Représentation de l'information

Les trois systèmes numériques 数制 que vous devez maîtriser :

• décimal 十进制 (base 10) — utilise les chiffres 0 à 9. Les positions valent des puissances de dix.
• binaire 二进制 (base 2) — utilise 0 et 1. Les positions valent des puissances de deux. Chaque octet 字节 contient 8 bits 位.
• hexadécimal 十六进制 (base 16) — utilise 0 à 9 puis A à F pour 10 à 15. Chaque chiffre hexadécimal représente exactement 4 bits.

Conversions

Décimal → binaire : diviser successivement par 2 et noter les restes, lire de bas en haut. Ou soustraire la plus grande position de valeur 位值 (puissance de 2) compatible.

Exemple : $558_{10}$ : $558 = 512 + 32 + 8 + 4 + 2 = 2^{9} + 2^{5} + 2^{3} + 2^{2} + 2^{1}$. Sur 12 bits : 0010 0010 1110.

Binaire → hexadécimal : regrouper les bits en nibbles 半字节 (4 bits) depuis la droite et convertir chacun. 0010 0010 1110 → 2 2 E → 22E.

Hexadécimal → binaire : remplacer chaque chiffre hexadécimal par son motif sur 4 bits. Hexadécimal → décimal : multiplier chaque chiffre par sa position de valeur. 22E $= 2 \times 256 + 2 \times 16 + 14 = 558$.

Exemple résolu. Convertir le décimal 200 en binaire sur 8 bits, puis en hexadécimal.

$200 = 128 + 64 + 8$, donc le binaire est 11001000. En nibbles, 1100 1000 $= 12$ et $8$, soit $\text{C}$ et $8$, ainsi l'hexadécimal est C8.

Combien de bits ?

Les questions d'examen fixent la largeur du registre 寄存器宽度 (8, 12 ou 16 bits). Remplir avec des zéros de tête jusqu'à cette largeur : $558$ sur 12 bits est 0010 0010 1110, jamais 10 0010 1110.

Pour trouver le nombre minimum de bits nécessaires pour stocker une valeur, déterminer quelles positions de valeur sont requises :

• un entier non signé de $0$ à $2^{n} - 1$ nécessite $n$ bits : $200$ nécessite 8 bits (le maximum est $255$), $1000$ nécessite 10 bits (le maximum est $1023$), $16$ nécessite 5 bits (4 bits s'arrêtent à $15$).
• un entier signed à complément à deux de $-2^{n-1}$ à $2^{n-1} - 1$ nécessite $n$ bits : $-200$ nécessite 9 bits, car 8 bits s'arrêtent à $-128$.
• un chiffre hexadécimal nécessite 4 bits, un chiffre BCD nécessite 4 bits, et un caractère ASCII nécessite 7 bits (8 pour l'ASCII étendu).

Préfixes binaires vs décimaux

Deux familles de préfixes ressemblent mais diffèrent — décimal (puissances de 10) et binaire (puissances de 2) :

Ainsi, un tébibyte (TiB) est légèrement supérieur à un téraoctet (To). Un disque « 1 To » contient $10^{12}$ octets, mais un système d'exploitation qui affiche en TiB montrera un nombre plus faible.

Addition binaire

Ajouter colonne par colonne de droite à gauche, en reportant comme en décimal :

Débordement 溢出 se produit lorsque le résultat nécessite plus de bits que le registre 寄存器 ne peut contenir — le report sortant de la colonne la plus à gauche est le bit de débordement.

Exemple résolu. Ajouter les entiers non signés sur 8 bits $10110101$ et $01101100$, et commenter le résultat.

$10110101 + 01101100 = 1\,00100001$. La réponse nécessite 9 bits, elle ne tient donc pas dans un registre sur 8 bits : un débordement s'est produit. Une réponse complète nomme l'erreur et explique pourquoi, en utilisant la taille de mot donnée par la question : « Débordement : le résultat exact ($289$) est supérieur à la valeur maximale qu'un registre sur 8 bits peut contenir ($255$), donc le report sortant du bit de poids fort est perdu et le résultat stocké ($00100001 = 33$) est incorrect. »

Soustraction binaire

La méthode habituelle est l'addition en complément à deux 补码 : pour effectuer $A - B$, former le complément à deux de $B$ (inverser chaque bit et ajouter 1), puis additionner, et ignorer tout report final sortant.

Pour soustraire $00011110$ à $01100100$ (entier non signé sur 8 bits) :

• complément à deux de $00011110$ : inverser → $11100001$, ajouter 1 → $11100010$.
• additionner à $01100100$ : résultat $1\,01000110$ (9 bits) — ignorer le 1 initial → $01000110 = 70_{10}$. Vérification : $100 - 30 = 70$. ✓

Entiers signés en complément à deux

Dans un nombre en complément à deux sur $n$ bits :

• le bit de poids fort 最高有效位 (MSB) est le bit de signe 符号位 : 0 = positif, 1 = négatif.
• pour lire un nombre négatif : inverser chaque bit, ajouter 1, puis changer le signe.

Donc $11100010$ est négatif ; inverser → $00011101$, ajouter 1 → $00011110 = 30$, c'est donc $-30$. C'est un entier signé 有 signed integer (contrairement à un non signé 无 signed one). La plage pour $n$ bits est $-2^{n-1}$ à $+2^{n-1} - 1$ ; pour 8 bits, $-128$ ($10000000$) à $+127$ ($01111111$).

Les mêmes bits signifient des nombres différents selon la convention de lecture. En tant qu'entier non signé, chaque bit est une valeur de position, donc 8 bits vont de $0$ à $255$ ; en tant qu'entier signé en complément à deux, le bit de poids fort est le signe, donc les mêmes 8 bits vont de $-128$ à $+127$. Le motif $11111111$ est $255$ lu d'une manière et $-1$ de l'autre — rien dans les bits eux-mêmes ne dit lequel.

Le même octet lu en non signé et en signé : seule l'interprétation convenue les distingue Complément à deux sur 8 bits : le bit de signe divise la plage entre négatif ($-128$ à $-1$) et positif ($0$ à $127$)

Exemple résolu. Quelle valeur décimale représente le nombre en complément à deux sur 8 bits $10110100$ ?

Le MSB est 1, donc il est négatif. Inverser → $01001011$, ajouter 1 → $01001100 = 76$, donc la valeur est $-76$. Vérification avec les valeurs positionnelles : $-128 + 32 + 16 + 4 = -76$.

Exemple résolu. Écrire $-108$ comme un entier en complément à deux sur 12 bits.

Commencez par $+108$ sur 12 bits : $108 = 64 + 32 + 8 + 4$, donc 0000 0110 1100. Inversez chaque bit : 1111 1001 0011. Ajoutez 1 : 1111 1001 0100. Vérifiez avec les valeurs de position, où le bit de poids fort vaut $-2^{11} = -2048$ : $-2048 + 1024 + 512 + 256 + 128 + 16 + 4 = -108$. ✓

Pour 12 bits, la plage va de $-2048$ (1000 0000 0000) à $+2047$ (0111 1111 1111). Les questions demandant les valeurs minimale et maximale cherchent ces deux motifs, apprenez donc la règle : le nombre le plus négatif est un 1 suivi de zéros ; le plus positif est un 0 suivi de uns.

Un décalage arithmétique 算术移位 déplace tous les bits vers la gauche ou la droite tout en conservant le signe : un décalage d'une place vers la droite divise la valeur par deux et recopie le bit de signe dans l'espace vide à gauche, donc un nombre négatif reste négatif (1111 1001 0100 décalé de trois places vers la droite donne 1111 1111 0010, qui est $-14$ : $-108 / 8 = -13.5$, et un décalage vers la droite arrondit vers le bas). Un décalage vers la gauche double la valeur. Les décalages font partie du jeu d'instructions assembleur dans le sujet 4, mais cette question porte sur le calcul numérique ici.

Le débordement en arithmétique signée survient lorsque le résultat exact sort de cette plage — repéré lorsque le bit de signe change faussement (deux positifs donnant un négatif, ou deux négatifs donnant un positif).

Complément à un

Avant le complément à deux, un ancien schéma appelé complément à un 反码 représentait un nombre négatif en simplement inversant tous les bits du positif — il n'y a pas d'étape « ajouter 1 ».

• $+30 = 00011110$, donc en complément à un $-30 = 11100001$ (juste l'inverse).
• Inconvénient : il possède deux zéros — $00000000$ ($+0$) et $11111111$ ($-0$) — ce qui gaspille un motif de bits et rend l'arithmétique fastidieuse.

Le complément à deux (inverser et ajouter 1) élimine le zéro négatif : il possède un seul zéro et permet aux additions et soustractions d'utiliser le même circuit. C'est pourquoi les ordinateurs modernes stockent les entiers signés en complément à deux, et non en complément à un.

En BCD 二进码十进数, chaque chiffre décimal est écrit sous sa propre forme de 4 bits. Le nombre $93$ est 1001 0011 en BCD — pas le binaire 93 ($01011101$). Chaque demi-octet n'utilise que 0–9 ; les motifs $1010$–$1111$ sont invalides.

Lecture BCD : 0010 0111 0101 → 2, 7, 5 → 275.

Utilisation : calculatrices, horloges numériques et appareils affichant des chiffres décimaux — chaque chiffre commande un 7-segments afficheur 七段显示器. Le code de devise utilise souvent le BCD pour éviter les erreurs d'arrondi liées à la conversion de fractions telles que 0.1 en binaire.

Une réponse « justifier » doit relier l'utilisation à une propriété du BCD : chaque chiffre décimal a ses propres 4 bits, donc un chiffre peut être envoyé directement à son afficheur, ou ajouté chiffre par chiffre, sans conversion de tout le nombre ; et une fraction décimale telle que $0.10$ est stockée exactement, ce qu'une fraction binaire ne peut pas faire.

L'hexadécimal est une façon compacte d'écrire du binaire (1 chiffre hexa = 4 bits) :

• adresses mémoire 内存地址 en programmation bas niveau — 0x7FFE.
• valeurs de couleur en HTML/CSS — #FF8800.
• adresses MAC — AC:DE:48:00:11:22.

L'hexadécimal ne modifie pas les données stockées — il rend simplement le binaire plus facile pour les humains.

Les ordinateurs stockent le texte sous forme de nombres ; chaque caractère a un code point 码point défini par un ensemble de caractères 字符集.

ASCII

• ASCII utilise 7 bits — 128 code points. Lettres latines de base, chiffres, ponctuation et codes de contrôle.
• ASCII étendu utilise 8 bits — 256 code points ; les 128 inférieurs correspondent à ASCII, les 128 supérieurs varient selon la région.

Unicode

• Unicode est un ensemble de caractères universel couvrant presque tous les systèmes d'écriture, ainsi que des symboles et des émojis.
• encodages 编码 courants : UTF-8 (1 à 4 octets, compatible ASCII), UTF-16 (2 ou 4 octets), UTF-32 (fixe 4 octets).

Pourquoi Unicode bat ASCII

• il représente beaucoup plus de caractères (tous les systèmes d'écriture, émojis) ; ASCII ne couvre que l'anglais de base.
• les fichiers sont portables sans confusion de page de code, et permettent le texte multilingue dans un même document.
• compromis : les fichiers Unicode sont généralement plus gros pour un texte en anglais uniquement.

Lorsqu'une question demande les différences, donnez-les par paires avec des chiffres : ASCII utilise 7 bits (ASCII étendu 8), donc 128 (256) caractères ; Unicode utilise jusqu'à 32 bits (UTF-8 utilise 1 à 4 octets), donc plus d'un million de code points. ASCII ne couvre que l'anglais de base ; Unicode couvre tous les systèmes d'écriture, et ses 128 premiers code points sont ceux d'ASCII. En UTF-8, une lettre anglaise prend toujours 1 octet, donc un nom de fichier anglais de 40 lettres fait 40 octets en ASCII et en UTF-8, tandis qu'un caractère chinois en prend 3.

Une image bitmap 位图 (aussi appelée image matricielle) stocke la couleur de chaque pixel 像素 dans une grille. Au début du fichier, un en-tête de fichier 文件头 enregistre les métadonnées de l'image — sa largeur, sa hauteur et sa profondeur de couleur — pour que le logiciel sache comment lire les données de pixels qui suivent.

• résolution d'image 图像分辨率 : la taille propre de la bitmap, largeur × hauteur en pixels (ex. 1920 × 1080).
• résolution d'écran 屏幕分辨率 : la largeur × hauteur que l'affichage peut montrer. Si la résolution d'une image est supérieure à celle de l'écran, elle est mise à l'échelle pour s'adapter ; une image basse résolution paraît pixelisée lorsqu'elle est étirée sur un écran haute résolution.
• profondeur de couleur 颜色深度 (profondeur de bits 位深度) : bits par pixel. 1 bit → noir/blanc ; 8 bits → 256 couleurs ; 24 bits → 16.7 millions ("vraie couleur").

Taille du fichier

Diviser par 8 pour obtenir des octets, par 1024 pour des KiB, etc. Exemple : une image de $3000 \times 2000$ à 24 bpp fait $3000 \times 2000 \times 24 = 1.44 \times 10^{8}$ bits $\approx 17.2\ \text{MiB}$.

Indiquer les unités utilisées. La grille acceptera $1\ \text{MB} = 10^{6}$ octets (le préfixe SI) ou $1\ \text{MiB} = 1024 \times 1024$ octets (le préfixe binaire), tant que votre calcul montre lequel ; la même image fait $18.0\ \text{MB}$ ou $17.2\ \text{MiB}$. Ajoutez la taille de l'en-tête de fichier si la question en fournit une.

Une vidéo est une séquence d'images bitmap, chaque image étant un frame 帧. Avant compression, sa taille correspond à la taille d'une frame $\times$ le frame rate 帧率 (images par seconde) $\times$ la durée en secondes : 30 images par seconde de $1920 \times 1080$ pixels à 24 bits correspondent à $30 \times 1920 \times 1080 \times 24 \approx 1.5 \times 10^{9}$ bits, soit environ $187\ \text{MB}$, pour chaque seconde. C'est pourquoi la vidéo est toujours compressée.

Modification des paramètres

• résolution plus faible → fichier plus petit, moins de détails (aspect flou ou pixelisé lors du zoom).
• profondeur de couleur plus faible → fichier plus petit, mais les dégradés lisses présentent des bandes de couleur.
• augmented de l'un ou l'autre → fichier plus grand, meilleure qualité.

Un graphisme vectoriel 矢量图形 stocke les instructions 用于绘制图像的指令作为 drawing list 绘图列表 — une liste ordonnée de drawing objects 绘图对象 (géométriques primitives 图元 : lignes, courbes, polygones, cercles). Chaque objet de dessin possède des properties 属性 telles que la couleur, le remplissage, l'épaisseur de ligne et la position (coordonnées). Pour l'afficher, le programme renders 渲染 la liste de dessins à n'importe quelle résolution requise.

Bitmap vs vectoriel

Avantage vectoriel : il scales without losing quality — un logo vectoriel reste net à n'importe quelle taille, tandis qu'un bitmap devient flou lors du zoom. Inconvénient vectoriel : il ne peut pas décrire un détail arbitraire au niveau des pixels (photographies).

Une réponse "justify" relie le choix à la tâche. "Le logo doit apparaître sur une carte de visite et sur un panneau publicitaire, c'est donc qu'il devrait être un graphisme vectoriel : il est stocké comme des objets de dessin et est re-rendered sharply at any size, whereas a bitmap would show its pixels when enlarged." Pour une photographie, l'argument va dans l'autre sens : il n'y a pas de formes à décrire, donc la couleur de chaque pixel doit être stockée.

Une onde continue de analogue data 模拟数据 (le son) est convertie en digital data 数字数据 par sampling 采样 :

• sampling rate 采样率 — échantillons par seconde (Hz). La qualité CD est $44.1\ \text{kHz}$.
• sampling resolution 采样分辨率 (bit depth) — bits par amplitude amplitude 振幅 d'un échantillon. La qualité CD est de 16 bits.

Taille du fichier

Un extrait stéréo CD de 10 secondes : $44100 \times 16 \times 10 \times 2 = 14\,112\,000$ bits $\approx 1.68\ \text{MiB}$.

Modification des paramètres

• sampling rate plus élevé → capte les hautes fréquences, fichier plus grand.
• sample resolution plus élevée → étapes d'amplitude plus fines, moins de bruit de quantisation 量化, fichier plus grand.
• réduction de l'un ou l'autre → fichier plus petit, perte de qualité claire.

(Le taux d'échantillonnage doit être au moins le double de la fréquence la plus haute que vous souhaitez conserver.)

Compression 压缩 réduit la taille du fichier, économisant l'espace de stockage et la bandwidth 带宽 de transmission. Deux types :

• lossless 无损 — les données d'origine sont récupérées exactement (textes, programmes, ZIP/PNG).
• lossy 有损 — certains détails sont supprimés pour obtenir des fichiers beaucoup plus petits (JPEG, MP3, vidéo).

Quand utiliser lequel

• lossless pour les documents, le code source, les images médicales — tout ce qui nécessite des données exactes.
• lossy pour le streaming multimédia. Le Real-time video streaming utilise une compression lossy car il doit envoyer d'énormes quantités de données en temps réel sur une bande passante limitée ; une compression lossless ne la réduirait pas suffisamment. Une vidéo HD brute pèse des gigaoctets par minute, donc sans compression, l'image resterait constamment figée.

Une réponse "justify" nomme la méthode, puis la raison tirée de la situation : "Lossless, parce que le tableur doit être restauré exactement ; une seule valeur modifiée rendrait les comptes incorrects." Ou : "Lossy, parce que les photographies sont visionnées sur un écran de téléphone où les détails perdus ne sont pas visibles, et que les fichiers plus petits s'envoient plus vite et occupent moins de stockage."

Méthodes lossless

• run-length encoding 行程编码 (RLE) : stocker "les $n$ valeurs suivantes sont $x$" au lieu de répéter $x$. Idéal pour les zones planes ; inutile pour les données bruyantes.
• dictionary methods 字典编码 (ZIP, PNG) : remplacer les séquences d'octets répétées par une référence courte. Bon pour le texte et le code.
• Huffman coding 霍夫曼编码 : attribuer des codes courts aux symboles fréquents et des codes longs aux symboles rares, ramenant la longueur moyenne du code près de l'entropy 熵 des données.

Comment chaque type de fichier est compressé :

• fichier texte : les méthodes de dictionnaire et le codage Huffman transforment les mots et caractères fréquents en codes courts. Le texte doit rester lossless, car un seul caractère modifié change le sens.
• image bitmap : RLE pour les suites de pixels identiques (icônes, diagrammes, numérisations noir et blanc) ; JPEG lossy pour les photographies, ou une profondeur de couleur ou une résolution inférieure.
• graphisme vectoriel : la liste de dessins est déjà petite ; supprimer les objets de dessin inutiles, réduire le nombre de décimales des coordonnées, ou appliquer une méthode lossless comme ZIP au fichier.
• fichier audio : MP3 ou AAC lossy supprime ce que l'oreille ne peut entendre ; un taux ou une résolution d'échantillonnage inférieurs sont également lossy ; les formats lossless conservent chaque échantillon et réduisent le fichier bien moins.

Méthodes lossy

• images (JPEG) : supprimer les détails fins et les différences de couleur que l'œil voit à peine.
• sound (MP3, AAC) : supprimer les hautes fréquences que nous entendons moins bien, et les sons faibles cachés par des sons plus forts.
• video combine la compression spatial 空间 (dans chaque frame, comme JPEG) avec la compression temporal 时间 (la plupart des frames ne stockent que les différences par rapport à la frame précédente).

Une question de définition est notée selon un libellé fixe. Apprenez-les exactement et ne donnez qu'une seule réponse.

• Montrer le calcul pour les conversions de base : décimal → binaire par positions, binaire → hexadécimal en nibbles (groupes de 4 bits).
• Pour two's complement le MSB est négatif ; pour négater, invert and add 1 ; faire attention à l'overflow lorsque le bit de signe bascule mal.
• Distanguer bitmap (pixels ; taille de fichier $=$ largeur $\times$ height $\times$ colour depth) de vector (commandes de dessin ; scales without loss).
• La taille du fichier sonore dépend de sample rate $\times$ bit depth $\times$ temps — plus de chacun signifie une meilleure qualité mais un fichier plus grand.
• Comparez la compression sans perte vs avec perte et donnez un usage pour chacun.

Erreurs courantes

• Expliquer un dépassement de capacité avec « la réponse était supérieure à 255 » ou « elle a 9 bits ». Indiquez la taille de mot donnée par la question, puis précisez que le résultat ne peut pas être représenté dans cette taille.
• Créer un nombre négatif en positionnant le bit de poids fort à 1 et en laissant le reste (signe et magnitude). En complément à deux, il faut inverser chaque bit de la valeur positive, puis ajouter 1.
• Oublier d'ajouter des zéros de remplissage à un nombre converti pour atteindre la largeur du registre demandée par la question.
• Mélanger les bits et les octets dans un calcul de taille de fichier. Travaillez en bits, divisez par 8 une seule fois, et précisez si vous avez utilisé 1000 ou 1024.
• Répondre à « décrire » en langage courant (« l'image devient pire »). Utilisez les termes du programme : moins de couleurs, banding, résolution d'image plus faible, pixels plus grands.