Riemann Sums, Summation Notation, and Definite Integral Notation · Sumas de Riemann, Notación de Sumatoria y Notación de Integral Definida
| English | Español |
|---|---|
| summation notation/sʌˈmeɪʃn nəʊˈteɪʃn/ | notación de sumatoria |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | integral definida |
| limits of integration/ˈlɪmɪts ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | límites de integración |
Writing "add up all the rectangles" compactly
- A Riemann sum with many rectangles needs tidy notation — enter the summation notation 求和记号.
- $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ means "add $f(x_i)\,\Delta x$ for $i=1$ to $n$."
- Each strip has width $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$ and height $f(x_i)$ at a sample point.
- The $\Sigma$ just says "sum these rectangle areas."
Escribir "sumar todos los rectángulos" de forma compacta
- Una suma de Riemann con muchos rectángulos necesita una notación ordenada — aquí entra la notación de sumatoria 求和记号.
- $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ significa "sumar $f(x_i)\,\Delta x$ para $i=1$ hasta $n$."
- Cada franja tiene un ancho $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$ y una altura $f(x_i)$ en un punto de muestra.
- El símbolo $\Sigma$ simplemente indica "suma estas áreas de rectángulo."
For · A favor $n$ equal strips on $[a,b]$, the width $\Delta x$ is... · Para $n$ franjas iguales en $[a,b]$, el ancho $\Delta x$ es...
The interval width divided by the number of strips. · El ancho del intervalo dividido por el número de franjas.
The symbol $\sum_{i=1}^{n}$ tells you to... · El símbolo $\sum_{i=1}^{n}$ te indica que debes...
Sigma means sum over the index range. · Sigma significa suma sobre el rango del índice.
Let the rectangles get infinitely thin
- The estimate improves as $n$ grows and $\Delta x$ shrinks. Take the limit $n\to\infty$.
- In that limit the rectangle sum becomes the exact area — no approximation left.
- That limiting value is the definite integral 定积分.
-
$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$$
Hacer que los rectángulos se vuelvan infinitamente delgados
- La estimación mejora a medida que $n$ crece y $\Delta x$ se reduce. Tomamos el límite cuando $n\to\infty$.
- En ese límite, la suma de los rectángulos se convierte en el área exacta — sin aproximaciones restantes.
- Ese valor límite es la integral definida 定积分.
-
$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$$
The integral is the exact area · La integral es el área exacta
y = x²
As the rectangles thin to nothing, their sum becomes the exact shaded area — the definite integral. · A medida que los rectángulos se vuelven infinitamente delgados, su suma se convierte en el área sombreada exacta — la integral definida.
The definite integral $\int_a^b f\,dx$ is the limit of a Riemann sum as... · La integral definida $\int_a^b f\,dx$ es el límite de una suma de Riemann cuando...
Infinitely many infinitely-thin rectangles → exact area. · Infinitos rectángulos infinitamente delgados → área exacta.
Reading the integral notation
- $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$: the $\int$ is a stretched "S" for sum; $a$ and $b$ are the limits of integration 积分限.
- $f(x)$ is the integrand (what you're accumulating); $dx$ is the infinitely thin width.
- Read it "the integral of $f$ of $x$, from $a$ to $b$."
- It denotes the exact signed area between the curve and the $x$-axis over $[a,b]$.
Leer la notación integral
- $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$: el símbolo $\int$ es una "S" estirada que significa suma; $a$ y $b$ son los límites de integración 积分限.
- $f(x)$ es el integrando (lo que se está acumulando); $dx$ representa el ancho infinitamente delgado.
- Se lee como "la integral de $f$ de $x$, desde $a$ hasta $b$."
- Denota el área signada exacta entre la curva y el eje $x$ sobre el intervalo $[a,b]$.
In $\int_a^b f(x)\,dx$, the function $f(x)$ being accumulated is called the ____. · En $\int_a^b f(x)\,dx$, la función $f(x)$ que se está acumulando se llama ____.
$a,b$ are the limits; $f(x)$ is the integrand. · $a,b$ son los límites; $f(x)$ es el integrando.
It's still signed area
- Just like the Riemann sum, the definite integral is signed.
- Where $f>0$ the integral adds area; where $f<0$ it subtracts.
- So $\int_a^b f\,dx$ can be positive, negative, or zero.
- $\Delta x$ carries the direction: going from $a$ to $b$ with $a
Todavía es área signada
- Al igual que la suma de Riemann, la integral definida es signada.
- Donde $f>0$, la integral suma área; donde $f<0$, la resta.
- Por lo tanto, $\int_a^b f\,dx$ puede ser positivo, negativo o cero.
- $\Delta x$ lleva la dirección: ir de $a$ a $b$ con $a
A definite integral $\int_a^b f\,dx$ evaluates to a single number. · Una integral definida $\int_a^b f\,dx$ se evalúa como un número único.
It is a signed-area number, not a function. · Es un número de área signada, no una función.
If $f(x)<0$ over all of $[a,b]$, then $\int_a^b f\,dx$ is... · Si $f(x)<0$ en toda $[a,b]$, entonces $\int_a^b f\,dx$ es...
Below-axis area is negative signed area. · El área bajo el eje es área signada negativa.
The definite integral is a number (a signed area), not a function — don't confuse it with the indefinite integral (a family of antiderivatives, lesson 6.8). And $\int_a^b f\,dx$ is signed area: a curve dipping below the axis makes a negative contribution, so the integral is not the same as "total geometric area."
La integral definida es un número (un área signada), no una función — no la confunda con la integral indefinida (una familia de antiderivadas, lección 6.8). Además, $\int_a^b f\,dx$ representa área signada: una curva que desciende bajo el eje contribuye de manera negativa, por lo que la integral no es lo mismo que el "área geométrica total".
Express the area under $f(x)=x^2$ on $[0,2]$ as a definite integral.
- Width of each of $n$ strips: $\Delta x=\dfrac{2-0}{n}=\dfrac2n$.
- Riemann sum: $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$.
- Exact area: $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ (which equals $\tfrac83$).
Exprese el área bajo $f(x)=x^2$ en $[0,2]$ como una integral definida.
- Ancho de cada una de las $n$ franjas: $\Delta x=\dfrac{2-0}{n}=\dfrac2n$.
- Suma de Riemann: $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$.
- Área exacta: $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ (que es igual a $\tfrac83$).
A Riemann sum in summation notation is $\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ with $\Delta x=\frac{b-a}{n}$. Its limit as $n\to\infty$ is the definite integral $\int_a^b f(x)\,dx$ — the exact signed area, with $a,b$ the limits of integration and $f(x)$ the integrand.
Una suma de Riemann en notación de sumatoria es $\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ con $\Delta x=\frac{b-a}{n}$. Su límite cuando $n\to\infty$ es la integral definida $\int_a^b f(x)\,dx$ — el área signada exacta, donde $a,b$ son los límites de integración y $f(x)$ es el integrando.