Mathématiques A-Level · Topic 1 · Sujet 1
28:42
Mathématiques Pures 1
Regardez un grand pont suspendu. Son câble immense n'a pas une forme aléatoire — il pend dans une parabole parfaite, une courbe que vous pouvez écrire avec une seule équation. Le…
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This handout covers Topic 1: Pure Mathematics 纯数学 1. It is the algebra 代数 and calculus 微积分 core of the course. Each ## section is one syllabus subtopic.
Cette fiche couvre le Topic 1 : Mathématiques Pures 纯数学 1. C'est le cœur algébrique 代数 et calcul 微积分 du cours. Chaque ## section est un sous-thème du programme.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| carry out the process of completing the square for a quadratic polynomial $ax^2 + bx + c$ and use a completed square form | e.g. to locate the vertex of the graph of $y = ax^2 + bx + c$ or to sketch the graph |
| find the discriminant of a quadratic polynomial $ax^2 + bx + c$ and use the discriminant | e.g. to determine the number of real roots of the equation $ax^2 + bx + c = 0$. Knowledge of the term ‘repeated root’ is included. |
| solve quadratic equations, and quadratic inequalities, in one unknown | By factorising, completing the square and using the formula. |
| solve by substitution a pair of simultaneous equations of which one is linear and one is quadratic | e.g. $x + y + 1 = 0$ and $x^2 + y^2 = 25$, $2x + 3y = 7$ and $3x^2 = 4 + 4xy$. |
| recognise and solve equations in $x$ which are quadratic in some function of $x$. | e.g. $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$, $6x + \sqrt{x} - 1 = 0$, $\tan^2 x = 1 + \tan x$. |
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| effectuer le processus de mise en carré complet pour un polynôme quadratique $ax^2 + bx + c$ et utiliser une forme complétée | ex. : pour localiser le sommet de la courbe de $y = ax^2 + bx + c$ ou pour tracer la courbe |
| trouver le discriminant d'un polynôme quadratique $ax^2 + bx + c$ et utiliser le discriminant | ex. : pour déterminer le nombre de racines réelles de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$. La connaissance du terme « racine double » est incluse. |
| résoudre des équations quadratiques et des inéquations quadratiques à une inconnue | Par factorisation, mise en carré complet et utilisation de la formule. |
| résoudre par substitution un système de deux équations simultanées dont l'une est linéaire et l'autre quadratique | ex. : $x + y + 1 = 0$ et $x^2 + y^2 = 25$, $2x + 3y = 7$ et $3x^2 = 4 + 4xy$. |
| reconnaître et résoudre des équations en $x$ qui sont quadratiques par rapport à une fonction de $x$. | ex. : $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$, $6x + \sqrt{x} - 1 = 0$, $\tan^2 x = 1 + \tan x$. |
Source: Cambridge International syllabus · Source : Programme Cambridge International
A quadratic 二次式 is an expression of the form $ax^2 + bx + c$, where $a \neq 0$. The letters $a$, $b$, $c$ are the coefficients 系数 (the fixed numbers). Much of this section is about solving the equation $ax^2 + bx + c = 0$.
To complete the square 配方 means to write the quadratic in the form
Worked example. Write $9x^2 - 36x + 8$ in the form $p(x + q)^2 + r$.
Take the factor $9$ out of the first two terms, then complete the square inside:
The discriminant 判别式 of $ax^2 + bx + c$ is
| Discriminant | Roots |
|---|---|
| $b^2 - 4ac > 0$ | two distinct 相异 real roots |
| $b^2 - 4ac = 0$ | one repeated real root |
| $b^2 - 4ac < 0$ | no real roots |
Worked example. Find the values of the constant $k$ for which $3kx^2 + (k + 8)x + 3 = 0$ has two distinct real roots.
Here $a = 3k$, $b = k + 8$, $c = 3$. For two distinct real roots you need $b^2 - 4ac > 0$:
To solve a quadratic equation 二次方程, factorise, complete the square, or use the formula
To solve a pair of simultaneous equations 联立方程 where one is linear and one is quadratic, use substitution 代入: rearrange the linear equation for one letter, then put that into the quadratic. This gives a single quadratic to solve.
Some equations are quadratic in some function of $x$. For example $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ is quadratic in $x^2$: let $u = x^2$, solve $u^2 - 5u + 4 = 0$, then go back to $x$. You will use this idea again in trigonometry.
Un quadratique 二次式 est une expression de la forme $ax^2 + bx + c$, où $a \neq 0$. Les lettres $a$, $b$, $c$ sont les coefficients 系数 (les nombres fixes). Une grande partie de cette section porte sur la résolution de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$.
Mettre sous forme carrée 配方 signifie écrire le quadratique sous la forme
Exemple résolu. Écrire $9x^2 - 36x + 8$ sous la forme $p(x + q)^2 + r$.
Sortir le facteur $9$ des deux premiers termes, puis mettre le carré à l'intérieur :
Le discriminant 判别式 de $ax^2 + bx + c$ est
| Discriminant | Racines |
|---|---|
| $b^2 - 4ac > 0$ | deux racines réelles distinctes 相异 |
| $b^2 - 4ac = 0$ | une racine réelle double |
| $b^2 - 4ac < 0$ | pas de racines réelles |
Exemple résolu. Trouver les valeurs de la constante $k$ pour lesquelles $3kx^2 + (k + 8)x + 3 = 0$ a deux racines réelles distinctes.
Ici $a = 3k$, $b = k + 8$, $c = 3$. Pour deux racines réelles distinctes, il faut $b^2 - 4ac > 0$ :
Pour résoudre une équation du second degré 二次方程, factoriser, mettre sous forme de carré parfait, ou utiliser la formule
Pour résoudre un système de deux équations simultanées 联立方程 où l'une est linéaire et l'autre quadratique, utiliser la substitution 代入 : réarranger l'équation linéaire pour exprimer une variable, puis substituer cette expression dans l'équation quadratique. Cela donne une seule équation du second degré à résoudre.
Certaines équations sont du second degré par rapport à une fonction de $x$. Par exemple $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ est du second degré par rapport à $x^2$ : posons $u = x^2$, résolvons $u^2 - 5u + 4 = 0$, puis revenons à $x$. Vous utiliserez cette idée à nouveau en trigonométrie.
y = ax² + bx + c
Faites glisser a, b et c. Observez le sommet, l'axe de symétrie et les racines (où il coupe l'axe x) bouger lorsque les coefficients changent.
| English · Anglais | Chinese · Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| Pure Mathematics/pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | 纯数学 | chún shù xué |
| quadratic/kwɒˈdrætɪk/ | 二次式 | èr cì shì |
| complete the square/kəmˈpliːt ðə skweə/ | 配方 | pèi fāng |
| vertex/ˈvɜːteks/ | 顶点 | dǐng diǎn |
| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | 判别式 | pàn bié shì |
| real roots/rɪəl ruːts/ | 实根 | shí gēn |
| distinct/dɪˈstɪŋkt/ | 相异 | xiāng yì |
| quadratic equation/kwɒˈdrætɪk ɪˈkweɪʒn/ | 二次方程 | èr cì fāng chéng |
| quadratic inequality/kwɒˈdrætɪk ɪniːˈkwɒlɪti/ | 二次不等式 | èr cì bù děng shì |
| simultaneous equations/ˌsɪməlˈteɪnɪəs ɪˈkweɪʒnz/ | 联立方程 | lián lì fāng chéng |
| substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | 代入 | dài rù |
| function/ˈfʌŋkʃn/ | 函数 | hán shù |
| composition of functions/ˌkɒmpəˈzɪʃn ɒv ˈfʌŋkʃnz/ | 复合函数 | fù hé hán shù |
| range/reɪndʒ/ | 值域 | zhí yù |
| one-one/wʌn wʌn/ | 一一对应 | yī yī duì yìng |
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | 反函数 | fǎn hán shù |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | 系数 | xì shù |
| parabola/pəˈræbələ/ | 抛物线 | pāo wù xiàn |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the terms function, domain, range, one-one function, inverse function and composition of functions | |
| identify the range of a given function in simple cases, and find the composition of two given functions | e.g. range of $f : x \mapsto \frac{1}{x}$ for $x \geqslant 1$ and range of $g : x \mapsto x^2 + 1$ for $x \in \mathbb{R}$. Including the condition that a composite function $gf$ can only be formed when the range of $f$ is within the domain of $g$. |
| determine whether or not a given function is one-one, and find the inverse of a one-one function in simple cases | e.g. finding the inverse of $h : x \mapsto (2x + 3)^2 - 4$ for $x < -\frac{3}{2}$. |
| illustrate in graphical terms the relation between a one-one function and its inverse | Sketches should include an indication of the mirror line $y = x$. |
| understand and use the transformations of the graph of $y = f(x)$ given by $y = f(x) + a$, $y = f(x + a)$, $y = af(x)$, $y = f(ax)$ and simple combinations of these. | Including use of the terms ‘translation’, ‘reflection’ and ‘stretch’ in describing transformations. Questions may involve algebraic or trigonometric functions, or other graphs with given features. |
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| comprendre les termes fonction, domaine, ensemble image, fonction bijective, fonction réciproque et composition de fonctions | |
| identifier l'ensemble image d'une fonction donnée dans des cas simples, et trouver la composition de deux fonctions données | ex. : ensemble image de $f : x \mapsto \frac{1}{x}$ pour $x \geqslant 1$ et ensemble image de $g : x \mapsto x^2 + 1$ pour $x \in \mathbb{R}$. Y compris la condition qu'une fonction composée $gf$ ne peut être formée que lorsque l'image de $f$ est contenue dans le domaine de $g$. |
| déterminer si une fonction donnée est bijective et trouver la réciproque d'une fonction bijective dans des cas simples | ex. : trouver la réciproque de $h : x \mapsto (2x + 3)^2 - 4$ pour $x < -\frac{3}{2}$. |
| illustrer graphiquement la relation entre une fonction bijective et sa réciproque | Les croquis doivent indiquer la droite de symétrie $y = x$. |
| comprendre et utiliser les transformations de la courbe de $y = f(x)$ données par $y = f(x) + a$, $y = f(x + a)$, $y = af(x)$, $y = f(ax)$ et leurs combinaisons simples. | Y compris l'utilisation des termes « translation », « réflexion » et « étirement » pour décrire les transformations. Les questions peuvent porter sur des fonctions algébriques ou trigonométriques, ou d'autres courbes présentant des caractéristiques données. |
Source: Cambridge International syllabus · Source : Programme Cambridge International
A function 函数 is a rule that sends each input to exactly one output. Write it as $f(x)$. The composition of functions 复合函数 $fg(x)$ means apply $g$ first, then apply $f$ to the result.
A function is one-one 一一对应 if different inputs always give different outputs. (No output is repeated.) Only a one-one function has an inverse function 反函数 $f^{-1}$, which reverses the rule.
The composition 复合 of two functions means doing one after the other. $fg(x)$ means "do $g$ first, then $f$": $fg(x) = f(g(x))$. The composite function $fg$ exists only when the range of $g$ lies inside the domain of $f$.
To find $f^{-1}$: write $y = f(x)$, make $x$ the subject, then swap letters.
Worked example. The function $f(x) = (x + 3)^2 - 12$ is defined for $x \geqslant 0$. Find $f^{-1}(x)$.
Write $y = (x + 3)^2 - 12$ and solve for $x$:
The graph of $y = f^{-1}(x)$ is the reflection 反射 of $y = f(x)$ in the line $y = x$.
You should know these transformations 变换 of $y = f(x)$:
| New equation | Effect on the graph |
|---|---|
| $y = f(x) + a$ | translation 平移 up by $a$ |
| $y = f(x + a)$ | translation left by $a$ |
| $y = a\,f(x)$ | stretch 伸缩 in the $y$-direction, scale factor $a$ |
| $y = f(ax)$ | stretch in the $x$-direction, scale factor $\tfrac{1}{a}$ |
When two transformations are combined, the order can matter. State each one fully (type, direction, and amount).
Une fonction 函数 est une règle qui associe à chaque entrée exactement une sortie. On l'écrit sous la forme $f(x)$. La composition de fonctions 复合函数 $fg(x)$ signifie appliquer $g$ en premier, puis appliquer $f$ au résultat.
Une fonction est bijective (ou un-à-un) 一一对应 si différentes entrées donnent toujours des sorties différentes. (Aucune sortie n'est répétée.) Seule une fonction bijective admet une fonction réciproque 反函数 $f^{-1}$, qui inverse la règle.
La composition 复合 de deux fonctions consiste à en effectuer une après l'autre. $fg(x)$ signifie "faire $g$ en premier, puis $f$" : $fg(x) = f(g(x))$. La fonction composée $fg$ n'existe que si l'image de $g$ est incluse dans le domaine de $f$.
Pour trouver $f^{-1}$ : écrire $y = f(x)$, isoler $x$ comme sujet, puis échanger les lettres.
Exemple commenté. La fonction $f(x) = (x + 3)^2 - 12$ est définie pour $x \geqslant 0$. Trouver $f^{-1}(x)$.
Écrire $y = (x + 3)^2 - 12$ et résoudre pour $x$ :
Le graphe de $y = f^{-1}(x)$ est la réflexion 反射 de $y = f(x)$ par rapport à la droite $y = x$.
Vous devez connaître ces transformations 变换 de $y = f(x)$ :
| Nouvelle équation | Effet sur le graphe |
|---|---|
| $y = f(x) + a$ | translation 平移 vers le haut de $a$ |
| $y = f(x + a)$ | translation vers la gauche de $a$ |
| $y = a\,f(x)$ | étirement 伸缩 dans la direction $y$, facteur d'échelle $a$ |
| $y = f(ax)$ | étirement dans la direction $x$, facteur d'échelle $\tfrac{1}{a}$ |
Lorsque deux transformations sont combinées, l'ordre peut compter. Indiquez chacune complètement (type, direction et quantité).
y = ax³ + bx² + cx + d
Une fonction transforme chaque entrée en exactement une sortie — faites glisser les coefficients et observez où la courbe monte et descend.
| English · Anglais | Chinese · Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| domain/dəˈmeɪn/ | 定义域 | dìng yì yù |
| composition/ˌkɒmpəˈzɪʃn/ | 复合 | fù hé |
| reflection/rɪˈflekʃn/ | 反射 | fǎn shè |
| transformations/trænsfɔːˈmeɪʃnz/ | 变换 | biàn huàn |
| translation/trænˈsleɪʃn/ | 平移 | píng yí |
| stretch/stretʃ/ | 伸缩 | shēn suō |
| Coordinate geometry/kəʊˈɔːdɪnət dʒiˈɒmətri/ | 坐标几何 | zuò biāo jǐ hé |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| find the equation of a straight line given sufficient information | e.g. given two points, or one point and the gradient. |
| interpret and use any of the forms $y = mx + c$, $y - y_1 = m(x - x_1)$, $ax + by + c = 0$ in solving problems | Including calculations of distances, gradients, midpoints, points of intersection and use of the relationship between the gradients of parallel and perpendicular lines. |
| understand that the equation $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ represents the circle with centre $(a, b)$ and radius $r$ | Including use of the expanded form $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$. |
| use algebraic methods to solve problems involving lines and circles | Including use of elementary geometrical properties of circles, e.g. tangent perpendicular to radius, angle in a semicircle, symmetry. Implicit differentiation is not included. |
| understand the relationship between a graph and its associated algebraic equation, and use the relationship between points of intersection of graphs and solutions of equations. | e.g. to determine the set of values of $k$ for which the line $y = x + k$ intersects, touches or does not meet a quadratic curve. |
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| trouver l'équation d'une droite étant donné suffisamment d'informations | ex. : étant donné deux points, ou un point et la pente. |
| interpréter et utiliser n'importe quelle des formes $y = mx + c$, $y - y_1 = m(x - x_1)$, $ax + by + c = 0$ pour résoudre des problèmes | Y compris les calculs de distances, de pentes, de milieux, de points d'intersection et l'utilisation de la relation entre les pentes de droites parallèles et perpendiculaires. |
| comprendre que l'équation $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ représente le cercle de centre $(a, b)$ et de rayon $r$ | Y compris l'utilisation de la forme développée $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$. |
| utiliser des méthodes algébriques pour résoudre des problèmes impliquant des droites et des cercles | Y compris l'utilisation de propriétés géométriques élémentaires des cercles, ex. : tangente perpendiculaire au rayon, angle dans un demi-cercle, symétrie. La différentiation implicite n'est pas incluse. |
| comprendre la relation entre une courbe et son équation algébrique associée, et utiliser la relation entre les points d'intersection des courbes et les solutions d'équations. | ex. : pour déterminer l'ensemble des valeurs de $k$ pour lesquelles la droite $y = x + k$ coupe, touche ou ne rencontre pas une courbe quadratique. |
Source: Cambridge International syllabus · Source : Programme Cambridge International
Coordinate geometry 坐标几何 studies lines and circles using their equations.
The gradient 斜率 (steepness) of the line joining $(x_1, y_1)$ and $(x_2, y_2)$ is
The circle 圆 with centre 圆心 $(a, b)$ and radius 半径 $r$ has equation
A tangent 切线 to a circle touches it at one point and is perpendicular to the radius at that point. This right-angle fact solves most circle problems.
Worked example. The points $P(1, 1)$ and $Q(7, 11)$ are the ends of a diameter 直径 of a circle. Find the equation of the circle.
The centre is the midpoint of $PQ$:
Géométrie analytique 坐标几何 étudie les droites et les cercles via leurs équations.
Le coefficient directeur (pente) 斜率 de la droite reliant $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$ est
Le cercle 圆 de centre 圆心 $(a, b)$ et de rayon 半径 $r$ a pour équation
Une tangente 切线 à un cercle le touche en un seul point et est perpendiculaire au rayon en ce point. Cette propriété d'angle droit résout la plupart des problèmes de géométrie circulaire.
Exemple commenté. Les points $P(1, 1)$ et $Q(7, 11)$ sont les extrémités d'un diamètre 直径 d'un cercle. Trouver l'équation du cercle.
Le centre est le milieu de $PQ$ :
y = ax + b
La pente a incline la droite ; l'ordonnée à l'origine b la déplace verticalement.
| English · Anglais | Chinese · Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| circle/ˈsɜːkl/ | 圆 | yuán |
| centre/ˈsentə/ | 圆心 | yuán xīn |
| radius/ˈreɪdɪəs/ | 半径 | bàn jìng |
| tangent/ˈtændʒənt/ | 切线 | qiè xiàn |
| diameter/daɪˈæmɪtə/ | 直径 | zhí jìng |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the definition of a radian, and use the relationship between radians and degrees | |
| use the formulae $s = r\theta$ and $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ in solving problems concerning the arc length and sector area of a circle. | Including calculation of lengths and angles in triangles and areas of triangles. |
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| comprendre la définition d'un radian, et utiliser la relation entre radians et degrés | |
| utiliser les formules $s = r\theta$ et $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ dans la résolution de problèmes concernant la longueur d'arc et l'aire de secteur d'un cercle. | Y compris le calcul de longueurs et d'angles dans des triangles et d'aires de triangles. |
Source: Cambridge International syllabus · Source : Programme Cambridge International
A radian 弧度 is another way to measure angles. One radian is the angle at the centre of a circle that cuts off an arc 弧 equal in length to the radius. The link between radians and degrees 度 is
For a sector 扇形 with radius $r$ and angle $\theta$ in radians:
Worked example. A sector has centre $O$ and the angle at $O$ is $\tfrac{2}{3}\pi$ radians. Show that the segment cut off by the chord has area about $0.614 r^2$.
Un radian 弧度 est une autre manière de mesurer les angles. Un radian est l'angle au centre d'un cercle qui intercepte un arc 弧 dont la longueur est égale au rayon. Le lien entre radians et degrés 度 est
Pour un secteur 扇形 de rayon $r$ et d'angle $\theta$ en radians :
Exemple commenté. Un secteur a pour centre $O$ et l'angle en $O$ mesure $\tfrac{2}{3}\pi$ radians. Montrer que le segment coupé par la corde a une aire d'environ $0.614 r^2$.
Changez l'angle (en radians) et le rayon. Voyez la longueur de l'arc $s = r\theta$ et l'aire du secteur $\tfrac12 r^2\theta$ se mettre à jour.
| English · Anglais | Chinese · Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| radian/ˈreɪdɪən/ | 弧度 | hú dù |
| arc/ɑːk/ | 弧 | hú |
| degrees/dɪˈɡriːz/ | 度 | dù |
| sector/ˈsektə/ | 扇形 | shàn xíng |
| chord/kɔːd/ | 弦 | xián |
| segment/ˈseɡmənt/ | 弓形 | gōng xíng |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| sketch and use graphs of the sine, cosine and tangent functions (for angles of any size, and using either degrees or radians) | Including e.g. $y = 3 \sin x$, $y = 1 - \cos 2x$, $y = \tan(x + \frac{1}{4}\pi)$. |
| use the exact values of the sine, cosine and tangent of $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, and related angles | e.g. $\cos 150^\circ = -\frac{1}{2}\sqrt{3}$, $\sin \frac{3}{4}\pi = \frac{1}{\sqrt{2}}$. |
| use the notations $\sin^{-1} x$, $\cos^{-1} x$, $\tan^{-1} x$ to denote the principal values of the inverse trigonometric relations | No specialised knowledge of these functions is required, but understanding of them as examples of inverse functions is expected. |
| use the identities $\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \equiv \tan \theta$ and $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta \equiv 1$ | e.g. in proving identities, simplifying expressions and solving equations. |
| find all the solutions of simple trigonometrical equations lying in a specified interval (general forms of solution are not included). | e.g. solve $3 \sin 2x + 1 = 0$ for $-\pi < x < \pi$, $3 \sin^2 \theta - 5 \cos \theta - 1 = 0$ for $0^\circ \leqslant \theta \leqslant 360^\circ$. |
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| tracer et utiliser les graphes des fonctions sinus, cosinus et tangente (pour des angles de toute taille, et en utilisant soit des degrés soit des radians) | Y compris ex. : $y = 3 \sin x$, $y = 1 - \cos 2x$, $y = \tan(x + \frac{1}{4}\pi)$. |
| utiliser les valeurs exactes du sinus, du cosinus et de la tangente de $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, et des angles associés | ex. : $\cos 150^\circ = -\frac{1}{2}\sqrt{3}$, $\sin \frac{3}{4}\pi = \frac{1}{\sqrt{2}}$. |
| utiliser les notations $\sin^{-1} x$, $\cos^{-1} x$, $\tan^{-1} x$ pour désigner les valeurs principales des relations trigonométriques inverses | Aucune connaissance spécialisée de ces fonctions n'est requise, mais la compréhension de celles-ci comme exemples de fonctions réciproques est attendue. |
| utiliser les identités $\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \equiv \tan \theta$ et $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta \equiv 1$ | ex. : dans la preuve d'identités, la simplification d'expressions et la résolution d'équations. |
| trouver toutes les solutions d'équations trigonométriques simples situées dans un intervalle spécifié (les formes générales de solution ne sont pas comprises). | ex. : résoudre $3 \sin 2x + 1 = 0$ pour $-\pi < x < \pi$, $3 \sin^2 \theta - 5 \cos \theta - 1 = 0$ pour $0^\circ \leqslant \theta \leqslant 360^\circ$. |
Source: Cambridge International syllabus · Source : Programme Cambridge International
You must know the shape of the graphs of the sine 正弦, cosine 余弦 and tangent function 正切 (written $\sin$, $\cos$, $\tan$). The sine and cosine graphs wave between $-1$ and $1$ and repeat every $360^\circ$ ($2\pi$). Learn these exact values:
| $\theta$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ |
|---|---|---|---|
| $\sin\theta$ | $\tfrac12$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ |
| $\cos\theta$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac12$ |
| $\tan\theta$ | $\tfrac{1}{\sqrt3}$ | $1$ | $\sqrt3$ |
The notations $\sin^{-1}x$, $\cos^{-1}x$, $\tan^{-1}x$ mean the inverse angle (the principal value 主值).
An identity 恒等式 is true for every value of the angle. The two you must know are
To solve a trigonometric equation 三角方程, first reduce it to one function, then find every solution in the given interval.
Worked example. Solve $6\sin\theta = 1 + \dfrac{2}{\sin\theta}$ for $-180^\circ < \theta < 180^\circ$.
Multiply through by $\sin\theta$ to clear the fraction. This makes a quadratic in $\sin\theta$:
The four solutions are $\theta = -150^\circ,\ -30^\circ,\ 41.8^\circ,\ 138.2^\circ$.
Vous devez connaître la forme des graphes des fonctions sinus 正弦, cosinus 余弦 et tangent 正tan (notées $\sin$, $\cos$, $\tan$). Les graphes du sinus et du cosinus oscillent entre $-1$ et $1$ et se répètent tous les $360^\circ$ ($2\pi$). Apprenez ces valeurs exactes :
| $\theta$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ |
|---|---|---|---|
| $\sin\theta$ | $\tfrac12$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ |
| $\cos\theta$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac12$ |
| $\tan\theta$ | $\tfrac{1}{\sqrt3}$ | $1$ | $\sqrt3$ |
Les notations $\sin^{-1}x$, $\cos^{-1}x$, $\tan^{-1}x$ désignent l'angle inverse (la valeur principale 主值).
Une identité 恒等式 est vraie pour toute valeur de l'angle. Les deux que vous devez connaître sont
Pour résoudre une équation trigonométrique 三角方程, réduisez-la d'abord à une seule fonction, puis trouvez toutes les solutions dans l'intervalle donné.
Exemple résolu. Résolvez $6\sin\theta = 1 + \dfrac{2}{\sin\theta}$ pour $-180^\circ < \theta < 180^\circ$.
Multiplier par $\sin\theta$ pour supprimer la fraction. Cela donne une équation du second degré en $\sin\theta$ :
Les quatre solutions sont $\theta = -150^\circ,\ -30^\circ,\ 41.8^\circ,\ 138.2^\circ$.
Faites glisser l'amplitude, la période et les décalages de y = a·sin(bx + c) + d et observez comment la courbe change par rapport à l'onde de base.
Faites glisser l'angle autour du cercle trigonométrique. La hauteur est $\sin\theta$, la distance horizontale est $\cos\theta$ — c'est de là que viennent les graphiques.
| English · Anglais | Chinese · Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| sine/saɪn/ | 正弦 | zhèng xián |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | 余弦 | yú xián |
| tangent function/ˈtændʒənt ˈfʌŋkʃn/ | 正切 | zhèng qiē |
| principal value/ˈprɪnsɪpl ˈvæljuː/ | 主值 | zhǔ zhí |
| identity/aɪˈdentɪti/ | 恒等式 | héng děng shì |
| trigonometric equation/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ɪˈkweɪʒn/ | 三角方程 | sān jiǎo fāng chéng |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | 二项展开式 | èr xiàng zhǎn kāi shì |
| binomial coefficient/baɪˈnəʊmɪəl ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | 二项式系数 | èr xiàng shì xì shù |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| use the expansion of $(a + b)^n$, where $n$ is a positive integer | Including the notations $\begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix}$ and $n!$ Knowledge of the greatest term and properties of the coefficients are not required. |
| recognise arithmetic and geometric progressions | |
| use the formulae for the $n$th term and for the sum of the first $n$ terms to solve problems involving arithmetic or geometric progressions | Including knowledge that numbers $a$, $b$, $c$ are 'in arithmetic progression' if $2b = a + c$ (or equivalent) and are 'in geometric progression' if $b^2 = ac$ (or equivalent). Questions may involve more than one progression. |
| use the condition for the convergence of a geometric progression, and the formula for the sum to infinity of a convergent geometric progression. |
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| utiliser le développement de $(a + b)^n$, où $n$ est un entier positif | Comprendre les notations $\begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix}$ et $n!$. La connaissance du terme de plus grand module et des propriétés des coefficients n'est pas requise. |
| reconnaître les suites arithmétiques et géométriques | |
| utiliser les formules du $n$ terme et de la somme des premiers $n$ termes pour résoudre des problèmes impliquant des suites arithmétiques ou géométriques | Comprendre que les nombres $a$, $b$, $c$ sont « en suite arithmétique » si $2b = a + c$ (ou équivalent) et « en suite géométrique » si $b^2 = ac$ (ou équivalent). Les questions peuvent impliquer plusieurs suites. |
| utiliser la condition de convergence d'une suite géométrique, et la formule de la somme à l'infini d'une suite géométrique convergente. |
Source: Cambridge International syllabus · Source : Programme Cambridge International
For a positive integer $n$, the binomial expansion 二项展开式 is
Worked example. Find the first three terms, in ascending powers of $x$, of $(2 - px)^5$.
A progression 数列 (sequence) is a list of terms following a rule.
A GP is convergent — it converges 收敛 (settles to a limit) — when $|r| < 1$. Then it has a sum to infinity 无穷和
Worked example. The third term of a GP is $18$ and the sum of the first three terms is $26$. The common ratio is negative. Find the sum to infinity.
From $ar^2 = 18$ you get $a = \dfrac{18}{r^2}$. Put this into $a(1 + r + r^2) = 26$:
Pour un entier positif $n$, le développement binomial 二项展开式 est
Exemple commenté. Trouver les trois premiers termes, en puissances croissantes de $x$, de $(2 - px)^5$.
Une suite 数列 est une liste de termes suivant une règle.
Une SG est convergente — elle converge 收敛 (se stabilise vers une limite) — lorsque $|r| < 1$. Elle possède alors une somme à l'infini 无穷和
Exemple commenté. Le troisième terme d'une SG est $18$ et la somme des trois premiers termes est $26$. Le rapport est négatif. Trouver la somme à l'infini.
De $ar^2 = 18$ on tire $a = \dfrac{18}{r^2}$. Insérer cela dans $a(1 + r + r^2) = 26$ :
Basculez entre une suite arithmétique (ajouter d) et une suite géométrique (multiplier par r) et observez les termes et leur somme se construire.
| English · Anglais | Chinese · Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| progression/prəˈɡreʃn/ | 数列 | shù liè |
| arithmetic progression/əˈrɪθmətɪk prəˈɡreʃn/ | 等差数列 | děng chā shù liè |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | 公差 | gōng chāi |
| term/tɜːm/ | 项 | xiàng |
| geometric progression/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk prəˈɡreʃn/ | 等比数列 | děng bǐ shù liè |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | 公比 | gōng bǐ |
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | 收敛 | shōu liǎn |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | 无穷和 | wú qióng hé |
| Differentiation/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | 微分 | wēi fēn |
| gradient of a curve/ˈɡreɪdɪənt əvə kɜːv/ | 曲线斜率 | qū xiàn xié lǜ |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the gradient of a curve at a point as the limit of the gradients of a suitable sequence of chords, and use the notations $f'(x)$, $f''(x)$, $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$, and $\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$ for first and second derivatives | Only an informal understanding of the idea of a limit is expected. e.g. includes consideration of the gradient of the chord joining the points with $x$ coordinates $2$ and $(2 + h)$ on the curve $y = x^3$. Formal use of the general method of differentiation from first principles is not required. |
| use the derivative of $x^n$ (for any rational $n$), together with constant multiples, sums and differences of functions, and of composite functions using the chain rule | e.g. find $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$, given $y = \sqrt{2x^3 + 5}$. |
| apply differentiation to gradients, tangents and normals, increasing and decreasing functions and rates of change | Including connected rates of change, e.g. given the rate of increase of the radius of a circle, find the rate of increase of the area for a specific value of one of the variables. |
| locate stationary points and determine their nature, and use information about stationary points in sketching graphs. | Including use of the second derivative for identifying maxima and minima; alternatives may be used in questions where no method is specified. Knowledge of points of inflexion is not included. |
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| comprendre la pente d'une courbe en un point comme limite des pentes d'une suite appropriée de cordes, et utiliser les notations $f'(x)$, $f''(x)$, $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$ et $\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$ pour les premières et secondes dérivées | Seule une compréhension informelle de la notion de limite est attendue. ex. : inclut l'étude de la pente de la corde reliant les points de coordonnées $x$ $2$ et $(2 + h)$ sur la courbe $y = x^3$. L'utilisation formelle de la méthode générale de dérivation par définition n'est pas requise. |
| utiliser la dérivée de $x^n$ (pour tout $n$ rationnel), ainsi que les multiples constants, sommes et différences de fonctions, et des fonctions composées en utilisant la règle de la chaîne | ex. : trouver $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$, sachant que $y = \sqrt{2x^3 + 5}$. |
| appliquer la dérivation aux pentes, tangentes et normales, aux fonctions croissantes et décroissantes, ainsi qu'aux taux de variation | Inclure les taux de variation liés, ex. : étant donné le taux d'augmentation du rayon d'un cercle, trouver le taux d'augmentation de l'aire pour une valeur spécifique de l'une des variables. |
| localiser les points stationnaires et déterminer leur nature, et utiliser ces informations pour tracer des graphes. | Inclure l'utilisation de la dérivée seconde pour identifier maxima et minima ; des alternatives peuvent être utilisées si aucune méthode n'est spécifiée. La connaissance des points d'inflexion n'est pas comprise. |
Source: Cambridge International syllabus · Source : Programme Cambridge International
Differentiation 微分 finds the gradient of a curve 曲线斜率 at each point. The gradient is the limit 极限 of the gradients of shorter and shorter chords, called the derivative 导数.
Write the derivative as $f'(x)$ or $\dfrac{dy}{dx}$. The basic rule is
A stationary point 驻点 is where $\dfrac{dy}{dx} = 0$. Test its nature with the second derivative: $f''(x) > 0$ gives a minimum point 极小值点, and $f''(x) < 0$ gives a maximum point 极大值点. When $f''(x) = 0$ the test is inconclusive: the point may be a point of inflexion 拐点, where the curve changes concavity (the way it bends) – check the sign of $\dfrac{dy}{dx}$ just before and after to decide.
Worked example. The curve $y = 4x^{1/2} - x$ has a maximum point at $x = a$. Find $a$.
La différentiation 微分 trouve le coefficient directeur d'une courbe 曲线斜率 à chaque point. Ce coefficient est la limite 极限 des pentes de cordes de plus en plus courtes, appelée dérivée 导数.
Écrivez la dérivée comme $f'(x)$ ou $\dfrac{dy}{dx}$. La règle de base est
Un point stationnaire 驻点 est là où $\dfrac{dy}{dx} = 0$. Testez sa nature avec la dérivée seconde : $f''(x) > 0$ donne un point minimum 极小值点, et $f''(x) < 0$ donne un point maximum 极大值点. Quand $f''(x) = 0$, le test est sans conclusion : le point peut être un point d'inflexion 拐点, où la courbe change de concavité (la façon dont elle se courbe) – vérifiez le signe de $\dfrac{dy}{dx}$ juste avant et après pour décider.
Exemple résolu. La courbe $y = 4x^{1/2} - x$ a un point maximum en $x = a$. Trouvez $a$.
y = ax³ + bx² + cx + d
Faites glisser le point le long de la courbe. La tangente montre le gradient $\frac{dy}{dx}$ à cet endroit — plus raide où la courbe se courbe davantage.
| English · Anglais | Chinese · Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | 斜率 | xié lǜ |
| equation of a straight line/ɪˈkweɪʒn əvə streɪt laɪn/ | 直线方程 | zhí xiàn fāng chéng |
| parallel/ˈpærəlel/ | 平行 | píng xíng |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | 垂直 | chuí zhí |
| limit/ˈlɪmɪt/ | 极限 | jí xiàn |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | 导数 | dǎo shù |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | 链式法则 | liàn shì fǎ zé |
| second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | 二阶导数 | èr jiē dǎo shù |
| normal/ˈnɔːml/ | 法线 | fǎ xiàn |
| increasing function/ɪnˈkriːsɪŋ ˈfʌŋkʃn/ | 增函数 | zēng hán shù |
| decreasing function/ˈdiːkriːsɪŋ ˈfʌŋkʃn/ | 减函数 | jiǎn hán shù |
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | 变化率 | biàn huà lǜ |
| stationary point/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/ | 驻点 | zhù diǎn |
| minimum point/ˈmɪnɪməm pɔɪnt/ | 极小值点 | jí xiǎo zhí diǎn |
| maximum point/ˈmæksɪməm pɔɪnt/ | 极大值点 | jí dà zhí diǎn |
| point of inflexion/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/ | 拐点 | guǎi diǎn |
| Integration/ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | 积分 | jī fēn |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | 积分常数 | jī fēn cháng shù |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | 定积分 | dìng jī fēn |
| region/ˈriːdʒn/ | 区域 | qū yù |
| improper integral/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl/ | 广义积分 | guǎng yì jī fēn |
| volume of revolution/ˈvɒljuːm ɒv ˌrevəˈluːʃn/ | 旋转体体积 | xuán zhuǎn tǐ tǐ jī |
| algebra/ˈældʒɪbrə/ | 代数 | dài shù |
| calculus/ˈkælkjʊləs/ | 微积分 | wēi jī fēn |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand integration as the reverse process of differentiation, and integrate $(ax + b)^n$ (for any rational $n$ except $-1$), together with constant multiples, sums and differences | e.g. $\int (2x^3 - 5x + 1) \text{d}x$, $\int \frac{1}{(2x + 3)^2} \text{d}x$. |
| solve problems involving the evaluation of a constant of integration | e.g. to find the equation of the curve through $(1, -2)$ for which $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \sqrt{2x + 1}$. |
| evaluate definite integrals | Including simple cases of 'improper' integrals, such as $\int_{0}^{1} x^{-\frac{1}{2}} \text{d}x$ and $\int_{1}^{\infty} x^{-2} \text{d}x$. |
| use definite integration to find: - the area of a region bounded by a curve and lines parallel to the axes, or between a curve and a line or between two curves - a volume of revolution about one of the axes. | A volume of revolution may involve a region not bounded by the axis of rotation, e.g. the region between $y = 9 - x^2$ and $y = 5$ rotated about the $x$-axis. |
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| comprendre l'intégration comme l'opération inverse de la dérivation, et intégrer $(ax + b)^n$ (pour tout $n$ rationnel sauf $-1$), ainsi que les multiples constants, sommes et différences | ex. : $\int (2x^3 - 5x + 1) \text{d}x$, $\int \frac{1}{(2x + 3)^2} \text{d}x$. |
| résoudre des problèmes impliquant l'évaluation d'une constante d'intégration | ex. : trouver l'équation de la courbe passant par $(1, -2)$ telle que $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \sqrt{2x + 1}$. |
| évaluer les intégrales définies | Inclure des cas simples d'intégrales « impropres », telles que $\int_{0}^{1} x^{-\frac{1}{2}} \text{d}x$ et $\int_{1}^{\infty} x^{-2} \text{d}x$. |
| utiliser l'intégration définie pour trouver : - l'aire d'une région bornée par une courbe et des droites parallèles aux axes, ou entre une courbe et une droite, ou entre deux courbes - un volume de révolution autour d'un des axes. | Un volume de révolution peut concerner une région non bornée par l'axe de rotation, ex. : la région entre $y = 9 - x^2$ et $y = 5$ tournant autour de l'axe $x$. |
Source: Cambridge International syllabus · Source : Programme Cambridge International
Integration 积分 is the reverse of differentiation. Reversing the power rule gives
A definite integral 定积分 has limits and gives a number:
Worked example. The curve $y = 4x^{1/2} - x$ meets the $x$-axis again at $x = 16$. Find the area between the curve and the $x$-axis from $x = 0$ to $x = 4$.
An improper integral 广义积分 has an infinite limit or an endpoint where the integrand is undefined; evaluate it as a limit. For example,
When a region is turned all the way around an axis it sweeps out a solid. The volume of revolution 旋转体体积 about the $x$-axis is
L'intégration 积分 est l'opposé de la dérivation. En inversant la règle de puissance, on obtient
Une intégrale définie 定积分 a des bornes et donne un nombre :
Exemple résolu. La courbe $y = 4x^{1/2} - x$ recoupe l'axe des $x$ en $x = 16$. Trouvez l'aire entre la courbe et l'axe des $x$ de $x = 0$ à $x = 4$.
Une intégrale impropre 广义积分 a une borne infinie ou une extrémité où l'intégrande n'est pas défini ; évaluez-la comme une limite. Par exemple,
Quand une zone est tournée tout autour d'un axe, elle balaye un solide. Le volume de révolution 旋转体体积 autour de l'axe des $x$ est
y = ax³ + bx² + cx + d
Faites glisser les limites. L'intégrale définie est l'aire ombragée entre la courbe et l'axe x.
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Traversez-le étape par étape, avec des exercices à vérification instantanée.
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