فهم دائم (FUN-3): إدراك الفرص لتطبيق قواعد الاشتقاق يمكن أن يبسط عملية الاشتقاق.
الهدف التعليمي FUN-3.C: حساب مشتقات تركيبات الدوال القابلة للاشتقاق.
- FUN-3.C.1 توفر قاعدة السلسلة طريقة لاشتقاق الدوال المركبة.
الاشتقاق: الدوال المركبة والضمنية والعكسية
AP التفاضل والتكامل BC · الموضوع 3
7:58
قاعدة السلسلة
فكر في تروسين متصلتين. أدر الأول، وسيحرك الثاني. إذا كان الثاني يدور ثلاث مرات أسرع من الأول، والأول يدور…
سرد باللغة الإنجليزية · ترجمة مدمجة بالإنجليزية + الصينية
3.1
قاعدة السلسلة
المنهج
المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP
وحدة 2 اشتملت على اشتقاق دوال مفردة. وحدة 3 تشتق دوال مبنية داخل دوال أخرى. قاعدة السلسلة تشتق دالة مركبة $f\big(g(x)\big)$:
$$\frac{d}{dx}\,f\big(g(x)\big) = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).$$
"مشتقة الدالة الخارجية (مع ترك الداخلية كما هي)، مضروبة في مشتقة الداخل." المشتقة الداخلية $g'(x)$ هي الجزء الذي ينساه الطلاب، لذا اسأل دائماً "ما هو الداخل وما هي مشتقته؟" مثال:
$$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.$$
في ترميز لايبنتز، مع $y=f(u)$ و$u=g(x)$، تكون القاعدة $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ – حيث يبدو أن $du$ "يختزل". غالبًا ما تقدم أسئلة الامتحانات جدولًا لـ $f$، $g$، $f'$، $g'$ وتطلب حساب $h'(a)$ حيث $h(x)=f\big(g(x)\big)$؛ قم بتقييم $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$ بقراءة القيم.
مثال محلول. اشتق $h(x)=(2x^2+1)^5$. الدالة الخارجية هي "(شيء)$^5$" والدالة الداخلية هي $2x^2+1$:
$$h'(x)=5(2x^2+1)^4\cdot 4x=20x(2x^2+1)^4.$$
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | قاعدة السلسلة |
| composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/ | الدالة المركبة |
| Implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | الاشتقاق الضمني |
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | الدالة العكسية |
| reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ | مقلوبه |
| inverse trigonometric functions/ɪnˈvɜːs ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ˈfʌŋkʃnz/ | الدوال المثلثية العكسية |
| second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | المشتقة الثانية |
| concavity/kənˈkævɪti/ | التقعر |
3.2
الاشتقاق الضمني
المنهج
فهم دائم (FUN-3): إدراك الفرص لتطبيق قواعد الاشتقاق يمكن أن يبسط عملية الاشتقاق.
الهدف التعليمي FUN-3.D: حساب مشتقات الدوال المعرّضة ضمنيًا.
- FUN-3.D.1 تُعد قاعدة السلسلة أساس الاشتقاق الضمني.
المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP
بعض المنحنيات تُعرّف ضمنياً – بمعادلة في $x$ و$y$ غير محلولة بالنسبة لـ$y$، مثل $x^2+y^2=25$. الاشتقاق الضمني يعثر على $\dfrac{dy}{dx}$ دون الحاجة إلى حلها من أجل $y$ أولاً. إنه مجرد قاعدة السلسلة، مع اعتبار $y$ دالة في $x$.
الطريقة: اشتق كلا الطرفين بالنسبة لـ$x$؛ في كل مرة تشتق فيها حدًا يحتوي على $y$، اضربه في $\dfrac{dy}{dx}$ (قاعدة السلسلة)؛ ثم احل جبريًا لإيجاد $\dfrac{dy}{dx}$. بالنسبة لـ$x^2+y^2=25$:
$$2x + 2y\frac{dy}{dx}=0 \;\Longrightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.$$
مثال محلول. أوجد المماس لـ $x^2+y^2=25$ عند $(3,4)$. هنا $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{4}$، لذا المعادلة المستقيمة للمماس هي $y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3)$ – عمودية على نصف القطر، كما تتوقع الهندسة.
مهارة امتحانية – "أثبت أن $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$". يظهر هذا النص الدقيق في معظم السنوات (مثل "أثبت أن $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$"). بما أن الهدف معطى، يجب عليك إظهار كل خطوة جبرية بوضوح: اشتق الطرفين، واستخدم قواعد الضرب/السلسلة على الحدود المختلطة $xy$، واجمع جميع حدود $\dfrac{dy}{dx}$ في طرف واحد، وأخرج عاملاً مشتركاً، وقسم. السطر الأخير الصحيح الذي يتخطى الجبر يكتسب درجات قليلة. الأجزاء اللاحقة تطلب بعد ذلك معادلة المماس، أو حيث يكون المماس أفقياً ($\tfrac{dy}{dx}=0$، لذا البسط هو $0$) أو عمودياً (المقام هو $0$).
3.3
اشتقاق الدوال العكسية
المنهج
فهم دائم (FUN-3): إدراك الفرص لتطبيق قواعد الاشتقاق يمكن أن يبسط عملية الاشتقاق.
الهدف التعليمي FUN-3.E: حساب مشتقات الدوال العكسية والدوال المثلثية العكسية.
- FUN-3.E.1 يمكن استخدام قاعدة السلسلة وتعريف الدالة العكسية لإيجاد مشتقة الدالة العكسية، شريطة وجود المشتقة.
المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP
إذا كانت $g$ هي الدالة العكسية لـ$f$ (أي $f(g(x))=x$)، تربط قاعدة السلسلة بين مشتقاتهما:
$$g'(x) = \frac{1}{f'\big(g(x)\big)},\qquad\text{provided } f'\big(g(x)\big)\neq 0.$$
بالكلمات: مشتقة الدالة العكسية عند نقطة ما هي مقلوب مشتقة الدالة الأصلية عند النقطة المطابقة. إعداد امتحان شائع يعطي جدولاً ونقطة $(a,b)$ على $f$ (أي $(b,a)$ تقع على $g$)، ثم يطلب $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$.
مثال محلول. إذا كانت $f(2)=5$ و $f'(2)=3$، وكانت $g$ هي مقلوب $f$، فإن $(5,2)$ تقع على $g$ و $g'(5)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{3}$.
استكشف
دالة أسية ومعكوسها اللوغاريتمي
y = a·e^(bx) + c
الدوال العكسية تعكس عبر $y=x$ وميولها مقلوبات. حيثما كان أحدهما حاداً، يكون معكوسه مسطحاً.
3.4
اشتقاق الدوال المثلثية العكسية
المنهج
فهم دائم (FUN-3): إدراك الفرص لتطبيق قواعد الاشتقاق يمكن أن يبسط عملية الاشتقاق.
الهدف التعليمي FUN-3.E: حساب مشتقات الدوال العكسية والدوال المثلثية العكسية.
- FUN-3.E.2 يمكن استخدام قاعدة السلسلة مطبقة مع تعريف الدالة العكسية، أو صيغة مشتقة الدالة العكسية، لإيجاد مشتقات الدوال المثلثية العكسية.
المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP
تعطي نفس الفكرة مشتقات الدوال المثلثية العكسية. الثلاثة التي يجب أن تعرفها:
$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}, \quad \frac{d}{dx}\text{arcsec}\,x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$
ادمج هذه مع قاعدة السلسلة عندما يكون المدخل نفسه دالة، مثل $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$.
3.5
اختيار الإجراءات لحساب المشتقات
المنهج
يُقصَد بهذا الموضوع التركيز على مهارة اختيار إجراء مناسب لحساب المشتقات. ينبغي توفير فرص للطلاب للتدريب على متى وكيف تطبيق جميع الأهداف التعليمية المتعلقة بحساب المشتقات.
المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP
موضوع مهارة: المشتقات الحقيقية تمزج عدة قواعد، لذا اقرأ بنية التعبير أولاً، من الخارج إلى الداخل.
- هل هو مجموع؟ اشتق الحد بحد.
- حاصل ضرب أو قسمة؟ طبق تلك القاعدة، وتوقع استخدام قاعدة السلسلة داخليًا.
- دالة مركبة (شيء داخل شيء آخر)؟ قاعدة السلسلة.
- مُعطاة ضمنياً؟ الاشتقاق الضمني.
سمّ العملية الخارجية، وطبق قاعدتها، واستمر في التكرار نحو الداخل. النظافة تمنع أخطاء الإشارات والتدوين المحاسبي التي تكلف الدرجات.
3.6
حساب المشتقات الأعلى رتبة
المنهج
فهم دائم (FUN-3): إدراك الفرص لتطبيق قواعد الاشتقاق يمكن أن يبسط عملية الاشتقاق.
الهدف التعليمي FUN-3.F: تحديد المشتقات ذات الرتب الأعلى للدالة.
- FUN-3.F.1 اشتقاق $f'$ ينتج المشتقة الثانية $f''$، شريطة أن تكون مشتقة $f'$ موجودة؛ وتكرار هذه العملية ينتج مشتقات ذات رتب أعلى لـ $f$.
- FUN-3.F.2 تُمثل المشتقات ذات الرتب الأعلى بمجموعة متنوعة من الرموز. بالنسبة لـ $y = f(x)$، تشمل رموز المشتقة الثانية $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$، $f''(x)$، و $y''$. ويمكن ترميز المشتقات ذات الرتب الأعلى بـ $\dfrac{d^n y}{dx^n}$ أو $f^{(n)}(x)$.
المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP
اشتقاق $f'$ ينتج المشتقة الثانية $f''$؛ التكرار يعطي مشتقات أعلى رتبة. التدوينات:
$$f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=y'', \qquad\text{and in general}\qquad f^{(n)}(x)=\frac{d^n y}{dx^n}.$$
المشتقة الثانية تقاس كيف يتغير الميل؛ وهي تحرك التحدّب والتسارع في الوحدات اللاحقة. لإيجاد $f''$ ضمنياً، اشتق تعبير $\dfrac{dy}{dx}$ مرة أخرى (باستخدام قواعد القسمة والسلسلة)، ثم عوض $\dfrac{dy}{dx}$ مرة أخرى.
استكشف
المشتقة الثانية هي ميل الميل
y = ax³ + bx² + cx + d
الاشتقاق مرة أخرى يعطي $f''$، وهو معدل تغير الميل. حيثما كان الميل متزايداً، ينحني المنحنى لأعلى.
3.6
نصائح للامتحان
- استخدم قاعدة السلسلة للدوال المركبة — اشتق الجزء الخارجي، ثم اضربه في مشتقة الجزء الداخلي (العامل الأكثر نسيانًا).
- للاشتقاق الضمني، اشتق كلا الطرفين بالنسبة لـ$x$ وأضف $\tfrac{dy}{dx}$ في كل مرة يتم فيها اشتقاق $y$، ثم حل.
- احصل على المشتقة الثانية بالاشتقاق مرتين (السرعة → التسارع).
- ادمج القواعد بعناية في التعبيرات المتعددة الطبقات (السلسلة داخل الضرب، إلخ).
- رسم الدالة العكسية هو الانعكاس في $y=x$؛ ميله هو مقلوب الميل الأصلي عند النقطة المطابقة.
دروس تفاعلية حول هذا الموضوع
ا-working عليه خطوة بخطوة، مع تمارين تحقق فوري.