את y.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use common measures of rate. | e.g. calculate with: • hourly rates of pay • exchange rates between currencies • flow rates • fuel consumption. |
| 2 Apply other measures of rate. | e.g. calculate with: • pressure • density • population density. Required formulas will be given in the question. |
| 3 Solve problems involving average speed. | Knowledge of speed/distance/time formula is required. e.g. A cyclist travels 45 km in 3 hours 45 minutes. What is their average speed? Notation used will be, e.g. m/s (metres per second), $\text{g/cm}^3$ (grams per cubic centimetre). |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 השתמשו במדידות קצב נפוצות. | לדוגמה: חישוב עם: • קצבי שכירה שעתיים • שיערי החלפה בין מטבעות • קצבי זרימה • צריכת דלק. |
| 2 יישמו מדידות קצב אחרות. | לדוגמה: חישוב עם: • לחץ • צפיפות • צפיפות אוכלוסין. הנוסחות הנדרשות ינתנו בשאלה. |
| 3 פתור בעיות הקשורות למהירות ממוצעת. | נדרשת ידע בנוסחת מהירות/מרחק/זמן. לדוגמה: רוכב אופניים עובר 45 ק"מ ב-3 שעות ו-45 דקות. מהי המהירות הממוצעת שלו? הסימון המשמש יהיה, לדוגמה, m/s (מטר לשנייה), $\text{g/cm}^3$ (גרם לס"מ מעוקבת). |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use common measures of rate. | e.g. calculate with: • hourly rates of pay • exchange rates between currencies • flow rates • fuel consumption. |
| 2 Apply other measures of rate. | e.g. calculate with: • pressure • density • population density. Required formulas will be given in the question. |
| 3 Solve problems involving average speed. | Knowledge of speed/distance/time formula is required. e.g. A cyclist travels 45 km in 3 hours 45 minutes. What is their average speed? Notation used will be, e.g. m/s (metres per second), g/cm$^{3}$ (grams per cubic centimetre). |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
A rate 比率 compares two quantities measured in different units, such as price per kilogram, or distance per hour.
Average speed 平均速度 uses
Worked example. A cyclist travels $45\text{ km}$ in $3$ hours $45$ minutes. Find the average speed.
First change the time to hours: $3$ h $45$ min $= 3.75$ h. Then
Other rates work the same way. Density 密度 is found from mass 质量 and volume 体积:
Other examples are flow rate, fuel consumption and population density 人口密度. If a rate needs a special formula (such as pressure 压强), the question will give it to you.
קצב הוא השוואה בין שתי כמויות שנמדדו ביחידות שונות, כמו מחיר לקילוגרם או מרחק לשעה.
מהירות ממוצעת משתמשת ב-
דוגמה פותרת. רוכב אופניים נסע $45\text{ km}$ בתוך $3$ שעות $45$ דקות. מצא את המהירות הממוצעת.
ראשית, המר את הזמן לשעות: $3$ ש' $45$ דק' $= 3.75$ ש'. לאחר מכן
קצבים אחרים עובדים באותו אופן. צפיפות מחושבת מתוך מסה ו-נפח:
דוגמאות אחרות הן קצב זרימה, צריכת דלק ו-צפיפות אוכלוסין. אם קצב דורש נוסחה מיוחדת (כמו לחץ), השאלה תספק אותה לך.
| English | עברית |
|---|---|
| average speed/ˈævrɪdʒ spiːd/ | מהירות ממוצעת |
| density/ˈdensɪti/ | צפיפות |
| mass/mæs/ | מסה |
| volume/ˈvɒljuːm/ | נפח |
| population density/ˌpɒpjʊˈleɪʃn ˈdensɪti/ | צפיפות אוכלוסייה |
| pressure/ˈpreʃə/ | לחץ |
| decimal place/ˈdesɪml pleɪs/ | מקום עשרוני |
| significant figure/sɪɡˈnɪfɪkənt ˈfɪɡə/ | ספרת משמעות |
| estimate/ˈestɪmət/ | הערכה |
| lower bound/ˈləʊə baʊnd/ | גבול תחתון |
| upper bound/ˈʌpə baʊnd/ | גבול עליון |
| area/ˈeərɪə/ | שטח |
| time zone/taɪm zəʊn/ | אזור זמן |
| exchange rate/eksˈtʃeɪndʒ reɪt/ | שיעור החלפה |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Round values to a specified degree of accuracy. | Includes decimal places and significant figures. |
| 2 Make estimates for calculations involving numbers, quantities and measurements. | e.g. write 5764 correct to the nearest thousand. e.g. by writing each number correct to 1 significant figure, estimate the value of $$\frac{41.3}{9.79 \times 0.765}$$ . |
| 3 Round answers to a reasonable degree of accuracy in the context of a given problem. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Round values to a specified degree of accuracy. | Includes decimal places and significant figures. e.g. write 5764 correct to the nearest thousand. |
| 2 Make estimates for calculations involving numbers, quantities and measurements. | e.g. by writing each number correct to 1 significant figure, estimate the value of $$\frac{41.3}{9.79 \times 0.765}$$ . |
| 3 Round answers to a reasonable degree of accuracy in the context of a given problem. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 עיגול ערכים לרמת דיוק מצוינת. | כולל מקומות עשרוניות ומספר ספרות משמעותיות. לדוגמה: כתוב 5764 מעוגל למאה הקרובה ביותר. |
| 2 ערך הערכות לחישובים המכילים מספרים, כמויות ומדידות. | לדוגמה: על ידי כתיבת כל מספר לעגול למספר ספרה משמעותי אחד 1, הערך את ערך $$\frac{41.3}{9.79 \times 0.765}$$ . |
| 3 עיגול תשובות לרמת דיוק סבירה בהקשר של בעיה נתונה. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
Rule: look at the next digit. If it is $5$ or more, round up; if it is less, round down.
To estimate 估算 an answer, round every number to $1$ s.f., then calculate.
Worked example. Estimate $\dfrac{41.3}{9.79 \times 0.765}$.
כלל: הסתכל על הספרה הבאה. אם היא $5$ או יותר, עגל כלפי מעלה; אם היא פחות, עגל כלפי מטה.
כדי לעריך תשובה, עגל כל מספר ל$1$ ס"ח, ולאחר מכן חשב.
דוגמה פותרת. הערך $\dfrac{41.3}{9.79 \times 0.765}$.
Classify numbers by the decision needed for accuracy. · מיינוס מספרים לפי ההחלטה הנדרשת לדיוק.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Give upper and lower bounds for data rounded to a specified accuracy. | e.g. write down the upper bound of a length measured correct to the nearest metre. Candidates are not expected to find the bounds of the results of calculations which have used data rounded to a specified accuracy. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| ציינו גבול עליון ותחתון עבור נתונים מעוגלים לדיוק מצוין. | לדוגמה: כתבו את הגבול העליון של אורך שנמדד בעגול לסנטימטר הקרוב ביותר. אינכם נדרשים למצוא את הגבולות של תוצאות חישוב שהשתמשו בנתונים מעוגלים לדיוק מצוין. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Give upper and lower bounds for data rounded to a specified accuracy. | e.g. write down the upper bound of a length measured correct to the nearest metre. |
| 2 Find upper and lower bounds of the results of calculations which have used data rounded to a specified accuracy. | Example calculations include: • calculate the upper bound of the perimeter or the area of a rectangle given dimensions measured to the nearest centimetre • find the lower bound of the speed given rounded values of distance and time. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 מתן גבול עליון ותחתון לנתונים מעוגלים לדיוק מצוין. | לדוגמה: כתוב את הגבול העליון של אורך שנמדד לערבה הקרובה ביותר למטר. |
| 2 מציאת גבול עליון ותחתון לתוצאות חישובים שהשתמשו בנתונים מעוגלים לדיוק מצוין. | חישובי לדוגמה כוללים: • חישוב הגבול העליון של היקף או שטח של מלבן בהתאם למידות שנמדדו לערבה הקרובה ביותר לסנטימטר • מציאת הגבול התחתון של המהירות בהתאם לערכים מעוגלים של מרחק וזמן. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
A rounded value could really be anything that rounds to it. The smallest possible value is the lower bound 下界; the largest is the upper bound 上界. For a value rounded to the nearest unit, the bounds lie half a unit on each side.
Worked example. A height $h$ is $635\text{ m}$, correct to the nearest metre. Give the bounds.
So the lower bound is $634.5\text{ m}$ and the upper bound is $635.5\text{ m}$.
Combine the bounds to get the bound you want.
Worked example. A rectangle is $8\text{ cm}$ by $5\text{ cm}$, each side to the nearest cm. Find the largest possible area 面积.
Use the upper bounds of both sides: $8.5 \times 5.5 = 46.75\text{ cm}^{2}$. (The smallest area uses the lower bounds: $7.5 \times 4.5 = 33.75\text{ cm}^{2}$.)
For a divided quantity such as $\text{speed} = \dfrac{\text{distance}}{\text{time}}$, the largest speed comes from the largest distance divided by the smallest time.
ערך מעוגל יכול למעשה להיות כל מה שמעוגל אליו. הערך הקטן האפשרי הוא גבול התחתון; הגדול ביותר הוא גבול העליון. עבור ערך שעוגל לקרוב ליחידה השלמה, הגבולות נמצאים בחצי יחידה משני צדדים.
דוגמה פותרת. גובה של $h$ הוא $635\text{ m}$, מעוגל לקרוב למטר. נתנו את הגבולות.
לכן גבול התחתון הוא $634.5\text{ m}$ וגבול העליון הוא $635.5\text{ m}$.
שלבו את הגבולות כדי לקבל את הגבול הרצוי.
דוגמה פותרת. מלבן הוא $8\text{ cm}$ על $5\text{ cm}$, כל צלע מעוגלת לסנטימטר הקרוב. מצאו את ה-שטח האפשרי הגדול ביותר.
השתמשו בגבולות העליונים של שני הצלעות: $8.5 \times 5.5 = 46.75\text{ cm}^{2}$. (השטח הקטן ביותר משתמש בגבולות התחתונים: $7.5 \times 4.5 = 33.75\text{ cm}^{2}$.)
כמות מחולקת כגון $\text{speed} = \dfrac{\text{distance}}{\text{time}}$, ה-מהירות הגדולה ביותר מגיעה מה-מרחק הגדול ביותר מחולק ב-זמן הקטן ביותר.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Calculate with time: seconds (s), minutes (min), hours (h), days, weeks, months, years, including the relationship between units. | 1 year = 365 days. |
| 2 Calculate times in terms of the 24-hour and 12-hour clock. | In the 24-hour clock, for example, 3.15 a.m. will be denoted by 03 15 and 3.15 p.m. by 15 15. |
| 3 Read clocks and timetables. | Includes problems involving time zones, local times and time differences. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Calculate with time: seconds (s), minutes (min), hours (h), days, weeks, months, years, including the relationship between units. | 1 year = 365 days. |
| 2 Calculate times in terms of the 24-hour and 12-hour clock. | In the 24-hour clock, for example, 3.15 a.m. will be denoted by 0315 and 3.15 p.m. by 1515. |
| 3 Read clocks and timetables. | Includes problems involving time zones, local times and time differences. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 חישוב עם זמן: שניות (s), דקות (min), שעות (h), ימים, שבועות, חודשים, שנים, כולל היחס בין היחידות. | 1 שנה = 365 ימים. |
| 2 חישוב זמנים ביחס לשעון ה-24-שעתי ושעון ה-12-שעתי. | בשעון ה-24-שעתי, לדוגמה, 3.15 בבוקר יוסמן על ידי 0315 ו-3.15 בערב על ידי 1515. |
| 3 קרא שעונים וטבלאות זמנים. | כולל בעיות הקשורות לשדות זמן, זמנים מקומיים והפרשי זמן. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
Worked example. A film starts at $19\,35$ and lasts $70$ minutes. Find the time it finishes.
$70$ min $= 1$ h $10$ min. Adding $1$ hour gives $20\,35$; adding $10$ minutes gives $20\,45$.
For timetables and time zone 时区 problems, add or subtract the time difference between the places.
דוגמה פותרת. סרט מתחיל בשעה $19\,35$ ומשך $70$ דקות. מצאו את השעה בה הוא מסתיים.
$70$ דקות $= 1$ שעות $10$ דקות. חיבור של $1$ שעה נותן $20\,35$; חיבור של $10$ דקות נותן $20\,45$.
לטבלאות זמנים ובעיות אזורי זמן, הוסיפו או חסרו את ההפרש בזמן בין המקומות.
Choose the operation that matches a real measurement problem. · בחר את הפעולה המתאימה לבעיה מדידה אמיתית.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Calculate with money. | |
| 2 Convert from one currency to another. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 חשב עם כסף. | |
| 2 הפך ממטבע אחד למטבע אחר. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
Work with money as ordinary decimals, but give answers to $2$ d.p. (so $\$4.8$ is written $\$4.80$).
Currency conversion. Use the exchange rate 汇率 as a multiplier.
Worked example. The exchange rate is $\$1 = €0.92$. Convert $\$150$ to euros, and convert $€138$ back to dollars.
עבודו עם כסף כמספרים עשרוניים רגילים, אך תנו תשובות ב$2$ מקומות עשרוניות (כלומר $\$4.8$ is written $\$4.80$).
המרת מטבע. השתמשו בשיעור המטבע כמכפיל.
דוגמה מופת. שיעור המטבע הוא $\$1 = €0.92$. Convert $\$150$ לאירואים, והמירו $€138$ חזרה לדולרים.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use a calculator efficiently. | e.g. know not to round values within a calculation and to only round the final answer. |
| 2 Enter values appropriately on a calculator. | e.g. enter 2 hours 30 minutes as 2.5 hours or 2° 30’ 0’’. |
| 3 Interpret the calculator display appropriately. | e.g. in money 4.8 means $4.80; in time 3.25 means 3 hours 15 minutes. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 השתמש במחשבון בצורה יעילה. | לדוגמה: לדעת שלא יש לעגל ערכים בתוך החישוב אלא רק את התשובה הסופית. |
| 2 הזן ערכים באופן מתאים במחשבון. | לדוגמה: הזן 2 שעות ו-30 דקות כ-2.5 שעות או 2° 30’ 0’’. |
| 3 פרשן תצוגת המחשבון באופן מתאים. | לדוגמה: בכסף, 4.8 משמעות $4.80; בזמן, 3.25 משמעות 3 שעות ו-15 דקות. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use a calculator efficiently. | e.g. know not to round values within a calculation and to only round the final answer. |
| 2 Enter values appropriately on a calculator. | e.g. enter 2 hours 30 minutes as 2.5 hours or 2° 30' 0''. |
| 3 Interpret the calculator display appropriately. | e.g. in money 4.8 means $4.80; in time 3.25 means 3 hours 15 minutes. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 השתמש במחשבון בצורה יעילה. | לדוגמה: לדעת שלא יש לעגל ערכים בתוך החישוב אלא רק את התשובה הסופית. |
| 2 הכנס ערכים באופן מתאים במחשבון. | לדוגמה, הכנס 2 שעות ו-30 דקות כ-2.5 שעות או כ-2° 30' 0''. |
| 3 פרשן תצוגת המחשבון באופן מתאים. | לדוגמה: בכסף, 4.8 משמעות $4.80; בזמן, 3.25 משמעות 3 שעות ו-15 דקות. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
This handout covers Topic 2, Algebra and graphs. Parts marked (Extended) are only tested on the Extended papers; everything else is for both levels.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Know that letters can be used to represent generalised numbers. | |
| 2 Substitute numbers into expressions and formulas. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 יש לדעת שאותיות יכולות לייצג מספרים כלליים. | |
| 2 להציב מספרים בתעריפים ובנוסחאות. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
In algebra 代数 we use letters to stand for numbers. A letter whose value can change is a variable 变量. To substitute 代入 means to put a number in place of a letter.
Worked example. Find the value of $3x^{2} - 2y$ when $x = 4$ and $y = 5$.
Follow expression work from collecting terms to solving. · עקבו אחר עבודה בביטויים, מהאיסוף של איברים ועד לפתרון.
| English | עברית |
|---|---|
| algebra/ˈældʒɪbrə/ | אלגברה |
| variable/ˈveərɪəbl/ | משתנה |
| substitute/ˈsʌbstɪtjuːt/ | תחליף |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Simplify expressions by collecting like terms. | Simplify means give the answer in its simplest form, e.g. $2a + 3b + 5a - 9b = 7a - 6b$. |
| 2 Expand products of algebraic expressions. | e.g. expand $3x(2x - 4y)$. Includes products of two brackets involving one variable, e.g. expand $(2x + 1)(x - 4)$. |
| 3 Factorise by extracting common factors. | Factorise means factorise fully, e.g. $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 לפשט תעריפים על ידי איסוף איברים דומים. | פישוט פירונו מתן התשובה בצורה המינימלית ביותר, לדוגמה: $2a + 3b + 5a - 9b = 7a - 6b$. |
| 2 לפתוח מכפלות של ביטויים אלגבריים. | לדוגמה: לפתוח $3x(2x - 4y)$. כולל מכפלות של שני סוגרים המכילים משתנה אחת, לדוגמה: לפתוח $(2x + 1)(x - 4)$. |
| 3 לגורם על ידי הוצאת גורם משותף. | גורמוז פירונו גורמוז במלואו, לדוגמה: $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Simplify expressions by collecting like terms. | Simplify means give the answer in its simplest form, e.g. $2a^2 + 3ab - 1 + 5a^2 - 9ab + 4 = 7a^2 - 6ab + 3$. |
| 2 Expand products of algebraic expressions. | e.g. expand $3x(2x - 4y)$, $(3x + y)(x - 4y)$. Includes products of more than two brackets, e.g. expand $(x - 2)(x + 3)(2x + 1)$. |
| 3 Factorise by extracting common factors. | Factorise means factorise fully, e.g. $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$. |
| 4 Factorise expressions of the form: • $ax + bx + kay + kby$ • $a^2x^2 - b^2y^2$ • $a^2 + 2ab + b^2$ • $ax^2 + bx + c$ • $ax^3 + bx^2 + cx$. | |
| 5 Complete the square for expressions in the form $ax^2 + bx + c$. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 לפשט תעריפים על ידי איסוף איברים דומים. | פישוט פירונו מתן התשובה בצורה המינימלית ביותר, לדוגמה: $2a^2 + 3ab - 1 + 5a^2 - 9ab + 4 = 7a^2 - 6ab + 3$. |
| 2 פתח מכפלות של ביטויים אלגבריים. | לדוגמה: פתח $3x(2x - 4y)$, $(3x + y)(x - 4y)$. כולל מכפלות של יותר משני סוגריים, לדוגמה: פתח $(x - 2)(x + 3)(2x + 1)$. |
| 3 לגורם על ידי הוצאת גורם משותף. | גורמוז פירונו גורמוז במלואו, לדוגמה: $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$. |
| 4 פירוק ביטויים מהצורה: • $ax + bx + kay + kby$ • $a^2x^2 - b^2y^2$ • $a^2 + 2ab + b^2$ • $ax^2 + bx + c$ • $ax^3 + bx^2 + cx$. | |
| 5 השלם ריבוע עבור ביטויים מהצורה $ax^2 + bx + c$. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
A term 项 is a single part of an expression 表达式, such as $5a$ or $-9b$. Like terms 同类项 have exactly the same letters; you may add or subtract them. The number in front of the letter is the coefficient 系数.
Worked example. Simplify $2a^{2} + 3ab - 1 + 5a^{2} - 9ab + 4$.
Collect like terms: $2a^{2} + 5a^{2} = 7a^{2}$, $3ab - 9ab = -6ab$, $-1 + 4 = 3$. So the answer is
To expand 展开 means to multiply out brackets 括号. Multiply every term inside by the term outside; for two brackets, multiply every term in the first by every term in the second.
Worked examples.
For three brackets (Extended), expand two first, then multiply by the third:
| English | עברית |
|---|---|
| term/tɜːm/ | איבר |
| expression/ekˈspreʃn/ | ביטוי |
| like terms/laɪk tɜːmz/ | איברים דומים |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | מקדם |
| expand/ekˈspænd/ | פתיחה |
| brackets/ˈbrækɪts/ | סוגריים |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Simplify expressions by collecting like terms. | Simplify means give the answer in its simplest form, e.g. $2a + 3b + 5a - 9b = 7a - 6b$. |
| 2 Expand products of algebraic expressions. | e.g. expand $3x(2x - 4y)$. Includes products of two brackets involving one variable, e.g. expand $(2x + 1)(x - 4)$. |
| 3 Factorise by extracting common factors. | Factorise means factorise fully, e.g. $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 לפשט תעריפים על ידי איסוף איברים דומים. | פישוט פירונו מתן התשובה בצורה המינימלית ביותר, לדוגמה: $2a + 3b + 5a - 9b = 7a - 6b$. |
| 2 לפתוח מכפלות של ביטויים אלגבריים. | לדוגמה: לפתוח $3x(2x - 4y)$. כולל מכפלות של שני סוגרים המכילים משתנה אחת, לדוגמה: לפתוח $(2x + 1)(x - 4)$. |
| 3 לגורם על ידי הוצאת גורם משותף. | גורמוז פירונו גורמוז במלואו, לדוגמה: $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Simplify expressions by collecting like terms. | Simplify means give the answer in its simplest form, e.g. $2a^2 + 3ab - 1 + 5a^2 - 9ab + 4 = 7a^2 - 6ab + 3$. |
| 2 Expand products of algebraic expressions. | e.g. expand $3x(2x - 4y)$, $(3x + y)(x - 4y)$. Includes products of more than two brackets, e.g. expand $(x - 2)(x + 3)(2x + 1)$. |
| 3 Factorise by extracting common factors. | Factorise means factorise fully, e.g. $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$. |
| 4 Factorise expressions of the form: • $ax + bx + kay + kby$ • $a^2x^2 - b^2y^2$ • $a^2 + 2ab + b^2$ • $ax^2 + bx + c$ • $ax^3 + bx^2 + cx$. | |
| 5 Complete the square for expressions in the form $ax^2 + bx + c$. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 לפשט תעריפים על ידי איסוף איברים דומים. | פישוט פירונו מתן התשובה בצורה המינימלית ביותר, לדוגמה: $2a^2 + 3ab - 1 + 5a^2 - 9ab + 4 = 7a^2 - 6ab + 3$. |
| 2 פתח מכפלות של ביטויים אלגבריים. | לדוגמה: פתח $3x(2x - 4y)$, $(3x + y)(x - 4y)$. כולל מכפלות של יותר משני סוגריים, לדוגמה: פתח $(x - 2)(x + 3)(2x + 1)$. |
| 3 לגורם על ידי הוצאת גורם משותף. | גורמוז פירונו גורמוז במלואו, לדוגמה: $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$. |
| 4 פירוק ביטויים מהצורה: • $ax + bx + kay + kby$ • $a^2x^2 - b^2y^2$ • $a^2 + 2ab + b^2$ • $ax^2 + bx + c$ • $ax^3 + bx^2 + cx$. | |
| 5 השלם ריבוע עבור ביטויים מהצורה $ax^2 + bx + c$. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
To factorise 因式分解 is the opposite of expanding: write the expression as a product of brackets. Always take out the common factor 公因式 first.
Worked example. $9x^{2} + 15xy = 3x(3x + 5y)$, because $3x$ divides both terms.
The following patterns are Extended.
Grouping (four terms): take a common factor from each pair.
Difference of two squares 平方差: $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$.
Perfect square 完全平方: $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$.
Quadratic 二次 expressions $ax^{2} + bx + c$: find two numbers that multiply to $a \times c$ and add to $b$, then split the middle term.
Worked example. Factorise $2x^{2} + 7x + 3$.
Here $a \times c = 6$ and $b = 7$. The numbers $1$ and $6$ work. Split and group:
For $ax^{3} + bx^{2} + cx$, take out the common $x$ first: $2x^{3} + 7x^{2} + 3x = x(2x^{2} + 7x + 3) = x(x + 3)(2x + 1)$.
| English | עברית |
|---|---|
| factorise/ˈfæktəraɪz/ | פירוק לגורמים |
| common factor/ˈkɒmən ˈfæktə/ | גורם משותף |
| difference of two squares/ˈdɪfrəns ɒv tuː skweəz/ | הפרש ריבועים |
| perfect square/ˈpɜːfekt skweə/ | ריבוע מושלם |
| quadratic/kwɒˈdrætɪk/ | ריבועי |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Simplify expressions by collecting like terms. | Simplify means give the answer in its simplest form, e.g. $2a^2 + 3ab - 1 + 5a^2 - 9ab + 4 = 7a^2 - 6ab + 3$. |
| 2 Expand products of algebraic expressions. | e.g. expand $3x(2x - 4y)$, $(3x + y)(x - 4y)$. Includes products of more than two brackets, e.g. expand $(x - 2)(x + 3)(2x + 1)$. |
| 3 Factorise by extracting common factors. | Factorise means factorise fully, e.g. $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$. |
| 4 Factorise expressions of the form: • $ax + bx + kay + kby$ • $a^2x^2 - b^2y^2$ • $a^2 + 2ab + b^2$ • $ax^2 + bx + c$ • $ax^3 + bx^2 + cx$. | |
| 5 Complete the square for expressions in the form $ax^2 + bx + c$. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 לפשט תעריפים על ידי איסוף איברים דומים. | פישוט פירונו מתן התשובה בצורה המינימלית ביותר, לדוגמה: $2a^2 + 3ab - 1 + 5a^2 - 9ab + 4 = 7a^2 - 6ab + 3$. |
| 2 פתח מכפלות של ביטויים אלגבריים. | לדוגמה: פתח $3x(2x - 4y)$, $(3x + y)(x - 4y)$. כולל מכפלות של יותר משני סוגריים, לדוגמה: פתח $(x - 2)(x + 3)(2x + 1)$. |
| 3 לגורם על ידי הוצאת גורם משותף. | גורמוז פירונו גורמוז במלואו, לדוגמה: $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$. |
| 4 פירוק ביטויים מהצורה: • $ax + bx + kay + kby$ • $a^2x^2 - b^2y^2$ • $a^2 + 2ab + b^2$ • $ax^2 + bx + c$ • $ax^3 + bx^2 + cx$. | |
| 5 השלם ריבוע עבור ביטויים מהצורה $ax^2 + bx + c$. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
Completing the square 配方法 rewrites $x^{2} + bx + c$ as $(x + p)^{2} + q$. Take half of the $x$-coefficient, square it, then balance.
Worked example. Write $x^{2} + 6x + 1$ in completed-square form.
Half of $6$ is $3$, and $3^{2} = 9$:
When the $x^{2}$ has a coefficient, take it out of the first two terms first:
| English | עברית |
|---|---|
| completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/ | השלמת ריבוע מושלם |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Manipulate algebraic fractions. | Examples include: • $\frac{x}{3} + \frac{x - 4}{2}$ • $\frac{2x}{3} - \frac{3(x - 5)}{2}$ • $\frac{3a}{4} \times \frac{9a}{10}$ • $\frac{3a}{4} \div \frac{9a}{10}$ • $\frac{1}{x - 2} + \frac{x + 1}{x - 3}$. |
| 2 Factorise and simplify rational expressions. | e.g. $\frac{x^2 - 2x}{x^2 - 5x + 6}$. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 מבצע עיבוד על שברים אלגבריים. | דוגמאות כוללות: • $\frac{x}{3} + \frac{x - 4}{2}$ • $\frac{2x}{3} - \frac{3(x - 5)}{2}$ • $\frac{3a}{4} \times \frac{9a}{10}$ • $\frac{3a}{4} \div \frac{9a}{10}$ • $\frac{1}{x - 2} + \frac{x + 1}{x - 3}$. |
| 2 פרק ל גורמים ומפשט ביטויים רציונליים. | לדוגמה: $\frac{x^2 - 2x}{x^2 - 5x + 6}$. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
An algebraic fraction 分式 has algebra on the top or bottom. Add and subtract using a common denominator; multiply and divide as with ordinary fractions.
Worked examples.
To simplify a rational expression 有理式, factorise the top and bottom, then cancel common brackets.
Simplify algebraic fractions by factorising before cancelling. · פשוט שברים אלגבריים על ידי פירוק לגורמים לפני ביטול.
| English | עברית |
|---|---|
| algebraic fraction/ˌældʒɪˈbreɪɪk ˈfrækʃn/ | שבר אלגברי |
| rational expression/ˈræʃənl ekˈspreʃn/ | ביטוי רציונלי |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand and use indices (positive, zero and negative). | e.g. $2^x = 32$. Find the value of $x$. |
| 2 Understand and use the rules of indices. | e.g. simplify: • $(5x^3)^2$ • $12a^5 \div 3a^{-2}$ • $6x^7y^4 \times 5x^{-5}y$. Knowledge of logarithms is not required. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 להבין ולהשתמש במעריכים (חיוביים, אפס ושליליים). | לדוגמה: $2^x = 32$. למצוא את הערך של $x$. |
| 2 להבין ולהשתמש בחוקי המעריכים. | לדוגמה: לפשט: • $(5x^3)^2$ • $12a^5 \div 3a^{-2}$ • $6x^7y^4 \times 5x^{-5}y$. ידע בלוגריתמים אינו נדרש. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand and use indices (positive, zero, negative and fractional). | e.g. solve: • $32^x = 2$ • $5^{x+1} = 25^x$. |
| 2 Understand and use the rules of indices. | e.g. simplify: • $3x^{-4} \times \frac{2}{3}x^{\frac{1}{2}}$ • $\frac{2}{5}x^{\frac{1}{2}} \div 2x^{-2}$ • $\left(\frac{2x^5}{3}\right)^3$. Knowledge of logarithms is not required. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 מבין ומשתמש בחזקות (חיוביות, אפס, שליליות ושבריות). | לדוגמה: פתור: • $32^x = 2$ • $5^{x+1} = 25^x$. |
| 2 להבין ולהשתמש בחוקי המעריכים. | לדוגמה: לפשט: • $3x^{-4} \times \frac{2}{3}x^{\frac{1}{2}}$ • $\frac{2}{5}x^{\frac{1}{2}} \div 2x^{-2}$ • $\left(\frac{2x^5}{3}\right)^3$. ידע בלוגריתמים אינו נדרש. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
The laws of indices 指数 work with letters too: $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$, $a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$, and $(a^{m})^{n} = a^{mn}$.
Worked examples.
You can also solve simple index equations by writing both sides with the same base 底数.
Worked example. Solve $2^{x} = 32$. Since $32 = 2^{5}$, you get $x = 5$.
Classify index-law examples by the rule being used. · מיינו דוגמאות לחוקי מדדים לפי הכלל המשמש.
| English | עברית |
|---|---|
| indices/ˈɪndɪsiːz/ | מעריכים |
| base/beɪs/ | בסיס |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Construct simple expressions, equations and formulas. | e.g. write an expression for a number that is 2 more than $n$. Includes constructing linear simultaneous equations. |
| 2 Solve linear equations in one unknown. | Examples include: • $3x + 4 = 10$ • $5 - 2x = 3(x + 7)$. |
| 3 Solve simultaneous linear equations in two unknowns. | |
| 4 Change the subject of simple formulas. | e.g. change the subject of formulas where: • the subject only appears once • there is not a power or root of the subject. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 לבנות תעריפים, משוואות ונוסחאות פשוטים. | לדוגמה: לכתוב תעריף למספר הגדול ב-2 מ-$n$. כולל בניית מערכת משוואות ליניאריות בו-זמנית. |
| 2 לפתור משוואות ליניאריות במשתנה אחת. | הדוגמאות כוללות: • $3x + 4 = 10$ • $5 - 2x = 3(x + 7)$. |
| 3 לפתור מערכת משוואות ליניאריות בו-זמנית בשני משתנים. | |
| 4 לשנות את נושא הנוסחה הפשוטה. | לדוגמה: לשנות את נושא הנוסחה כאשר: • הנושא מופיע רק פעם אחת • אין חזקה או שורש של הנושא. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Construct expressions, equations and formulas. | e.g. write an expression for the product of two consecutive even numbers. Includes constructing simultaneous equations. |
| 2 Solve linear equations in one unknown. | Examples include: • $3x + 4 = 10$ • $5 - 2x = 3(x + 7)$. |
| 3 Solve fractional equations with numerical and linear algebraic denominators. | Examples include: • $\frac{x}{2x + 1} = 4$ • $\frac{2}{x + 2} + \frac{3}{2x - 1} = 1$ • $\frac{x}{x + 2} = \frac{3}{x - 6}$. |
| 4 Solve simultaneous linear equations in two unknowns. | |
| 5 Solve simultaneous equations, involving one linear and one non-linear. | With powers no higher than two. |
| 6 Solve quadratic equations by factorisation, completing the square and by use of the quadratic formula. | Includes writing a quadratic expression in completed square form. Candidates may be expected to give solutions in surd form. The quadratic formula is given in the List of formulas. |
| 7 Change the subject of formulas. | e.g. change the subject of a formula where: • the subject appears twice • there is a power or root of the subject. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 בונה ביטויים, משוואות ונוסחות. | לדוגמה: כתוב ביטוי למכפלה של שני מספרים זוגיים רציפים. כולל בניית מערכת משוואות. |
| 2 לפתור משוואות ליניאריות במשתנה אחת. | הדוגמאות כוללות: • $3x + 4 = 10$ • $5 - 2x = 3(x + 7)$. |
| 3 פותר משוואות שבריות עם מכנים מספריים ואלגבריים ליניאריים. | דוגמאות כוללות: • $\frac{x}{2x + 1} = 4$ • $\frac{2}{x + 2} + \frac{3}{2x - 1} = 1$ • $\frac{x}{x + 2} = \frac{3}{x - 6}$. |
| 4 פותר מערכות משוואות ליניאריות בשתי נעלמות. | |
| 5 פותר מערכות משוואות המכילות משוואה ליניארית אחת ואי-ליניארית אחת. | עם חזקות שאינה עולה על שתיים. |
| 6 פותר משוואות ריבועיות באמצעות פירוק לגורמים, השלמת ריבוע ושימוש בנוסחת השורשים. | כולל כתיבת ביטוי ריבועי בצורת השלמת ריבוע. ייתכן שהמועמדים יצופו לתת פתרונות בצורת שורש. הנוסחה לשורשים נתונה ברשימת הנוסחות. |
| 7 משנה את הנושא של נוסחות. | לדוגמה: שנה את הנושא של נוסחה שבה: • הנושא מופיע פעמיים • יש חזקה או שורש של הנושא. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
An equation 方程 says two expressions are equal. To solve a linear 一次 equation, do the same operation to both sides until the unknown 未知数 is alone.
Worked example. Solve $5 - 2x = 3(x + 7)$.
A fractional equation 分式方程 has the unknown in a denominator. Multiply both sides by the denominator to clear it.
Worked example. Solve $\dfrac{x}{2x + 1} = 4$.
Simultaneous equations 联立方程 are two equations solved together. For two linear equations, add or subtract to remove one letter.
Worked example. Solve $2x + y = 7$ and $3x - y = 8$.
Adding removes $y$: $5x = 15$, so $x = 3$. Then $y = 7 - 2(3) = 1$.
For one linear and one quadratic equation (Extended), substitute the linear into the curve.
Worked example. Solve $y = x + 2$ and $y = x^{2}$.
so $x = 2$ (giving $y = 4$) or $x = -1$ (giving $y = 1$).
There are three methods.
Worked example (formula). Solve $2x^{2} + 3x - 1 = 0$. Here $a = 2$, $b = 3$, $c = -1$:
To change the subject 公式变形 of a formula means to rearrange it so a chosen letter is alone on one side.
Worked example. Make $r$ the subject of $A = \pi r^{2}$ (Extended, because of the power).
When the letter appears twice (Extended), collect those terms and factorise. To make $x$ the subject of $y = \dfrac{x + 1}{x - 1}$:
y = ax² + bx + c
Solving means finding the roots — where the curve crosses the x-axis. · פתרון פירושו מציאת השורשים — הנקודות בהן העקומה חוצה את ציר ה-x.
| English | עברית |
|---|---|
| equation/ɪˈkweɪʒn/ | משוואה |
| linear/ˈlɪnɪə/ | ליניארי |
| unknown/ʌnˈnəʊn/ | נעלם |
| fractional equation/ˈfrækʃənl ɪˈkweɪʒn/ | משוואה שברית |
| simultaneous equations/ˌsɪməlˈteɪnɪəs ɪˈkweɪʒnz/ | משוואות בשני נעלמים |
| quadratic formula/kwɒˈdrætɪk ˈfɔːmjʊlə/ | נוסחת השורשים |
| change the subject/tʃeɪndʒ ðə ˈsʌbdʒekt/ | בידוד משתנה |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Represent and interpret inequalities, including on a number line. | When representing and interpreting inequalities on a number line: • open circles should be used to represent strict inequalities (<, >) • closed circles should be used to represent inclusive inequalities ($\leqslant$, $\geqslant$) e.g. $-3 \leqslant x < 1$ |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| לייצג ולפרש אי-שוויונים, כולל על ציר המספרים. | בעת ייצוג ופרשנות של אי-שוויונים על ציר המספרים: • יש להשתמש בנקודות פתוחות כדי לייצג אי-שוויונים קפדניים (<, >) • יש להשתמש בנקודות סגורות כדי לייצג אי-שוויונים כלולים ($\leqslant$, $\geqslant$) לדוגמה: $-3 \leqslant x < 1$ |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Represent and interpret inequalities, including on a number line. | When representing and interpreting inequalities on a number line: • open circles should be used to represent strict inequalities (<, >) • closed circles should be used to represent inclusive inequalities ($\leqslant$, $\geqslant$). e.g. $-3 \leqslant x < 1$ |
| 2 Construct, solve and interpret linear inequalities. | Examples include: • $3x < 2x + 4$ • $-3 \leqslant 3x - 2 < 7$. |
| 3 Represent and interpret linear inequalities in two variables graphically. | The following conventions should be used: • broken lines should be used to represent strict inequalities (<, >) • solid lines should be used to represent inclusive inequalities ($\leqslant$, $\geqslant$) • shading should be used to represent unwanted regions (unless otherwise directed in the question). e.g. graphs of $x < 1$ and $y \geqslant 1$ |
| 4 List inequalities that define a given region. | Linear programming problems are not included. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 מייצג ומפרש אי-שוויונות, כולל על ציר המספרים. | בעת הייצוג והפרשנת אי-שוויונות על ציר המספרים: • יש להשתמש בעיגולים פתוחים כדי לייצג אי-שוויונות קפדניים (<, >) • יש להשתמש בעיגולים סגורים כדי לייצג אי-שוויונות כלולים ($\leqslant$, $\geqslant$). לדוגמה: $-3 \leqslant x < 1$ |
| 2 בונה, פותר ומפרש אי-שוויונות ליניאריים. | דוגמאות כוללות: • $3x < 2x + 4$ • $-3 \leqslant 3x - 2 < 7$. |
| 3 ייצוג ופרשנות של אי-שוויונים ליניאריים בשתי משתנים גרפית. | יש להשתמש בהנחיות הבאות: • קווים מקוטעים יוצגו אי-שוויונים מחמירים (<, >) • קווים מלאים יוצגו אי-שוויונים כוללים ($\leqslant$, $\geqslant$) • הצללה תציג אזורים שאינם רצויים (אלא אם כן נדרש אחרת בשאלה). לדוגמה, גרפים של $x < 1$ ו$y \geqslant 1$ |
| 4 רשימת אי-שוויונים המגדירים אזור נתון. | בעיות תכנון ליניארי אינן כלולות. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
An inequality 不等式 uses $<$, $>$, $\leqslant$ or $\geqslant$. Solve it like an equation, but reverse the sign if you multiply or divide by a negative number.
Worked example. Solve $-3 \leqslant 3x - 2 < 7$.
Add $2$ to all parts, then divide by $3$:
On a number line 数轴, use an open circle for $<$ or $>$ (value not included) and a closed circle for $\leqslant$ or $\geqslant$ (value included).
An inequality in two letters describes a region 区域 of the graph. Draw the boundary line (broken for $<$ or $>$, solid for $\leqslant$ or $\geqslant$) and shade the unwanted side. You may also be asked to list the inequalities that define a given region.
y = ax + b
An inequality asks where the line is above or below a value. · אי-שוויון שואל האם הקו נמצא מעל או מתחת לערך מסוים.
| English | עברית |
|---|---|
| inequality/ɪniːˈkwɒlɪti/ | אי-שוויון |
| number line/ˈnʌmbə laɪn/ | מספר ממוחזר |
| region/ˈriːdʒn/ | אזור |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Continue a given number sequence or pattern. | e.g. write the next two terms in this sequence: 1, 3, 6, 10, 15, ... , ... |
| 2 Recognise patterns in sequences, including the term-to-term rule, and relationships between different sequences. | |
| 3 Find and use the $n$th term of the following sequences: (a) linear (b) simple quadratic (c) simple cubic. | e.g. find the $n$th term of 2, 5, 10, 17 |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 להמשיך סדרה מספרית או דפוס נתון. | לדוגמה: כתוב את שני האיברים הבאים בסדרה זו: 1, 3, 6, 10, 15, ... , ... |
| 2 לזהות דפוסים בסדרות, כולל הכלל מהאיבר לאיבר, ויחסים בין סדרות שונות. | |
| 3 למצוא ולהשתמש ב$n$-איבר הסדרות הבאות: (א) ליניאריות (ב) ריבועיות פשוטות (ג) קוביות פשוטות. | לדוגמה: מצא את ה$n$-איבר של 2, 5, 10, 17 |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Continue a given number sequence or pattern. | Subscript notation may be used, e.g. $T_n$ is the $n$th term of sequence $T$. |
| 2 Recognise patterns in sequences, including the term-to-term rule, and relationships between different sequences. | Includes linear, quadratic, cubic and exponential sequences and simple combinations of these. |
| 3 Find and use the $n$th term of sequences. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 המשך סדרה או דפוס נתון. | ייתכן שיستخدم סימון תת-כתובתי, לדוגמה: $T_n$ הוא האיבר ה-$n$ בסדרה $T$. |
| 2 זיהוי דפוסים בסדרות, כולל הכלל מהאיבר לאיבר, ומערכים בין סדרות שונות. | כולל סדרות ליניאריות, ריבועיות, קוביות ואקספוננציאליות ושילובים פשוטים שלהן. |
| 3 מציאת שימוש באיבר ה$n$ בסדרות. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
A sequence 数列 is a list of numbers that follow a rule. The term-to-term rule 递推规则 tells you how to get the next term from the one before.
To find the rule for the term in position $n$ (the $n$th term), look at how the terms change.
Linear sequence (the terms go up by the same amount each time). The difference is the multiple of $n$.
Worked example. Find the $n$th term of $2, 5, 8, 11, \dots$
The terms go up by $3$, so start with $3n$. Since $3 \times 1 = 3$ but the first term is $2$, subtract $1$: the $n$th term is $3n - 1$.
Quadratic sequence (the differences themselves change by the same amount). The second difference equals $2 \times$ the coefficient of $n^{2}$.
Worked example. Find the $n$th term of $2, 5, 10, 17, \dots$
First differences are $3, 5, 7$; the second difference is $2$, so the $n^{2}$ part is $1n^{2}$. Subtracting $n^{2}$ ($1, 4, 9, 16$) from the sequence leaves $1, 1, 1, 1$. So the $n$th term is $n^{2} + 1$.
A cubic 三次 sequence such as $1, 8, 27, 64, \dots$ has $n$th term $n^{3}$. An exponential sequence 指数数列 such as $2, 6, 18, 54, \dots$ multiplies by a fixed number each time; here the $n$th term is $2 \times 3^{\,n-1}$.
Build an arithmetic (add d) or geometric (times r) sequence term by term. · בנה סדרה אריתמטית (חיבור d) או גיאומטרית (כפל r) איבר-איבר.
| English | עברית |
|---|---|
| sequence/ˈsiːkwəns/ | רצף |
| term-to-term rule/tɜːm tə tɜːm ruːl/ | כלל מקדם-לקודם |
| cubic/ˈkjuːbɪk/ | קובי |
| exponential sequence/ˌekspəˈnenʃl ˈsiːkwəns/ | סדרה מעריכית |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Express direct and inverse proportion in algebraic terms and use this form of expression to find unknown quantities. | Includes linear, square, square root, cube and cube root proportion. Knowledge of proportional symbol ($\propto$) is required. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| ביטוי פרופורציה ישירה והפוכה במונחים אלגבריים והשתמש בצורה זו למציאת גדלים לא ידועים. | כולל פרופורציה ליניארית, ריבועית, שורש ריבועי, קובית ושורש קובי. נדרש ידע בסימן פרופורציונליות ($\propto$). |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
Two quantities are in direct proportion 正比例 if one is always a fixed multiple of the other: $y \propto x$ means $y = kx$, where $k$ is a constant 常数. They are in inverse proportion 反比例 if one rises as the other falls: $y \propto \dfrac{1}{x}$ means $y = \dfrac{k}{x}$. The symbol $\propto$ is read "is proportional to". You can also have proportion to a square, square root, cube or cube root.
Worked example. $y$ is in direct proportion to $x$, and $y = 12$ when $x = 3$. Find $y$ when $x = 7$.
First find $k$: $12 = k \times 3$, so $k = 4$ and $y = 4x$. Then $y = 4 \times 7 = 28$.
y = a/x
Inverse proportion: as x doubles, y halves — a reciprocal curve with two asymptotes. · יחס הפוך: כאשר x כפול, y חצוי — עקומה היפוכית עם שתי אסימפטות.
| English | עברית |
|---|---|
| direct proportion/daɪˈrekt prəˈpɔːʃn/ | יחס ישר |
| constant/ˈkɒnstənt/ | קבוע |
| inverse proportion/ɪnˈvɜːs prəˈpɔːʃn/ | יחס הפוך |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use and interpret graphs in practical situations including travel graphs and conversion graphs. | e.g. interpret the gradient of a straight-line graph as a rate of change. |
| 2 Draw graphs from given data. | e.g. draw a distance–time graph to represent a journey. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 להשתמש בגרפים ולפרש אותם במצבים מעשיים, כולל גרפי נסיעות וגרפי המרה. | לדוגמה: פרש את השיפוע של גרף ישר כקצב שינוי. |
| 2 לצייר גרפים מתוך נתונים נתונים. | לדוגמה: צייר גרף מרחק–זמן כדי לייצג נסיעה. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use and interpret graphs in practical situations including travel graphs and conversion graphs. | Includes estimation and interpretation of the gradient of a tangent at a point. |
| 2 Draw graphs from given data. | |
| 3 Apply the idea of rate of change to simple kinematics involving distance–time and speed–time graphs, acceleration and deceleration. | |
| 4 Calculate distance travelled as area under a speed–time graph. | Areas will involve linear sections of the graph only. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 שימוש ופרשנת גרפים במצבים מעשיים, כולל גרפי נסיעה וגרפי המרה. | כולל הערכה ופרשנת השיפוע של משיק בנקודה. |
| 2 ציור גרפים מתוך נתונים נתונים. | |
| 3 יישום רעיון קצב השינוי על קינמטיקה פשוטה הכוללת גרפי מרחק-זמן ומהירות-זמן, תאוצה והאטה. | |
| 4 חישוב המרחק שנעבר כשטח מתחת לגרף מהירות-זמן. | השטחים יכללו רק חלקים ליניאריים של הגרף. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
The gradient 斜率 (steepness) of a graph shows a rate of change 变化率.
On a speed–time graph the gradient is the acceleration 加速度 (or deceleration 减速度 if the speed falls), and the area 面积 under the graph is the distance 距离 travelled.
Worked example. A car speeds up from rest to $20\text{ m/s}$ in $8\text{ s}$, then stays at $20\text{ m/s}$ for $12\text{ s}$. Find the acceleration and the total distance.
Acceleration $= \dfrac{20}{8} = 2.5\text{ m/s}^{2}$. The distance is the area: a triangle plus a rectangle,
y = ax + b
A distance–time or cost graph is read from its gradient and its intercept. · גרף מרחק-זמן או גרף עלות קוראים מהשיפוע שלו ומחיתוך צירים.
| English | עברית |
|---|---|
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | שיפוע |
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | קצב שינוי |
| travel graph/ˈtrævl ɡræf/ | גרף תנועה |
| conversion graph/kənˈvɜːʃn ɡræf/ | גרף המרה |
| acceleration/əkˌseləˈreɪʃn/ | תאוצה |
| deceleration/dɪˌseləˈreɪʃn/ | האטה |
| area/ˈeərɪə/ | שטח |
| distance/ˈdɪstəns/ | מרחק |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Construct tables of values, and draw, recognise and interpret graphs for functions of the following forms: • $ax + b$ • $\pm x^2 + ax + b$ • $\frac{a}{x} \ (x \neq 0)$ where $a$ and $b$ are integer constants. | |
| 2 Solve associated equations graphically, including finding and interpreting roots by graphical methods. | e.g. find the intersection of a line and a curve. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 לבנות טבלאות ערכים, לשרטט, לזהות ולפרש גרפים עבור הפונקציות מהצורות הבאות: • $ax + b$ • $\pm x^2 + ax + b$ • $\frac{a}{x} \ (x \neq 0)$ כאשר $a$ ו-$b$ הם קבועים שלמים. | |
| 2 לפתור משוואות נלוות גרפית, כולל מציאת שורשים ופרשנותם באמצעות שיטות גרפיות. | דוגמה: למצוא את חיתוך הקו הישר והעקומה. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Construct tables of values, and draw, recognise and interpret graphs for functions of the following forms: • $a x^n$ (includes sums of no more than three of these) • $a b^x + c$ where $n = -2, -1, -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 1, 2, 3$; $a$ and $c$ are rational numbers; and $b$ is a positive integer. | Examples include: • $y = x^3 + x - 4$ • $y = 2x + \frac{3}{x^2}$ • $y = \frac{1}{4} \times 2^x$. |
| 2 Solve associated equations graphically, including finding and interpreting roots by graphical methods. | e.g. finding the intersection of a line and a curve. |
| 3 Draw and interpret graphs representing exponential growth and decay problems. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 בניט טבלאות ערכים, וציור, זיהוי ופרשנות גרפים עבור פונקציות מהצורות הבאות: • $a x^n$ (כולל סכומים של עד שלושה מאלו) • $a b^x + c$ כאשר $n = -2, -1, -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 1, 2, 3$; $a$ ו-$c$ הם מספרים רציונליים; ו-$b$ הוא מספר טבעי חיובי. | דוגמאות כוללות: • $y = x^3 + x - 4$ • $y = 2x + \frac{3}{x^2}$ • $y = \frac{1}{4} \times 2^x$. |
| 2 פתרון משוואות קשורות בגרף, כולל מציאת ופרשנות שורשים באמצעים גרפיים. | לדוגמה: מציאת נקודת החיתוך של ישר ועקומה. |
| 3 ציור ופרשנות גרפים המייצגים בעיות של גידול ודעיכה אקספוננציאליים. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
To draw a graph, make a table of values 数值表: choose values of $x$, work out $y$, then plot the coordinates 坐标 and join them with a smooth curve.
The points where a graph crosses the $x$-axis (the horizontal axis 坐标轴) are the roots 根 — the solutions of $y = 0$.
You can solve an equation by reading a graph. The intersection point 交点 of a line and a curve gives the solution of the two equations together.
For exponential growth 指数增长 and exponential decay 指数衰减, the graph of $y = a\,b^{x} + c$ rises (or falls) faster and faster and flattens towards a horizontal line.
y = ax² + bx + c
Drag a, b and c and watch the parabola move — its turning point and where it crosses the axes. · גרור את a, b וc והצפה את הפרבולה זזה — את נקודת ההפיכה ואת מקום החצייה עם הצירים.
| English | עברית |
|---|---|
| table of values/ˈteɪbl ɒv ˈvæljuːz/ | טבלת ערכים |
| coordinates/kəʊˈɔːdɪnəts/ | קואורדינטות |
| axis/ˈæksɪs/ | ציר |
| roots/ruːts/ | שורשים |
| intersection point/ˌɪntəˈsekʃn pɔɪnt/ | נקודת חיתוך |
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | צמיחה מעריכית |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | דעיכת מעריכית |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Recognise, sketch and interpret graphs of the following functions: (a) linear (b) quadratic. | Knowledge of symmetry and roots is required. Knowledge of turning points is not required. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| זיהוי, עריכה ופרשנות גרפים של הפונקציות הבאות: (א) ליניאריות (ב) ריבועיות. | נדרשת ידע בסימטריה ושורשים. ידע בנקודות קיצון אינו נדרש. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Recognise, sketch and interpret graphs of the following functions: (a) linear (b) quadratic (c) cubic (d) reciprocal (e) exponential. | Functions will be equivalent to: • $ax + by = c$ • $y = ax^2 + bx + c$ • $y = ax^3 + b$ • $y = ax^3 + bx^2 + cx$ • $y = \frac{a}{x} + b$ • $y = ar^x + b$ where $a$, $b$ and $c$ are rational numbers and $r$ is a rational, positive number. Knowledge of turning points, roots and symmetry is required. Knowledge of vertical and horizontal asymptotes is required. Finding turning points of quadratics by completing the square is required. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| זיהוי, סקיצה ופרשנות גרפים של הפונקציות הבאות: (א) ליניארית (ב) ריבועית (ג) קובית (ד) הפוכה (ה) אקספוננציאלית. | הפונקציות יהיו שוות ערך ל: • $ax + by = c$ • $y = ax^2 + bx + c$ • $y = ax^3 + b$ • $y = ax^3 + bx^2 + cx$ • $y = \frac{a}{x} + b$ • $y = ar^x + b$ כאשר $a$, $b$ ו-$c$ הם מספרים רציונליים ו-$r$ הוא מספר רציונלי חיובי. נדרשת ידע בנקודות קיצון, שורשים וסימטריות. נדרשת ידע בחסמים אנכיים ואופקיים. מציאת נקודות קיצון של פונקציות ריבועיות באמצעות השלמה לריבוע היא נדרשת. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
A quick sketch should show the right shape and the key features: where it crosses the axes, any symmetry 对称, and any line the curve gets close to.
| Function | Shape |
|---|---|
| linear, $y = mx + c$ | straight line; gradient $m$, $y$-intercept 截距 $c$ |
| quadratic, $y = ax^{2} + bx + c$ | a parabola 抛物线 (U-shape if $a>0$, $\cap$-shape if $a<0$) |
| cubic, $y = ax^{3} + bx + c$ | an S-shaped curve |
| reciprocal, $y = \dfrac{a}{x} + b$ | two separate curves |
| exponential, $y = a\,r^{x} + b$ | fast growth or decay |
For a parabola, completing the square gives the turning point 转折点 (the lowest or highest point). For example $y = (x + 3)^{2} - 8$ has its turning point at $(-3, -8)$.
An asymptote 渐近线 is a line that the curve gets closer and closer to but never touches — for example, the $x$-axis for $y = \dfrac{a}{x}$, or the line $y = b$ for $y = a\,r^{x} + b$.
| English | עברית |
|---|---|
| symmetry/ˈsɪmətri/ | סימטריה |
| intercept/ˌɪntəˈsept/ | חיתוך |
| parabola/pəˈræbələ/ | פרבולה |
| turning point/ˈtɜːnɪŋ pɔɪnt/ | נקודת קיצון |
| asymptote/ˈæsɪmptəʊt/ | אסימפטוטה |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Estimate gradients of curves by drawing tangents. | |
| 2 Use the derivatives of functions of the form $ax^n$, where $a$ is a rational constant and $n$ is a positive integer or zero, and simple sums of not more than three of these. | $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ notation will be expected. |
| 3 Apply differentiation to gradients and stationary points (turning points). | |
| 4 Discriminate between maxima and minima by any method. | Maximum and minimum points may be identified by: • an accurate sketch • use of the second differential • inspecting the gradient either side of a turning point. Candidates are not expected to identify points of inflection. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 הערכת שיפועי עקומות על ידי ציור מגע. | |
| 2 שימוש בגזירות של פונקציות מהצורה $ax^n$, כאשר $a$ הוא קבוע רציונלי ו-$n$ הוא מספר טבעי או אפס, וסכומים פשוטים של עד שלושה מאלו. | סימון $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ יתבקש. |
| 3 יישום הגזירה לשיפועים ולנקודות עצירה (נקודות קיצון). | |
| 4 ההבחנה בין מקסימום למינימום בכל שיטה. | נקודות מקסימום ומינימום עשויות להיות מזוהות על ידי: • סקיצה מדויקת • שימוש בגזרה שנייה • בדיקת השיפוע משני צדי נקודת קיצון. אינו מתבקש מהמועמדים לזהות נקודות היפוך. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
Differentiation 微分 finds the gradient of a curve at any point. You can estimate it by drawing a tangent 切线 (a line that just touches the curve) and measuring its gradient.
The exact rule: if $y = ax^{n}$, then the derivative 导数 is
Differentiate a sum term by term.
Worked example. If $y = x^{3} + 2x^{2} - 5x$, then $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 3x^{2} + 4x - 5$.
A stationary point 驻点 (turning point) is where the gradient is zero, so set $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0$.
Worked example. Find the turning point of $y = x^{2} - 6x + 5$.
The turning point is $(3, -4)$. To decide whether a turning point is a maximum 最大值 or a minimum 最小值, check the sign of the gradient on each side, or use the second derivative (positive means a minimum).
y = ax³ + bx² + cx + d
Move the point: the tangent shows the gradient there, which is what differentiation finds. · זוז בנקודה: המשיק מראה את השיפוע בנקודה זו, מה שמייצג מה שמחשבת הנגזרת.
| English | עברית |
|---|---|
| differentiation/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | דיפרנציאציה |
| tangent/ˈtændʒənt/ | טנגנס |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | נגזרת |
| stationary point/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/ | נקודה סטציונרית |
| maximum/ˈmæksɪməm/ | מקסימום |
| minimum/ˈmɪnɪməm/ | מינימום |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand functions, domain and range and use function notation. | Examples include: • $f(x) = 3x - 5$ • $g(x) = \frac{3(x + 4)}{5}$ • $h(x) = 2x^2 + 3$. |
| 2 Understand and find inverse functions $f^{-1}(x)$. | |
| 3 Form composite functions as defined by $gf(x) = g(f(x))$. | e.g. $f(x) = \frac{3}{x + 2}$ and $g(x) = (3x + 5)^2$. Find $fg(x)$. Give your answer as a fraction in its simplest form. Candidates are not expected to find the domains and ranges of composite functions. This topic may include mapping diagrams. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 הבנת פונקציות, תחום והיקף ושימוש בסימון פונקציות. | דוגמאות כוללות: • $f(x) = 3x - 5$ • $g(x) = \frac{3(x + 4)}{5}$ • $h(x) = 2x^2 + 3$. |
| 2 הבנה ומציאת פונקציות הפוכות $f^{-1}(x)$. | |
| 3 הרכב פונקציות מורכבות כפי שמוגדר ב-$gf(x) = g(f(x))$. | לדוגמה: $f(x) = \frac{3}{x + 2}$ ו-$g(x) = (3x + 5)^2$. מצא את $fg(x)$. תן את התשובה בשבר בצורה הפשוטה ביותר. מועמדים אינם מצופים למצוא את התחומים והטווחים של פונקציות מורכבות. נושא זה עשוי לכלול דיאגרמות מיפוי. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
A function 函数 turns each input into one output. We write $f(x)$, for example $f(x) = 3x - 5$, so $f(2) = 1$. The set of allowed inputs is the domain 定义域; the set of possible outputs is the range 值域.
The inverse function 反函数 $f^{-1}(x)$ undoes the function. To find it, write $y = f(x)$, swap the roles, and make $x$ the subject.
Worked example. Find the inverse of $f(x) = 3x - 5$.
A composite function 复合函数 applies one function after another: $gf(x)$ means "do $f$ first, then $g$".
Worked example. If $f(x) = 2x$ and $g(x) = x + 3$, then
y = f(x)
A function turns each input into exactly one output — watch its shape. · פונקציה ממירה כל קלט בדיוק ל-תוצאת קלט אחת — שימו לב לצורתה.
| English | עברית |
|---|---|
| function/ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה |
| domain/dəˈmeɪn/ | תחום |
| range/reɪndʒ/ | טווח |
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה הפוכה |
| composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה מורכבת |
This handout covers Topic 3, Coordinate geometry. Parts marked (Extended) are only tested on the Extended papers; everything else is for both levels.
גיליון זה מכסה נושא 3, גיאומטריה אנליטית. חלקים המסומנים (הרחבה) נבדקים רק בבחינות הרחבה; הכל שאר הוא לשני רמות.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Use and interpret Cartesian coordinates in two dimensions. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| להשתמש בקואורדינטות קרטזיות בשתי מימד ולפרש אותן. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
A point on a graph is described by its coordinates 坐标, sometimes called Cartesian coordinates, written $(x, y)$. The first number is the across value and the second is the up value.
So the point $(3, -2)$ is found by going $3$ to the right and $2$ down.
נקודה בגרף מתוארת על ידי נקודות, לעיתים נקראות נקודות קרטזיות, כתוב $(x, y)$. המספר הראשון הוא הערך האופקי והשני הוא הערך האנכי.
לכן, הנקודה $(3, -2)$ נמצאת על ידי מעבר $3$ ימינה ו$2$ למטה.
y = mx + c
Every point has an (x, y) coordinate. A straight line is the set of points where y depends on x in a fixed way. · לכל נקודה יש קואורדינatas (x, y). ישר הוא קבוצת הנקודות בהן y תלויה ב-x באופן קבוע.
| English | עברית |
|---|---|
| coordinates/kəʊˈɔːdɪnəts/ | קואורדינטות |
| axes/ˈæksɪz/ | צירים |
| horizontal/ˌhɒrɪˈzɒntl/ | אופקי |
| vertical/ˈvɜːtɪkl/ | אנכי |
| origin/ˈɒrɪdʒɪn/ | ראשית הצירים |
| quadrants/ˈkwɒdrənts/ | רבעים |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Interpret and obtain the equation of a straight-line graph in the form $y = mx + c$. | Questions may: • use and request lines in the forms $y = mx + c$, $x = k$ • involve finding the equation when the graph is given • ask for the gradient or $y$-intercept of a graph from an equation, e.g. find the gradient and $y$-intercept of the graph with the equation $y = 6x + 3$. Candidates are expected to give equations of a line in a fully simplified form. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| לפרש ולקבל את משוואת גרף ישר בצורה $y = mx + c$. | השאלות עשויות: • להשתמש ולבקש קווים בצורות $y = mx + c$, $x = k$ • לעסוק במציאת המשוואה כאשר הגרף נתון • לבקש את השיפוע או החיתוך עם $y$-ציר של גרף מתוך משוואה, לדוגמה: מצא את השיפוע והחיתוך עם $y$-ציר של הגרף עם המשוואה $y = 6x + 3$. מועמד צפוי לתת משוואות של קו בצורה מפושטת לחלוטין. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Interpret and obtain the equation of a straight-line graph. | Questions may: • use and request lines in different forms, e.g. $ax + by = c$, $y = mx + c$, $x = k$ • involve finding the equation when the graph is given • ask for the gradient or $y$-intercept of a graph from an equation, e.g. find the gradient and $y$-intercept of the graph with equation $5x + 4y = 8$. Candidates are expected to give equations of a line in a fully simplified form. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
Most straight lines can be written as
where $m$ is the gradient 斜率 (steepness) and $c$ is the intercept 截距 — the $y$-value where the line crosses the $y$-axis.
A line may also be given as $ax + by = c$. Rearrange it into $y = mx + c$ to read off the gradient and intercept.
Worked example. Find the gradient and $y$-intercept of $5x + 4y = 8$.
So the gradient is $-\tfrac{5}{4}$ and the $y$-intercept is $2$.
רוב הקווים הישרים ניתן לכתיבה בצורה
כאשר $m$ הוא השיפוע (תלילות) ו-$c$ הוא החיתוך — הערך $y$ שבו הישר חותך את ציר ה-$y$.
ישר עשוי להיות נתון גם בצורה $ax + by = c$. סדרו מחדש אותו ל$y = mx + c$ כדי לקרוא את השיפוע והחיתוך.
דוגמא מפורטת. מצאו את השיפוע ואת חיתוך ה$y$ של $5x + 4y = 8$.
לכן השיפוע הוא $-\tfrac{5}{4}$ וחיתוך ה-$y$ הוא $2$.
y = ax + b
Drag the gradient and the intercept. a is the gradient (steepness) and b is where the line crosses the y-axis. · גרור את השיפוע ואת החיתוך. a הוא השיפוע (השיפועיות) ו-b הוא הנקודה שבה הישר חוצה את ציר y.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Find the gradient of a straight line. | From a grid only. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| למצוא את השיפוע של קו ישר. | מתוך רשת בלבד. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Find the gradient of a straight line. | |
| 2 Calculate the gradient of a straight line from the coordinates of two points on it. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 מציאת שיפוע של קו ישר. | |
| 2 חישוב שיפוע של קו ישר מהקואורדינטות של שתי נקודות עליו. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
The gradient measures how steep a line is:
A positive gradient goes up to the right; a negative gradient goes down to the right.
Worked example. Find the gradient of the line through $(1, 2)$ and $(4, 11)$.
השיפוע מדד עד כמה קו תלול:
שיפוע חיובי עולה לימין; שיפוע שלילי יורד לימין.
דוגמא מפורטת. מצאו את השיפוע של הקו העובר דרך $(1, 2)$ ו$(4, 11)$.
y = ax + b
The gradient a measures steepness — rise over run. · השיפוע a מדד את המדרון — עלות חלוקה במרחק אופקי.
| English | עברית |
|---|---|
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | שיפוע |
| intercept/ˌɪntəˈsept/ | חיתוך |
| table of values/ˈteɪbl ɒv ˈvæljuːz/ | טבלת ערכים |
| line segment/laɪn ˈseɡmənt/ | קטע ישר |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Draw straight-line graphs for linear equations. | Equations will be given in the form $y = mx + c$ (e.g. $y = -2x + 5$), unless a table of values is given. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| לצייר גרפים ישרים עבור משוואות ליניאריות. | המשוואות תינתנו בצורה $y = mx + c$ (לדוגמה: $y = -2x + 5$), אלא אם כן נתונה טבלת ערכים. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Draw straight-line graphs for linear equations. | Examples include: • $y = -2x + 5$ • $y = 7 - 4x$ • $3x + 2y = 5$. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| ציור גרפים ליניאריים (קו ישר) למשוואות ליניאריות. | דוגמאות כוללות: • $y = -2x + 5$ • $y = 7 - 4x$ • $3x + 2y = 5$. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
To draw $y = mx + c$, the quickest way is:
You can also make a small table of values 数值表: choose two or three $x$-values, work out $y$, and plot the points.
כדי לשרטט $y = mx + c$, הדרך המהירה ביותר היא:
ניתן גם לבנות טבלת ערכים קטנה: בחר שתי או שלוש ערכי $x$, חשב את הערכים המתאימים ל-$y$, ושרטט את הנקודות.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Interpret and obtain the equation of a straight-line graph in the form $y = mx + c$. | Questions may: • use and request lines in the forms $y = mx + c$, $x = k$ • involve finding the equation when the graph is given • ask for the gradient or $y$-intercept of a graph from an equation, e.g. find the gradient and $y$-intercept of the graph with the equation $y = 6x + 3$. Candidates are expected to give equations of a line in a fully simplified form. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| לפרש ולקבל את משוואת גרף ישר בצורה $y = mx + c$. | השאלות עשויות: • להשתמש ולבקש קווים בצורות $y = mx + c$, $x = k$ • לעסוק במציאת המשוואה כאשר הגרף נתון • לבקש את השיפוע או החיתוך עם $y$-ציר של גרף מתוך משוואה, לדוגמה: מצא את השיפוע והחיתוך עם $y$-ציר של הגרף עם המשוואה $y = 6x + 3$. מועמד צפוי לתת משוואות של קו בצורה מפושטת לחלוטין. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Interpret and obtain the equation of a straight-line graph. | Questions may: • use and request lines in different forms, e.g. $ax + by = c$, $y = mx + c$, $x = k$ • involve finding the equation when the graph is given • ask for the gradient or $y$-intercept of a graph from an equation, e.g. find the gradient and $y$-intercept of the graph with equation $5x + 4y = 8$. Candidates are expected to give equations of a line in a fully simplified form. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
If you know the gradient $m$ and one point on the line, put the point into $y = mx + c$ to find $c$.
Worked example. A line has gradient $3$ and passes through $(1, 2)$. Find its equation.
So the equation is $y = 3x - 1$. (If you are given two points, first find the gradient, then do this.)
אם ידוע לך השיפוע $m$ ונקודה אחת על הקו, הצב את הנקודה בתוך $y = mx + c$ כדי למצוא את $c$.
דוגמה פותרת. קו בעל שיפוע $3$ ועובר דרך $(1, 2)$. מצא את משוואתו.
לכן המשוואה היא $y = 3x - 1$. (אם נתונות לך שתי נקודות, חשב תחילה את השיפוע, ואז בצע את הפעולה הזו.)
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Calculate the length of a line segment. | |
| 2 Find the coordinates of the midpoint of a line segment. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 חישוב אורך קטע ישר. | |
| 2 מציאת נקודת האמצע של קטע ישר. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
A line segment 线段 is the straight piece between two points.
To find the length 长度 of the segment between $(x_1, y_1)$ and $(x_2, y_2)$, use Pythagoras' theorem 勾股定理 on the horizontal and vertical gaps:
To find the midpoint 中点 (the point exactly in the middle), average the coordinates:
Worked example. Find the length and midpoint of the segment from $(1, 2)$ to $(4, 6)$.
קטע ישר הוא החלק הישר בין שתי נקודות.
כדי למצוא את ה-אורך של הקטע בין $(x_1, y_1)$ ל-$(x_2, y_2)$, השתמש ב-משפט פיתגורס על הרווח האופקי והאנכי:
כדי למצוא את ה-אמצע (הנקודה בדיוק באמצע), חשב את הממוצע של הקואורדינטות:
דוגמה פותרת. מצא את האורך והאמצע של הקטע מ-$(1, 2)$ ל-$(4, 6)$.
midpoint is halfway between endpoints · האמצע נמצא במרכז בין הנקודות הקצה
Move along a line segment and see midpoint as halfway. · הזז לאורך קטע וראה את האמצע כחצי הדרך.
| English | עברית |
|---|---|
| length/leŋθ/ | אורך |
| Pythagoras' theorem/paɪˈθæɡərəs ˈθɪərəm/ | משפט פיתגורס |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | נקודת אמצע |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Find the gradient and equation of a straight line parallel to a given line. | e.g. find the equation of the line parallel to $y = 4x - 1$ that passes through $(1, -3)$. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| למצוא את השיפוע ומשוואת קו ישר המקביל לקו נתון. | לדוגמה: מצא את משוואת הקו המקביל ל$y = 4x - 1$ שעובר דרך $(1, -3)$. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
Parallel 平行 lines never meet, so they have the same gradient.
Worked example. Find the equation of the line parallel to $y = 4x - 1$ that passes through $(1, -3)$.
The gradient is also $4$. Put the point in:
so the line is $y = 4x - 7$.
קווים מקבילים לעולם אינם נפגשים, ולכן יש להם את אותו שיפוע.
דוגמה מפורטת. מצאו את המשוואה של הישר המקביל ל-$y = 4x - 1$ שעובר דרך $(1, -3)$.
השיפוע הוא גם כן $4$. הצביעו את הנקודה:
ולכן הקו הוא $y = 4x - 7$.
y = ax + b
Parallel lines share a gradient; perpendicular gradients multiply to −1. · קווים מקביליםpartage相同的 slope; שיפועים ניצבים מכפלתם היא −1.
| English | עברית |
|---|---|
| parallel/ˈpærəlel/ | מקביל |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Find the gradient and equation of a straight line perpendicular to a given line. | Examples include: • find the gradient of a line perpendicular to $2y = 3x + 1$ • find the equation of the perpendicular bisector of the line joining the points $(-3, 8)$ and $(9, -2)$. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| מציאת השיפוע ומשוואה של קו ישר המאונך לקו נתון. | דוגמאות כוללות: • מציאת השיפוע של קו המאונך ל-$2y = 3x + 1$ • מציאת משוואת האנכי באמצע של הקטע המחבר בין הנקודות $(-3, 8)$ ו-$(9, -2)$. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
Two lines are perpendicular 垂直 if they meet at a right angle 直角. Their gradients multiply to $-1$:
In words: flip the fraction and change the sign.
Worked example. Find the gradient of a line perpendicular to $2y = 3x + 1$.
Rearrange: $y = \tfrac{3}{2}x + \tfrac{1}{2}$, so the gradient is $\tfrac{3}{2}$. The perpendicular gradient is $-\tfrac{2}{3}$.
The perpendicular bisector 垂直平分线 of a segment cuts it in half at a right angle. To find its equation: get the midpoint, then use the perpendicular gradient through that midpoint.
Worked example. Find the perpendicular bisector of the segment joining $(-3, 8)$ and $(9, -2)$.
Through $(3, 3)$: $\; 3 = \tfrac{6}{5}(3) + c \Rightarrow c = 3 - \tfrac{18}{5} = -\tfrac{3}{5}$. So the bisector is
שני קווים הם מאונכים זה לזה אם הם נפגשים בזווית ישרה. מכפלת השיפועים שלהם היא $-1$:
בעברית: הפכו את השבר ושינו את הסימן.
דוגמה מפורטת. מצאו את השיפוע של קו מאונך ל-$2y = 3x + 1$.
סדרו מחדש: $y = \tfrac{3}{2}x + \tfrac{1}{2}$, ולכן השיפוע הוא $\tfrac{3}{2}$. השיפוע המאונך הוא $-\tfrac{2}{3}$.
חוצה המאונך לקטע מחלק אותו לשתי חלקים שווים בזווית ישרה. כדי למצוא את המשוואה שלו: קבלו את נקודת האמצע, ולאחר מכן השתמשו בשיפוע המאונך העובר דרך נקודת האמצע הזו.
דוגמה מפורטת. מצאו את החוצה המאונך לקטע המחבר בין $(-3, 8)$ ל-$(9, -2)$.
באמצעות $(3, 3)$: $\; 3 = \tfrac{6}{5}(3) + c \Rightarrow c = 3 - \tfrac{18}{5} = -\tfrac{3}{5}$. לכן המנחל הוא
| English | עברית |
|---|---|
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | ניצב |
| right angle/raɪt ˈæŋɡl/ | זווית ישרה |
| perpendicular bisector/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə baɪˈsektə/ | אנכי האוצר |
This handout covers Topic 4, Geometry. Parts marked (Extended) are only tested on the Extended papers; everything else is for both levels. In the exam you must give reasons using the correct names below, not just the numbers.
דף עבודה זה מכסה נושא 4, גיאומטריה. חלקים המסומנים (מתקדם) נבדקים רק במבחני המתקדם; כל שאר החומר מתאים לשני הרמות. בבחון עליכם לספק סיבות באמצעות השמות הנכונים למטה, ולא רק מספרים.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use and interpret the following geometrical terms: • point • vertex • line • parallel • perpendicular • bearing • right angle • acute, obtuse and reflex angles • interior and exterior angles • similar • congruent • scale factor. | Candidates are not expected to show that two shapes are congruent. |
| 2 Use and interpret the vocabulary of: • triangles • special quadrilaterals • polygons • nets • simple solids. | Includes the following terms: Triangles: • equilateral • isosceles • scalene • right-angled. Quadrilaterals: • square • rectangle • kite • rhombus • parallelogram • trapezium. Polygons: • regular and irregular polygons • pentagon • hexagon • octagon • decagon. |
| Simple solids: • cube • cuboid • prism • cylinder • pyramid • cone • sphere (term ‘hemisphere’ not required) • face • surface • edge. | |
| 3 Use and interpret the vocabulary of a circle. | Includes the following terms: • centre • radius (plural radii) • diameter • circumference • semicircle • chord • tangent • arc • sector • segment. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 להשתמש ולפרש את המונחים הגיאומטריים הבאים: • נקודה • קודקוד • קו • מקביל • מאונך • זווית ניווט • זווית ישרה • חדות, קהות ומחזירות • זוויות פנימיות וחיצוניות • דומים • חופפים • גורם קנה מידה. | מועמד אינו צפוי להוכיח כי שני צורות הם חופפים. |
| 2 השתמש והבן במונחים: • משולשים • צורת ארבע-צלעות מיוחדות • פוליגונים • רשתות • גופים פשוטים. | כולל את המונחים הבאים: משולשים: • שווה-צלעות • שווה-שוקיים • שונה-צלעות • זווית ישרה. צורות ארבע-צלעות: • ריבוע • מלבן • נזר • מעוין • מקבילית • טרפז. פוליגונים: • פוליגונים קבוצים ואי-קבוצים • מחוגית • מצולע • חט-צדע • עשר-צדע. |
| גופים פשוטים: • קוביה • תיבה • פרזמה • צילינדר • פירמידה • חרוט • כדור (המונח 'כדור למחצית' אינו נדרש) • פני שטח • משטח • קצה. | |
| 3 השתמש והבן במונחים של עיגול. | כולל את המונחים הבאים: • מרכז • רדיוס (רבים-רדיוסים) • קוטר • היקף • חצי-עיגול • מיתר • מגע • קשת • מוסך • מוסיקאלי. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use and interpret the following geometrical terms: • point • vertex • line • plane • parallel • perpendicular • perpendicular bisector • bearing • right angle • acute, obtuse and reflex angles • interior and exterior angles • similar • congruent • scale factor. | Candidates are not expected to show that two shapes are congruent. |
| 2 Use and interpret the vocabulary of: • triangles • special quadrilaterals • polygons • nets • solids. | Includes the following terms. Triangles: • equilateral • isosceles • scalene • right-angled. Quadrilaterals: • square • rectangle • kite • rhombus • parallelogram • trapezium. |
| Polygons: • regular and irregular polygons • pentagon • hexagon • octagon • decagon. Solids: • cube • cuboid • prism • cylinder • pyramid • cone • sphere • hemisphere • frustum • face • surface • edge. | |
| 3 Use and interpret the vocabulary of a circle. | Includes the following terms: • centre • radius (plural radii) • diameter • circumference • semicircle • chord • tangent • major and minor arc • sector • segment. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 שימוש ופרשנות של המושגים הגיאומטריים הבאים: • נקודה • קודקוד • קו • מישור • מקביל • אנכי • מאונך אמצעי • כיוון (bearing) • זווית ישרה • זוויות חדות, קהות ומחזוריות • זוויות פנימיות וחיצוניות • דומים • חופפים • גורם קנה מידה. | מועמד אינו צפוי להוכיח כי שתי צורות הם חופפים. |
| 2 שימוש ופרשנות של הלקסיקון של: • משולשים • מרובעים מיוחדים • פוליגונים • רשתות • גופים מsolid. | כולל את המושגים הבאים. משולשים: • שווה שוקיים • שווה שוקיים • שווה צלעות • ישר-זווית. מרובעים: • ריבוע • מלבן • נזר • משולש • מקבילית • טרפז. |
| מצולעים: • מצולעים משוכללים ולא משוכללים • חמישי • משושה • שמונית • עשרית. גוף תלת-ממדי: • קוביה • גוף ארגז • פריזה • צילינדר • פירמידה • חרוט • כדור • חצי כדור • פרוסטום • פנים • פני שטח • קצה. | |
| 3 שימוש ופרשנות במונחים של עיגול. | כולל את המונחים הבאים: • מרכז • רדיוס (רבים: רדיוסים) • קוטר • היקף • חצי עיגול • מיתר • מגע • קשת גדולה וקשת קטנה • מניירה • קטע. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
A corner where two lines meet is a vertex 顶点. Two lines are parallel 平行 if they never meet, and perpendicular 垂直 if they meet at a right angle. Angles are named by their size:
| Name | Size |
|---|---|
| acute angle 锐角 | less than $90^{\circ}$ |
| right angle 直角 | exactly $90^{\circ}$ |
| obtuse angle 钝角 | between $90^{\circ}$ and $180^{\circ}$ |
| reflex angle 优角 | between $180^{\circ}$ and $360^{\circ}$ |
We name an angle with three letters, e.g. angle $ABC$ is the angle at $B$.
פינה שבה שני קווים נפגשים היא ראש זווית. שני קווים הם מקבילים אם לעולם אינם נפגשים, ו-מאונכים אם נפגשים בזווית ישרה. זוויות נקראות לפי הגודל שלהן:
| שם | גודל |
|---|---|
| זווית חדה | פחות מ-$90^{\circ}$ |
| זווית ישרה | בדיוק $90^{\circ}$ |
| זווית קהה | בין $90^{\circ}$ ל-$180^{\circ}$ |
| זווית מעוקמת | בין $180^{\circ}$ ל-$360^{\circ}$ |
אנו קוראים לזווית בשלוש אותיות, לדוגמה, זווית $ABC$ היא הזווית בנקודה $B$.
Classify angle facts by the diagram feature that creates them. · מיינו עובדות זוויות לפי המאפיין בתרשים שיוצר אותן.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Calculate unknown angles and give simple explanations using the following geometrical properties: • sum of angles at a point = 360° • sum of angles at a point on a straight line = 180° • vertically opposite angles are equal • angle sum of a triangle = 180° and angle sum of a quadrilateral = 360°. | Knowledge of three-letter notation for angles is required, e.g. angle $ABC$. Candidates are expected to use the correct geometrical terminology when giving reasons for answers. |
| 2 Calculate unknown angles and give geometric explanations for angles formed within parallel lines: • corresponding angles are equal • alternate angles are equal • co-interior angles sum to 180° (supplementary). | |
| 3 Know and use angle properties of regular polygons. | Includes exterior and interior angles, and angle sum. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 חשב זוויות לא ידועות ותן הסברים פשוטים באמצעות המאפיין הגיאומטרי הבאים: • סכום הזוויות בנקודה = 360° • סכום הזוויות בנקודה על קו ישר = 180° • זוויות נגדיות בראש הן שוות • סכום הזוויות במשולש = 180° וסכום הזוויות בצורת ארבע-צלעות = 360°. | נדרש ידע בסימון זוויות בשלושה אותיות, לדוגמה זווית $ABC$. מתבקש מהמועמדים להשתמש במונחות גיאומטריים הנכונים בהצעת הסיבות לתשובות. |
| 2 חשב זוויות לא ידועות ותן הסברים גיאומטריים לזוויות שנוצרו בתוך קווים מקבילים: • זוויות מול זוויות הן שוות • זוויות אלטרנטביות הן שוות • זוויות צמודות פנימיות סוכמות ל-180° (משלימות). | |
| 3 הכן והשתמש במאפיין הזוויות של פוליגונים קבוצים. | כולל זוויות חיצוניות ופנימיות, וסכום זוויות. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Calculate unknown angles and give simple explanations using the following geometrical properties: • sum of angles at a point = 360° • sum of angles at a point on a straight line = 180° • vertically opposite angles are equal • angle sum of a triangle = 180° and angle sum of a quadrilateral = 360°. | Knowledge of 3-letter notation for angles is required, e.g. angle $ABC$. Candidates are expected to use the correct geometrical terminology when giving reasons for answers. |
| 2 Calculate unknown angles and give geometric explanations for angles formed within parallel lines: • corresponding angles are equal • alternate angles are equal • co-interior angles sum to 180° (supplementary). | |
| 3 Know and use angle properties of regular and irregular polygons. | Includes exterior and interior angles, and angle sum. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 חישוב זוויות לא ידועות ומתן הסברים פשוטים באמצעות התכונות הגיאומטריות הבאות: • סכום הזוויות בנקודה = ⟦360°⟧ • סכום הזוויות בנקודה על קו ישר = ⟦180°⟧ • זוויות נגודות בקודקוד שוות • סכום הזוויות במשולש = ⟦180°⟧ וסכום הזוויות בריבוע = ⟦360°⟧. | נדרשת היכרות עם סימון זוויות בעל-3 אותיות, לדוגמה זווית $ABC$. נציבים מצופים להשתמש במונחים גיאומטריים הנכונים בעת מתן נימוקים לתשובותיהם. |
| 2 חשב זוויות לא ידועות ותן הסברים גיאומטריים לזוויות שנוצרו בתוך קווים מקבילים: • זוויות מול זוויות הן שוות • זוויות אלטרנטביות הן שוות • זוויות צמודות פנימיות סוכמות ל-180° (משלימות). | |
| 3 ידע שימוש בתכונות הזוויות של פוליגונים קבוצים ולא קבוצים. | כולל זוויות חיצוניות ופנימיות, וסכום זוויות. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
Learn these basic facts. Each one is a valid reason in the exam.
Worked example. Three angles on a straight line are $x$, $50^{\circ}$ and $70^{\circ}$. Find $x$.
למדו עובדות בסיסיות אלו. כל אחת מהן מהווה סיבה תקפה בבחון.
דוגמה מפורטת. שלוש זוויות על קו ישר הן $x$, $50^{\circ}$ ו$70^{\circ}$. מצאו את $x$.
Pick the angle rule that unlocks each diagram. · בחר את חוק הזוויות שמפתח כל דיאגרמה.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Calculate unknown angles and give simple explanations using the following geometrical properties: • sum of angles at a point = 360° • sum of angles at a point on a straight line = 180° • vertically opposite angles are equal • angle sum of a triangle = 180° and angle sum of a quadrilateral = 360°. | Knowledge of three-letter notation for angles is required, e.g. angle $ABC$. Candidates are expected to use the correct geometrical terminology when giving reasons for answers. |
| 2 Calculate unknown angles and give geometric explanations for angles formed within parallel lines: • corresponding angles are equal • alternate angles are equal • co-interior angles sum to 180° (supplementary). | |
| 3 Know and use angle properties of regular polygons. | Includes exterior and interior angles, and angle sum. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 חשב זוויות לא ידועות ותן הסברים פשוטים באמצעות המאפיין הגיאומטרי הבאים: • סכום הזוויות בנקודה = 360° • סכום הזוויות בנקודה על קו ישר = 180° • זוויות נגדיות בראש הן שוות • סכום הזוויות במשולש = 180° וסכום הזוויות בצורת ארבע-צלעות = 360°. | נדרש ידע בסימון זוויות בשלושה אותיות, לדוגמה זווית $ABC$. מתבקש מהמועמדים להשתמש במונחות גיאומטריים הנכונים בהצעת הסיבות לתשובות. |
| 2 חשב זוויות לא ידועות ותן הסברים גיאומטריים לזוויות שנוצרו בתוך קווים מקבילים: • זוויות מול זוויות הן שוות • זוויות אלטרנטביות הן שוות • זוויות צמודות פנימיות סוכמות ל-180° (משלימות). | |
| 3 הכן והשתמש במאפיין הזוויות של פוליגונים קבוצים. | כולל זוויות חיצוניות ופנימיות, וסכום זוויות. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Calculate unknown angles and give simple explanations using the following geometrical properties: • sum of angles at a point = 360° • sum of angles at a point on a straight line = 180° • vertically opposite angles are equal • angle sum of a triangle = 180° and angle sum of a quadrilateral = 360°. | Knowledge of 3-letter notation for angles is required, e.g. angle $ABC$. Candidates are expected to use the correct geometrical terminology when giving reasons for answers. |
| 2 Calculate unknown angles and give geometric explanations for angles formed within parallel lines: • corresponding angles are equal • alternate angles are equal • co-interior angles sum to 180° (supplementary). | |
| 3 Know and use angle properties of regular and irregular polygons. | Includes exterior and interior angles, and angle sum. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 חישוב זוויות לא ידועות ומתן הסברים פשוטים באמצעות התכונות הגיאומטריות הבאות: • סכום הזוויות בנקודה = ⟦360°⟧ • סכום הזוויות בנקודה על קו ישר = ⟦180°⟧ • זוויות נגודות בקודקוד שוות • סכום הזוויות במשולש = ⟦180°⟧ וסכום הזוויות בריבוע = ⟦360°⟧. | נדרשת היכרות עם סימון זוויות בעל-3 אותיות, לדוגמה זווית $ABC$. נציבים מצופים להשתמש במונחים גיאומטריים הנכונים בעת מתן נימוקים לתשובותיהם. |
| 2 חשב זוויות לא ידועות ותן הסברים גיאומטריים לזוויות שנוצרו בתוך קווים מקבילים: • זוויות מול זוויות הן שוות • זוויות אלטרנטביות הן שוות • זוויות צמודות פנימיות סוכמות ל-180° (משלימות). | |
| 3 ידע שימוש בתכונות הזוויות של פוליגונים קבוצים ולא קבוצים. | כולל זוויות חיצוניות ופנימיות, וסכום זוויות. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
When a line crosses two parallel lines:
Worked example. A straight line crosses two parallel lines. One angle is $110^{\circ}$. The co-interior angle $y$ satisfies $110 + y = 180$, so $y = 70^{\circ}$.
כאשר קו חוצה שני קווים מקבילים:
דוגמה מפורטת. קו ישר חוצה שני קווים מקבילים. אחת הזוויות היא $110^{\circ}$. הזווית הפנימית הצמודה $y$ מקיימת $110 + y = 180$, ולכן $y = 70^{\circ}$.
| English | עברית |
|---|---|
| vertex/ˈvɜːteks/ | קודקוד |
| parallel/ˈpærəlel/ | מקביל |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | ניצב |
| acute angle/əˈkjuːt ˈæŋɡl/ | זווית חדה |
| right angle/raɪt ˈæŋɡl/ | זווית ישרה |
| obtuse angle/ɒbˈtjuːs ˈæŋɡl/ | זווית קהה |
| reflex angle/ˈriːfleks ˈæŋɡl/ | זווית מחוספסת |
| vertically opposite angles/ˈvɜːtɪkli ˈɒpəzɪt ˈæŋɡlz/ | זוויות מול הקודקוד |
| corresponding angles/ˌkɒrɪˈspɒndɪŋ ˈæŋɡlz/ | זוויות מקבילות |
| alternate angles/ɔːlˈtɜːnət ˈæŋɡlz/ | זוויות אלטרנטיוויות |
| co-interior angles/kəʊ ɪnˈtɪərɪə ˈæŋɡlz/ | זוויות פנימיות צדדיות |
| supplementary/ˌsʌplɪˈmentəri/ | משלימות |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use and interpret the following geometrical terms: • point • vertex • line • parallel • perpendicular • bearing • right angle • acute, obtuse and reflex angles • interior and exterior angles • similar • congruent • scale factor. | Candidates are not expected to show that two shapes are congruent. |
| 2 Use and interpret the vocabulary of: • triangles • special quadrilaterals • polygons • nets • simple solids. | Includes the following terms: Triangles: • equilateral • isosceles • scalene • right-angled. Quadrilaterals: • square • rectangle • kite • rhombus • parallelogram • trapezium. Polygons: • regular and irregular polygons • pentagon • hexagon • octagon • decagon. |
| Simple solids: • cube • cuboid • prism • cylinder • pyramid • cone • sphere (term ‘hemisphere’ not required) • face • surface • edge. | |
| 3 Use and interpret the vocabulary of a circle. | Includes the following terms: • centre • radius (plural radii) • diameter • circumference • semicircle • chord • tangent • arc • sector • segment. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 להשתמש ולפרש את המונחים הגיאומטריים הבאים: • נקודה • קודקוד • קו • מקביל • מאונך • זווית ניווט • זווית ישרה • חדות, קהות ומחזירות • זוויות פנימיות וחיצוניות • דומים • חופפים • גורם קנה מידה. | מועמד אינו צפוי להוכיח כי שני צורות הם חופפים. |
| 2 השתמש והבן במונחים: • משולשים • צורת ארבע-צלעות מיוחדות • פוליגונים • רשתות • גופים פשוטים. | כולל את המונחים הבאים: משולשים: • שווה-צלעות • שווה-שוקיים • שונה-צלעות • זווית ישרה. צורות ארבע-צלעות: • ריבוע • מלבן • נזר • מעוין • מקבילית • טרפז. פוליגונים: • פוליגונים קבוצים ואי-קבוצים • מחוגית • מצולע • חט-צדע • עשר-צדע. |
| גופים פשוטים: • קוביה • תיבה • פרזמה • צילינדר • פירמידה • חרוט • כדור (המונח 'כדור למחצית' אינו נדרש) • פני שטח • משטח • קצה. | |
| 3 השתמש והבן במונחים של עיגול. | כולל את המונחים הבאים: • מרכז • רדיוס (רבים-רדיוסים) • קוטר • היקף • חצי-עיגול • מיתר • מגע • קשת • מוסך • מוסיקאלי. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use and interpret the following geometrical terms: • point • vertex • line • plane • parallel • perpendicular • perpendicular bisector • bearing • right angle • acute, obtuse and reflex angles • interior and exterior angles • similar • congruent • scale factor. | Candidates are not expected to show that two shapes are congruent. |
| 2 Use and interpret the vocabulary of: • triangles • special quadrilaterals • polygons • nets • solids. | Includes the following terms. Triangles: • equilateral • isosceles • scalene • right-angled. Quadrilaterals: • square • rectangle • kite • rhombus • parallelogram • trapezium. |
| Polygons: • regular and irregular polygons • pentagon • hexagon • octagon • decagon. Solids: • cube • cuboid • prism • cylinder • pyramid • cone • sphere • hemisphere • frustum • face • surface • edge. | |
| 3 Use and interpret the vocabulary of a circle. | Includes the following terms: • centre • radius (plural radii) • diameter • circumference • semicircle • chord • tangent • major and minor arc • sector • segment. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 שימוש ופרשנות של המושגים הגיאומטריים הבאים: • נקודה • קודקוד • קו • מישור • מקביל • אנכי • מאונך אמצעי • כיוון (bearing) • זווית ישרה • זוויות חדות, קהות ומחזוריות • זוויות פנימיות וחיצוניות • דומים • חופפים • גורם קנה מידה. | מועמד אינו צפוי להוכיח כי שתי צורות הם חופפים. |
| 2 שימוש ופרשנות של הלקסיקון של: • משולשים • מרובעים מיוחדים • פוליגונים • רשתות • גופים מsolid. | כולל את המושגים הבאים. משולשים: • שווה שוקיים • שווה שוקיים • שווה צלעות • ישר-זווית. מרובעים: • ריבוע • מלבן • נזר • משולש • מקבילית • טרפז. |
| מצולעים: • מצולעים משוכללים ולא משוכללים • חמישי • משושה • שמונית • עשרית. גוף תלת-ממדי: • קוביה • גוף ארגז • פריזה • צילינדר • פירמידה • חרוט • כדור • חצי כדור • פרוסטום • פנים • פני שטח • קצה. | |
| 3 שימוש ופרשנות במונחים של עיגול. | כולל את המונחים הבאים: • מרכז • רדיוס (רבים: רדיוסים) • קוטר • היקף • חצי עיגול • מיתר • מגע • קשת גדולה וקשת קטנה • מניירה • קטע. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
A triangle 三角形 has three sides and angles that add up to $180^{\circ}$.
| Type | Property |
|---|---|
| equilateral 等边 | all sides equal, all angles $60^{\circ}$ |
| isosceles 等腰 | two sides equal, two angles equal |
| scalene 不等边 | all sides and angles different |
| right-angled | has one right angle |
Worked example. A triangle has angles $x$, $2x$ and $90^{\circ}$. Find $x$.
למשולש יש שלוש צלעות ושלוש זוויות הסכומן $180^{\circ}$.
| סוג | מאפיין |
|---|---|
| שווה-צלעות | כל הצלעות שוות, כל הזוויות $60^{\circ}$ |
| שווה-שוקיים | שתי צלעות שוות, שתי זוויות שוות |
| שונה-צלעות | כל הצלעות והזוויות שונות |
| ישר-זווית | יש לו זווית ישרה אחת |
דוגמה מפורטת. למשולש יש זוויות $x$, $2x$ ו$90^{\circ}$. מצאו את $x$.
| English | עברית |
|---|---|
| triangle/ˈtraɪæŋɡl/ | משולש |
| equilateral/ˌiːkwɪˈlætərəl/ | שווה שוקיים (משולש שווה צלעות) |
| isosceles/aɪˈsɒsəliːz/ | שווה שוקיים |
| scalene/ˈskeɪliːn/ | שונה צלעות |
| quadrilateral/ˌkwɒdrɪˈlætərəl/ | ארבעון |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use and interpret the following geometrical terms: • point • vertex • line • parallel • perpendicular • bearing • right angle • acute, obtuse and reflex angles • interior and exterior angles • similar • congruent • scale factor. | Candidates are not expected to show that two shapes are congruent. |
| 2 Use and interpret the vocabulary of: • triangles • special quadrilaterals • polygons • nets • simple solids. | Includes the following terms: Triangles: • equilateral • isosceles • scalene • right-angled. Quadrilaterals: • square • rectangle • kite • rhombus • parallelogram • trapezium. Polygons: • regular and irregular polygons • pentagon • hexagon • octagon • decagon. |
| Simple solids: • cube • cuboid • prism • cylinder • pyramid • cone • sphere (term ‘hemisphere’ not required) • face • surface • edge. | |
| 3 Use and interpret the vocabulary of a circle. | Includes the following terms: • centre • radius (plural radii) • diameter • circumference • semicircle • chord • tangent • arc • sector • segment. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 להשתמש ולפרש את המונחים הגיאומטריים הבאים: • נקודה • קודקוד • קו • מקביל • מאונך • זווית ניווט • זווית ישרה • חדות, קהות ומחזירות • זוויות פנימיות וחיצוניות • דומים • חופפים • גורם קנה מידה. | מועמד אינו צפוי להוכיח כי שני צורות הם חופפים. |
| 2 השתמש והבן במונחים: • משולשים • צורת ארבע-צלעות מיוחדות • פוליגונים • רשתות • גופים פשוטים. | כולל את המונחים הבאים: משולשים: • שווה-צלעות • שווה-שוקיים • שונה-צלעות • זווית ישרה. צורות ארבע-צלעות: • ריבוע • מלבן • נזר • מעוין • מקבילית • טרפז. פוליגונים: • פוליגונים קבוצים ואי-קבוצים • מחוגית • מצולע • חט-צדע • עשר-צדע. |
| גופים פשוטים: • קוביה • תיבה • פרזמה • צילינדר • פירמידה • חרוט • כדור (המונח 'כדור למחצית' אינו נדרש) • פני שטח • משטח • קצה. | |
| 3 השתמש והבן במונחים של עיגול. | כולל את המונחים הבאים: • מרכז • רדיוס (רבים-רדיוסים) • קוטר • היקף • חצי-עיגול • מיתר • מגע • קשת • מוסך • מוסיקאלי. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use and interpret the following geometrical terms: • point • vertex • line • plane • parallel • perpendicular • perpendicular bisector • bearing • right angle • acute, obtuse and reflex angles • interior and exterior angles • similar • congruent • scale factor. | Candidates are not expected to show that two shapes are congruent. |
| 2 Use and interpret the vocabulary of: • triangles • special quadrilaterals • polygons • nets • solids. | Includes the following terms. Triangles: • equilateral • isosceles • scalene • right-angled. Quadrilaterals: • square • rectangle • kite • rhombus • parallelogram • trapezium. |
| Polygons: • regular and irregular polygons • pentagon • hexagon • octagon • decagon. Solids: • cube • cuboid • prism • cylinder • pyramid • cone • sphere • hemisphere • frustum • face • surface • edge. | |
| 3 Use and interpret the vocabulary of a circle. | Includes the following terms: • centre • radius (plural radii) • diameter • circumference • semicircle • chord • tangent • major and minor arc • sector • segment. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 שימוש ופרשנות של המושגים הגיאומטריים הבאים: • נקודה • קודקוד • קו • מישור • מקביל • אנכי • מאונך אמצעי • כיוון (bearing) • זווית ישרה • זוויות חדות, קהות ומחזוריות • זוויות פנימיות וחיצוניות • דומים • חופפים • גורם קנה מידה. | מועמד אינו צפוי להוכיח כי שתי צורות הם חופפים. |
| 2 שימוש ופרשנות של הלקסיקון של: • משולשים • מרובעים מיוחדים • פוליגונים • רשתות • גופים מsolid. | כולל את המושגים הבאים. משולשים: • שווה שוקיים • שווה שוקיים • שווה צלעות • ישר-זווית. מרובעים: • ריבוע • מלבן • נזר • משולש • מקבילית • טרפז. |
| מצולעים: • מצולעים משוכללים ולא משוכללים • חמישי • משושה • שמונית • עשרית. גוף תלת-ממדי: • קוביה • גוף ארגז • פריזה • צילינדר • פירמידה • חרוט • כדור • חצי כדור • פרוסטום • פנים • פני שטח • קצה. | |
| 3 שימוש ופרשנות במונחים של עיגול. | כולל את המונחים הבאים: • מרכז • רדיוס (רבים: רדיוסים) • קוטר • היקף • חצי עיגול • מיתר • מגע • קשת גדולה וקשת קטנה • מניירה • קטע. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
A quadrilateral 四边形 has four sides and angles that add up to $360^{\circ}$.
| Shape | Property |
|---|---|
| square 正方形 | four equal sides, four right angles |
| rectangle 矩形 | opposite sides equal, four right angles |
| parallelogram 平行四边形 | opposite sides parallel and equal |
| rhombus 菱形 | four equal sides, opposite sides parallel |
| kite 鸢形 | two pairs of equal sides next to each other |
| trapezium 梯形 | one pair of parallel sides |
לרבוע ארבע צלעות וארבע זוויות שסכומן $360^{\circ}$.
| צורה | תכונה |
|---|---|
| ריבוע | ארבע צלעות שוות, ארבע זוויות ישרות |
| מלבן | צלעות נגדיות שוות, ארבע זוויות ישרות |
| פראללוגרם | צלעות נגדיות מקבילות ושוות |
| רומבוס | ארבע צלעות שוות, צלעות נגדיות מקבילות |
| עוגן | שני זוגות של צלעות שוות סמוכות זו לזו |
| טראפזיה | זוג אחד של צלעות מקבילות |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Calculate unknown angles and give simple explanations using the following geometrical properties: • sum of angles at a point = 360° • sum of angles at a point on a straight line = 180° • vertically opposite angles are equal • angle sum of a triangle = 180° and angle sum of a quadrilateral = 360°. | Knowledge of three-letter notation for angles is required, e.g. angle $ABC$. Candidates are expected to use the correct geometrical terminology when giving reasons for answers. |
| 2 Calculate unknown angles and give geometric explanations for angles formed within parallel lines: • corresponding angles are equal • alternate angles are equal • co-interior angles sum to 180° (supplementary). | |
| 3 Know and use angle properties of regular polygons. | Includes exterior and interior angles, and angle sum. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 חשב זוויות לא ידועות ותן הסברים פשוטים באמצעות המאפיין הגיאומטרי הבאים: • סכום הזוויות בנקודה = 360° • סכום הזוויות בנקודה על קו ישר = 180° • זוויות נגדיות בראש הן שוות • סכום הזוויות במשולש = 180° וסכום הזוויות בצורת ארבע-צלעות = 360°. | נדרש ידע בסימון זוויות בשלושה אותיות, לדוגמה זווית $ABC$. מתבקש מהמועמדים להשתמש במונחות גיאומטריים הנכונים בהצעת הסיבות לתשובות. |
| 2 חשב זוויות לא ידועות ותן הסברים גיאומטריים לזוויות שנוצרו בתוך קווים מקבילים: • זוויות מול זוויות הן שוות • זוויות אלטרנטביות הן שוות • זוויות צמודות פנימיות סוכמות ל-180° (משלימות). | |
| 3 הכן והשתמש במאפיין הזוויות של פוליגונים קבוצים. | כולל זוויות חיצוניות ופנימיות, וסכום זוויות. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Calculate unknown angles and give simple explanations using the following geometrical properties: • sum of angles at a point = 360° • sum of angles at a point on a straight line = 180° • vertically opposite angles are equal • angle sum of a triangle = 180° and angle sum of a quadrilateral = 360°. | Knowledge of 3-letter notation for angles is required, e.g. angle $ABC$. Candidates are expected to use the correct geometrical terminology when giving reasons for answers. |
| 2 Calculate unknown angles and give geometric explanations for angles formed within parallel lines: • corresponding angles are equal • alternate angles are equal • co-interior angles sum to 180° (supplementary). | |
| 3 Know and use angle properties of regular and irregular polygons. | Includes exterior and interior angles, and angle sum. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 חישוב זוויות לא ידועות ומתן הסברים פשוטים באמצעות התכונות הגיאומטריות הבאות: • סכום הזוויות בנקודה = ⟦360°⟧ • סכום הזוויות בנקודה על קו ישר = ⟦180°⟧ • זוויות נגודות בקודקוד שוות • סכום הזוויות במשולש = ⟦180°⟧ וסכום הזוויות בריבוע = ⟦360°⟧. | נדרשת היכרות עם סימון זוויות בעל-3 אותיות, לדוגמה זווית $ABC$. נציבים מצופים להשתמש במונחים גיאומטריים הנכונים בעת מתן נימוקים לתשובותיהם. |
| 2 חשב זוויות לא ידועות ותן הסברים גיאומטריים לזוויות שנוצרו בתוך קווים מקבילים: • זוויות מול זוויות הן שוות • זוויות אלטרנטביות הן שוות • זוויות צמודות פנימיות סוכמות ל-180° (משלימות). | |
| 3 ידע שימוש בתכונות הזוויות של פוליגונים קבוצים ולא קבוצים. | כולל זוויות חיצוניות ופנימיות, וסכום זוויות. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
A polygon 多边形 is a shape with straight sides. A regular polygon 正多边形 has all sides and all angles equal.
| Sides | Name |
|---|---|
| 5 | pentagon 五边形 |
| 6 | hexagon 六边形 |
| 8 | octagon 八边形 |
| 10 | decagon 十边形 |
For a polygon with $n$ sides:
The interior angle 内角 and the exterior angle 外角 at each corner add up to $180^{\circ}$.
Worked example. Find each interior angle of a regular hexagon.
The exterior angle is $\dfrac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ}$, so each interior angle is $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
פוליגון הוא צורה בעלת צלעות ישרות. פוליגון קבוע הוא בעל כל הצלעות וכל הזוויות שוות.
| צלעות | שם |
|---|---|
| 5 | חמישי-צלע |
| 6 | משושה |
| 8 | שמונה-צלע |
| 10 | עשר-צלע |
לפוליגון עם $n$ צלעות:
הזווית הפנימית והזווית החיצונית בכל ראש מצטברים ל$180^{\circ}$.
דוגמה מופת. מצאו את כל הזוויות הפנימיות של משושה שווה-צלעות.
הזווית החיצונית היא $\dfrac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ}$, ולכן כל זווית פנימית היא $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
| English | עברית |
|---|---|
| polygon/ˈpɒlɪɡən/ | מצולע |
| regular polygon/ˈreɡjʊlə ˈpɒlɪɡən/ | מצולש משוכלל |
| pentagon/ˈpentæɡən/ | פנטגון |
| hexagon/ˈheksæɡən/ | הקסגון |
| octagon/ˈɒktæɡən/ | אוקטגון |
| decagon/dɪˈkæɡən/ | דקגון |
| interior angle/ɪnˈtɪərɪə ˈæŋɡl/ | זווית פנימית |
| exterior angle/ekˈstɪərɪə ˈæŋɡl/ | זווית חיצונית |
| line symmetry/laɪn ˈsɪmətri/ | סימטריית קו |
| rotational symmetry/rəʊˈteɪʃənl ˈsɪmətri/ | סימטריה סיבובית |
| plane of symmetry/pleɪn ɒv ˈsɪmətri/ | מישור סימטריה |
| axis of symmetry/ˈæksɪs ɒv ˈsɪmətri/ | ציר סימטריה |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Recognise line symmetry and order of rotational symmetry in two dimensions. | Includes properties of triangles, quadrilaterals and polygons directly related to their symmetries. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| זיהה סימטריה צירית וסדר סימטריה סיבובית במישור. | כולל מאפיין של משולשים, צורות ארבע-צלעות ופוליגונים הקשורים ישירות לסימטריות שלהם. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Recognise line symmetry and order of rotational symmetry in two dimensions. | Includes properties of triangles, quadrilaterals and polygons directly related to their symmetries. |
| 2 Recognise symmetry properties of prisms, cylinders, pyramids and cones. | e.g. identify planes and axes of symmetry. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 זיהוי סימטריה קווית וסדר הסימטריה הסיבובית בממד שני. | כולל תכונות של משולשים, ריבועים ופוליגונים הקשורים ישירות לסימטריות שלהם. |
| 2 זיהוי תכונות הסימטריה של פריזמות, צילינדרים, פירמידות וקונוסים. | לדוגמה: זיהוי מישורי וצירים של סימטריה. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
For solids (Extended), a flat slice that splits the solid into mirror halves is a plane of symmetry 对称面, and a line you can spin it around is an axis of symmetry 对称轴.
לגופים (הרחבה), חתך שטוח המחלק את הגוף לחצאים המראתיים נקרא מישור סימטריה, וקו סביבו ניתן לסובב אותו נקרא ציר סימטריה.
A shape has line symmetry if reflecting it leaves it unchanged. Reflect the shape and watch what is preserved. · לצורה יש סימטריה קווית אם ההשתקפות שלה משאירה אותה ללא שינוי. השתקפו את הצורה וצפו מה נשאר קבוע.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use and interpret the following geometrical terms: • point • vertex • line • parallel • perpendicular • bearing • right angle • acute, obtuse and reflex angles • interior and exterior angles • similar • congruent • scale factor. | Candidates are not expected to show that two shapes are congruent. |
| 2 Use and interpret the vocabulary of: • triangles • special quadrilaterals • polygons • nets • simple solids. | Includes the following terms: Triangles: • equilateral • isosceles • scalene • right-angled. Quadrilaterals: • square • rectangle • kite • rhombus • parallelogram • trapezium. Polygons: • regular and irregular polygons • pentagon • hexagon • octagon • decagon. |
| Simple solids: • cube • cuboid • prism • cylinder • pyramid • cone • sphere (term ‘hemisphere’ not required) • face • surface • edge. | |
| 3 Use and interpret the vocabulary of a circle. | Includes the following terms: • centre • radius (plural radii) • diameter • circumference • semicircle • chord • tangent • arc • sector • segment. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 להשתמש ולפרש את המונחים הגיאומטריים הבאים: • נקודה • קודקוד • קו • מקביל • מאונך • זווית ניווט • זווית ישרה • חדות, קהות ומחזירות • זוויות פנימיות וחיצוניות • דומים • חופפים • גורם קנה מידה. | מועמד אינו צפוי להוכיח כי שני צורות הם חופפים. |
| 2 השתמש והבן במונחים: • משולשים • צורת ארבע-צלעות מיוחדות • פוליגונים • רשתות • גופים פשוטים. | כולל את המונחים הבאים: משולשים: • שווה-צלעות • שווה-שוקיים • שונה-צלעות • זווית ישרה. צורות ארבע-צלעות: • ריבוע • מלבן • נזר • מעוין • מקבילית • טרפז. פוליגונים: • פוליגונים קבוצים ואי-קבוצים • מחוגית • מצולע • חט-צדע • עשר-צדע. |
| גופים פשוטים: • קוביה • תיבה • פרזמה • צילינדר • פירמידה • חרוט • כדור (המונח 'כדור למחצית' אינו נדרש) • פני שטח • משטח • קצה. | |
| 3 השתמש והבן במונחים של עיגול. | כולל את המונחים הבאים: • מרכז • רדיוס (רבים-רדיוסים) • קוטר • היקף • חצי-עיגול • מיתר • מגע • קשת • מוסך • מוסיקאלי. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use and interpret the following geometrical terms: • point • vertex • line • plane • parallel • perpendicular • perpendicular bisector • bearing • right angle • acute, obtuse and reflex angles • interior and exterior angles • similar • congruent • scale factor. | Candidates are not expected to show that two shapes are congruent. |
| 2 Use and interpret the vocabulary of: • triangles • special quadrilaterals • polygons • nets • solids. | Includes the following terms. Triangles: • equilateral • isosceles • scalene • right-angled. Quadrilaterals: • square • rectangle • kite • rhombus • parallelogram • trapezium. |
| Polygons: • regular and irregular polygons • pentagon • hexagon • octagon • decagon. Solids: • cube • cuboid • prism • cylinder • pyramid • cone • sphere • hemisphere • frustum • face • surface • edge. | |
| 3 Use and interpret the vocabulary of a circle. | Includes the following terms: • centre • radius (plural radii) • diameter • circumference • semicircle • chord • tangent • major and minor arc • sector • segment. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 שימוש ופרשנות של המושגים הגיאומטריים הבאים: • נקודה • קודקוד • קו • מישור • מקביל • אנכי • מאונך אמצעי • כיוון (bearing) • זווית ישרה • זוויות חדות, קהות ומחזוריות • זוויות פנימיות וחיצוניות • דומים • חופפים • גורם קנה מידה. | מועמד אינו צפוי להוכיח כי שתי צורות הם חופפים. |
| 2 שימוש ופרשנות של הלקסיקון של: • משולשים • מרובעים מיוחדים • פוליגונים • רשתות • גופים מsolid. | כולל את המושגים הבאים. משולשים: • שווה שוקיים • שווה שוקיים • שווה צלעות • ישר-זווית. מרובעים: • ריבוע • מלבן • נזר • משולש • מקבילית • טרפז. |
| מצולעים: • מצולעים משוכללים ולא משוכללים • חמישי • משושה • שמונית • עשרית. גוף תלת-ממדי: • קוביה • גוף ארגז • פריזה • צילינדר • פירמידה • חרוט • כדור • חצי כדור • פרוסטום • פנים • פני שטח • קצה. | |
| 3 שימוש ופרשנות במונחים של עיגול. | כולל את המונחים הבאים: • מרכז • רדיוס (רבים: רדיוסים) • קוטר • היקף • חצי עיגול • מיתר • מגע • קשת גדולה וקשת קטנה • מניירה • קטע. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
| Term | Meaning |
|---|---|
| circle 圆 | all points the same distance from a centre |
| centre 圆心 | the middle point |
| radius 半径 | centre to edge (plural radii) |
| diameter 直径 | right across through the centre ($= 2 \times$ radius) |
| circumference 圆周 | the distance all the way round |
| chord 弦 | a straight line joining two points on the circle |
| arc 弧 | part of the circumference |
| sector 扇形 | a "pizza slice" between two radii |
| segment 弓形 | the region cut off by a chord |
| semicircle 半圆 | half a circle |
| tangent 切线 | a line that touches the circle at one point |
| מונח | משמעות |
|---|---|
| עיגול | כל הנקודות באותו מרחק ממרכז |
| מרכז | הנקודה האמצעית |
| רדיוס | מהמרכז לקצה (רב-יחידה רדיאים) |
| קוטר | ישר דרך המרכז ($= 2 \times$ רדיוסים) |
| היקף | המרחק לכל אורך המעגל |
| מיתר | קו ישר המקשר שתי נקודות על העיגול |
| קשת | חלק מההיקף |
| מסלה | "פרוסת פיצה" בין שני רדיוסים |
| חוטם | האזור החתוך על ידי מיתר |
| חצי עיגול | חצי מעגל |
| משיק | ישר הנוגע במעגל בנקודה אחת |
Drag the angle and radius to see the arc (part of the circumference) and the sector (pie slice) it cuts off. · גררו את הזווית והרדיוס כדי לראות את הקשת (חלק מהמעגל) ואת המשולש המעגלי (פרוסת העוגה) שהיא חותכת.
| English | עברית |
|---|---|
| circle/ˈsɜːkl/ | מעגל |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Calculate unknown angles and give explanations using the following geometrical properties of circles: • angle in a semicircle = 90° • angle between tangent and radius = 90°. | Candidates will be expected to use the geometrical properties listed in the syllabus when giving reasons for answers. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| חשב זוויות לא ידועות ותן הסברים באמצעות התכונות הגיאומטריות הבאות של מעגלים: • זווית במעגל מחציתי = 90° • זווית בין משיק למשוט = 90°. | מועמדים צפויים להשתמש בתכונות הגיאומטריות המפורטות בתוכנית הלימודים בעת מתן נימוקים לתשובות. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Calculate unknown angles and give explanations using the following geometrical properties of circles: • angle in a semicircle = 90° • angle between tangent and radius = 90° • angle at the centre is twice the angle at the circumference • angles in the same segment are equal • opposite angles of a cyclic quadrilateral sum to 180° (supplementary) • alternate segment theorem. | Candidates are expected to use the geometrical properties listed in the syllabus when giving reasons for answers. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| חישוב זוויות לא ידועות ומתן הסברים באמצעות התכונות הגיאומטריות הבאות של מעגלים: • זווית בתוך חצי מעגל = ⟦90°⟧ • זווית בין מגע למחלק = ⟦90°⟧ • זווית במרכז היא פי שתיים מהזווית על המעגל • זוויות באותו מקטע שוות • סכום הזוויות הנגודיות ברבעון מחובר (מעגלי) הוא ⟦180°⟧ (משלימת זוויות) • משפט המקטע החלפי. | נציבים מצופים להשתמש בתכונות הגיאומטריות הרשומות בסילבוס בעת מתן נימוקים לתשובותיהם. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Use the following symmetry properties of circles: • equal chords are equidistant from the centre • the perpendicular bisector of a chord passes through the centre • tangents from an external point are equal in length. | Candidates are expected to use the geometrical properties listed in the syllabus when giving reasons for answers. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| שימוש בתכונות הסימטריה הבאות של מעגלים: • מיתרים שווים נמצאים במרחק שווה מהמרכז • האנכי למחלק של מיתר עובר דרך המרכז • המשיכים מאחד נקודה חיצונית שווים באורכם. | נציבים מצופים להשתמש בתכונות הגיאומטריות הרשומות בסילבוס בעת מתן נימוקים לתשובותיהם. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
Use these to find unknown angles, always giving the reason.
For both levels:
Extended (theorems I):
Extended (theorems II): equal chords are the same distance from the centre; the perpendicular bisector of a chord passes through the centre; two tangents from the same outside point are equal in length.
Worked example. A, B, C are on a circle. The angle at the circumference $ABC$ is $40^{\circ}$. Find the angle $AOC$ at the centre $O$.
The angle at the centre is twice the angle at the circumference: $2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ}$.
השתמש במשפטים אלו כדי למצוא זוויות לא ידועות, תמיד עם ציון הסיבה.
לשני הרמות:
הרחבה (משפטים I):
משפטים מורחבים (תורות II): מיתרים שווים נמצאים במרחק זהה ממרכז; האנך למחצית של מיתר עובר דרך המרכז; שני מגעים מאותו נקודה חיצונית שווים באורכם.
דוגמה מופת. A, B, C נמצאים על מעגל. הזווית על המעגל $ABC$ היא $40^{\circ}$. מצאו את הזווית $AOC$ במוקד $O$.
הזווית במוקד כפולה מזווית על המעגל: $2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ}$.
| English | עברית |
|---|---|
| centre/ˈsentə/ | מרכז |
| radius/ˈreɪdɪəs/ | רדיוס |
| diameter/daɪˈæmɪtə/ | קוטר |
| circumference/sɜːˈkʌmfrəns/ | היקף |
| chord/kɔːd/ | מיתר |
| arc/ɑːk/ | קשת |
| sector/ˈsektə/ | תחום |
| segment/ˈseɡmənt/ | מחלקת שוק |
| semicircle/ˈsemɪsɜːkl/ | חצי מעגל |
| tangent/ˈtændʒənt/ | טנגנס |
| cyclic quadrilateral/ˈsaɪklɪk ˌkwɒdrɪˈlætərəl/ | מעגל אופקי |
| alternate segment theorem/ɔːlˈtɜːnət ˈseɡmənt ˈθɪərəm/ | משפט הקטע המנוגד |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Calculate lengths of similar shapes. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| חשב אורכים של צורות דומות. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Calculate lengths of similar shapes. | |
| 2 Use the relationships between lengths and areas of similar shapes and lengths, surface areas and volumes of similar solids. | Includes use of scale factor, e.g. $$\frac{\text{Volume of } A}{\text{Volume of } B} = \frac{(\text{Length of } A)^3}{(\text{Length of } B)^3}$$ |
| 3 Solve problems and give simple explanations involving similarity. | Includes showing that two triangles are similar using geometric reasons. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 חשב אורכים של צורות דומות. | |
| 2 השתמש בקשרים בין אורכים ושטחים של צורות דומות, ובין אורכים, שטחי פנים ונפחים של גוף תלת-ממדי דומה. | כולל שימוש בגורם קנה מידה, למשל: $$\frac{\text{Volume of } A}{\text{Volume of } B} = \frac{(\text{Length of } A)^3}{(\text{Length of } B)^3}$$ |
| 3 פתור בעיות ותן הסברים פשוטים הקשורים לדמיון. | כולל הוכחה כי שני משולשים הם דומים באמצעות טענות גיאומטריות. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
Two shapes are similar 相似 if one is an enlargement of the other: same angles, and all sides multiplied by the same scale factor 比例因子 $k$. (Shapes that are exactly the same size and shape are congruent 全等.)
For similar shapes and solids:
Worked example. Two similar solids have lengths in the ratio $2 : 3$. The smaller has volume $40\text{ cm}^{3}$. Find the volume of the larger.
The volume ratio is $2^{3} : 3^{3} = 8 : 27$. So the larger volume is $40 \times \dfrac{27}{8} = 135\text{ cm}^{3}$.
שתי צורות הן דומות אם אחת היא הגדלת השנייה: אותם זוויות, וכל הצלעות כפולות ב-גורם קנה מידה $k$. (צורות שאינן זהות בדיוק בגודל ובצורה הן חופפות.)
לצורות וצלעות דומות:
דוגמה מופת. לשתי צלעות דומות אורכים ביחס $2 : 3$. לאלקטרונית יש נפח $40\text{ cm}^{3}$. מצאו את הנפח של הגדולה יותר.
יחס הנפחים הוא $2^{3} : 3^{3} = 8 : 27$. לכן הנפח הגדול יותר הוא $40 \times \dfrac{27}{8} = 135\text{ cm}^{3}$.
Similar shapes are the same shape but a different size. An enlargement scales every length by the same factor; angles stay the same. · צורות דומות הן בעלות אותו צורה אך בגודל שונה. בהגדלה מושקל כל אורך באותו גורם; הזוויות נשארות ללא שינוי.
| English | עברית |
|---|---|
| similar/ˈsɪmɪlə/ | דומים |
| scale factor/skeɪl ˈfæktə/ | גורם קנה מידה |
| congruent/ˈkɒŋɡruːənt/ | חופה |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Calculate unknown angles and give simple explanations using the following geometrical properties: • sum of angles at a point = 360° • sum of angles at a point on a straight line = 180° • vertically opposite angles are equal • angle sum of a triangle = 180° and angle sum of a quadrilateral = 360°. | Knowledge of three-letter notation for angles is required, e.g. angle $ABC$. Candidates are expected to use the correct geometrical terminology when giving reasons for answers. |
| 2 Calculate unknown angles and give geometric explanations for angles formed within parallel lines: • corresponding angles are equal • alternate angles are equal • co-interior angles sum to 180° (supplementary). | |
| 3 Know and use angle properties of regular polygons. | Includes exterior and interior angles, and angle sum. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 חשב זוויות לא ידועות ותן הסברים פשוטים באמצעות המאפיין הגיאומטרי הבאים: • סכום הזוויות בנקודה = 360° • סכום הזוויות בנקודה על קו ישר = 180° • זוויות נגדיות בראש הן שוות • סכום הזוויות במשולש = 180° וסכום הזוויות בצורת ארבע-צלעות = 360°. | נדרש ידע בסימון זוויות בשלושה אותיות, לדוגמה זווית $ABC$. מתבקש מהמועמדים להשתמש במונחות גיאומטריים הנכונים בהצעת הסיבות לתשובות. |
| 2 חשב זוויות לא ידועות ותן הסברים גיאומטריים לזוויות שנוצרו בתוך קווים מקבילים: • זוויות מול זוויות הן שוות • זוויות אלטרנטביות הן שוות • זוויות צמודות פנימיות סוכמות ל-180° (משלימות). | |
| 3 הכן והשתמש במאפיין הזוויות של פוליגונים קבוצים. | כולל זוויות חיצוניות ופנימיות, וסכום זוויות. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Calculate unknown angles and give simple explanations using the following geometrical properties: • sum of angles at a point = 360° • sum of angles at a point on a straight line = 180° • vertically opposite angles are equal • angle sum of a triangle = 180° and angle sum of a quadrilateral = 360°. | Knowledge of 3-letter notation for angles is required, e.g. angle $ABC$. Candidates are expected to use the correct geometrical terminology when giving reasons for answers. |
| 2 Calculate unknown angles and give geometric explanations for angles formed within parallel lines: • corresponding angles are equal • alternate angles are equal • co-interior angles sum to 180° (supplementary). | |
| 3 Know and use angle properties of regular and irregular polygons. | Includes exterior and interior angles, and angle sum. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 חישוב זוויות לא ידועות ומתן הסברים פשוטים באמצעות התכונות הגיאומטריות הבאות: • סכום הזוויות בנקודה = ⟦360°⟧ • סכום הזוויות בנקודה על קו ישר = ⟦180°⟧ • זוויות נגודות בקודקוד שוות • סכום הזוויות במשולש = ⟦180°⟧ וסכום הזוויות בריבוע = ⟦360°⟧. | נדרשת היכרות עם סימון זוויות בעל-3 אותיות, לדוגמה זווית $ABC$. נציבים מצופים להשתמש במונחים גיאומטריים הנכונים בעת מתן נימוקים לתשובותיהם. |
| 2 חשב זוויות לא ידועות ותן הסברים גיאומטריים לזוויות שנוצרו בתוך קווים מקבילים: • זוויות מול זוויות הן שוות • זוויות אלטרנטביות הן שוות • זוויות צמודות פנימיות סוכמות ל-180° (משלימות). | |
| 3 ידע שימוש בתכונות הזוויות של פוליגונים קבוצים ולא קבוצים. | כולל זוויות חיצוניות ופנימיות, וסכום זוויות. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
A bearing 方位角 gives a direction as a three-figure angle, measured clockwise 顺时针 from north, from $000^{\circ}$ to $360^{\circ}$. So due east is $090^{\circ}$ and due south is $180^{\circ}$.
Worked example. The bearing of $B$ from $A$ is $025^{\circ}$. Find the bearing of $A$ from $B$.
The return (back) bearing differs by $180^{\circ}$: $025^{\circ} + 180^{\circ} = 205^{\circ}$.
כיוון הוא זווית בעלת שלושה ספרות, נמדדת בכיוון השעון מהצפון, מ-$000^{\circ}$ עד $360^{\circ}$. לכן מזרח טהור הוא $090^{\circ}$ ודרום טהור הוא $180^{\circ}$.
דוגמה מופת. הכיוון של $B$ מ$A$ הוא $025^{\circ}$. מצאו את הכיוון של $A$ מ$B$.
הכיוון החוזר (אחורי) שונה ב-$180^{\circ}$: $025^{\circ} + 180^{\circ} = 205^{\circ}$.
Follow how to measure a bearing correctly from north. · עקבו אחר ההוראות למדידה נכונה של מדידת כיוון מהצפון.
| English | עברית |
|---|---|
| bearing/ˈbeərɪŋ/ | מקודד כיוון |
| clockwise/ˈklɒkwaɪz/ | לכיוון השעון |
| construct/ˈkɒnstrʌkt/ | להרכיב |
| compasses/ˈkʌmpəsɪz/ | מחוגות |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Measure and draw lines and angles. | A ruler should be used for all straight edges. Constructions of perpendicular bisectors and angle bisectors are not required. |
| 2 Construct a triangle, given the lengths of all sides, using a ruler and pair of compasses only. | e.g. construct a rhombus by drawing two triangles. Construction arcs must be shown. |
| 3 Draw, use and interpret nets. | Examples include: • draw nets of cubes, cuboids, prisms and pyramids • use measurements from nets to calculate volumes and surface areas. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 מדוד וצייר קווים וזוויות. | יש להשתמש בסרגל עבור כל הקווים הישרים. לא נדרש ביצוע בניית אנכים או בניית חוצי זוויות. |
| 2 בנה משולש, נתונה אורך כל הצלעות, באמצעות סרגל ומחוגה בלבד. | לדוגמה: בנה מעוין על ידי ציור שני משולשים. יש להציג קשתות בנייה. |
| 3 צייר, השתמש והבן ברשתות. | הדוגמאות כוללות: • ציור רשתות של קוביות, תיבות, פרזמות ופירמידות • שימוש במידות מרשתות לחישוב נפח ושטח. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Draw and interpret scale drawings. | A ruler must be used for all straight edges. |
| 2 Use and interpret three-figure bearings. | Bearings are measured clockwise from north (000° to 360°). e.g. find the bearing of A from B if the bearing of B from A is 025°. |
| Includes an understanding of the terms north, east, south and west. e.g. point D is due east of point C. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 שרטט והבן בשרטוט בקנה מידה. | יש להשתמש בסרגל עבור כל הקווים הישרים. |
| 2 השתמש והבן בכיווני מפתח בעלי שלושה ספרות. | כיווני מפתח נמדדים בשעון מהצפון (000° עד 360°). לדוגמה: מצא את כיוון המפתח של נקודה A מנקודה B אם כיוון המפתח של B מ-A הוא 025°. |
| כולל הבנה של המונחים צפון, מזרח, דרום ומערב. לדוגמה: נקודה D נמצאת ממזרח לנקודה C. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Draw and interpret scale drawings. | A ruler must be used for all straight edges. |
| 2 Use and interpret three-figure bearings. | Bearings are measured clockwise from north ($000^{\circ}$ to $360^{\circ}$). e.g. find the bearing of $A$ from $B$ if the bearing of $B$ from $A$ is $025^{\circ}$. Includes an understanding of the terms north, east, south and west. e.g. point $D$ is due east of point $C$. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 שרטט והבן בשרטוט בקנה מידה. | יש להשתמש בסרגל עבור כל הקווים הישרים. |
| 2 שימוש ופרשנות בזוויות נווט תלת-ספרתיות. | זוויות נווט נמדדות בכיוון השעון ממערך ($000^{\circ}$ עד $360^{\circ}$). לדוגמה: מצאו את זווית הנווט של $A$ מבחינת $B$ אם זווית הנווט של $B$ מבחינת $A$ היא $025^{\circ}$. כולל הבנה של המונחים צפון, מזרח, דרום ומערב. לדוגמה: הנקודה $D$ נמצאת במזרח ישיר של הנקודה $C$. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
Common solids 几何体 and their parts:
| Solid | Note |
|---|---|
| cube 立方体 / cuboid 长方体 | box shapes |
| prism 棱柱 | the same shape all along its length |
| cylinder 圆柱 | a circular prism |
| pyramid 棱锥 / cone 圆锥 | come to a point |
| sphere 球 / hemisphere 半球 | a ball / half a ball |
| frustum 平截头体 | a cone or pyramid with the top cut off |
A flat side of a solid is a face 面, two faces meet at an edge 棱, and the whole outside is its surface 表面.
גופים תלת-ממדיים נפוצים וחלקיהם:
| גוף | הערה |
|---|---|
| קוביה / תא דו-כיווני | צורות קופסה |
| פרזמה | אותו צורך לאורך כל האורך שלה |
| צילינדר | פרזמה מעגלית |
| פירמידה / חרוט | מסתיימים בנקודה |
| כדור / חצי כדור | כדור / חצי מכדור |
| גזרת | חרוט או פירמידה עם החלק העליון נחתך |
צד שטוח של גוף הוא פנים, שני פנים נפגשים ב-קצה, והחלק החיצוני כולו הוא ה-שטח.
Classify geometry tasks by the tool or representation needed. · סווגו משימות גיאומטריה לפי הכלי או ההצגה הנדרשים.
| English | עברית |
|---|---|
| square/skweə/ | ריבוע |
| rectangle/ˈrektæŋɡl/ | מלבן |
| parallelogram/ˌpærəˈleləɡræm/ | מקבילית |
| rhombus/ˈrɒmbəs/ | מבולוס |
| kite/kaɪt/ | עוף |
| trapezium/trəˈpiːzɪəm/ | טרפז |
| net/net/ | רשת |
| scale drawing/skeɪl ˈdrɔːɪŋ/ | שרטוט בקנה מידה |
| solids/ˈsɒlɪdz/ | גופים מוצקים |
| cube/kjuːb/ | קובייה |
| cuboid/ˈkjuːbɔɪd/ | קובייה מוארכת (תאבוק) |
| prism/ˈprɪzəm/ | גוף זוויתי |
| cylinder/ˈsɪlɪndə/ | צילינדר |
| pyramid/ˈpɪrəmɪd/ | פירמידה |
| cone/kəʊn/ | חרוט |
| sphere/sfɪə/ | כדור |
| hemisphere/ˈhemɪsfɪə/ | חצי כדור |
| frustum/ˈfrʌstəm/ | פיסטה (חרוט חתוך) |
| face/feɪs/ | פנים |
| edge/edʒ/ | קצה |
| surface/ˈsɜːfɪs/ | משטח |
This handout covers Topic 5, Mensuration (measuring length, area and volume). The Core and Extended content here is almost the same. In the exam, some formulas are given in the List of formulas, but you should still learn them all.
דף זה מכסה נושא 5, מנסורציה (מדידת אורך, שטח ונפח). התוכן הבסיסי והמתקדם כאן זהה כמעט לחלוטין. במבחן, חלק מהפורמולות נתונות בטבלת הפורמולות, אך עדיין יש ללמוד אותן כולן.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Use metric units of mass, length, area, volume and capacity in practical situations and convert quantities into larger or smaller units. | Units include: • mm, cm, m, km • $\text{mm}^2$, $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$ • $\text{mm}^3$, $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ • ml, l • g, kg. Conversion between units includes: • between different units of area, e.g. $\text{cm}^2 \leftrightarrow \text{m}^2$ • between units of volume and capacity, e.g. $\text{m}^3 \leftrightarrow \text{litres}$. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| השתמש ביחידות מטריות של מסה, אורך, שטח, נפח וקיבולת במצבים פרקטיים והפך כמות ליחידות גדולות או קטנות יותר. | היחידות כוללות: • מ"מ, ס"מ, מ', ק"מ • $\text{mm}^2$, $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$ • $\text{mm}^3$, $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ • מ"ל, ל' • ג', ק"ג. ההמרה בין יחידות כוללת: • בין יחידות שונות של שטח, לדוגמה $\text{cm}^2 \leftrightarrow \text{m}^2$ • בין יחידות של נפח וקיבולת, לדוגמה $\text{m}^3 \leftrightarrow \text{litres}$. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
We use metric 公制 units for mass 质量 (g, kg), length 长度 (mm, cm, m, km), area 面积, volume 体积 and capacity 容量 (ml, litres — the space inside a container).
To change units, be careful with squares and cubes:
Worked example. Convert $3\text{ m}^{2}$ to $\text{cm}^{2}$.
אנו משתמשים ביחידות מטריות עבור מסה (g, kg), אורך (mm, cm, m, km), שטח, נפח ו-קיבולת (ml, ליטר — המקום בתוך מיכל).
כדי לשנות יחידות, יש להיזהר עם ריבועים ומעריכים:
דוגמה מופתרת. המירו $3\text{ m}^{2}$ ל$\text{cm}^{2}$.
Choose the unit that matches the measurement scale. · בחר את היחידה המתאימה לקנה מידת המדידה.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Carry out calculations involving the perimeter and area of a rectangle, triangle, parallelogram and trapezium. | Except for area of a triangle, formulas are not given. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| בצע חישובים הקשורים להיקף ולשטח של מלבן, משולש, מקבילית ומלבנה. | למעט שטח של משולש, הנוסחות אינן נתונות. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Carry out calculations involving the perimeter and area of a rectangle, triangle, parallelogram and trapezium. | Except for the area of a triangle, formulas are not given. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| ביצוע חישובים העוסקים בהיקף ובשטח של מלבן, משולש, מקבילית וטרפז. | למעט שטח של משולש, הנוסחות אינן נתונות. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
The perimeter 周长 is the distance all the way round a shape. The area is the amount of flat space inside it. Here $b$ is the base 底 and $h$ is the perpendicular height 高.
| Shape | Area |
|---|---|
| rectangle 矩形 | $\text{length} \times \text{width}$ |
| triangle 三角形 | $\tfrac{1}{2} \times b \times h$ |
| parallelogram 平行四边形 | $b \times h$ |
| trapezium 梯形 | $\tfrac{1}{2}(a + b)h$, where $a$ and $b$ are the two parallel sides |
Worked example. A trapezium has parallel sides $6\text{ cm}$ and $10\text{ cm}$, and height $4\text{ cm}$. Find its area.
ההיקף הוא המרחק לכל אורך הגבול של הצורה. השטח הוא כמות החלל השטוח בתוכה. כאן $b$ הוא הבסיס ו$h$ הוא הגובה האנכי.
| צורה | שטח |
|---|---|
| מלבן | $\text{length} \times \text{width}$ |
| משולש | $\tfrac{1}{2} \times b \times h$ |
| מקבילית | $b \times h$ |
| טרפז | $\tfrac{1}{2}(a + b)h$, כאשר $a$ ו$b$ הן שתי הצלעות המקבילות |
דוגמה מופתרת. לטרפז יש צלעות מקבילות $6\text{ cm}$ ו$10\text{ cm}$, וגובה $4\text{ cm}$. מצאו את שטחו.
area = side^2 · שטח = צלע^2
Change side length and see why area grows quadratically. · שנו את אורך הצלע וראו מדוע השטח גדל באופן ריבועי.
| English | עברית |
|---|---|
| metric/ˈmetrɪk/ | מטרי |
| mass/mæs/ | מסה |
| length/leŋθ/ | אורך |
| area/ˈeərɪə/ | שטח |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. |
| 2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle, where the sector angle is a factor of $360^\circ$. | Formulas are given in the List of formulas. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 בצוע חישובים הקשורים להיקף ולשטח של מעגל. | ייתכן שתתבקש לתת תשובות בצורה עם $\pi$. |
| 2 בצוע חישובים הקשורים לאורך קשת ושטח משולש כשבר מההיקף והשטח של מעגל, כאשר זווית המשולש היא גורם של $360^\circ$. | הנוסחאות נתונות ברשימת הנוסחאות. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. Formulas are given in the List of formulas. |
| 2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle. | Includes minor and major sectors. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 ביצוע חישובים העוסקים בהיקף ובשטח של מעגל. | ייתכן שתתבקש לענות במונחי $\pi$. הנוסחאות ניתנות ברשימת הנוסחאות. |
| 2 ביצוע חישובים העוסקים באורך קשת ובשטח מקטע כשבר מההיקף ובשטח של מעגל. | כולל מקטעים מינוריים ומג'ורים. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
For a circle 圆 with radius 半径 $r$ (and diameter 直径 $d = 2r$):
The circumference 圆周 is the distance round the circle.
Worked example. A circle has radius $7\text{ cm}$. Find its circumference and area (leave $\pi$ in the answer).
לעיגול עם רדיוס $r$ (וקוטר $d = 2r$):
ההיקף הוא המרחק סביב המעגל.
דוגמה מפורטת. למעגל יש רדיוס $7\text{ cm}$. חשב את ההיקף והשטח שלו (השאיר $\pi$ בתשובה).
| English | עברית |
|---|---|
| circle/ˈsɜːkl/ | מעגל |
| radius/ˈreɪdɪəs/ | רדיוס |
| diameter/daɪˈæmɪtə/ | קוטר |
| circumference/sɜːˈkʌmfrəns/ | היקף |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. |
| 2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle, where the sector angle is a factor of $360^\circ$. | Formulas are given in the List of formulas. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 בצוע חישובים הקשורים להיקף ולשטח של מעגל. | ייתכן שתתבקש לתת תשובות בצורה עם $\pi$. |
| 2 בצוע חישובים הקשורים לאורך קשת ושטח משולש כשבר מההיקף והשטח של מעגל, כאשר זווית המשולש היא גורם של $360^\circ$. | הנוסחאות נתונות ברשימת הנוסחאות. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. Formulas are given in the List of formulas. |
| 2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle. | Includes minor and major sectors. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 ביצוע חישובים העוסקים בהיקף ובשטח של מעגל. | ייתכן שתתבקש לענות במונחי $\pi$. הנוסחאות ניתנות ברשימת הנוסחאות. |
| 2 ביצוע חישובים העוסקים באורך קשת ובשטח מקטע כשבר מההיקף ובשטח של מעגל. | כולל מקטעים מינוריים ומג'ורים. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
An arc 弧 is part of the circumference. A sector 扇形 is a "pizza slice" between two radii. If the sector angle is $\theta$, the arc and sector are that fraction $\dfrac{\theta}{360}$ of the whole circle:
A small slice is a minor sector 小扇形; the large rest is a major sector 大扇形.
Worked example. Find the arc length 弧长 and area of a sector with angle $90^{\circ}$ and radius $8\text{ cm}$.
The fraction is $\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$, so
קשת היא חלק מההיקף. משולש מעגלי הוא "פרוסת פיצה" בין שני רדיוסים. אם זווית המשולש היא $\theta$, הקשת והמשולש הם השבר $\dfrac{\theta}{360}$ של המעגל כולו:
פרוסה קטנה היא משולש מעגלי מינורי; החלק הגדול שנותר הוא משולש מעגלי מאיורי.
דוגמה מפורטת. חשב את אורך הקשת ושטח משולש מעגלי עם זווית $90^{\circ}$ ורדיוס $8\text{ cm}$.
השבר הוא $\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$, לכן
s = rθ · A = ½r²θ
A bigger angle or radius means a longer arc and larger sector area. · זווית או רדיוס גדולים יותר מובילים לקשת ארוכה ושטח סקטור גדול יותר.
Change the angle and radius and read off the arc length and sector area — a fraction of the whole circle. · שנה את הזווית ואת הרדיוס וקרא את אורך הקשת ושטח המלבנת — כשבר מכל המעגל.
| English | עברית |
|---|---|
| arc/ɑːk/ | קשת |
| sector/ˈsektə/ | תחום |
| minor sector/ˈmaɪnə ˈsektə/ | מיקרו-מיקום (קטע קטן) |
| major sector/ˈmeɪdʒə ˈsektə/ | מיקרו-מיקום (קטע גדול) |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | אורך קשת |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Carry out calculations and solve problems involving the surface area and volume of a: • cuboid • prism • cylinder • sphere • pyramid • cone. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. The following formulas are given in the List of formulas: • curved surface area of a cylinder • curved surface area of a cone • surface area of a sphere • volume of a prism • volume of a pyramid • volume of a cylinder • volume of a cone • volume of a sphere. The term prism refers to any solid with a uniform cross-section, e.g. a cylindrical sector. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| בצע חישובים ופתור בעיות הקשורות לשטח הפנים ולנפח של: • קובייה • גוף ישר • צילינדר • כדור • פירמידה • חרוט. | ייתכן שתתבקש לתת תשובות בצורה עם $\pi$. הנוסחאות הבאות נתונות ברשימת הנוסחאות: • שטח הצד של צילינדר • שטח הצד של חרוט • שטח הפנים של כדור • נפח של גוף ישר • נפח של פירמידה • נפח של צילינדר • נפח של חרוט • נפח של כדור. המונח "גוף ישר" מתייחס לכל גוף בעל חתך אחיד, לדוגמה ערך צילינדרלי. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
The surface area 表面积 is the total area of all the outside faces. The volume is the space inside. For these solids ($r$ = radius, $h$ = height):
| Solid | Volume | Surface area |
|---|---|---|
| cuboid 长方体 | $\text{length} \times \text{width} \times \text{height}$ | add the six faces |
| prism 棱柱 | (cross-section 横截面 area) $\times$ length | — |
| cylinder 圆柱 | $\pi r^{2} h$ | $2\pi r h$ (curved surface area 侧面积) $+\, 2\pi r^{2}$ |
| pyramid 棱锥 | $\tfrac{1}{3} \times \text{base area} \times h$ | — |
| cone 圆锥 | $\tfrac{1}{3}\pi r^{2} h$ | $\pi r l$ (curved) $+\, \pi r^{2}$, where $l$ is the slant height 斜高 |
| sphere 球 | $\tfrac{4}{3}\pi r^{3}$ | $4\pi r^{2}$ |
Worked example. A cylinder has radius $5\text{ cm}$ and height $10\text{ cm}$. Find its volume and total surface area (in terms of $\pi$).
השטח הפנים הוא השטח הכולל של כל הפנים החיצוניות. הנפח הוא המקום בפנים. עבור גופים אלו ($r$ = רדיוס, $h$ = גובה):
| גוף | נפח | שטח פנים |
|---|---|---|
| קוביה | $\text{length} \times \text{width} \times \text{height}$ | חבר את שש הפנים |
| גוף ישר | (שטח חתך רוחב) $\times$ אורך | — |
| צילינדר | $\pi r^{2} h$ | $2\pi r h$ (שטח פנים מעוגל) $+\, 2\pi r^{2}$ |
| פירמידה | $\tfrac{1}{3} \times \text{base area} \times h$ | — |
| קונוס | $\tfrac{1}{3}\pi r^{2} h$ | $\pi r l$ (מעוגל) $+\, \pi r^{2}$, כאשר $l$ הוא הגובה האלכסוני |
| כדור | $\tfrac{4}{3}\pi r^{3}$ | $4\pi r^{2}$ |
דוגמה מפורטת. לצילינדר יש קוטר $5\text{ cm}$ וגובה $10\text{ cm}$. מצאו את נפחו ואת שטח הפנים הכולל (בעזרת $\pi$).
surface area grows with scale^2 · שטח הפנים גדל ביחס למעלה^2
Change length scale and see volume grow faster than surface area. · שנו את קנה המידה האורכי והצפו לנפח לגדול מהר משטח הפנים.
| English | עברית |
|---|---|
| volume/ˈvɒljuːm/ | נפח |
| capacity/kəˈpæsɪti/ | קיבולת |
| perimeter/pəˈrɪmɪtə/ | היקף |
| base/beɪs/ | בסיס |
| height/haɪt/ | גובה |
| rectangle/ˈrektæŋɡl/ | מלבן |
| triangle/ˈtraɪæŋɡl/ | משולש |
| parallelogram/ˌpærəˈleləɡræm/ | מקבילית |
| trapezium/trəˈpiːzɪəm/ | טרפז |
| surface area/ˈsɜːfɪs ˈeərɪə/ | שטח פני |
| cuboid/ˈkjuːbɔɪd/ | קובייה מוארכת (תאבוק) |
| prism/ˈprɪzəm/ | גוף זוויתי |
| cross-section/krɒs ˈsekʃn/ | חצייה רוחבית |
| cylinder/ˈsɪlɪndə/ | צילינדר |
| curved surface area/kɜːvd ˈsɜːfɪs ˈeərɪə/ | שטח פנים מעוגל |
| pyramid/ˈpɪrəmɪd/ | פירמידה |
| cone/kəʊn/ | חרוט |
| slant height/slænt haɪt/ | גובה אלכסוני |
| sphere/sfɪə/ | כדור |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations and solve problems involving perimeters and areas of: • compound shapes • parts of shapes. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. |
| 2 Carry out calculations and solve problems involving surface areas and volumes of: • compound solids • parts of solids. | e.g. find the volume of half of a sphere. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 בצוע חישובים ופתור בעיות הקשורות להיקפים ולשטחים של: • צורות מורכבות • חלקים מצורות. | ייתכן שתתבקש לתת תשובות בצורה עם $\pi$. |
| 2 בצוע חישובים ופתור בעיות הקשורות לשטחי פנים ולנפחים של: • גופים מורכבים • חלקים מגופים. | לדוגמה: מצא את הנפח של חצי מכדור. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations and solve problems involving perimeters and areas of: • compound shapes • parts of shapes. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. |
| 2 Carry out calculations and solve problems involving surface areas and volumes of: • compound solids • parts of solids. | e.g. find the surface area and volume of a frustum. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 בצוע חישובים ופתור בעיות הקשורות להיקפים ולשטחים של: • צורות מורכבות • חלקים מצורות. | ייתכן שתתבקש לתת תשובות בצורה עם $\pi$. |
| 2 ביצוע חישובים ופתרון בעיות העוסקות בשטחי פנים ובנפחים של: • גוף מורכב • חלקי גוף. | לדוגמה: מציאת שטח הפנים והנפח של פרוסת קונוס. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
A compound shape 组合图形 is made by joining or cutting simple shapes. Split it into parts you know, then add or subtract.
For "parts" of a circle or solid, take the right fraction. For example, a hemisphere 半球 (half a sphere) has volume
A frustum 平截头体 is a cone or pyramid with its top cut off; find its volume by subtracting the small top cone from the whole cone.
Worked example. Find the area of a shape made of a rectangle $8\text{ cm} \times 5\text{ cm}$ with a semicircle of diameter $5\text{ cm}$ on one end.
The semicircle has radius $2.5\text{ cm}$:
צורה מורכבת נוצרת מהצמדת או חיתוך של צורות פשוטות. פרקו אותה לחלקים הידועים לכם, ואז תוסיפו או תחסרו.
עבור "חלקים" של עיגול או צורה מוצקה, קחו את השבר המתאים. לדוגמה, למחצית כדור (המיספירה) יש נפח
פרוסת חרוט היא חרוט או פירמידה שראשה נחתך; מצאו את נפחה על ידי חיסור החרוט הקטן העליון מהחרוט השלם.
דוגמה מפורטת. מצאו את שטח הצורה הנוצרת מריבוע $8\text{ cm} \times 5\text{ cm}$ עם מחצית עיגול בקוטר $5\text{ cm}$ בקצה אחד.
למחצית העיגול יש קוטר $2.5\text{ cm}$:
Break a compound shape into simple parts, then recombine. · פרקו צורה מורכבת לחלקים פשוטים, ואז איחדו אותם מחדש.
| English | עברית |
|---|---|
| compound shape/ˈkɒmpaʊnd ʃeɪp/ | צורה מורכבת |
| hemisphere/ˈhemɪsfɪə/ | חצי כדור |
| frustum/ˈfrʌstəm/ | פיסטה (חרוט חתוך) |
This handout covers Topic 6, Trigonometry. Parts marked (Extended) are only tested on the Extended papers; everything else is for both levels. Give angle answers to one decimal place.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Know and use Pythagoras’ theorem. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| הכן ועשה שימוש במשפט פיתגורס. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
Pythagoras' theorem 勾股定理 links the three sides of a right-angled triangle 直角三角形 (a triangle 三角形 with one $90^{\circ}$ angle). If the longest side (the hypotenuse 斜边, opposite the right angle) is $c$, then
Use it to find a missing side.
Worked example. A right-angled triangle has a hypotenuse of $13\text{ cm}$ and one short side of $5\text{ cm}$. Find the other short side.
Change the two short sides and see $a^2 + b^2 = c^2$ — the squares on the sides really do add up.
| English | עברית |
|---|---|
| Pythagoras' theorem/paɪˈθæɡərəs ˈθɪərəm/ | משפט פיתגורס |
| right-angled triangle/raɪt ˈæŋɡld ˈtraɪæŋɡl/ | משולש ישר זווית |
| triangle/ˈtraɪæŋɡl/ | משולש |
| hypotenuse/haɪˈpɒtənjuːs/ | יתר |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Know and use the sine, cosine and tangent ratios for acute angles in calculations involving sides and angles of a right-angled triangle. | Angles will be given in degrees and answers should be written in degrees, with decimals correct to one decimal place. |
| 2 Solve problems in two dimensions using Pythagoras’ theorem and trigonometry. | Knowledge of bearings may be required. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 הכן ועשה שימוש ביחסים של סינוס, קוסינוס וטנגנס עבור זוויות חדות בחישובים הקשורים לצלעות ולזוויות של משולש ישר-זווית. | הזוויות ינתנו בדרגות והתשובות יכתבו בדרגות, עם עשרוניים מדויקים לעשרון אחד. |
| 2 פתור בעיות בשני ממדים באמצעות משפט פיתגורס וטריגונומטריה. | ייתכן שתידרש ידע בנושא נווטים (כיוונים). |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Know and use the sine, cosine and tangent ratios for acute angles in calculations involving sides and angles of a right-angled triangle. | Angles will be given in degrees and answers should be written in degrees, with decimals correct to one decimal place. |
| 2 Solve problems in two dimensions using Pythagoras’ theorem and trigonometry. | Knowledge of bearings may be required. |
| 3 Know that the perpendicular distance from a point to a line is the shortest distance to the line. | |
| 4 Carry out calculations involving angles of elevation and depression. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 הכן ועשה שימוש ביחסים של סינוס, קוסינוס וטנגנס עבור זוויות חדות בחישובים הקשורים לצלעות ולזוויות של משולש ישר-זווית. | הזוויות ינתנו בדרגות והתשובות יכתבו בדרגות, עם עשרוניים מדויקים לעשרון אחד. |
| 2 פתור בעיות בשני ממדים באמצעות משפט פיתגורס וטריגונומטריה. | ייתכן שתידרש ידע בנושא נווטים (כיוונים). |
| 3 יש לדעת שהמרחק האנכי מנקודה לקו הוא המרחק הקצר ביותר לקו. | |
| 4 לבצע חישובים הכוללים זוויות הרמה וירידה. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
Label the sides from the angle you are using: the opposite 对边 (across from the angle), the adjacent 邻边 (next to the angle), and the hypotenuse. The three ratios are the sine 正弦, cosine 余弦 and tangent ratio 正切 (sin, cos, tan):
Remember them as SOH-CAH-TOA. To find an angle, use the inverse ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$).
Worked example (find a side). In a right-angled triangle the hypotenuse is $10\text{ cm}$ and the angle is $30^{\circ}$. Find the opposite side.
Worked example (find an angle). The opposite side is $4\text{ cm}$ and the adjacent side is $3\text{ cm}$.
Drag the angle on the unit circle to see where sin, cos and tan come from.
| English | עברית |
|---|---|
| opposite/ˈɒpəzɪt/ | ניצב |
| adjacent/əˈdʒeɪsənt/ | סמוך |
| sine/saɪn/ | סינו⟦number⟧ |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | קוסינו⟦number⟧ |
| tangent ratio/ˈtændʒənt ˈreɪʃɪəʊ/ | יחס טנג'ס |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Know and use the sine, cosine and tangent ratios for acute angles in calculations involving sides and angles of a right-angled triangle. | Angles will be given in degrees and answers should be written in degrees, with decimals correct to one decimal place. |
| 2 Solve problems in two dimensions using Pythagoras’ theorem and trigonometry. | Knowledge of bearings may be required. |
| 3 Know that the perpendicular distance from a point to a line is the shortest distance to the line. | |
| 4 Carry out calculations involving angles of elevation and depression. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 הכן ועשה שימוש ביחסים של סינוס, קוסינוס וטנגנס עבור זוויות חדות בחישובים הקשורים לצלעות ולזוויות של משולש ישר-זווית. | הזוויות ינתנו בדרגות והתשובות יכתבו בדרגות, עם עשרוניים מדויקים לעשרון אחד. |
| 2 פתור בעיות בשני ממדים באמצעות משפט פיתגורס וטריגונומטריה. | ייתכן שתידרש ידע בנושא נווטים (כיוונים). |
| 3 יש לדעת שהמרחק האנכי מנקודה לקו הוא המרחק הקצר ביותר לקו. | |
| 4 לבצע חישובים הכוללים זוויות הרמה וירידה. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
The angle of elevation 仰角 is the angle up from the horizontal to an object above you. The angle of depression 俯角 is the angle down from the horizontal to an object below you. The shortest distance from a point to a line is the perpendicular 垂直 distance.
Worked example. From a point $50\text{ m}$ from the foot of a tower, the angle of elevation to the top is $40^{\circ}$. Find the height of the tower.
| English | עברית |
|---|---|
| angle of elevation/ˈæŋɡl ɒv ˌelɪˈveɪʃn/ | זווית גובה |
| angle of depression/ˈæŋɡl ɒv dɪˈpreʃn/ | זווית ירידה |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | ניצב |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Know the exact values of: 1 $\sin x$ and $\cos x$ for $x = 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ and $90^\circ$. 2 $\tan x$ for $x = 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ$ and $60^\circ$. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| לדעת את הערכים המדויקים של: 1 $\sin x$ ו-$\cos x$ עבור $x = 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ ו-$90^\circ$. 2 $\tan x$ עבור $x = 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ$ ו-$60^\circ$. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
You must know these exact values without a calculator.
| $x$ | $0^{\circ}$ | $30^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | $60^{\circ}$ | $90^{\circ}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $0$ | $\tfrac{1}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos x$ | $1$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\tfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan x$ | $0$ | $\tfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | — |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Recognise, sketch and interpret the following graphs for $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$: • $y = \sin x$ • $y = \cos x$ • $y = \tan x$. | |
| 2 Solve trigonometric equations involving $\sin x$, $\cos x$ or $\tan x$, for $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$. | e.g. solve: • $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ for $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$ • $2 \cos x + 1 = 0$ for $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 לזהות, לעיפר ולפרש גרפים הבאים עבור $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$: • $y = \sin x$ • $y = \cos x$ • $y = \tan x$. | |
| 2 לפתור משוואות טריגונומטריות הכוללות $\sin x$, $\cos x$ או $\tan x$, עבור $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$. | דוגמא: פתרון: • $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ עבור $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$ • $2 \cos x + 1 = 0$ עבור $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
For $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$:
A trigonometric equation 三角方程 often has more than one answer in this range. Use the graph (or the symmetry of the wave) to find them all.
Worked example. Solve $\sin x = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ for $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$.
One answer is $x = 60^{\circ}$. The sine wave is also $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ at $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$. So $x = 60^{\circ}$ or $120^{\circ}$.
Worked example. Solve $2\cos x + 1 = 0$ for $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$.
(cos θ, sin θ)
As θ turns, sin and cos trace their waves — and repeat every 360°.
| English | עברית |
|---|---|
| trigonometric equation/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ɪˈkweɪʒn/ | משוואה טריגונומטרית |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use the sine and cosine rules in calculations involving lengths and angles for any triangle. | Includes problems involving obtuse angles and the ambiguous case. |
| 2 Use the formula $\text{area of triangle} = \frac{1}{2} ab \sin C$. | The sine and cosine rules and the formula for area of a triangle are given in the List of formulas. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 להשתמש בחוק הסינוס וחוק הקוסינוס בחישובים הכוללים אורכים וזוויות בכל משולש. | כולל בעיות הכוללות זוויות קהות ומקרה האמביוולנטי (הלא ברור). |
| 2 להשתמש בנוסחה $\text{area of triangle} = \frac{1}{2} ab \sin C$. | חוק הסינוס, חוק הקוסינוס ונוסחת שטח המשולש נתונים ברשימת הנוסחות. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
For any triangle (not just right-angled), with sides $a, b, c$ opposite angles $A, B, C$:
Use the sine rule 正弦定理 when you have a side and its opposite angle. Use the cosine rule 余弦定理 when you have two sides and the angle between them, or all three sides. With the sine rule, watch for the ambiguous case 两解情况, where an angle could be acute or obtuse.
The area of any triangle is
Worked example. A triangle has $b = 7\text{ cm}$, $c = 8\text{ cm}$ and the angle between them $A = 40^{\circ}$. Find side $a$.
Two sides and the angle between them fix the triangle: the cosine rule finds the third side, the sine rule the other angles.
Spin the angle on the unit circle: the horizontal leg is cos θ and the vertical leg is sin θ — the same ratios the sine and cosine rules use.
| English | עברית |
|---|---|
| sine rule/saɪn ruːl/ | חוק הסינוסים |
| cosine rule/ˈkəʊsaɪn ruːl/ | חוק הקוסינוסים |
| ambiguous case/æmˈbɪɡjuːəs keɪs/ | מקרה לא חד-משמעי |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Carry out calculations and solve problems in three dimensions using Pythagoras' theorem and trigonometry, including calculating the angle between a line and a plane. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| לבצע חישובים ולפתור בעיות בתלת-ממד באמצעות משפט פיתגורס וטריגונומטריה, כולל החישוב של הזווית בין קו למישור. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
In three dimensions, find a right-angled triangle inside the solid, then use Pythagoras or trigonometry on it. A common task is the angle between a line and a flat surface (a plane 平面).
Worked example. A box has a base $6\text{ cm}$ by $8\text{ cm}$ and height $5\text{ cm}$. Find the angle between a space diagonal and the base.
First the base diagonal: $\sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$. This diagonal and the height form a right-angled triangle, so the angle $\theta$ with the base is
In a right-angled triangle a² + b² = c². The same idea, applied twice, gives lengths inside 3-D solids.
| English | עברית |
|---|---|
| plane/pleɪn/ | מישור |
This handout covers Topic 7, Transformations and vectors. Parts marked (Extended) are only tested on the Extended papers; everything else is for both levels. Vectors as a whole topic are Extended.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Recognise, describe and draw the following transformations: | Questions will not involve combinations of transformations. A ruler must be used for all straight edges. |
| 1 Reflection of a shape in a vertical or horizontal line. | |
| 2 Rotation of a shape about the origin, vertices or midpoints of edges of the shape, through multiples of 90°. | |
| 3 Enlargement of a shape from a centre by a scale factor. | Positive and fractional scale factors only. |
| 4 Translation of a shape by a vector $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| זיהה, תאר וצייר את הטרנספורמציות הבאות: | השאלות לא יכללו שילובים של טרנספורמציות. יש להשתמש בסרגל בכל הקווים הישרים. |
| 1 החזר של צורה בקו אנכי או אופקי. | |
| 2 סיבוב של צורה סביב הראשית, קודקודים או אמצעי צלעות הצורה, בסיבובים כפולים של 90°. | |
| 3 הגדלת צורה ממרכז באמצעות מקדם קנה מידה. | רק מקדמי קנה מידה חיוביים ושבריים. |
| 4 הזזה של צורה על ידי וקטור $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. |
| Transformations | Notes and examples |
|---|---|
| Recognise, describe and draw the following transformations: | Questions may involve combinations of transformations. A ruler must be used for all straight edges. |
| 1 Reflection of a shape in a straight line. | |
| 2 Rotation of a shape about a centre through multiples of 90°. | |
| 3 Enlargement of a shape from a centre by a scale factor. | Positive, fractional and negative scale factors may be used. |
| 4 Translation of a shape by a vector $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. |
| תמורות | הערות ותמונות |
|---|---|
| לזהות, לתאר ולעבור על התמורות הבאות: | השאלות עשויות לכלול שילובים של תמורות. יש להשתמש בסרגל לכל הקווים הישרים. |
| 1 סימטריה (השתקפות) של צורה ביחס לקו ישר. | |
| 2 סיבוב של צורה סביב נקודת מרכז בזוויות כפולות של 90°. | |
| 3 הגדלה של צורה ממרכז עם מקדם הדמייה. | ניתן להשתמש במקדמי הדמייה חיוביים, שבריים ושליליים. |
| 4 הזזה של צורה על ידי וקטור $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
A transformation 变换 changes the position or size of a shape. The original is the object and the result is the image. There are four types. When asked to describe one, you must name the type and give all the details below.
A reflection 反射 flips the shape over a mirror line 对称轴. Each image point is the same distance from the line as the object point, on the other side.
Worked example. Reflect the point $(3, 2)$ in the $y$-axis. Only the sign of $x$ changes: the image is $(-3, 2)$. (In the $x$-axis it would be $(3, -2)$.)
A rotation 旋转 turns the shape about a fixed point, the centre 中心 of rotation, through multiples of $90^{\circ}$.
Worked example. Rotate $(3, 1)$ by $90^{\circ}$ anticlockwise about the origin. The rule is $(x, y) \to (-y, x)$, so the image is $(-1, 3)$.
An enlargement 放大 changes the size by a scale factor 比例因子 $k$, measured from a fixed centre. Each distance from the centre is multiplied by $k$.
Worked example. Enlarge $(1, 2)$ from the origin by scale factor $2$. Multiply both coordinates: the image is $(2, 4)$.
A translation 平移 slides the shape with no turning, by a vector 向量 written as a column vector 列向量 $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ ($x$ across, $y$ up).
Worked example. Translate $(5, 3)$ by $\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$: move $2$ left and $4$ up to get $(3, 7)$.
(Extended: a question may ask you to combine two transformations and describe the single transformation that has the same effect.)
Translate, reflect, rotate or enlarge the shape and watch where it lands. · הזז, השתקף, סובב או הגדל את הצורה וצפה לאיפה היא נפלת.
| English | עברית |
|---|---|
| transformation/trænsfɔːˈmeɪʃn/ | המרה |
| reflection/rɪˈflekʃn/ | השתקפות |
| mirror line/ˈmɪrə laɪn/ | קו סימטריה |
| rotation/rəʊˈteɪʃn/ | סיבוב |
| centre/ˈsentə/ | מרכז |
| enlargement/enˈlɑːdʒmənt/ | הרחבת תפקידים |
| scale factor/skeɪl ˈfæktə/ | גורם קנה מידה |
| translation/trænˈsleɪʃn/ | טרנסלציה |
| vector/ˈvektə/ | מסיר מחלות |
| column vector/ˈkɒlʌm ˈvektə/ | וקטור עמודה |
| Vectors in two dimensions | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Describe a translation using a vector represented by $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AB}$ or $\mathbf{a}$. | Vectors will be printed as $\overrightarrow{AB}$ or $\mathbf{a}$. |
| 2 Add and subtract vectors. | |
| 3 Multiply a vector by a scalar. |
| וקטורים בממדיים | הערות ותמונות |
|---|---|
| 1 תאר הזזה באמצעות וקטור המיוצג על ידי $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AB}$ או $\mathbf{a}$. | הווקטורים יודפסו כ$\overrightarrow{AB}$ או כ$\mathbf{a}$. |
| 2 הוספה וחיסור של וקטורים. | |
| 3 הכפלת וקטור במספר (סקאלר). |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
A vector has both size and direction. It can be written as a column vector, as $\overrightarrow{AB}$ (from $A$ to $B$), or in bold as $\mathbf{a}$.
Worked example. If $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ and $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$, then
Drag two vectors and add them tip to tail to get the resultant. · גרור שני וקטורים והוסף אותם קצה לקצה כדי לקבל את הווקטור התוצא.
| English | עברית |
|---|---|
| scalar/ˈskeɪlə/ | סקאלר |
| Magnitude of a vector | Notes and examples |
|---|---|
| Calculate the magnitude of a vector $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ as $\sqrt{x^2 + y^2}$. | The magnitudes of vectors will be denoted by modulus signs, e.g. • $|\mathbf{a}|$ is the magnitude of $\mathbf{a}$ • $|\overrightarrow{AB}|$ is the magnitude of $\overrightarrow{AB}$. |
| גודל של וקטור | הערות ומינים |
|---|---|
| חשב את הגודל של וקטור $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ כ $\sqrt{x^2 + y^2}$. | הגדלים של וקטורים מסומנים בסימני מודולוס, לדוגמה: • $|\mathbf{a}|$ הוא הגודל של $\mathbf{a}$ • $|\overrightarrow{AB}|$ הוא הגודל של $\overrightarrow{AB}$. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
The magnitude 模 (length) of a vector is found with Pythagoras. For $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$,
Worked example. The magnitude of $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ is $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$.
| English | עברית |
|---|---|
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | גודל |
| Vector geometry | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Represent vectors by directed line segments. | |
| 2 Use position vectors. | |
| 3 Use the sum and difference of two or more vectors to express given vectors in terms of two coplanar vectors. | |
| 4 Use vectors to reason and to solve geometric problems. | Examples include: • show that vectors are parallel • show that 3 points are collinear • solve vector problems involving ratio and similarity. |
| גיאומטריה של וקטורים | הערות ומינים |
|---|---|
| 1 נציג וקטורים בקטעי קווים מכוונים. | |
| 2 השתמש בווקטורי מיקום. | |
| 3 השתמש בסכום והפרש של שני וקטורים או יותר כדי לבטא וקטורים נתונים באמצעות שני וקטורים קו-מישוריים. | |
| 4 השתמש בוקטורים להסיק ולפתור בעיות גיאומטריות. | הדוגמאות כוללות: • להראות שהווקטורים מקבילים • להראות ש-3 נקודות נמצאות על אותו קו • לפתור בעיות וקטורים הקשורות ליחס דמיון. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
A vector can be drawn as a directed line segment 有向线段 (an arrow). The position vector 位置向量 of a point is the vector from the origin $O$ to that point.
A key idea: the vector from $A$ to $B$ is
where $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$ are the position vectors of $A$ and $B$.
Two vectors are parallel 平行 if one is a scalar multiple of the other (for example $\overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{CD}$). Three points are collinear 共线 (in a straight line) if the vectors between them are parallel and share a point. You can express any vector in terms of two coplanar 共面 vectors.
Worked example. $O$ is the origin, with $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ and $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$. $M$ is the midpoint of $AB$. Find $\overrightarrow{OM}$ in terms of $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$.
resultant = a + b · הכוח השקול = a + b
Combine vectors to reach a point — the resultant is the direct route. · שלבבו וקטורים כדי להגיע לנקודה — ה-ווקטור הסיכומי הוא הדרך הישירה.
| English | עברית |
|---|---|
| directed line segment/daɪˈrektɪd laɪn ˈseɡmənt/ | קטע ישר מכוון |
| position vector/pəˈzɪʃn ˈvektə/ | וקטור מיקום |
| parallel/ˈpærəlel/ | מקביל |
| collinear/ˈkɒlɪnɪə/ | קו-קווי |
| coplanar/ˌkəʊˈpleɪnə/ | ישוריים |
This handout covers Topic 8, Probability. Parts marked (Extended) are only tested on the Extended papers; everything else is for both levels.
שורה זו מכסה נושא 8, הסתברות. חלקים מסומנים (מתרחב) נבחנים רק במבחני המתרחב; כל שאר החלקים מתאימים לשני הרמות.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand and use the probability scale from 0 to 1. | Probability notation is not required. Probabilities should be given as a fraction, decimal or percentage. Problems may require using information from tables, graphs or Venn diagrams (limited to two sets). |
| 2 Calculate the probability of a single event. | |
| 3 Understand that the probability of an event not occurring = 1 – the probability of the event occurring. | e.g. The probability that a counter is blue is 0.8. What is the probability that it is not blue? |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 הבן והשתמש בסולם ההסתברות מ-0 עד 1. | אינו נדרש שימוש בסימון הסתברות. יש לתת את ההסתברות בשבר, מספר עשרוני או אחוז. ייתכן שבעיות דורשות שימוש במידע מטבלות, גרפים או תרשימי ון (מוגבל לשני קבוצות). |
| 2 חשב את ההסתברות לאירוע יחיד. | |
| 3 הבן שההסתברות לאירוע שלא מתרחש = 1 – ההסתברות לאירוע שמתרחש. | לדוגמה: ההסתברות לכך שמטבע הוא כחול היא 0.8. מהי ההסתברות שהוא אינו כחול? |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand and use the probability scale from 0 to 1. | $\text{P}(A)$ is the probability of $A$ |
| 2 Understand and use probability notation. | $\text{P}(A')$ is the probability of not $A$ |
| 3 Calculate the probability of a single event. | Probabilities should be given as a fraction, decimal or percentage. Problems may require using information from tables, graphs or Venn diagrams. |
| 4 Understand that the probability of an event not occurring = 1 – the probability of the event occurring. | e.g. $\text{P}(B) = 0.8$, find $\text{P}(B')$ |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 הבן והשתמש בקנה מידת ההסתברות מ-0 עד 1. | $\text{P}(A)$ היא ההסתברות ל$A$ |
| 2 הבן והשתמש בסימוני הסתברות. | $\text{P}(A')$ היא ההסתברות לא-$A$ |
| 3 חשב את ההסתברות לאירוע יחיד. | ההסתברויות צריכות להיות מוצגות כשובר, עשרוני או אחוז. ייתכן שתצטרך להשתמש במידע מטבלות, גרפים או דיאגרמות ון. |
| 4 הבן כי ההסתברות לאירוע שלא מתרחש = 1 – ההסתברות לאירוע שמתרחש. | לדוגמה: $\text{P}(B) = 0.8$, חשב $\text{P}(B')$ |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
Probability 概率 measures how likely an event 事件 is. It runs on a scale from $0$ (impossible) to $1$ (certain), and can be written as a fraction, decimal or percentage. We write $\text{P}(A)$ for the probability of event $A$.
For equally likely outcomes 结果,
The probability that an event does not happen is
Worked example. A bag has $3$ red and $5$ blue counters. Find the probability of not drawing red.
הסתברות מדדה עד כמה אירוע סביר. היא נעה בסולם מ-$0$ (אפשר לא ייתכן) ל-$1$ (בטוח), וניתן לבטאה בשבר, עשרוני או אחוז. אנחנו כותבים $\text{P}(A)$ עבור ההסתברות של אירוע $A$.
לעבורים שווי-סיכוי,
ההסתברות לאירוע שלא מתרחש היא
דוגמה מופת. שקית מכילה $3$ מטבעות אדומים ו-$5$ מטבעות כחולים. מצאו את ההסתברות לא למשוך אדום.
Slide the marker from 0 (impossible) to 1 (certain) to place an event on the probability scale. · החלק את המסומן מ0 (בלתי אפשרי) ל1 (מוכרח) כדי למקם אירוע על קנה המידה האלגנטי. אל תשכח: קנה מידה הוא כלי להמרת נתונים, לא ערך עצמי!
| English | עברית |
|---|---|
| probability/ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | סבירות |
| event/ɪˈvent/ | אירוע |
| outcome/ˈaʊtkʌm/ | תוצאה |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand relative frequency as an estimate of probability. | e.g. use results of experiments with a spinner to estimate the probability of a given outcome. |
| 2 Calculate expected frequencies. | e.g. use probability to estimate an expected value from a population. Includes understanding what is meant by fair, bias and random. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 הבן תדירות יחסית כאומד להסתברות. | לדוגמה: השתמש בתוצאות ניסויים עם מציינת כדי להעריך את ההסתברות לתוצאה נתונה. |
| 2 חשב תדירויות תוחזקות. | לדוגמה: השתמש בהסתברות כדי להעריך ערך תוחזק מתוך אוכלוסייה. כולל הבנה של המשמעות של הוגנות, טיוח ואקראיות. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand relative frequency as an estimate of probability. | e.g. use results of experiments with a spinner to estimate the probability of a given outcome. |
| 2 Calculate expected frequencies. | e.g. use probability to estimate an expected value from a population. |
| Includes understanding what is meant by fair, bias and random. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 הבן תדירות יחסית כאומד להסתברות. | לדוגמה: השתמש בתוצאות ניסויים עם מציינת כדי להעריך את ההסתברות לתוצאה נתונה. |
| 2 חשב תדירויות צפויות. | לדוגמה: השתמש בהסתברות כדי להעריך ערך צפוי מאוכלוסייה. |
| כולל הבנת המשמעות של הוגנות, טויה ואקראיות. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
When outcomes are not equally likely, do an experiment. The relative frequency 相对频率 estimates the probability:
The more trials you do, the better the estimate. A fair 公平 object gives equal chances; one with bias 偏倚 does not; random 随机 means each outcome happens by chance.
The expected frequency 期望频数 is how many times you expect an event in $n$ trials:
Worked example. The probability of rolling a six is $\tfrac{1}{6}$. How many sixes are expected in $300$ rolls?
כאשר עברים אינם שוווי-סיכוי, מבצעים ניסוי. התדר היחסי מעריך את ההסתברות:
ככל שבוצעתם יותר ניסויים, כך ההערכה טובה יותר. אובייקט הוגן נותן סיכויים שווים; אחד עם שיפוע אינו נותן; אקראי משמעו שכל עובר מתרחש באקרא.
התדר הצפוי הוא כמה פעמים צפויים לאירוע ב-$n$ ניסויים:
דוגמא פתורה. ההסתברות לקבלת שש היא $\tfrac{1}{6}$. כמה ששים צפויות ב$300$ הטלות?
Roll the two dice many times: the bars start jumpy but settle into the theoretical triangle peaking at 7 — experimental probability closing in on theory. · השלך את שתי הקוביות מספר רב של פעמים: הפסים מתחילים להיות תנודתיים אך יציבים לתוך המשולש התאורטי עם שיא ב-7 — ההסתברות האמפירית מתקרבת לתאוריה.
| English | עברית |
|---|---|
| relative frequency/ˈrelətɪv ˈfriːkwənsi/ | תדירות יחסית |
| fair/feə/ | יריד |
| bias/ˈbaɪəs/ | שיפוטיות |
| random/ˈrændəm/ | אקראי |
| expected frequency/ekˈspektɪd ˈfriːkwənsi/ | תדירות צפויה |
| combined events/kəmˈbaɪnd ɪˈvents/ | אירועים משולבים |
| independent events/ˌɪndɪˈpendənt ɪˈvents/ | אירועים בלתי תלויים |
| mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/ | בלתי תלויים הדדית |
| sample space diagram/ˈsæmpl speɪs ˈdaɪəɡræm/ | תרשים חלל דגימה |
| Venn diagram/ven ˈdaɪəɡræm/ | תרשים ון |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Calculate the probability of combined events using, where appropriate: • sample space diagrams • Venn diagrams • tree diagrams. | Combined events will only be with replacement. |
| Venn diagrams will be limited to two sets. | |
| In tree diagrams, outcomes will be written at the end of the branches and probabilities by the side of the branches. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| חשב את ההסתברות של אירועים משולבים באמצעות, כאשר רלוונטי: • תרשימי מרחב דגימה • תרשימי ון • תרשימי עץ. | אירועים משולבים יהיו רק עם החזרה. |
| תרשימי ון יוגבלו לשתי קבוצות. | |
| בתרשימי עץ, התוצאות יכתבו בקצוות הענפים וההסתברות בצד הענפים. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Calculate the probability of combined events using, where appropriate: • sample space diagrams • Venn diagrams | Combined events could be with or without replacement. |
| The notation $\text{P}(A \cap B)$ and $\text{P}(A \cup B)$ may be used in the context of Venn diagrams. | |
| • tree diagrams. | On tree diagrams outcomes will be written at the end of branches and probabilities by the side of the branches. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| לחשב את ההסתברות של אירועים משולבים באמצעות, כשהדבר מתאים: • טבלאות מרחב דגימה • דיאגרמות ון | אירועים משולבים עשויים להיות עם או בלי החזרה. |
| הסימון $\text{P}(A \cap B)$ והסימון $\text{P}(A \cup B)$ עשויים לשמש בהקשר של דיאגרמות ון. | |
| • דיאגרמות עץ. | על דיאגרמות עץ התוצאות ייכתבו בקצוות הענפים וההסתברות בצד הענפים. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
For two or more events together (combined events 组合事件), two rules help:
Three pictures help you organise the work.
A sample space diagram 样本空间图 is a table or grid listing every possible outcome — useful for two dice or two spinners. Count the outcomes you want out of the total.
A Venn diagram 维恩图 sorts outcomes into overlapping sets. From it you can read $\text{P}(A \cap B)$ (in both) and $\text{P}(A \cup B)$ (in either).
A tree diagram 树状图 shows each stage as a set of branches. Write the probability on each branch and the outcome at the end. Multiply along the branches, then add the paths you want.
Worked example (with replacement). From the bag ($3$ red, $5$ blue), a counter is drawn, replaced, then a second is drawn. This is with replacement 有放回, so the chances do not change. Find the probability of two reds.
Worked example (without replacement, Extended). Now the first counter is not replaced — drawing without replacement 无放回. After one red is taken, $2$ reds remain out of $7$:
עבור שני אירועים או יותר יחד (אירועים משולבים), שתי כללים עוזרים:
שלושה תמונות עוזרות לך לארגן את העבודה.
טבלת מרחב דגימה היא טבלה או רשת המפרטת כל תוצאה אפשרית — שימושי לשני קוביות או שני סביבונים. ספור את התוצאות הרצויות מתוך הסך הכל.
דיאגרמת ון מחלקת תוצאות לקבוצות חופפות. ממנה ניתן לקרוא $\text{P}(A \cap B)$ (בשתי הקבוצות) ו$\text{P}(A \cup B)$ (באחת מהן או בשתייהן).
דיאגרמת עץ מציגה כל שלב כסט של ענפים. כתוב את ההסתברות בכל ענף ואת התוצאה בסוף. כפל לאורך הענפים, ואז חבר את הנתיבים הרצויים.
דוגמא פתורה (עם החזרה). מהתיק ($3$ אדומים, $5$ כחולים), נשלף סימן, מוחזר, ולאחר מכן נשלף סימן שני. זוהי החזרה, ולכן הסיכויים אינם משתנים. מצא את ההסתברות לשני אדומים.
דוגמה מופת (ללא החזרה, הרחבה). כעת האות המסומן הראשון אינו מוחזר — גרירה ללא החזרה. לאחר שהוצא אדום אחד, נותרו $2$ אדומים מתוך $7$:
Multiply the probabilities along each branch; the four outcomes always add up to 1. · כפלו את ההסברות לאורך כל ветב; ארבעת התוצאות תמיד סוכמות ל-1.
P(A ∩ B) = P(A)·P(B|A)
Combine two events: the area model shows AND (overlap) versus OR (union). · שלב שני אירועים: מודל השטח מראה AND (חפיפה) לעומת OR (איחוד).
| English | עברית |
|---|---|
| tree diagram/triː ˈdaɪəɡræm/ | תרשים עצים |
| with replacement/wɪð rɪˈpleɪsmənt/ | חזרה למכל |
| without replacement/wɪˈðaʊt rɪˈpleɪsmənt/ | ללא החזרה |
| conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | הסתברות מותנית |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Calculate conditional probability using Venn diagrams, tree diagrams and tables. | Knowledge of notation, $\text{P}(A|B)$, and formulas relating to conditional probability is not required. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| לחשב הסתברות תנאיית באמצעות דיאגרמות ון, דיאגרמות עץ וטבלאות. | ידע בסימון, $\text{P}(A|B)$, ובנוסחאות הקשורות להסתברות תנאיית אינו נדרש. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
Conditional probability 条件概率 is the probability of one event given that another has already happened. Read it from a Venn diagram, two-way table or tree diagram by looking only at the part that matches the condition.
Worked example. In a class of $30$, $18$ study French and, of those, $7$ also study German. A French student is picked. Find the probability they also study German.
Look only at the $18$ French students:
הסבר סטטיסטי הוא ההסבר של אירוע מסוים בתנאי שאירוע אחר כבר התרחש. קראו אותו ממפת ון, טבלה דו-כיוונית או דיאגרמת עץ על ידי הצבטת מבט רק בחלק שמתאים לתנאי.
דוגמה מופת. בכיתה של $30$ תלמידים, $18$ לומדים צרפתית, ומתוכם, $7$ לומדים גם גרמנית. נבחר תלמיד לומד צרפתית. מצאו את ההסבר שהוא לומד גם גרמנית.
הסתכלו רק ב$18$ תלמידי הצרפתית:
Change the branch probabilities and read combined and conditional probabilities off the tree. · שנה את הסבירויות של הענפים וקרא סבירויות משולבות ותנאייות מהעץ.
This handout covers Topic 9, Statistics. Parts marked (Extended) are only tested on the Extended papers; everything else is for both levels.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Classify and tabulate statistical data. | e.g. tally tables, two-way tables. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| סוגן וטבלא נתונים סטטיסטיים. | לדוגמה: טבלאות סימנים, טבלאות דו-כיווניות. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Read, interpret and draw inferences from tables and statistical diagrams. | |
| 2 Compare sets of data using tables, graphs and statistical measures. | e.g. compare averages and ranges between two data sets. |
| 3 Appreciate restrictions on drawing conclusions from given data. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 קרא, פרש והסק מסקנות מטבלות וגרפים סטטיסטיים. | |
| 2 השווה בין קבוצות נתונים באמצעות טבלות, גרפים ומדדים סטטיסטיים. | לדוגמה: השווה בין ממוצעים וטווחים בין שתי ערכות נתונים. |
| 3 התעלם מגבלות בהסקת מסקנות מנתונים נתונים. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Read, interpret and draw inferences from tables and statistical diagrams. | |
| 2 Compare sets of data using tables, graphs and statistical measures. | e.g. compare averages and measures of spread between two data sets. |
| 3 Appreciate restrictions on drawing conclusions from given data. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 קרא, פרש והסק מסקנות מטבלות וגרפים סטטיסטיים. | |
| 2 השוואת קבוצות נתונים באמצעות טבלאות, גרפים ומדדים סטטיסטיים. | לדוגמה: השוואת ממוצעים ומדדי פיזור בין שתי קבוצות נתונים. |
| 3 התעלם מגבלות בהסקת מסקנות מנתונים נתונים. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
To organise statistical 统计 data 数据, use:
When you read a diagram, only draw conclusions the data really supports.
Follow a statistical question from collection to display. · מעקב אחר שאלה סטטיסטית מאיסוף ועד להצגה.
| English | עברית |
|---|---|
| statistical/stəˈtɪstɪkl/ | סטטיסטי |
| data/ˈdeɪtə/ | נתונים |
| tally table/ˈtælɪ ˈteɪbl/ | טבלת סימנים |
| two-way table/tuː weɪ ˈteɪbl/ | טבלה דו-כיוונית |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Calculate the mean, median, mode and range for individual data and distinguish between the purposes for which these are used. | Data may be in a list or frequency table, but will not be grouped. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| חשב ממוצע, חציון, מודה וטווח לנתונים פרטיים והבחן בין המטרות שבהן משתמשים בכל אחד מהם. | הנתונים יכולים להיות ברשימה או בטבלת תדירות, אך לא יהיו מקבוצות. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Calculate the mean, median, mode, quartiles, range and interquartile range for individual data and distinguish between the purposes for which these are used. | |
| 2 Calculate an estimate of the mean for grouped discrete or grouped continuous data. | |
| 3 Identify the modal class from a grouped frequency distribution. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 לחשב את הממוצע, התיכון, המוד, הרביעיות, הטווח והטווח הרביעי עבור נתונים בודדים ולהבחין בין המטרות שבהם משמשים אותם. | |
| 2 לחשב הערכה של הממוצע עבור נתונים מפוקדים (discrete) או רציף מפוקד (continuous). | |
| 3 לזהות את מחלקת המוד מתוך חלוקת תדירות מפוקדת. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
Three averages describe a typical value of the data, and the range shows how spread out it is. Each is used for a different purpose:
Worked example. Find the mean, median, mode and range of $4, 7, 7, 2, 5$.
Order the data: $2, 4, 5, 7, 7$.
Choose the average that fits the data situation. · בחר את הממוצע המתאים למצב הנתונים.
| English | עברית |
|---|---|
| mean/miːn/ | ממוצע |
| median/ˈmiːdiːən/ | חציון |
| mode/məʊd/ | מודוס (תדירות השכיחה ביותר) |
| range/reɪndʒ/ | טווח |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Calculate the mean, median, mode and range for individual data and distinguish between the purposes for which these are used. | Data may be in a list or frequency table, but will not be grouped. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| חשב ממוצע, חציון, מודה וטווח לנתונים פרטיים והבחן בין המטרות שבהן משתמשים בכל אחד מהם. | הנתונים יכולים להיות ברשימה או בטבלת תדירות, אך לא יהיו מקבוצות. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Calculate the mean, median, mode, quartiles, range and interquartile range for individual data and distinguish between the purposes for which these are used. | |
| 2 Calculate an estimate of the mean for grouped discrete or grouped continuous data. | |
| 3 Identify the modal class from a grouped frequency distribution. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 לחשב את הממוצע, התיכון, המוד, הרביעיות, הטווח והטווח הרביעי עבור נתונים בודדים ולהבחין בין המטרות שבהם משמשים אותם. | |
| 2 לחשב הערכה של הממוצע עבור נתונים מפוקדים (discrete) או רציף מפוקד (continuous). | |
| 3 לזהות את מחלקת המוד מתוך חלוקת תדירות מפוקדת. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
When data is listed with its frequency 频数 (how many times each value occurs), the mean is
Worked example. Values $1, 2, 3$ occur with frequencies $4, 5, 1$. Find the mean.
For grouped data 分组数据, you cannot find the exact mean, so estimate it using the midpoint of each group as the value. The modal class 众数组 is simply the group with the highest frequency.
| English | עברית |
|---|---|
| frequency/ˈfriːkwənsi/ | תדר |
| grouped data/ɡruːpt ˈdeɪtə/ | נתונים מקובצים |
| modal class/ˈməʊdl klæs/ | קבוצה מודלית |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Calculate the mean, median, mode, quartiles, range and interquartile range for individual data and distinguish between the purposes for which these are used. | |
| 2 Calculate an estimate of the mean for grouped discrete or grouped continuous data. | |
| 3 Identify the modal class from a grouped frequency distribution. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 לחשב את הממוצע, התיכון, המוד, הרביעיות, הטווח והטווח הרביעי עבור נתונים בודדים ולהבחין בין המטרות שבהם משמשים אותם. | |
| 2 לחשב הערכה של הממוצע עבור נתונים מפוקדים (discrete) או רציף מפוקד (continuous). | |
| 3 לזהות את מחלקת המוד מתוך חלוקת תדירות מפוקדת. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
When data is in order, the quartiles 四分位数 cut it into four equal parts. The lower quartile (LQ) is one quarter of the way up; the upper quartile (UQ) is three quarters of the way up. The interquartile range 四分位距 measures the spread of the middle half:
The interquartile range is useful because, unlike the range, it ignores extreme values.
Build a box plot from the five-number summary: the box is the middle 50% (the interquartile range) and the median's position shows the skew. · בניית תרשים קופסה מתוך סיכום חמישת המספרים: הקופסה מייצגת את 50% האמצעיים (הטווח הרבעוני) ומיקום התיכון מצביע על עיוות הנתונים.
| English | עברית |
|---|---|
| quartile/ˈkwɔːtaɪl/ | רביעון |
| interquartile range/ˌɪntəˈkwɔːtaɪl reɪndʒ/ | טווח רביעי |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Draw and interpret: (a) bar charts (b) pie charts (c) pictograms (d) stem-and-leaf diagrams (e) simple frequency distributions. | Includes composite (stacked) and dual (side-by-side) bar charts. Stem-and-leaf diagrams should have ordered data with a key. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| שרטוט ופרשנות: (א) גרפי עמודות, (ב) גרפי עיגוליות, (ג) פיקטוגרמים, (ד) תרשימי גבעה ועלים, (ה) התפלגויות תדר פשוטות. | כולל גרפי עמודות מורכבים (ערוכים על גובה) וגרפי עמודות כפולים (צמודים זה לזה). תרשימי גבעה ועלים צריכים להכיל נתונים מסודרים עם מקרא. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
| Chart | What it shows |
|---|---|
| bar chart 条形图 | a bar for each category; height is the frequency |
| pie chart 饼图 | a circle split into slices, each a fraction of $360^{\circ}$ |
| pictogram 象形图 | uses a symbol to stand for a number of items |
| stem-and-leaf diagram 茎叶图 | keeps the digits of ordered data, with a key |
| frequency distribution 频数分布 | a table of values and their frequencies |
Worked example (pie chart). Out of $120$ people, $30$ chose tea. Find the angle of the tea slice.
Each slice's angle is its share of the whole turned into degrees — frequency ÷ total × 360 — and the slices always add to 360°. · זווית כל פרוסה היא חלקה מהכלל המומש לדרגות — תדירות ÷ סך הכל × 360 — והפרוסות תמיד מתחברות ל-360°.
Choose the chart that fits the kind of data. · בחר את התרשים שמתאים לסוג הנתונים.
| English | עברית |
|---|---|
| bar chart/bɑː tʃɑːt/ | גרף עמודים |
| pie chart/paɪ tʃɑːt/ | גרף עיגולים |
| pictogram/ˈpɪktəɡræm/ | פיקטוגרם |
| stem-and-leaf diagram/stem ænd liːf ˈdaɪəɡræm/ | תרשים עלים וענפים |
| frequency distribution/ˈfriːkwənsi ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | התפלגות תדירות |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Draw and interpret scatter diagrams. | Plotted points should be clearly marked, for example as small crosses (×). |
| 2 Understand what is meant by positive, negative and zero correlation. | |
| 3 Draw by eye, interpret and use a straight line of best fit. | A line of best fit: • should be a single ruled line drawn by inspection • should extend across the full data set • does not need to coincide exactly with any of the points but there should be a roughly even distribution of points either side of the line over its entire length. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 שרטוט ופרשנת תרשימי פיזור. | נקודות המיוצגות צריכות להיות סימון ברור, למשל כצלב קטן (×). |
| 2 הבנה של מהות הקורלציה החיובית, השלילית והאפס. | |
| 3 שרטוט בעין, פרשנות ושימוש בקו התאמה הטוב ביותר. | קו התאמה הטוב ביותר: • צריך להיות קו ישר אחד שנמשך באינספקציה • צריך להסתחבר לאורך כל数据集 הנתונים • אינו צריך להתאים בדיוק לכל נקודה, אך חייב להיות חלוקה מאוזנת בקירוב של נקודות משני צדי הקו לאורך כל אורכו. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Draw and interpret scatter diagrams. | Plotted points should be clearly marked, for example as small crosses (x). |
| 2 Understand what is meant by positive, negative and zero correlation. | |
| 3 Draw by eye, interpret and use a straight line of best fit. | A line of best fit: • should be a single ruled line drawn by inspection • should extend across the full data set • does not need to coincide exactly with any of the points but there should be a roughly even distribution of points either side of the line over its entire length. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 לצייר ולפרש דיאגרמות פיזור. | הנקודות המתוכתבות צריכות להיות מסומנות בבירור, לדוגמה כצלב קטן (x). |
| 2 הבנה של מהות הקורלציה החיובית, השלילית והאפס. | |
| 3 שרטוט בעין, פרשנות ושימוש בקו התאמה הטוב ביותר. | קו התאמה הטוב ביותר: • צריך להיות קו ישר אחד שנמשך באינספקציה • צריך להסתחבר לאורך כל数据集 הנתונים • אינו צריך להתאים בדיוק לכל נקודה, אך חייב להיות חלוקה מאוזנת בקירוב של נקודות משני צדי הקו לאורך כל אורכו. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
A scatter diagram 散点图 plots pairs of values as points to show whether two things are linked. The link is the correlation 相关性:
If there is correlation, draw a line of best fit 最佳拟合线: one straight ruled line through the middle of the points, with about the same number of points on each side. Use it to predict values.
Change the strength of the relationship and add a line of best fit to spot the trend. · שנה את חוזק הקשר והוסף קו התאמה מיטבית כדי לזהות את הטרנד.
| English | עברית |
|---|---|
| scatter diagram/ˈskætə ˈdaɪəɡræm/ | דיאגרמת פיזור |
| correlation/ˌkɒrɪˈleɪʃn/ | קורלציה |
| positive correlation/ˈpɒzɪtɪv ˌkɒrɪˈleɪʃn/ | קורלציה חיובית |
| negative correlation/ˈneɡətɪv ˌkɒrɪˈleɪʃn/ | קורלציה שלילית |
| zero correlation/ˈzɪərəʊ ˌkɒrɪˈleɪʃn/ | אי-קורלציה |
| line of best fit/laɪn ɒv best fɪt/ | ישר התאמה מיטבית |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Draw and interpret cumulative frequency tables and diagrams. | Plotted points on a cumulative frequency diagram should be clearly marked, for example as small crosses (x), and be joined with a smooth curve. |
| 2 Estimate and interpret the median, percentiles, quartiles and interquartile range from cumulative frequency diagrams. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 לצייר ולפרש טבלאות ודיאגרמות תדירות מצטברת. | הנקודות המתוכתבות בדיאגרמת תדירות מצטברת צריכות להיות מסומנות בבירור, לדוגמה כצלב קטן (x), ומחוברות בקו חלק. |
| 2 להעריך ולפרש את התיכון, האחוזונים, הרביעיות והטווח הרביעי מתוך דיאגרמות תדירות מצטברת. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
The cumulative frequency 累积频数 is a running total of the frequencies. Plot it against the upper end of each class and join the points with a smooth curve.
From the curve you can read the median (at half the total), the quartiles (at one quarter and three quarters), and any percentile 百分位数 (for example, the $90$th percentile is at $90\%$ of the total).
Follow raw data into a cumulative frequency curve and percentile reading. · מעקב אחר הנתונים הראשוניים לתוך עקומת תדירות מצטברת וקריאת אחוזון.
| English | עברית |
|---|---|
| cumulative frequency/ˈkjuːmjʊlətɪv ˈfriːkwənsi/ | תדירות מצטברת |
| percentile/pəˈsentaɪl/ | אחוזון |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Draw and interpret histograms. | On histograms, the vertical axis is labelled 'Frequency density'. |
| 2 Calculate with frequency density. | Frequency density is defined as $\text{frequency density} = \text{frequency} \div \text{class width}$. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 שרטט ופרש היסטוגרמות. | בציר האנכי של היסטוגרמה מצוין 'צפיפות תדר'. |
| 2 חשב עם צפיפות תדר. | צפיפות התדר מוגדרת כ$\text{frequency density} = \text{frequency} \div \text{class width}$. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
A histogram 直方图 looks like a bar chart, but the bars can have different widths and the area of each bar (not its height) shows the frequency. The vertical axis is the frequency density 频数密度:
Worked example. A class has class width 组距 $10$ and frequency $25$. Find the frequency density.
With unequal class widths the bar height is frequency density, so the area (not the height) represents the frequency. · עם רוחבי קלאסים לא שווים, גובה העמודה הוא צפיפות התדירות, ולכן השטח (ולא הגובה) מייצג את התדירות.
| English | עברית |
|---|---|
| histogram/ˈhɪstəɡræm/ | היסטוגרמה |
| frequency density/ˈfriːkwənsi ˈdensɪti/ | צפיפות תדירות |
| class width/klæs wɪtθ/ | רוחב כיתה |
Loading subjects… · טוען נושאים…