الاشتقاق: التعريف والخصائص الأساسية

AP التفاضل والتكامل AB · الموضوع 2

عرض الشرائح تدريب

درس فيديو لهذا الموضوع افتح صفحة الفيديو

2.1

معدلات التغير المتوسطة واللحظية

المنهج

فهم دائم (CHA-2): تسمح المشتقات لنا بتحديد معدلات التغير اللحظية عن طريق تطبيق النهايات على معرفة معدلات التغير على الفترات.

هدف التعلم CHA-2.A: تحديد معدلات التغير المتوسطة باستخدام الكسور الفرق.

CHA-2.A.1 تمثل الكسور الفرق $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ و $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ معدل التغير المتوسط لدالة على فترة.

هدف التعلم CHA-2.B: تمثيل مشتقة دالة كنهاية لكسر فرق.

CHA-2.B.1 يمكن التعبير عن معدل التغير اللحظي لدالة عند $x=a$ بواسطة $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ أو $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$، شريطة وجود النهاية. هذه أشكال مكافئة لتعريف المشتقة وتُرمز لها بـ $f'(a)$.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

قطار التسلق على تلة الصعود: المشتقة تقاس معدل التغير اللحظي للموقع

المشتقة من المبادئ الأولى

وحدة 1 بنيت مفهوم النهاية. وحدة 2 تستخدمها لتعريف المشتقة – وهي معدل التغير الدقيق عند نقطة.

معدل التغير اللحظي هو ميل المماس عند نقطة — المعدل اللحظي للتغير هو ميل المماس عند نقطة

على طول فترة، معدل التغير المتوسط هو كسر الفرق. يظهر شكلان متكافئان:

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \qquad\text{and}\qquad \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$

الأول يستخدم خطوة بحجم $h$ من $a$؛ والثاني يستخدم نقطتين $x$ و$a$. كلاهما يحسب $\dfrac{\text{change in output}}{\text{change in input}}$ خلال الفترة.

المعدل اللحظي للتغير عند $x=a$ هو ما يقترب إليه كسر الفرق كلما انكملت الفترة لتصبح صفراً. هذه النهاية هي المشتقة عند $a$، تُكتب $f'(a)$:

$$f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},$$

بشرط وجود النهاية.

استكشف

من المعدل المتوسط إلى المعدل اللحظي

y = ax³ + bx² + cx + d

حرك النقطة: القاطع المار بنقطتين قريبتين يميل نحو المماس عندما تندمجان. ميل المماس هو المشتقة — معدل التغير اللحظي.

مفردات تدريب

English	العربية
derivative/dɪˈrɪvətɪv/	المشتقة
difference quotient/ˈdɪfrəns ˈkwəʊʃənt/	مقدار الفرق
instantaneous/ˌɪnstənˈteɪnɪəs/	لحظي
first principles/fɜːst ˈprɪnsɪplz/	المبادئ الأولى
notations/nəʊˈteɪʃnz/	الرموز
slope/sləʊp/	الميل
tangent line/ˈtændʒənt laɪn/	المماس

2.2

تعريف المشتقة ورموزها

المنهج

فهم دائم (CHA-2): تسمح المشتقات لنا بتحديد معدلات التغير اللحظية عن طريق تطبيق النهايات على معرفة معدلات التغير على الفترات.

هدف التعلم CHA-2.B: تمثيل مشتقة دالة كنهاية لكسر فرق.

CHA-2.B.2 مشتقة $f$ هي الدالة التي تكون قيمتها عند $x$ هي $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$، شريطة وجود هذه النهاية.
CHA-2.B.3 بالنسبة لـ $y=f(x)$، تشمل الرموز المستخدمة للمشتقة $\dfrac{dy}{dx}$، و $f'(x)$، و $y'$.
CHA-2.B.4 يمكن تمثيل المشتقة بيانياً، عددياً، تحليلياً، ولفظياً.

هدف التعلم CHA-2.C: تحديد معادلة خط مماس لمنحنى عند نقطة محددة.

CHA-2.C.1 المشتقة لدالة عند نقطة هي ميل الخط المماس لمنحنى الدالة عند تلك النقطة.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

ليكن النقطة $a$ متغيرة، وتصبح المشتقة دالة جديدة:

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

هذا هو تعريف المشتقة (يُسمى أحياناً الاشتقاق "من المبادئ الأولى"). قيمته عند كل $x$ هو معدل التغير اللحظي هناك.

الرموز الشائعة للمشتقة لـ $y=f(x)$ هي:

$$\frac{dy}{dx}, \qquad f'(x), \qquad y'.$$

يمكن تمثيل المشتقة بيانياً، عددياً، تحليلياً، ولفظياً – كن مستعداً للانتقال بينها.

المعنى الهندسي. المشتقة عند نقطة هي الميل لـ خط المماس للرسم البياني هناك. لذا خط المماس عند $x=a$ يمر عبر $\big(a, f(a)\big)$ بميل $f'(a)$:

$$y - f(a) = f'(a)\,(x-a).$$

كتابة هذا الخط مهمة روتينية في الامتحان، لذا احتفظ بصيغة النقطة والميل جاهزة.

ميل الوتر يقترب من ميل المماس: المشتقة هي نهاية المعدلات المتوسطة — عندما تتحرك $Q$ نحو $P$، يقترب ميل كل قاطعة (وهو معدل متوسط) من ميل المماس – المشتقة $f'(a)$.

2.3

تقدير المشتقة عند نقطة

المنهج

فهم دائم (CHA-2): تسمح المشتقات لنا بتحديد معدلات التغير اللحظية عن طريق تطبيق النهايات على معرفة معدلات التغير على الفترات.

هدف التعلم CHA-2.D: تقدير المشتقات.

CHA-2.D.1 يمكن تقدير المشتقة عند نقطة من المعلومات المعطاة في الجداول أو الرسوم البيانية.
CHA-2.D.2 يمكن استخدام التكنولوجيا لحساب أو تقدير قيمة مشتقة دالة عند نقطة.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

ليس لديك دائماً صيغة. عندما تُعطى الدالة بجدول أو رسم بياني، قدر المشتقة $f'(a)$ بكسر فرق على فترة صغيرة حول $a$. جدول يحتوي على قيم على كلا طرفي $a$ يعطي أفضل تقدير:

$$f'(a) \approx \frac{f(b)-f(c)}{b-c},\qquad \text{where } c < a < b \text{ are the closest table inputs}.$$

التكنولوجيا (الحاسبة) يمكنها أيضاً تقدير المشتقة عند نقطة.

مهارة امتحان (تظهر تقريبًا كل عام). أسئلة مثل "قدر $M'(7.5)$ باستخدام معدل التغير المتوسط لـ $M$ خلال الفترة $5 \le t \le 10$" تطلب بالضبط هذا كسر الفرق. أظهر الإعداد:

$$M'(7.5) \approx \frac{M(10)-M(5)}{10-5}.$$

يتطلب الحصول على الدرجة الكاملة تعويض الأرقام و الوحدات الصحيحة (وحدات المخرجات لكل وحدة من المدخلات)، حيث تُستمد هذه القيم من نماذج واقعية.

مفردات تدريب

English	العربية
table/ˈteɪbl/	جدول
units/ˈjuːnɪts/	وحدات
differentiable/ˈdɪfərenʃɪəbl/	قابلة للاشتقاق
continuous/kənˈtɪnjuːəs/	متصلة
corner/ˈkɔːnə/	الزاوية الحادة
vertical tangent/ˈvɜːtɪkl ˈtændʒənt/	المماس العمودي
power rule/ˈpaʊə ruːl/	قاعدة القوة
Constant multiple/ˈkɒnstənt ˈmʌltɪpl/	ثابت مضروب
polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/	كثيرة حدود

2.4

متى توجد المشتقة؟

المنهج

فهم دائم (FUN-2): إدراك أن مشتقة الدالة قد تكون أيضاً دالة يسمح لنا بتطوير المعرفة حول السلوكيات المرتبطة لكلاهما.

هدف التعلم FUN-2.A: شرح العلاقة بين قابلية الاشتقاق والاستمرارية.

FUN-2.A.1 إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق عند نقطة، فهي مستمرة عند تلك النقطة. وتحديداً، إذا كانت نقطة ما ليست في مجال $f$، فإنها ليست في مجال $f'$.
FUN-2.A.2 قد تفشل الدالة المستمرة في أن تكون قابلة للاشتقاق عند نقطة في مجالها.
- أمثلة توضيحية لـ FUN-2.A.2:
  - النهايات أحادية الجانب لكسر الفرق غير متساوية، كما في $f(x)=|x|$ عند $x=0$.
  - الخط المماس عمودي وليس له ميل، كما في $f(x)=\sqrt[3]{x}$ عند $x=0$.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

قابلية الاشتقاق أقوى من الاستمرارية. العلاقة الأساسية:

إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق عند نقطة ما، فإن $f$ مستمرة عند تلك النقطة.

لذلك، قابلية الاشتقاق تفترض الاستمرارية. العكس غير صحيح: يمكن أن تكون دالة مستمرة وغير قابلة للاشتقاق. يحدث ذلك بطريقتين:

زاوية حادة: تتعارض حدود نهاية حاصل الفرق من اليسار واليمين، كما في $f(x)=|x|$ عند $x=0$.
مماس عمودي: يكون الميل لا نهائياً (لا يوجد عدد حقيقي)، كما في $f(x)=\sqrt[3]{x}$ عند $x=0$.

طريقتان تكون فيها الدالة المستمرة غير قابلة للاشتقاق: زاوية حادة ومماس عمودي

أيضاً، النقطة خارج مجال تعريف $f$ لا يمكن أن تكون في مجال تعريف $f'$. استخدم الاستلزام العكسي في الامتحان: إذا كانت $f$ غير متصلة عند $a$، فإن $f$ ليست قابلة للاشتقاق عند $a$.

2.5

قاعدة القوة

المنهج

فهم دائم (FUN-3): إدراك الفرص لتطبيق قواعد الاشتقاق يمكن أن يبسط عملية الاشتقاق.

هدف التعلم FUN-3.A: حساب مشتقات الدوال المألوفة.

FUN-3.A.1 يمكن استخدام التطبيق المباشر لتعريف المشتقة والقواعد الخاصة لحساب المشتقة للدوال من الشكل $f(x)=x^{r}$.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

من هنا نستخدم القواعد بدلاً من تعريف النهاية في كل مرة. تتناول قاعدة القوة أي قوة لـ $x$:

$$\frac{d}{dx}\,x^{r} = r\,x^{\,r-1}\qquad\text{for any real } r.$$

تنطبق على القوى العددية الصحيحة والقوى السالبة ($\tfrac{1}{x}=x^{-1}$) والجذور ($\sqrt{x}=x^{1/2}$) – أعد الكتابة كقوة أولاً، ثم طبق القاعدة.

استكشف

دالة أسية وميلها المتزايد

y = ax³ + bx² + cx + d

يُطبق قاعدة القوة $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ بإنزال الأس作为عامل مضروب. بالنسبة لـ $x^3$، يزداد الميل بسرعة عندما يتحرك $x$ بعيدًا عن 0 — حيث becomes المنحنى أكثر انحدارًا.

2.6

قواعد الثابت والمجموع والفرض والضرب في ثابت

المنهج

فهم دائم (FUN-3): إدراك الفرص لتطبيق قواعد الاشتقاق يمكن أن يبسط عملية الاشتقاق.

هدف التعلم FUN-3.A: حساب مشتقات الدوال المألوفة.

FUN-3.A.2 يمكن اشتقاق مجموع الدوال وفرقها ومضاعفاتها الثابتة باستخدام قواعد الاشتقاق.
FUN-3.A.3 يمكن استخدام قاعدة القوة مجتمعة مع خصائص المجموع والفرق والمضاعف الثابت لإيجاد مشتقات الدوال كثيرة الحدود.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

تسمح هذه القواعد باشتقاق الحد بحد:

الثابت: $\dfrac{d}{dx}\,k = 0$ (الثابت لا يتغير).
الضرب في ثابت: $\dfrac{d}{dx}\big[k\,f(x)\big] = k\,f'(x)$.
المجموع / الفرق: $\dfrac{d}{dx}\big[f(x)\pm g(x)\big] = f'(x)\pm g'(x)$.

بدمجها مع قاعدة القوة، يتم اشتقاق أي حد كثي الحدود بحد بحد. مثال:

$$\frac{d}{dx}\big(4x^3 - 5x + 7\big) = 12x^2 - 5.$$

2.7

مشتقات sin x و cos x و e^x و ln x

المنهج

فهم دائم (FUN-3): إدراك الفرص لتطبيق قواعد الاشتقاق يمكن أن يبسط عملية الاشتقاق.

هدف التعلم FUN-3.A: حساب مشتقات الدوال المألوفة.

FUN-3.A.4 يمكن استخدام قواعد محددة لإيجاد مشتقات دوال الجيب، جيب التمام، الأسية، واللوغاريتمية.

فهم دائم (LIM-3): يمكن استخدام التفكير المستند إلى التعاريف والنظريات والخصائص لتحديد النهاية.

الهدف التعليمي LIM-3.A: تفسير النهاية كتعريف للمشتقة.

LIM-3.A.1 في بعض الحالات، يُعد التعرف على تعبير يمثل تعريف المشتقة لدالة تُعرف مشتقتها استراتيجية لتحديد نهاية ما.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

احفظ هذه المشتقات الأربع الأساسية عن ظهر قلب:

$$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \qquad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x,$$

$$\frac{d}{dx}e^{x} = e^{x}, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}\ \ (x>0).$$

لاحظ الإشارة السالبة في مشتقة جيب التمام، وأن $e^{x}$ هي مشتقتها بنفسها.

نهاية تمثل حقاً مشتقة (LIM-3.A.1). أحياناً تكون النهاية خفية تعريف لمشتقة معروفة. إذا قمت بالتعرف على

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

لدالة $f$ تعرف مشتقتها، فقط قم بحساب $f'(a)$. على سبيل المثال، $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}+h\big)-1}{h} = \left.\frac{d}{dx}\sin x\right|_{x=\pi/2} = \cos\tfrac{\pi}{2} = 0$.

استكشف

شكل sin x (الذي ميله هو cos x)

y = asin(bx + c) + d

المشتقة لـ $\sin x$ هي $\cos x$: ميل منحنى الجيب يكون أكبر حيث يقطع الصفر ويصبح صفراً عند قمم المنحنى. راقب المنحنى لتشعر أين يكون ميله حاداً أو مسطحاً.

2.8

قاعدة الضرب

المنهج

فهم دائم (FUN-3): إدراك الفرص لتطبيق قواعد الاشتقاق يمكن أن يبسط عملية الاشتقاق.

هدف التعلم FUN-3.B: حساب مشتقات مضروبات ونسب الدوال القابلة للاشتقاق.

FUN-3.B.1 يمكن إيجاد مشتقات جداء الدوال القابلة للاشتقاق باستخدام قاعدة الضرب.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

قاعدة الضرب كمستطيل متوسع

حاصل ضرب دالتين لا يُشتق بضرب المشتقات. استخدم قاعدة الضرب:

$$\frac{d}{dx}\big[u\,v\big] = u'v + uv'.$$

"مشتقة الأولى مضروبة في الثانية، زائد الأولى مضروبة في مشتقة الثانية." مثال:

$$\frac{d}{dx}\big(x^2 e^{x}\big) = 2x\,e^{x} + x^2 e^{x}.$$

غالباً ما تبني أسئلة الامتحانات دالة جديدة من قطع معطاة، مثل $k'(x) = \big(f(x)\big)^2 g(x)$، وتطلب منك دمج القواعد أثناء قراءة القيم من جدول.

مفردات تدريب

English	العربية
product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/	قاعدة الضرب

2.9

قاعدة القسمة

المنهج

فهم دائم (FUN-3): إدراك الفرص لتطبيق قواعد الاشتقاق يمكن أن يبسط عملية الاشتقاق.

هدف التعلم FUN-3.B: حساب مشتقات مضروبات ونسب الدوال القابلة للاشتقاق.

FUN-3.B.2 يمكن إيجاد مشتقات قسمة الدوال القابلة للاشتقاق باستخدام قاعدة القسمة.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

للقسمة، استخدم قاعدة القسمة:

$$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{u}{v}\right] = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}.$$

"المقام في مشتقة البسط، ناقص البسط في مشتقة المقام، الكل مقسوماً على مربع المقام." الترتيب مهم بسبب الإشارة السالبة، لذا اكتب البسط بعناية. مثال:

$$\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{\cos x}\right) = \frac{1\cdot\cos x - x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos x + x\sin x}{\cos^2 x}.$$

2.10

مشتقات tan x و cot x و sec x و csc x

المنهج

فهم دائم (FUN-3): إدراك الفرص لتطبيق قواعد الاشتقاق يمكن أن يبسط عملية الاشتقاق.

هدف التعلم FUN-3.B: حساب مشتقات مضروبات ونسب الدوال القابلة للاشتقاق.

FUN-3.B.3 إعادة ترتيب دوال الظل، وظل التمام، والقاطع، وقاطع التمام باستخدام المتطابقات يسمح بالاشتقاق باستخدام قواعد الاشتقاق.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

قاعدة القسمة: اشتقاق كسر

لا يتم حفظ باقي المشتقات المثلثية بشكل منفصل – بل تقوم بإعادة كتابتها باستخدام الهويات وتطبيق قاعدة القسمة (أو الضرب). على سبيل المثال، $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$، مما يعطي قاعدة القسمة

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cos x - \sin x(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.$$

نفس الطريقة (كتابة $\cot x=\tfrac{\cos x}{\sin x}$، $\sec x=\tfrac{1}{\cos x}$، $\csc x=\tfrac{1}{\sin x}$) تعطي $-\csc^2 x$، $\sec x\tan x$، و $-\csc x\cot x$.

المشتقات ذات الرتب الأعلى. اشتقاق $f'$ مرة أخرى يعطي المشتقة الثانية $f''(x)$ (أو $\tfrac{d^2y}{dx^2}$) – وهو معدل تغير معدل التغير. جزء من الامتحان مثل "أوجد $k''(3)$" يعني ببساطة اشتقاق مرتين، ثم التعويض. يمكنك أيضاً تقدير المشتقة الثانية من جدول عن طريق تطبيق طريقة معدل التغير المتوسط على قيم $f'$.

مثال محلول. اشتق $f(x)=x^2\sin x$ باستخدام قاعدة الضرب $(uv)'=u'v+uv'$: خذ $u=x^2$ ($u'=2x$) و$v=\sin x$ ($v'=\cos x$)، مما يعطي $f'(x)=2x\sin x+x^2\cos x$. دائماً اقرأ الهيكل أولاً — فالضرب يتطلب قاعدة الضرب، وليس قاعدة القوة المطبقة على كل عامل على حدة.

مفردات تدريب

English	العربية
quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/	قاعدة القسمة
identities/aɪˈdentɪtiz/	متطابقات
second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/	المشتقة الثانية

2.10

نصائح للامتحان

المشتقة هي ميل المماس – وهو نهاية ميل القاطع $\tfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ عندما $h\to0$.
احفظ القواعد: القوة، الضرب، القسمة، ومشتقات $\sin$، $\cos$، $e^x$، و $\ln x$.
قابلية الاشتقاق تفترض الاستمرارية، ولكن ليس العكس (الزاوية الحادة أو الزاوية الحادة المستمرة ليست قابلة للاشتقاق).
فرق بين معدل التغير المتوسط (ميل الوتر على فترة) والمعدل اللحظي (المشتقة عند نقطة).
قدم معادلة خط المماس بصيغة $y-f(a)=f'(a)(x-a)$.

دروس تفاعلية حول هذا الموضوع

ا-working عليه خطوة بخطوة، مع تمارين تحقق فوري.

أوراق الامتحانات السابقة

المزيد من المواضيع في AP التفاضل والتكامل AB