Mathématiques A-Level · Topic 5 · Sujet 5
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Probabilités et Statistiques 1
Lancez un dé unique, et le résultat est n'importe quoi. Mais lancez-le des milliers de fois, ou mesurez les tailles de milliers de gens, et quelque chose de remarquable…
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This handout covers Topic 5: Probability & Statistics 概率统计 1. It is about describing data, counting choices, and working out the chance of events.
Cette fiche couvre le Sujet 5 : Probabilités & Statistiques 概率统计 1. Il s'agit de décrire des données, de compter des choix et de calculer la probabilité d'événements.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • select a suitable way of presenting raw statistical data, and discuss advantages and/or disadvantages that particular representations may have | |
| • draw and interpret stem-and-leaf diagrams, box-and-whisker plots, histograms and cumulative frequency graphs | Including back-to-back stem-and-leaf diagrams. |
| • understand and use different measures of central tendency (mean, median, mode) and variation (range, interquartile range, standard deviation) | e.g. in comparing and contrasting sets of data. |
| • use a cumulative frequency graph | e.g. to estimate medians, quartiles, percentiles, the proportion of a distribution above (or below) a given value, or between two values. |
| • calculate and use the mean and standard deviation of a set of data (including grouped data) either from the data itself or from given totals $\Sigma x$ and $\Sigma x^2$, or coded totals $\Sigma(x - a)$ and $\Sigma(x - a)^2$, and use such totals in solving problems which may involve up to two data sets. |
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| • choisir une méthode appropriée pour présenter des données statistiques brutes, et discuter des avantages et/ou inconvénients que peuvent avoir certaines représentations particulières | |
| • dessiner et interpréter des diagrammes tiges-feuilles, des boîtes à moustaches, des histogrammes et des graphiques de fréquence cumulative | Y compris les diagrammes tiges-feuilles dos-à-dos. |
| • comprendre et utiliser différentes mesures de tendance centrale (moyenne, médiane, mode) et de variation (étendue, étendue interquartile, écart-type) | p.ex. dans la comparaison et la confrontation d'ensembles de données. |
| • utiliser un graphique de fréquence cumulative | p.ex. pour estimer les médianes, les quartiles, les percentiles, la proportion d'une distribution au-dessus (ou en dessous) d'une valeur donnée, ou entre deux valeurs. |
| • calculer et utiliser la moyenne et l'écart-type d'un ensemble de données (y compris des données groupées), soit à partir des données elles-mêmes, soit à partir des totaux donnés $\Sigma x$ et $\Sigma x^2$, ou des totaux codés $\Sigma(x - a)$ et $\Sigma(x - a)^2$, et utiliser ces totaux pour résoudre des problèmes pouvant impliquer jusqu'à deux ensembles de données. |
Source: Cambridge International syllabus · Source : Programme Cambridge International
Choose a diagram that suits the data. You should be able to draw and read:
A measure of central tendency 集中趋势 is a single "middle" value:
A measure of variation 离散程度 shows how spread out the data is:
You often work from the totals $\sum x$ and $\sum x^2$. The square of the standard deviation is the variance 方差.
Worked example. For $10$ values, $\sum x = 50$ and $\sum x^2 = 300$. Find the mean and standard deviation.
Coding 编码 makes big numbers easier. Replace each value by $t=x-a$ for a convenient assumed mean 假定平均数 $a$. Then $\bar{x}=a+\bar{t}$, while the standard deviation is unchanged (shifting every value does not spread the data). So from the coded totals $\sum(x-a)$ and $\sum(x-a)^2$ you get $\bar x$ and $\sigma$ directly, and two data sets can be compared through their coded totals.
Choisissez un diagramme adapté aux données. Vous devez être capable de dessiner et de lire :
Une mesure de tendance centrale 集中趋势 est une seule valeur "centrale" :
Une mesure de variation 离散程度 montre à quel point les données sont dispersées :
On travaille souvent à partir des totaux $\sum x$ et $\sum x^2$. Le carré de l'écart-type est la variance 方差.
Exemple résolu. Pour $10$ valeurs, $\sum x = 50$ et $\sum x^2 = 300$. Trouvez la moyenne et l'écart type.
Codage 编码 rend les grands nombres plus faciles. Remplacer chaque valeur par $t=x-a$ pour une moyenne supposée 假定平均数 convenable $a$. Ensuite $\bar{x}=a+\bar{t}$, tandis que l'écart-type reste inchangé (décaler toutes les valeurs ne disperse pas les données). Donc, à partir des totaux codés $\sum(x-a)$ et $\sum(x-a)^2$, on obtient directement $\bar x$ et $\sigma$, et deux ensembles de données peuvent être comparés via leurs totaux codés.
P(−k < Z < k)
La dispersion est mesurée en écarts types — environ 68 % des données se situent dans 1 écart type, 95 % dans 2.
| English · Anglais | Chinese · Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| stem-and-leaf diagram/stem ænd liːf ˈdaɪəɡræm/ | 茎叶图 | jīng yè tú |
| back-to-back/bæk tə bæk/ | 背靠背 | bèi kào bèi |
| box-and-whisker plot/bɒks ænd ˈwɪskə plɒt/ | 箱线图 | xiāng xiàn tú |
| histogram/ˈhɪstəɡræm/ | 直方图 | zhí fāng tú |
| cumulative frequency/ˈkjuːmjʊlətɪv ˈfriːkwənsi/ | 累积频数 | lěi jī pín shuò |
| measure of central tendency/ˈmeʒə ɒv ˈsentrəl ˈtendənsi/ | 集中趋势 | jí zhōng qū shì |
| mean/miːn/ | 平均数 | píng jūn shù |
| median/ˈmiːdiːən/ | 中位数 | zhōng wèi shù |
| mode/məʊd/ | 众数 | zhòng shù |
| variation/ˌveərɪˈeɪʃn/ | 离散程度 | lí sàn chéng dù |
| variance/ˈveərɪəns/ | 方差 | fāng chà |
| Coding/ˈkəʊdɪŋ/ | 编码 | biān mǎ |
| assumed mean/əˈsjuːmd miːn/ | 假定平均数 | jiǎ dìng píng jūn shù |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • understand the terms permutation and combination, and solve simple problems involving selections | |
| • solve problems about arrangements of objects in a line, including those involving – repetition (e.g. the number of ways of arranging the letters of the word ‘NEEDLESS’) – restriction (e.g. the number of ways several people can stand in a line if two particular people must, or must not, stand next to each other). | Questions may include cases such as people sitting in two (or more) rows. Questions about objects arranged in a circle will not be included. |
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| • comprendre les termes permutation et combinaison, et résoudre des problèmes simples impliquant des sélections | |
| • résoudre des problèmes concernant l'arrangement d'objets en ligne, y compris ceux impliquant – la répétition (p.ex. le nombre de façons d'arranger les lettres du mot 'NEEDLESS') – la restriction (p.ex. le nombre de façons dont plusieurs personnes peuvent se tenir en ligne si deux personnes spécifiques doivent, ou ne doivent pas, se tenir côte à côte). | Les questions peuvent inclure des cas tels que des personnes assises en deux (ou plus) rangées. Les questions sur des objets disposés en cercle ne seront pas incluses. |
Source: Cambridge International syllabus · Source : Programme Cambridge International
A permutation 排列 is an arrangement where order matters; a combination 组合 is a selection where order does not matter. The numbers are
Worked example. How many different arrangements are there of the letters of the word NEEDLESS?
There are $8$ letters, with E repeated $3$ times and S repeated $2$ times:
Une permutation 排列 est un arrangement où l'ordre compte ; une combinaison 组合 est une sélection où l'ordre ne compte pas. Les nombres sont
Exemple résolu. Combien y a-t-il de dispositions différentes des lettres du mot NEEDLESS ?
Il y a $8$ lettres, avec E répété $3$ fois et S répété $2$ fois :
Choisissez si l'ordre importe dans un problème de dénombrement.
| English · Anglais | Chinese · Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| range (of data)/reɪndʒ/ | 极差 | jí chà |
| interquartile range/ˌɪntəˈkwɔːtaɪl reɪndʒ/ | 四分位距 | sì fēn wèi jù |
| standard deviation/ˈstændəd ˌdiːvɪˈeɪʃn/ | 标准差 | biāo zhǔn chà |
| permutation/ˌpɜːmjuːˈteɪʃn/ | 排列 | pái liè |
| combination/ˌkɒmbɪˈneɪʃn/ | 组合 | zǔ hé |
| mutually exclusive events/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv ɪˈvents/ | 互斥事件 | hù chì shì jiàn |
| independent events/ˌɪndɪˈpendənt ɪˈvents/ | 独立事件 | dú lì shì jiàn |
| conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | 条件概率 | tiáo jiàn gài lǜ |
| discrete random variable/dɪˈskriːt ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | 离散型随机变量 | lí sàn xíng suí jī biàn liàng |
| probability distribution table/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˌdɪstrɪˈbjuːʃn ˈteɪbl/ | 概率分布表 | gài lǜ fēn bù biǎo |
| expectation/ekspɪkˈteɪʃn/ | 期望 | qī wàng |
| binomial distribution/baɪˈnəʊmɪəl ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | 二项分布 | èr xiàng fēn bù |
| geometric distribution/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | 几何分布 | jǐ hé fēn bù |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| evaluate probabilities in simple cases by means of enumeration of equiprobable elementary events, or by calculation using permutations or combinations | e.g. the total score when two fair dice are thrown. e.g. drawing balls at random from a bag containing balls of different colours. |
| use addition and multiplication of probabilities, as appropriate, in simple cases | Explicit use of the general formula $\text{P}(A \cup B) = \text{P}(A) + \text{P}(B) - \text{P}(A \cap B)$ is not required. |
| understand the meaning of exclusive and independent events, including determination of whether events $A$ and $B$ are independent by comparing the values of $\text{P}(A \cap B)$ and $\text{P}(A) \times \text{P}(B)$ | |
| calculate and use conditional probabilities in simple cases. | e.g. situations that can be represented by a sample space of equiprobable elementary events, or a tree diagram. The use of $\text{P}(A|B) = \frac{\text{P}(A \cap B)}{\text{P}(B)}$ may be required in simple cases. |
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| évaluer les probabilités dans des cas simples par énumération d'événements élémentaires équiprobables, ou par calcul utilisant les permutations ou les combinaisons | p.ex. le score total lors du lancer de deux dés équitables. p.ex. tirage de billes au hasard depuis un sac contenant des billes de différentes couleurs. |
| utiliser l'addition et la multiplication des probabilités, selon le cas, dans des situations simples | L'utilisation explicite de la formule générale $\text{P}(A \cup B) = \text{P}(A) + \text{P}(B) - \text{P}(A \cap B)$ n'est pas requise. |
| comprendre la signification des événements exclusifs et indépendants, y compris la détermination du fait que les événements $A$ et $B$ sont indépendants en comparant les valeurs de $\text{P}(A \cap B)$ et $\text{P}(A) \times \text{P}(B)$ | |
| calculer et utiliser les probabilités conditionnelles dans des cas simples. | ex. situations qui peuvent être représentées par un espace échantillon d'événements élémentaires équiprobables, ou un arbre probabiliste. L'utilisation de $\text{P}(A|B) = \frac{\text{P}(A \cap B)}{\text{P}(B)}$ peut être requise dans des cas simples. |
Source: Cambridge International syllabus · Source : Programme Cambridge International
Find a probability by counting equally likely outcomes, or by using permutations and combinations. Combine probabilities with these rules:
Two events are mutually exclusive events 互斥事件 if they cannot both happen, and independent events 独立事件 if one happening does not change the chance of the other. To test independence, check whether $P(A \cap B) = P(A)\times P(B)$. A conditional probability 条件概率 is the chance of $A$ given that $B$ has happened: $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
Worked example. Events have $P(A) = 0.5$, $P(B) = 0.4$ and $P(A \cap B) = 0.2$. Are $A$ and $B$ independent?
Test: $P(A)\times P(B) = 0.5 \times 0.4 = 0.2 = P(A \cap B)$. The values are equal, so $A$ and $B$ are independent.
Trouver une probabilité en comptant les issues également probables, ou en utilisant des permutations et combinaisons. Combiner les probabilités avec ces règles :
Deux événements sont des événements mutuellement exclusifs 互斥事件 si ils ne peuvent pas se produire tous les deux, et des événements indépendants 独立事件 si la survenue de l'un ne change pas la chance de l'autre. Pour tester l'indépendance, vérifier si $P(A \cap B) = P(A)\times P(B)$. Une probabilité conditionnelle 条件概率 est la chance de $A$ sachant que $B$ s'est produit : $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
Exemple résolu. Des événements ont $P(A) = 0.5$, $P(B) = 0.4$ et $P(A \cap B) = 0.2$. $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
Test : $P(A)\times P(B) = 0.5 \times 0.4 = 0.2 = P(A \cap B)$. Les valeurs sont égales, donc $A$ et $B$ sont indépendants.
Changez les probabilités et lisez l'arbre. C'est ainsi que P(A et B) et la probabilité conditionnelle s'articulent.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| draw up a probability distribution table relating to a given situation involving a discrete random variable $X$, and calculate $\text{E}(X)$ and $\text{Var}(X)$ | |
| use formulae for probabilities for the binomial and geometric distributions, and recognise practical situations where these distributions are suitable models | Including the notations $\text{B}(n, p)$ and $\text{Geo}(p)$. $\text{Geo}(p)$ denotes the distribution in which $p_r = p(1 - p)^{r-1}$ for $r = 1, 2, 3, \dots$. |
| use formulae for the expectation and variance of the binomial distribution and for the expectation of the geometric distribution. | Proofs of formulae are not required. |
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| dresser une table de distribution de probabilité relative à une situation donnée impliquant une variable aléatoire discrète $X$, et calculer $\text{E}(X)$ et $\text{Var}(X)$ | |
| utiliser les formules pour les probabilités des distributions binomiale et géométrique, et reconnaître des situations pratiques où ces distributions constituent des modèles appropriés | Y compris les notations $\text{B}(n, p)$ et $\text{Geo}(p)$. $\text{Geo}(p)$ désigne la distribution dans laquelle $p_r = p(1 - p)^{r-1}$ pour $r = 1, 2, 3, \dots$. |
| utiliser les formules pour l'espérance et la variance de la distribution binomiale et pour l'espérance de la distribution géométrique. | La démonstration des formules n'est pas requise. |
Source: Cambridge International syllabus · Source : Programme Cambridge International
A discrete random variable 离散型随机变量 $X$ takes separate values, each with a probability. List them in a probability distribution table 概率分布表; the probabilities must add to $1$. Then the expectation 期望 (mean) and variance are
Two special models:
Worked example. $X \sim B(10, 0.3)$. Find $P(X = 2)$ and $E(X)$.
Une variable aléatoire discrète 离散型随机变量 $X$ prend des valeurs distinctes, chacune avec une probabilité. Les lister dans un tableau de distribution de probabilité 概率分布表 ; les probabilités doivent additionner à $1$. Ensuite l'espérance 期望 (moyenne) et la variance sont
Deux modèles spéciaux :
Exemple résolu. $X \sim B(10, 0.3)$. Trouver $P(X = 2)$ et $E(X)$.
Changez n et p pour une distribution binomiale et observez les barres — la probabilité de chaque nombre de succès.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the use of a normal distribution to model a continuous random variable, and use normal distribution tables | Sketches of normal curves to illustrate distributions or probabilities may be required. |
| solve problems concerning a variable $X$, where $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, including: – finding the value of $P(X > x_1)$, or a related probability, given the values of $x_1$, $\mu$, $\sigma$. – finding a relationship between $x_1$, $\mu$ and $\sigma$ given the value of $P(X > x_1)$ or a related probability | For calculations involving standardisation, full details of the working should be shown. e.g. $Z = \frac{(X - \mu)}{\sigma}$ |
| recall conditions under which the normal distribution can be used as an approximation to the binomial distribution, and use this approximation, with a continuity correction, in solving problems. | $n$ sufficiently large to ensure that both $np > 5$ and $nq > 5$. |
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| comprendre l'utilisation d'une distribution normale pour modéliser une variable aléatoire continue, et utiliser les tables de distribution normale | Des croquis de courbes normales illustrant des distributions ou des probabilités peuvent être requis. |
| résoudre des problèmes concernant une variable $X$, où $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, y compris : – trouver la valeur de $P(X > x_1)$, ou une probabilité associée, étant donné les valeurs de $x_1$, $\mu$, $\sigma$. – trouver une relation entre $x_1$, $\mu$ et $\sigma$ étant donné la valeur de $P(X > x_1)$ ou une probabilité associée | Pour les calculs impliquant la standardisation, les détails complets du raisonnement doivent être fournis. p.ex. $Z = \frac{(X - \mu)}{\sigma}$ |
| rappeler les conditions sous lesquelles la distribution normale peut être utilisée comme approximation de la distribution binomiale, et utiliser cette approximation, avec une correction de continuité, pour résoudre des problèmes. | $n$ suffisamment grand pour s'assurer que $np > 5$ et $nq > 5$. |
Source: Cambridge International syllabus · Source : Programme Cambridge International
The normal distribution 正态分布 models a continuous random variable 连续型随机变量 with a symmetric bell shape. Write $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, where $\mu$ is the mean and $\sigma$ is the standard deviation. To use the tables, by standardisation 标准化 convert to the variable $Z \sim N(0, 1)$:
Then $P(X < x) = P\!\left(Z < \dfrac{x - \mu}{\sigma}\right)$, which you read from the normal table $\Phi$.
The normal distribution is also a good approximation 近似 to the binomial when $n$ is large. Because you replace a discrete variable by a continuous one, apply a continuity correction 连续性校正 (adjust by $0.5$).
Worked example. Bags of rice have mass $X \sim N(\mu, 0.14^2)$. Given that $P(X < 1.48) = 0.22$, find $\mu$.
From the table, $P(Z < z) = 0.22$ gives $z = -0.772$. So
La distribution normale 正态分布 modélise une variable aléatoire continue 连续型随机变量 avec une forme de cloche symétrique. Écrivez $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, où $\mu$ est la moyenne et $\sigma$ l'écart-type. Pour utiliser les tableaux, par standardisation 标准化, convertissez en la variable $Z \sim N(0, 1)$ :
Puis $P(X < x) = P\!\left(Z < \dfrac{x - \mu}{\sigma}\right)$, que vous lisez dans le tableau normal $\Phi$.
La distribution normale est aussi une bonne approximation 近似 de la binomiale lorsque $n$ est grand. Comme vous remplacez une variable discrète par une continue, appliquez une correction de continuité 连续性校正 (ajustez de $0.5$).
Exemple résolu. Les sacs de riz ont une masse $X \sim N(\mu, 0.14^2)$. Sachant que $P(X < 1.48) = 0.22$, trouvez $\mu$.
D'après le tableau, $P(Z < z) = 0.22$ donne $z = -0.772$. Donc
Ombrez l'aire pour trouver une probabilité. Une valeur z mesure combien d'écarts-types un point est éloigné de la moyenne.
| English · Anglais | Chinese · Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| normal distribution/ˈnɔːml ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | 正态分布 | zhèng tài fēn bù |
| continuous random variable/kənˈtɪnjuːəs ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | 连续型随机变量 | lián xù xíng suí jī biàn liàng |
| standardisation/ˌstændədaɪˈzeɪʃn/ | 标准化 | biāo zhǔn huà |
| approximation/əˌprɒksɪˈmeɪʃn/ | 近似 | jìn sì |
| continuity correction/kɒntɪˈnjuːɪti kəˈrekʃn/ | 连续性校正 | lián xù xìng jiào zhèng |
| Probability & Statistics/ˌprɒbəˈbɪlɪti ænd stəˈtɪstɪks/ | 概率统计 | gài lǜ tǒng jì |
| central tendency/ˈsentrəl ˈtendənsi/ | 集中趋势 | jí zhōng qū shì |
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Traversez-le étape par étape, avec des exercices à vérification instantanée.
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