هندسة إحداثيات

يتم وصف نقطة على الرسم البياني بواسطة إحداثياتها، وتُسمى أحياناً إحداثيات ديكارتية، تُكتب $(x, y)$. الرقم الأول هو القيمة الأفقية والثاني هو القيمة العمودية.

• الخطين العدديين هما المحاور: محور $x$ الأفقي ومحور $y$ العمودي.
• يتقاطعان في نقطة الأصل، النقطة $(0, 0)$.
• تقسم المحاور الشبكة إلى أربعة أرباع.

لذلك، يُوجد النقطة $(3, -2)$ عن طريق التحرك $3$ إلى اليمين و$2$ للأسفل.

يمكن كتابة معظم الخطوط المستقيمة على الصورة

حيث $m$ هو الميل (الانحدار) و$c$ هو المقطع — قيمة $y$ حيث يقطع الخط محور $y$.

• خط مثل $x = k$ (على سبيل المثال $x = 3$) يكون عمودياً.
• خط مثل $y = k$ (على سبيل المثال $y = 3$) يكون أفقيًا.

قد يُعطى الخط أيضاً على الصورة $ax + by = c$. أعد ترتيبه في $y = mx + c$ لقراءة الميل والمقطع.

مثال محلول. أوجد الميل ومقطع $y$ لـ $5x + 4y = 8$.

إذن الميل هو $-\tfrac{5}{4}$ ومقطع $y$ هو $2$.

يقيس الميل مدى انحدار الخط:

الميل الموجب يتجه للأعلى نحو اليمين؛ الميل السالب يتجه للأسفل نحو اليمين.

مثال محلول. أوجد ميل الخط المار بالنقطتين $(1, 2)$ و$(4, 11)$.

لرسم $y = mx + c$، الطريقة الأسرع هي:

1. عيّن المقطع $c$ على محور $y$.
2. استخدم الميل للانتقال إلى نقاط أكثر (بالنسبة لـ $m = 3$، تحرك $1$ يميناً و$3$ لأعلى).
3. صل النقاط بخط مستقيم.

يمكنك أيضاً إنشاء جدول قيم صغير: اختر قيمتي أو ثلاث قيم لـ $x$، احسب $y$، ثم ارسم النقاط.

إذا كنت تعرف الميل $m$ ونقطة واحدة على الخط، عوض النقطة في $y = mx + c$ لإيجاد $c$.

مثال محلول. خط له ميل $3$ ويمر عبر $(1, 2)$. أوجد معادلته.

إذن المعادلة هي $y = 3x - 1$. (إذا أُعطيت نقطتين، أوجد الميل أولاً، ثم طبق هذا.)

القطعة المستقيمة هي الجزء المستقيم بين نقطتين.

لإيجاد طول القطعة بين $(x_1, y_1)$ و$(x_2, y_2)$، استخدم نظرية فيثاغورس على الفجوات الأفقية والعمودية:

لإيجاد النقطة المنتصف (النقطة التي تقع تماماً في الوسط)، احسب المتوسط الإحداثي:

مثال محلول. أوجد الطول والنقطة المنتصف للقطعة من $(1, 2)$ إلى $(4, 6)$.

الخطوط المتوازية لا تتقاطع أبداً، لذا لها نفس الميل.

مثال محلول. أوجد معادلة الخط الموازي لـ $y = 4x - 1$ الذي يمر عبر $(1, -3)$.

الميل هو أيضاً $4$. عوض النقطة في:

فإن الخط هو $y = 4x - 7$.

يكون خطان متعامدين إذا التقيا بزاوية ** قائمة**. حاصل ضرب ميلهما يساوي $-1$:

بكلمات أخرى: اقلب الكسر وغير الإشارة.

مثال محلول. أوجد ميل خط عمودي على $2y = 3x + 1$.

أعد الترتيب: $y = \tfrac{3}{2}x + \tfrac{1}{2}$، إذن الميل هو $\tfrac{3}{2}$. والميل العمودي هو $-\tfrac{2}{3}$.

المنصف العمودي

المنصف العمودي للقطعة يقسمها لنصفين بزاوية قائمة. لإيجاد معادلته: أحسب النقطة المنتصف، ثم استخدم الميل العمودي المار بتلك النقطة.

مثال محلول. أوجد المنصف العمودي للقطعة الرابطة بين $(-3, 8)$ و$(9, -2)$.

• النقطة المنتصف: $\left( \frac{-3 + 9}{2}, \frac{8 + (-2)}{2} \right) = (3, 3)$.
• ميل القطعة: $\frac{-2 - 8}{9 - (-3)} = \frac{-10}{12} = -\tfrac{5}{6}$.
• الميل العمودي: $\frac{6}{5}$.

عبر $(3, 3)$: $\; 3 = \tfrac{6}{5}(3) + c \Rightarrow c = 3 - \tfrac{18}{5} = -\tfrac{3}{5}$. إذن المنصف هو

• الخط المستقيم هو $y = mx + c$: $m$ هو الميل و$c$ هو حيث يقطع الخط محور $y$.
• الميل = (التغير في $y$) ÷ (التغير في $x$). احتفظ بالإحداثيين بنفس الترتيب في البسط والمقام.
• الخطوط المتوازية لها نفس الميل؛ الخطوط المتعامدة حاصل ضرب ميوليها يساوي $-1$ (المعكوس السالب).
• النقطة المنتصف هي المتوسط الإحداثي؛ والمسافة بين نقطتين تُستنتج من فيثاغورس على الفروقات.