Approximating Areas with Riemann Sums · Aproximación de áreas con sumas de Riemann
| English | Español |
|---|---|
| Riemann sum/ˈriːmən sʌm/ | suma de Riemann |
| left/left/ | izquierda |
| right/raɪt/ | derecha |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | punto medio |
| trapezoid/ˈtræpɪzɔɪd/ | trapecio |
| trapezoidal rule/ˈtræpɪzɔɪdl ruːl/ | regla del trapecio |
Estimate a curvy area with rectangles
- The area under a curve is rarely a neat rectangle — so approximate it with many thin rectangles.
- Slice the interval into strips, build a rectangle on each, and add up their areas.
- This sum of rectangle areas is a Riemann sum 黎曼和.
- More, thinner rectangles → a better estimate of the true area.
Estimar un área curva con rectángulos
- El área bajo una curva rara vez es un rectángulo perfecto, así que se aproxima usando muchos rectángulos delgados.
- Divide el intervalo en franjas, construye un rectángulo sobre cada una y suma sus áreas.
- Esta suma de áreas de rectángulos es una suma de Riemann 黎曼和.
- Cuantos más y más delgados sean los rectángulos → mejor será la estimación del área real.
The area we approximate · El área que aproximamos
y = x²
Rectangles or trapezoids fill the shaded area under the curve — more, thinner strips estimate it better. · Rectángulos o trapecios rellenan el área sombreada bajo la curva — más franjas delgadas estiman mejor.
Using more, thinner rectangles generally improves a Riemann-sum estimate. · Usar más rectángulos delgados generalmente mejora la estimación de una suma de Riemann.
Thinner strips hug the curve better. · Las franjas delgadas se adaptan mejor a la curva.
Left, right, and midpoint rectangles
- Each rectangle's height comes from the function — but where in the strip do you measure it?
- Left 左端 sum: height from the left edge of each strip.
- Right 右端 sum: height from the right edge.
- Midpoint 中点 sum: height from the middle — usually the most accurate of the three.
Rectángulos izquierdos, derechos y del punto medio
- La altura de cada rectángulo proviene de la función — pero ¿dónde en la franja se mide?
- Suma izquierda 左端: altura tomada desde el borde izquierdo de cada franja.
- Suma derecha 右端: altura tomada desde el borde derecho.
- Suma del punto medio 中点: altura tomada desde el centro; usualmente la más precisa de las tres.
For · A favor $f(x)=x^2$ on $[0,2]$ with $2$ right rectangles (width $1$): heights $f(1)=1$, $f(2)=4$. Find the right Riemann sum. · Para $f(x)=x^2$ en $[0,2]$ con $2$ rectángulos derechos (anchura $1$): alturas $f(1)=1$, $f(2)=4$. Encuentre la suma de Riemann derecha.
$1\cdot1+4\cdot1=5$.
Same setup, but a left · izquierda Riemann sum: heights $f(0)=0$, $f(1)=1$. Find it. · Mismo planteamiento, pero una suma de Riemann izquierda: alturas $f(0)=0$, $f(1)=1$. Encuéntrela.
$0\cdot1+1\cdot1=1$.
Which are standard ways to pick a rectangle's height in a Riemann sum? · ¿Cuáles son formas estándar de elegir la altura de un rectángulo en una suma de Riemann?
Left, right, and midpoint are the standard choices. · Extremo izquierdo, extremo derecho y punto medio son las opciones estándar.
Trapezoids fit even better
- Instead of a flat-topped rectangle, connect the two edge heights with a slanted top: a trapezoid 梯形.
- The trapezoidal rule 梯形法则 averages the left and right heights on each strip.
- It hugs a smooth curve more closely than rectangles, so it's usually more accurate.
- Area of each trapezoid $=\tfrac12(\text{left height}+\text{right height})\times\text{width}$.
Los trapecios se ajustan aún mejor
- En lugar de un rectángulo con parte superior plana, une las dos alturas del borde con una parte superior inclinada: un trapecio 梯形.
- La regla del trapecio 梯形法则 promedia las alturas izquierda y derecha en cada franja.
- Se ajusta más cerca a una curva suave que los rectángulos, por lo que suele ser más precisa.
- Área de cada trapecio $=\tfrac12(\text{left height}+\text{right height})\times\text{width}$.
The ____ rule uses slanted tops (average of edge heights) for a closer fit than rectangles. · La regla de los ____ usa techos inclinados (promedio de las alturas de los bordes) para un ajuste más cercano que los rectángulos.
Each trapezoid averages the left and right heights. · Cada trapecio promedia las alturas izquierda y derecha.
Over- or underestimate?
- On an increasing function: left sums underestimate, right sums overestimate.
- On a decreasing function: it's the reverse — left over, right under.
- The trapezoidal rule's error depends on concavity (over on concave-up, under on concave-down).
- Knowing the direction of the error lets you bound the true area.
¿Sobreestimación o subestimación?
- En una función creciente: las sumas izquierdas subestiman, las derechas sobreestiman.
- En una función decreciente: ocurre lo contrario — las izquierdas sobreestiman, las derechas subestiman.
- El error de la regla del trapecio depende de la concavidad (sobreestima si es cóncava hacia arriba, subestima si es cóncava hacia abajo).
- Conocer la dirección del error te permite acotar el área real.
For an increasing function, a left Riemann sum gives an... · Para una función creciente, una suma de Riemann izquierda da un...
Left heights are the smaller edge on an increasing curve → underestimate. · Las alturas izquierdas son el borde menor en una curva creciente → subestimación.
The three rectangle rules can give quite different answers for a small number of strips — they are approximations, not the exact area. And whether a left or right sum over- or under-estimates depends on whether the function is increasing or decreasing, not on the rule alone. Always check the function's behavior.
Las tres reglas de rectángulos pueden dar respuestas muy distintas para un pequeño número de franjas; son aproximaciones, no el área exacta. Además, si una suma izquierda o derecha sobreestima o subestima depende de si la función es creciente o decreciente, no solo de la regla en sí. Siempre revisa el comportamiento de la función.
Estimate the area under $f(x)=x^2$ on $[0,2]$ with $2$ right rectangles (width $1$).
- Right heights: $f(1)=1$ and $f(2)=4$.
- Right sum $=1\cdot1+4\cdot1=5$.
- (The true area is $\tfrac83\approx2.67$; since $x^2$ is increasing, the right sum overestimates — as expected.)
Estima el área bajo $f(x)=x^2$ en $[0,2]$ con $2$ rectángulos derechos (ancho $1$).
- Alturas derechas: $f(1)=1$ y $f(2)=4$.
- Suma derecha $=1\cdot1+4\cdot1=5$.
- (El área real es $\tfrac83\approx2.67$; como $x^2$ es creciente, la suma derecha sobreestima — como era de esperarse.)
A Riemann sum approximates area with rectangles: left, right, or midpoint heights. The trapezoidal rule uses slanted tops (averaging edge heights) for a closer fit. For an increasing function, left sums underestimate and right sums overestimate; more strips → a better approximation.
Una suma de Riemann aproxima el área usando rectángulos con alturas izquierdas, derechas o del punto medio. La regla del trapecio utiliza partes superiores inclinadas (promediando las alturas del borde) para un ajuste más cercano. Para una función creciente, las sumas izquierdas subestiman y las derechas sobreestiman; más franjas → mejor aproximación.