Cette fiche couvre le Thème 4 : Mécanique 力学. Elle étudie comment les forces font bouger les objets. Tout au long de ce thème, prendre l'accélération de la pesanteur comme $g = 10\ \text{m s}^{-2}$.
Mécanique
Mathématiques A-Level · Sujet 4
12:38
Mécanique
Poussez un chariot de supermarché, et il accélère. Poussez plus fort, et il accélère plus vite. Poussez-en un plus lourd avec le même effort, et il bouge à peine. Toute la mécanique…
Narration en anglais · Sous-titres anglais + 中文 incrustés
4.1
Forces et équilibre
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| identifier les forces agissant dans une situation donnée | ex. : en dessinant un diagramme des forces. |
| comprendre la nature vectorielle de la force, et trouver et utiliser les composantes et les résultantes | Des calculs sont toujours requis, pas des solutions approchées par tracé à l'échelle. |
| utiliser le principe selon lequel, lorsqu'une particule est en équilibre, la somme vectorielle des forces agissant est nulle, ou de manière équivalente, que la somme des composantes dans n'importe quelle direction est nulle | Les solutions par résolution sont généralement attendues, mais des méthodes équivalentes (ex. : triangle des forces, théorème de Lami, là où approprié) sont également acceptables ; ces autres méthodes ne constituent pas un savoir requis et ne seront pas mentionnées dans les questions. |
| comprendre qu'une force de contact entre deux surfaces peut être représentée par deux composantes, la composante normale et la composante de frottement | |
| utiliser le modèle de contact 'lisse', et comprendre les limites de ce modèle | |
| comprendre les concepts de frottement limite et d'équilibre limite, rappeler la définition du coefficient de frottement, et utiliser la relation $F = \mu R$ ou $F \leqslant \mu R$, selon le cas | Des termes comme 'sur le point de glisser' peuvent être utilisés pour signifier 'en équilibre limite' dans les questions. |
| utiliser la troisième loi de Newton. | ex. : la force exercée par une particule sur le sol est égale et opposée à la force exercée par le sol sur la particule. |
Source : Programme Cambridge International
Une travail 力 est une poussée ou une traction. C'est un vecteur, donc elle a une grandeur et une direction. En tant que vecteur, on peut décomposer une force en composantes 分量 (généralement horizontales et verticales), et on peut additionner plusieurs forces en une seule résultante 合力.
Une particule est en équilibre 平衡 lorsque les forces sont compensées : la somme vectorielle des forces est nulle. En pratique, cela signifie que les composantes dans n'importe quelle direction s'additionnent à zéro.
Frottement
Lorsque deux surfaces se touchent, la force de contact 接触力 entre elles a deux parties : la réaction normale 法向反作用力 $R$, perpendiculaire à la surface, et la frottement 摩擦力 $F$, le long de la surface, qui s'oppose au glissement. Une surface « lisse » est un modèle sans frottement.
La friction ne peut croître jusqu'à un maximum. À ce maximum, le corps est en équilibre limite 极限平衡, sur le point de glisser, et la friction est une friction limite 最大静摩擦力. Le maximum est déterminé par le coefficient de frottement 摩擦系数 $\mu$ :
$$F \leqslant \mu R, \qquad \text{with } F = \mu R \text{ at the point of slipping}.$$
Selon la troisième loi de Newton 牛顿第三定律, les deux surfaces s'exercent mutuellement des forces égales et opposées.
Exemple résolu. Un bloc de poids $20\text{ N}$ repose sur une table horizontale rugueuse de coefficient de frottement $\mu = 0.4$. Trouver la plus grande force horizontale pouvant être appliquée avant que le bloc ne glisse.
La réaction normale de la table équilibre le poids, donc $R = 20\text{ N}$. Le bloc est au point de glisser lorsque la friction atteint son maximum $F = \mu R = 0.4 \times 20 = 8\text{ N}$. En équilibre, la force appliquée est égale à la friction, donc la plus grande force qu'il peut résister est $8\text{ N}$.
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Addition des forces
résultante = a + b
Les forces s'additionnent tête-bêche. Elles sont en équilibre lorsque la résultante est nulle.
Vocabulaire
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| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| Mechanics/mɪˈkænɪks/ | 力学 | lì xué |
| force/fɔːs/ | 力 | lì |
| components/kəmˈpəʊnənts/ | 分量 | fèn liàng |
| resultant/rɪˈzʌltənt/ | 合力 | hé lì |
| equilibrium/ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | 平衡 | píng héng |
| contact force/ˈkɒntækt fɔːs/ | 接触力 | jiē chù lì |
| normal reaction/ˈnɔːml rɪˈækʃn/ | 法向反作用力 | fǎ xiàng fǎn zuò yòng lì |
| friction/ˈfrɪkʃn/ | 摩擦力 | mó cā lì |
| limiting friction/ˈlɪmɪtɪŋ ˈfrɪkʃn/ | 最大静摩擦力 | zuì dà jìng mó cā lì |
| coefficient of friction/ˌkəʊɪˈfɪʃənt ɒv ˈfrɪkʃn/ | 摩擦系数 | mó cā xì shù |
| Newton's third law/ˈnjuːtnz θɜːd lɔː/ | 牛顿第三定律 | niú dùn dì sān dìng lǜ |
4.2
Cinématique du mouvement en ligne droite
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| comprendre les concepts de distance et de vitesse en tant que quantités scalaires, et de déplacement, vitesse (vectorielle) et accélération en tant que quantités vectorielles | Limité au mouvement en une dimension uniquement. Le terme 'décélération' peut parfois être utilisé dans le contexte d'une vitesse décroissante. |
| tracer et interpréter des graphiques position-temps et des graphiques vitesse-temps, et particulièrement comprendre que – l'aire sous un graphique vitesse-temps représente le déplacement, – la pente d'un graphique position-temps représente la vitesse, – la pente d'un graphique vitesse-temps représente l'accélération | |
| utiliser la différentiation et l'intégration par rapport au temps pour résoudre de simples problèmes concernant le déplacement, la vitesse et l'accélération | Les techniques de calcul nécessaires sont limitées à celles du contenu de Paper 1 : Pure Mathematics 1. |
| utiliser les formules appropriées pour un mouvement avec accélération constante en ligne droite. | Les questions peuvent impliquer l'établissement de plus d'une équation, en utilisant des informations sur le mouvement de différentes particules. |
Source : Programme Cambridge International
Distance 距离 et vitesse 速率 sont des scalaires (grandeur seule). Déplacement 位移, vitesse vectorielle 速度 et accélération 加速度 sont des vecteurs (grandeur et direction).
Sur un graphique vitesse-temps 速度时间图, l'aire sous la courbe représente le déplacement et la pente représente l'accélération (une accélération négative est une décelération 减速度). Sur un graphique déplacement-temps, la pente représente la vitesse. Plus généralement, dériver par rapport au temps permet de passer du déplacement à la vitesse puis à l'accélération, et intégrer pour revenir en arrière.
Pour un mouvement à accélération constante 匀加速, utiliser ces formules (les équations "suvat") :
$$v = u + at, \qquad s = ut + \tfrac12 at^2, \qquad v^2 = u^2 + 2as, \qquad s = \tfrac12(u + v)t.$$
Exemple résolu. Une voiture part du repos et accélère à $2.5\ \text{m s}^{-2}$ pendant $4\ \text{s}$. Trouver sa vitesse finale et la distance parcourue.
$$v = 0 + 2.5\times 4 = 10\ \text{m s}^{-1}, \qquad s = 0 + \tfrac12(2.5)(4^2) = 20\ \text{m}.$$
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Graphique vitesse–temps
Changez la vitesse initiale et l'accélération. Le gradient est l'accélération ; l'aire sous la ligne est le déplacement.
Vocabulaire
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| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| distance/ˈdɪstəns/ | 距离 | jù lí |
| speed/spiːd/ | 速率 | sù lǜ |
| displacement/dɪˈspleɪsmənt/ | 位移 | wèi yí |
| velocity/vəˈlɒsɪti/ | 速度 | sù dù |
| acceleration/əkˌseləˈreɪʃn/ | 加速度 | jiā sù dù |
| velocity-time graph/vəˈlɒsɪti taɪm ɡræf/ | 速度时间图 | sù dù shí jiān tú |
| constant acceleration/ˈkɒnstənt əkˌseləˈreɪʃn/ | 匀加速 | yún jiā sù |
4.3
Impulsion
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| utiliser la définition de la quantité de mouvement linéaire et montrer la compréhension de sa nature vectorielle | Pour le mouvement en une dimension uniquement. |
| utiliser la conservation de la quantité de mouvement linéaire pour résoudre des problèmes qui peuvent être modélisés comme un choc direct entre deux corps. | Incluant le choc direct entre deux corps qui coalescent lors du choc. La connaissance de l'impulsion et du coefficient de restitution n'est pas requise. |
Source : Programme Cambridge International
La quantité de mouvement linéaire 动量 d'un corps est $\text{mass} \times \text{velocity}$. C'est un vecteur. Lors d'une collision directe entre deux corps, la quantité de mouvement totale reste inchangée. C'est la conservation de la quantité de mouvement linéaire 动量守恒 :
$$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2.$$
Exemple résolu. Un corps de masse $2\ \text{kg}$ se déplaçant à $3\ \text{m s}^{-1}$ heurte un corps stationnaire de masse $1\ \text{kg}$, et ils restent attachés. Trouver leur vitesse commune ensuite.
$$2(3) + 1(0) = (2 + 1)v \;\Rightarrow\; v = \frac{6}{3} = 2\ \text{m s}^{-1}.$$
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Une collision
Définissez chaque masse et vitesse et faites-les entrer en collision. La quantité de mouvement totale reste identique avant et après.
Vocabulaire
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| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| momentum/məʊˈmentəm/ | 动量 | dòng liàng |
| conservation of momentum/ˌkɒnsəˈveɪʃn ɒv məʊˈmentəm/ | 动量守恒 | dòng liàng shǒu héng |
| Newton's laws of motion/ˈnjuːtnz lɔːz ɒv ˈməʊʃn/ | 牛顿运动定律 | niú dùn yùn dòng dìng lǜ |
4.4
Les lois de Newton du mouvement
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| • appliquer les lois de Newton du mouvement au mouvement linéaire d'une particule de masse constante se déplaçant sous l'action de forces constantes, qui peuvent inclure le frottement, la tension dans un fil inextensible et la poussée dans une tige de liaison | Si d'autres forces résistant au mouvement doivent être prises en compte (ex. : résistance de l'air), cela sera indiqué dans la question. |
| • utiliser la relation entre la masse et le poids | $W = mg$. Dans cette partie, les questions sont principalement numériques, et l'utilisation de la valeur numérique approximative $10\text{ (ms}^{-2}\text{)}$ pour $g$ est attendue. |
| • résoudre de simples problèmes qui peuvent être modélisés comme le mouvement d'une particule se déplaçant verticalement ou sur un plan incliné avec une accélération constante | Incluant, par exemple, le mouvement d'une particule sur un plan rugueux où l'accélération lors du mouvement vers le haut du plan est différente de celle lors du mouvement vers le bas. |
| • résoudre de simples problèmes qui peuvent être modélisés comme le mouvement de particules connectées. | ex. : particules connectées par un fil léger et inextensible passant sur une poulie lisse, ou une voiture tractant une remorque au moyen d'une corde légère ou d'une barre de traction rigide légère. |
Source : Programme Cambridge International
Les lois de Newton du mouvement 牛顿运动定律 relient la force et l'accélération. La loi principale est : force résultante $=$ masse 质量 $\times$ accélération,
$$F = ma.$$
Le poids 重力 d'un corps est la force de gravité exercée sur lui : $W = mg$. Les forces dans un problème peuvent inclure le poids, le frottement, la tension 张力 dans une corde, la poussée 推力 (push) dans une tige, et la résistance de l'air 空气阻力.
Pour un mouvement sur un plan incliné 斜面, décomposer chaque force en une composante parallèle à la pente et une composante perpendiculaire, puis appliquer $F = ma$ le long de la pente. Pour des particules liées 连接质点 (reliées par une corde), appliquer $F = ma$ à chaque corps ou à tout le système.
Exemple résolu. Un bloc de masse $12\ \text{kg}$ est tiré vers le haut d'un plan rugueux par une corde parallèle à la pente. Le plan est incliné à $20^\circ$ par rapport à l'horizontale, le coefficient de frottement est $0.4$, et l'accélération est $2\ \text{m s}^{-2}$. Trouver la tension dans la corde.
La réaction normale est $R = mg\cos 20^\circ = 120\cos 20^\circ = 112.8\ \text{N}$, donc la friction est $F = \mu R = 0.4 \times 112.8 = 45.1\ \text{N}$. Le long de la pente, $T - mg\sin 20^\circ - F = ma$ :
$$T = ma + mg\sin 20^\circ + F = 12(2) + 120\sin 20^\circ + 45.1 = 24 + 41.0 + 45.1 = 110\ \text{N (3 s.f.)}.$$
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Force résultante
F = ma
La force résultante produit l'accélération. Des forces équilibrées ⇒ aucune accélération.
Vocabulaire
Entrainer
| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| mass/mæs/ | 质量 | zhì liàng |
| weight/weɪt/ | 重力 | zhòng lì |
| tension/ˈtenʃn/ | 张力 | zhāng lì |
| inclined plane/ɪnˈklaɪnd pleɪn/ | 斜面 | xié miàn |
| connected particles/kəˈnektɪd ˈpɑːtɪklz/ | 连接质点 | lián jiē zhì diǎn |
| work done/wɜːk dʌn/ | 功 | gōng |
| kinetic energy/kɪˈnetɪk ˈenədʒi/ | 动能 | dòng néng |
| gravitational potential energy/ˌɡrævɪˈteɪʃənl pəˈtenʃl ˈenədʒi/ | 重力势能 | zhòng lì shì néng |
| conservation of energy/ˌkɒnsəˈveɪʃn ɒv ˈenədʒi/ | 能量守恒 | néng liàng shǒu héng |
| power/ˈpaʊə/ | 功率 | gōng lǜ |
| limiting equilibrium/ˈlɪmɪtɪŋ ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | 极限平衡 | jí xiàn píng héng |
| deceleration/dɪˌseləˈreɪʃn/ | 减速度 | jiǎn sù dù |
| thrust/θrʌst/ | 推力 | tuī lì |
| air resistance/eə rɪˈzɪstəns/ | 空气阻力 | kōng qì zǔ lì |
4.5
Énergie, travail et puissance
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| • comprendre le concept de travail effectué par une force, et calculer le travail effectué par une force constante lorsque son point d'application subit un déplacement non nécessairement parallèle à la force | $W = Fd \cos \theta$ ; L'utilisation du produit scalaire n'est pas requise. |
| • comprendre les concepts d'énergie potentielle gravitationnelle et d'énergie cinétique, et utiliser les formules appropriées | |
| • comprendre et utiliser la relation entre le changement d'énergie d'un système et le travail effectué par les forces extérieures, et utiliser au cas échéant le principe de conservation de l'énergie | Incluant des cas où le mouvement peut ne pas être linéaire (ex. : un enfant sur un 'glissoir' courbe lisse), où seuls les changements globaux d'énergie doivent être pris en compte. |
| • utiliser la définition de la puissance comme le taux au cours duquel une force effectue un travail, et utiliser la relation entre la puissance, la force et la vitesse pour une force agissant dans la direction du mouvement | Y compris le calcul de la (moyenne) puissance en tant que $$\frac{\text{Work done}}{\text{Time taken}}$$ $P = Fv$. |
| • résoudre des problèmes impliquant, par exemple, l'accélération instantanée d'une voiture se déplaçant sur une colline contre une résistance. |
Source : Programme Cambridge International
Le travail effectué 功 par une force constante est le produit scalaire de la force et du déplacement — la force multipliée par la distance parcourue dans la direction de la force : $W = Fd\cos\theta$, où $\theta$ est l'angle entre la force et le mouvement. Le travail est mesuré en joules (J).
L'énergie existe sous des formes calculables :
- Énergie cinétique 动能 (énergie de mouvement) : $\text{KE} = \tfrac12 mv^2$.
- Énergie potentielle gravitationnelle 重力势能 (énergie de hauteur) : $\text{PE} = mgh$.
Le travail des forces extérieures est égal à la variation de l'énergie totale. Lorsqu'aucun frottement n'agit, l'énergie totale reste constante — la conservation de l'énergie 能量守恒.
Puissance 功率 est le taux de réalisation du travail. Pour une force tirant dans la direction du mouvement, $P = Fv$ (puissance $=$ travail $\times$ vitesse). La puissance est mesurée en watts (W).
Exemple résolu. Un moteur de voiture fonctionne à $12\ \text{kW}$ tandis que la voiture se déplace à $20\ \text{m s}^{-1}$ sur une route plane. Trouver la force motrice.
$$P = Fv \;\Rightarrow\; F = \frac{P}{v} = \frac{12000}{20} = 600\ \text{N}.$$
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Conservation de l'énergie
Laissez tomber l'objet et observez l'énergie changer de forme. Sans frottement, l'EPP + EC reste constante tout au long de la chute.
4.5
Conseils d'examen
- Tracer un diagramme de forces clair et le résoudre en composantes perpendiculaires ; pour l'équilibre, chaque direction somme à zéro.
- Utiliser SUVAT uniquement pour une accélération constante et garder une direction positive cohérente.
- Appliquer $F = ma$ le long de la direction du mouvement, y compris le frottement ($F = \mu R$) sur une surface rugueuse.
- Énoncer vos hypothèses (corde légère inextensible, poulie lisse, particule) — elles valent souvent un point.
Leçons interactives sur ce sujet
Traversez-le étape par étape, avec des exercices à vérification instantanée.