Hàm mũ và hàm logarit

Mục tiêu Học tập 2.1.A: Biểu diễn các cấp số cộng tìm thấy trong các tình huống toán học và thực tế dưới dạng hàm của các số nguyên.

• 2.1.A.1 Một cấp số là một hàm từ các số nguyên sang các số thực. Do đó, đồ thị của một cấp số bao gồm các điểm rời rạc thay vì một đường cong.
• 2.1.A.2 Các số hạng liên tiếp trong một cấp số cộng có một sai số chung, hay tốc độ thay đổi không đổi.
• 2.1.A.3 Số hạng tổng quát của một cấp số cộng với sai số chung $d$ được ký hiệu bởi $a_n$ và được cho bởi $a_n = a_0 + dn$, nơi $a_0$ là giá trị ban đầu, hoặc bởi $a_n = a_k + d(n - k)$, nơi $a_k$ là số hạng thứ $k$ của cấp số.

Mục tiêu Học tập 2.1.B: Biểu diễn các cấp số nhân tìm thấy trong các tình huống toán học và thực tế dưới dạng hàm của các số nguyên.

• 2.1.B.1 Các số hạng liên tiếp trong một cấp số nhân có một tỉ số chung, hay sự thay đổi tỷ lệ không đổi.
• 2.1.B.2 Số hạng tổng quát của một cấp số nhân với tỉ số chung $r$ được ký hiệu bởi $g_n$ và được cho bởi $g_n = g_0 r^n$, nơi $g_0$ là giá trị ban đầu, hoặc bởi $g_n = g_k r^{(n-k)}$, nơi $g_k$ là số hạng thứ $k$ của cấp số.
• 2.1.B.3 Các cấp số cộng tăng dần tăng đều đặn theo mỗi bước, trong khi các cấp số nhân tăng dần tăng với lượng lớn hơn ở mỗi bước liên tiếp.

Mục tiêu học tập 2.2.A: Xây dựng các hàm số của tập số thực có thể so sánh được với cấp số cộng và cấp số nhân.

• 2.2.A.1 Hàm tuyến tính có dạng $f(x) = b + mx$ tương tự như cấp số cộng có dạng $a_n = a_0 + dn$, vì cả hai đều có thể được biểu diễn dưới dạng giá trị ban đầu ($b$ hoặc $a_0$) cộng với việc lặp lại phép cộng một tốc độ thay đổi không đổi, là hệ số góc ($m$ hoặc $d$).
• 2.2.A.2 Tương tự như cấp số cộng có dạng $a_n = a_k + d(n - k)$, dựa trên một hiệu đã biết, $d$, và số hạng thứ $k$, hàm tuyến tính có thể được biểu diễn dưới dạng $f(x) = y_i + m(x - x_i)$ dựa trên một hệ số góc đã biết, $m$, và một điểm, $(x_i, y_i)$.
• 2.2.A.3 Hàm lũy thừa có dạng $f(x) = ab^x$ tương tự như cấp số nhân có dạng $g_n = g_0 r^n$, vì cả hai đều có thể được biểu diễn dưới dạng giá trị ban đầu ($a$ hoặc $g_0$) nhân với việc lặp lại phép nhân theo một tỷ lệ không đổi ($b$ hoặc $r$).
• 2.2.A.4 Tương tự như cấp số nhân có dạng $g_n = g_k r^{(n-k)}$, dựa trên một tỷ số đã biết, $r$, và số hạng thứ $k$, hàm lũy thừa có thể được biểu diễn dưới dạng $f(x) = y_i r^{(x - x_i)}$ dựa trên một tỷ số đã biết, $r$, và một điểm, $(x_i, y_i)$.
• 2.2.A.5 Các dãy số và các hàm số tương ứng của chúng có thể có tập xác định khác nhau.

Mục tiêu học tập 2.3.A: Xác định các đặc điểm chính của hàm lũy thừa.

• 2.3.A.1 Dạng tổng quát của hàm lũy thừa là $f(x) = ab^x$, với giá trị ban đầu $a$, trong đó $a \neq 0$, và cơ số $b$, trong đó $b > 0$, và $b \neq 1$. Khi $a > 0$ và $b > 1$, hàm lũy thừa được gọi là có sự tăng trưởng lũy thừa. Khi $a > 0$ và $0 < b < 1$, hàm lũy thừa được gọi là có sự suy giảm lũy thừa.
• 2.3.A.2 Khi các số tự nhiên là các giá trị đầu vào trong một hàm lũy thừa, giá trị đầu vào chỉ ra số lượng thừa số của cơ số sẽ được áp dụng vào giá trị ban đầu của hàm. Tập xác định của hàm lũy thừa là tất cả các số thực.
• 2.3.A.3 Vì các giá trị đầu ra của hàm lũy thừa ở dạng tổng quát tỉ lệ thuận qua các khoảng giá trị đầu vào có độ dài bằng nhau, nên hàm lũy thừa luôn tăng hoặc luôn giảm, và đồ thị của chúng luôn lồi lên hoặc luôn lõm xuống. Do đó, hàm lũy thừa không có cực trị trừ khi trên một đoạn đóng, và đồ thị của chúng không có điểm uốn.
• 2.3.A.4 Nếu các giá trị của hàm biến đổi cộng $g(x) = f(x) + k$ của bất kỳ hàm số $f$ nào tỉ lệ thuận qua các khoảng giá trị đầu vào có độ dài bằng nhau, thì $f$ là hàm lũy thừa.

Mục tiêu học tập 2.4.A: Viết lại các biểu thức lũy thừa dưới dạng tương đương.

• 2.4.A.1 Tính chất tích của lũy thừa phát biểu rằng $b^m b^n = b^{(m+n)}$. Về mặt đồ thị, tính chất này ngụ ý rằng mỗi phép dịch chuyển ngang của hàm lũy thừa, $f(x) = b^{(x+k)}$, đều tương đương với một phép phóng to dọc, $f(x) = b^{(x+k)} = b^x b^k = ab^x$, trong đó $a = b^k$.
• 2.4.A.2 Tính chất lũy thừa của lũy thừa phát biểu rằng $\left(b^m\right)^n = b^{(mn)}$. Về mặt đồ thị, tính chất này ngụ ý rằng mỗi phép phóng to ngang của hàm lũy thừa, $f(x) = b^{(cx)}$, đều tương đương với sự thay đổi cơ số của hàm lũy thừa, $f(x) = \left(b^c\right)^x$, trong đó $b^c$ là hằng số và $c \neq 0$.
• 2.4.A.3 Tính chất lũy thừa âm phát biểu rằng $b^{-n} = \dfrac{1}{b^n}$.
• 2.4.A.4 Giá trị của một biểu thức lũy thừa liên quan đến phân số lũy thừa, chẳng hạn như $b^{(1/k)}$ trong đó $k$ là số tự nhiên, là căn bậc $k$ của $b$, khi nó tồn tại.

Mục tiêu học tập 2.5.A: Xây dựng một mô hình cho các tình huống có các giá trị đầu ra tỉ lệ qua các khoảng giá trị đầu vào có độ dài bằng nhau.

• 2.5.A.1 Hàm lũy thừa mô hình hóa các mẫu tăng trưởng nơi các giá trị đầu ra liên tiếp qua các khoảng giá trị đầu vào có độ dài bằng nhau là tỉ lệ. Khi các giá trị đầu vào là số nguyên, hàm lũy thừa mô hình hóa các tình huống nhân lặp đi lặp lại một hằng số với giá trị ban đầu.
• 2.5.A.2 Có thể cần thêm một hằng số vào các giá trị biến phụ thuộc của một bộ dữ liệu để làm lộ rõ mẫu tăng trưởng tỉ lệ.
• 2.5.A.3 Một mô hình hàm lũy thừa có thể được xây dựng từ một tỷ lệ phù hợp và giá trị ban đầu hoặc từ hai cặp giá trị đầu vào-đầu ra. Giá trị ban đầu và cơ số có thể được tìm thấy bằng cách giải hệ phương trình xuất phát từ hai cặp giá trị đầu vào-đầu ra.
• 2.5.A.4 Các mô hình hàm lũy thừa có thể được xây dựng bằng cách áp dụng các phép biến đổi lên $f(x) = ab^x$ dựa trên các đặc điểm của ngữ cảnh hoặc bộ dữ liệu.
• 2.5.A.5 Các mô hình hàm lũy thừa có thể được xây dựng cho một bộ dữ liệu bằng công nghệ sử dụng hồi quy lũy thừa.
• 2.5.A.6 Cơ số tự nhiên $e$, xấp xỉ $2.718$, thường được sử dụng làm cơ số trong các hàm lũy thừa mô hình hóa các tình huống có ngữ cảnh.

Mục tiêu học tập 2.6.A: Xây dựng các mô hình tuyến tính, bậc hai và lũy thừa dựa trên một bộ dữ liệu.

• 2.6.A.1 Hai biến trong một bộ dữ liệu cho thấy tốc độ thay đổi thay đổi nhẹ có thể được mô hình hóa bởi các mô hình hàm tuyến tính, bậc hai và lũy thừa.
• 2.6.A.2 Các mô hình có thể được so sánh dựa trên manh mối ngữ cảnh và khả năng áp dụng để xác định mô hình nào phù hợp nhất.

Mục tiêu học tập 2.6.B: Xác minh một mô hình được xây dựng từ một bộ dữ liệu.

• 2.6.B.1 Một mô hình được coi là phù hợp cho một tập dữ liệu nếu đồ thị của phần dư (residuals) từ phép hồi quy, hay biểu đồ phần dư, không xuất hiện theo bất kỳ mẫu pattern nào.
• 2.6.B.2 Sự khác biệt giữa giá trị dự đoán và giá trị thực tế là lỗi trong mô hình. Tùy thuộc vào tập dữ liệu và ngữ cảnh, có thể phù hợp hơn khi có giá trị ước lượng thấp hoặc ước lượng cao cho một khoảng cụ thể.

Mục tiêu học tập 2.7.A: Tính toán phép tổ hợp của hai hoặc nhiều hàm với các giá trị đã cho.

• 2.7.A.1 Nếu $f$ và $g$ là các hàm, thì hàm tổ hợp $f \circ g$ ánh xạ một tập giá trị đầu vào sang một tập giá trị đầu ra sao cho các giá trị đầu ra của $g$ được sử dụng làm giá trị đầu vào của $f$. Do đó, miền xác định của hàm tổ hợp bị giới hạn chỉ ở những giá trị đầu vào của $g$ mà tại đó giá trị đầu ra tương ứng nằm trong miền xác định của $f$. $(f \circ g)(x)$ cũng có thể được biểu diễn dưới dạng $f(g(x))$.
• 2.7.A.2 Các giá trị của hàm tổ hợp $f \circ g$ có thể được tính toán hoặc ước lượng từ các biểu diễn đồ thị, số học, giải tích hoặc bằng lời nói của $f$ và $g$ bằng cách sử dụng các giá trị đầu ra từ $g$ làm giá trị đầu vào cho $f$.
• 2.7.A.3 Phép tổ hợp hàm không mang tính giao hoán; nghĩa là, $f \circ g$ và $g \circ f$ thường là hai hàm khác nhau; do đó, $f(g(x))$ và $g(f(x))$ thường là hai giá trị khác nhau.
• 2.7.A.4 Nếu hàm $f(x) = x$ được tổ hợp với bất kỳ hàm $g$ nào, thì hàm tổ hợp thu được sẽ giống hệt như $g$; nghĩa là, $g(f(x)) = f(g(x)) = g(x)$. Hàm $f(x) = x$ được gọi là hàm đồng nhất. Khi tổ hợp hai hàm, hàm đồng nhất hoạt động tương tự như $0$, phần tử trung hòa cộng, khi cộng hai số và $1$, phần tử trung hòa nhân, khi nhân hai số.

Mục tiêu học tập 2.7.B: Xây dựng biểu diễn cho phép tổ hợp của hai hoặc nhiều hàm.

• 2.7.B.1 Phép tổ hợp hàm hữu ích để liên hệ hai đại lượng không liên kết trực tiếp bởi một công thức có sẵn.
• 2.7.B.2 Khi có các biểu diễn giải tích của các hàm $f$ và $g$, một biểu diễn giải tích của $f(g(x))$ có thể được xây dựng bằng cách thay thế $g(x)$ vào mỗi vị trí xuất hiện của $x$ trong $f$.
• 2.7.B.3 Một biểu diễn số học hoặc đồ thị của $f \circ g$ thường có thể được xây dựng bằng cách tính toán hoặc ước lượng các giá trị cho $(x, f(g(x)))$.

Mục tiêu học tập 2.7.C: Viết lại một hàm đã cho thành phép tổ hợp của hai hoặc nhiều hàm.

• 2.7.C.1 Các hàm được cho dưới dạng giải tích thường có thể phân tách thành các hàm đơn giản hơn. Khi được phân tách đúng cách, biến số trong một hàm sẽ thay thế mỗi vị trí xuất hiện của hàm mà nó đã được tổ hợp cùng.
• 2.7.C.2 Phép biến đổi cộng của một hàm, $f$, dẫn đến các phép dịch chuyển dọc và ngang có thể được hiểu là phép tổ hợp của $g(x) = x + k$ với $f$.
• 2.7.C.3 Phép biến đổi nhân của một hàm, $f$, dẫn đến các phép co dãn dọc và ngang có thể được hiểu là phép tổ hợp của $g(x) = kx$ với $f$.

Mục tiêu học tập 2.8.A: Xác định các cặp giá trị đầu vào - đầu ra của hàm nghịch đảo.

• 2.8.A.1 Trong một miền xác định xác định, một hàm $f$ có hàm nghịch đảo, hay khả nghịch, nếu mỗi giá trị đầu ra của $f$ đều được ánh xạ từ một giá trị đầu vào duy nhất. Miền xác định của một hàm có thể bị giới hạn theo nhiều cách để làm cho hàm đó trở nên khả nghịch.
• 2.8.A.2 Hàm nghịch đảo có thể được xem xét như một sự ánh xạ ngược lại của hàm gốc. Hàm nghịch đảo, $f^{-1}$, ánh xạ các giá trị đầu ra của một hàm, $f$, trên miền khả nghịch của nó về các giá trị đầu vào tương ứng của chúng; nghĩa là, nếu $f(a) = b$, thì $f^{-1}(b) = a$. Hoặc, trên miền khả nghịch, nếu một hàm bao gồm các cặp giá trị đầu vào - đầu ra $(a, b)$, thì hàm nghịch đảo bao gồm các cặp giá trị đầu vào - đầu ra $(b, a)$.

Mục tiêu học tập 2.8.B: Xác định hàm nghịch đảo của một hàm trên miền khả nghịch.

• 2.8.B.1 Phép tổ hợp của một hàm, $f$, và hàm nghịch đảo của nó, $f^{-1}$, tạo ra hàm đồng nhất; nghĩa là, $f\left(f^{-1}(x)\right) = f^{-1}(f(x)) = x$.
• 2.8.B.2 Trên miền khả nghịch của một hàm, tập giá trị (range) và miền xác định (domain) của hàm đó lần lượt là miền xác định và tập giá trị của hàm nghịch đảo. Hàm nghịch đảo của bảng giá trị của $y = f(x)$ có thể tìm thấy bằng cách đảo ngược các cặp giá trị đầu vào - đầu ra; nghĩa là, $(a, b)$ tương ứng với $(b, a)$.
• 2.8.B.3 nghịch đảo của đồ thị hàm số $y = f(x)$ có thể tìm thấy bằng cách đảo ngược vai trò của trục $x$- và trục $y$-; tức là, bằng cách phản xạ đồ thị của hàm số qua đồ thị của hàm đồng nhất $h(x) = x$.
• 2.8.B.4 Hàm nghịch đảo có thể tìm thấy bằng cách xác định các phép toán ngược để đảo ngược quá trình ánh xạ. Một phương pháp để tìm hàm nghịch đảo của hàm $f$ là đảo ngược vai trò của $x$ và $y$ trong phương trình $y = f(x)$, sau đó giải tìm $y = f^{-1}(x)$.
• 2.8.B.5 Ngoài việc giới hạn miền xác định của hàm để thu được hàm nghịch đảo, các ràng buộc theo ngữ cảnh cũng có thể giới hạn phạm vi áp dụng của hàm nghịch đảo.

Mục tiêu học tập 2.9.A: Tính toán các biểu thức logarit.

• 2.9.A.1 Biểu thức logarit $\log_b c$ bằng, hoặc biểu thị, giá trị mà cơ số $b$ phải được đưa lên lũy thừa để thu được giá trị $c$. Nghĩa là, $\log_b c = a$ khi và chỉ khi $b^a = c$, trong đó $a$ và $c$ là hằng số, $b > 0$, và $b \neq 1$. (khi cơ số của biểu thức logarit không được chỉ định, mặc nhiên hiểu là logarit thập phân với cơ số $10$)
• 2.9.A.2 Giá trị của một số biểu thức logarit có thể dễ dàng tra cứu thông qua phép tính cơ bản, trong khi các giá trị khác có thể được ước lượng thông qua việc sử dụng thiết bị.
• 2.9.A.3 Trên thang đo logarit, mỗi đơn vị đại diện cho một sự thay đổi nhân theo cơ số của logarit. Ví dụ, trên thang đo chuẩn, các đơn vị có thể là $0, \; 1, \; 2, \; \ldots$, trong khi trên thang đo logarit, sử dụng logarit cơ số $10$, các đơn vị có thể là $10^0, \; 10^1, \; 10^2, \; \ldots$.

Mục tiêu Học tập 2.10.A: Xây dựng các biểu diễn của nghịch đảo của một hàm mũ với giá trị ban đầu là 1.

• 2.10.A.1 Dạng tổng quát của một hàm logarit là $f(x) = a\log_b x$, với cơ số $b$, nơi $b > 0$, $b \neq 1$, và $a \neq 0$.
• 2.10.A.2 Cách mà các giá trị đầu vào và đầu ra thay đổi cùng nhau có mối quan hệ nghịch đảo trong các hàm mũ và logarit. Các giá trị đầu ra của các hàm mũ dạng tổng quát thay đổi tỷ lệ khi các giá trị đầu vào tăng trong các khoảng có độ dài bằng nhau. Tuy nhiên, các giá trị đầu vào của các hàm logarit dạng tổng quát thay đổi tỷ lệ khi các giá trị đầu ra tăng trong các khoảng có độ dài bằng nhau. Alternatively, sự tăng trưởng lũy thừa được đặc trưng bởi việc các giá trị đầu ra thay đổi nhân khi các giá trị đầu vào thay đổi cộng, trong khi sự tăng trưởng logarit được đặc trưng bởi việc các giá trị đầu ra thay đổi cộng khi các giá trị đầu vào thay đổi nhân.
• 2.10.A.3 $f(x) = \log_b x$ và $g(x) = b^x$, nơi $b > 0$ và $b \neq 1$, là các hàm nghịch đảo. Tức là, $g(f(x)) = f(g(x)) = x$.
• 2.10.A.4 Đồ thị của hàm logarit $f(x) = \log_b x$, trong đó $b > 0$ và $b \neq 1$, là phép phản xạ của đồ thị hàm mũ $g(x) = b^x$, trong đó $b > 0$ và $b \neq 1$, qua đồ thị của hàm đồng nhất $h(x) = x$.
• 2.10.A.5 Nếu ⟨$(s, \; t)$⟩ là một cặp có thứ tự của hàm mũ $g(x) = b^x$, trong đó $b > 0$ và $b \neq 1$, thì ⟨$(t, \; s)$⟩ là một cặp có thứ tự của hàm logarit $f(x) = \log_b x$, trong đó $b > 0$ và $b \neq 1$.

Mục tiêu học tập 2.11.A: Xác định các đặc điểm chính của hàm logarit.

• 2.11.A.1 Tập xác định của hàm logarit ở dạng tổng quát là mọi số thực lớn hơn không, và tập giá trị là tất cả các số thực.
• 2.11.A.2 Vì hàm logarit là nghịch đảo của hàm mũ, nên hàm logarit luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến, và đồ thị của chúng luôn lồi lên trên hoặc luôn lồi xuống dưới. Do đó, hàm logarit không có cực trị trừ khi xét trên một khoảng đóng, và đồ thị của chúng không có điểm uốn.
• 2.11.A.3 Hàm biến đổi cộng $g(x) = f(x + k)$, với $k \neq 0$, của hàm logarit $f$ ở dạng tổng quát không có đầu vào thay đổi tỷ lệ theo các khoảng giá trị đầu ra bằng nhau. Tuy nhiên, nếu các đầu vào của hàm biến đổi cộng, $g(x) = f(x + k)$, của bất kỳ hàm nào $f$ thay đổi tỷ lệ theo các khoảng giá trị đầu ra bằng nhau, thì $f$ là hàm logarit.
• 2.11.A.4 Với tập xác định bị giới hạn, hàm logarit ở dạng tổng quát có tiệm cận đứng tại $x = 0$, với hành vi biên không bị chặn. Cụ thể, đối với hàm logarit ở dạng tổng quát, $\lim\limits_{x \to 0^+} a\log_b x = \pm\infty$ và $\lim\limits_{x \to \infty} a\log_b x = \pm\infty$.

Mục tiêu học tập 2.12.A: Viết lại biểu thức logarit dưới dạng tương đương.

• 2.12.A.1 Tính chất tích của logarit phát biểu rằng $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$. Về mặt đồ thị, tính chất này ngụ ý rằng mỗi phép co giãn ngang của hàm logarit, $f(x) = \log_b(kx)$, tương đương với một phép tịnh tiến dọc, $f(x) = \log_b(kx) = \log_b k + \log_b x = a + \log_b x$, trong đó $a = \log_b k$.
• 2.12.A.2 Tính chất lũy thừa của logarit phát biểu rằng $\log_b x^n = n\log_b x$. Về mặt đồ thị, tính chất này ngụ ý rằng việc nâng đầu vào của hàm logarit lên lũy thừa, $f(x) = \log_b x^k$, sẽ dẫn đến một phép co giãn dọc, $f(x) = \log_b x^k = k\log_b x$.
• 2.12.A.3 Tính chất đổi cơ số của logarit phát biểu rằng $\log_b x = \dfrac{\log_a x}{\log_a b}$, với $a > 0$ và $a \neq 1$. Điều này ngụ ý rằng tất cả các hàm logarit đều là phép co giãn dọc của nhau.
• 2.12.A.4 Hàm $f(x) = \ln x$ là hàm logarit với cơ số tự nhiên $e$; tức là, $\ln x = \log_e x$.

Mục tiêu học tập 2.13.A: Giải các phương trình và bất phương trình mũ và logarit.

• 2.13.A.1 Các tính chất của lũy thừa, các tính chất của logarit, và mối quan hệ nghịch đảo giữa hàm mũ và hàm logarit có thể được sử dụng để giải các phương trình và bất phương trình liên quan đến lũy thừa và logarit.
• 2.13.A.2 Khi giải các phương trình mũ và logarit tìm được thông qua phương pháp phân tích hoặc đồ thị, kết quả cần được kiểm tra để loại bỏ nghiệm ngoại lai do các hạn chế về mặt toán học hoặc ngữ cảnh.
• 2.13.A.3 Logarit có thể được sử dụng để viết lại các biểu thức liên quan đến hàm mũ theo nhiều cách khác nhau, có thể tiết lộ thông tin hữu ích. Cụ thể, $b^x = c^{(\log_c b)(x)}$.

Mục tiêu học tập 2.13.B: Xây dựng hàm nghịch đảo cho hàm mũ và hàm logarit.

• 2.13.B.1 Hàm $f(x) = ab^{(x-h)} + k$ là sự kết hợp của các phép biến đổi cộng của hàm mũ ở dạng tổng quát. Hàm nghịch đảo của $y = f(x)$ có thể tìm được bằng cách xác định các phép toán nghịch đảo để đảo ngược ánh xạ.
• 2.13.B.2 Hàm $f(x) = a\log_b(x - h) + k$ là sự kết hợp của các phép biến đổi cộng của hàm logarit ở dạng tổng quát. Hàm nghịch đảo của $y = f(x)$ có thể tìm được bằng cách xác định các phép toán nghịch đảo để đảo ngược ánh xạ.

Mục tiêu học tập 2.14.A: Xây dựng mô hình hàm logarit.

• 2.14.A.1 Hàm logarit là nghịch đảo của hàm mũ và có thể được sử dụng để mô hình hóa các tình huống liên quan đến tăng trưởng tỷ lệ, hoặc nhân lặp đi lặp lại, nơi mà các đầu vào thay đổi tỷ lệ theo các khoảng giá trị đầu ra bằng nhau. Thay vào đó, nếu giá trị đầu ra là một số nguyên, nó chỉ ra bao nhiêu lần giá trị ban đầu đã được nhân với tỷ lệ đó.
• 2.14.A.2 Một mô hình hàm logarit có thể được xây dựng từ một tỷ lệ phù hợp và một nghiệm thực (zero) hoặc từ hai cặp đầu vào - đầu ra.
• 2.14.A.3 Các mô hình hàm logarit có thể được xây dựng bằng cách áp dụng các biến đổi lên $f(x) = a\log_b x$ dựa trên các đặc điểm của ngữ cảnh hoặc tập dữ liệu.
• 2.14.A.4 Mô hình hàm logarit có thể được xây dựng cho một bộ dữ liệu bằng công nghệ thông tin thông qua hồi quy logarit.
• 2.14.A.5 Hàm logarit tự nhiên thường hữu ích trong việc mô hình hóa các hiện tượng thực tế.
• 2.14.A.6 Mô hình hàm logarit có thể được sử dụng để dự đoán các giá trị cho biến phụ thuộc.

Mục tiêu học tập 2.15.A: Xác định xem mô hình mũ có phù hợp hay không bằng cách xem xét biểu đồ bán-logarit của một bộ dữ liệu.

• 2.15.A.1 Trong biểu đồ bán-logarit, một trong hai trục được thu phóng theo thang logarit. Khi trục $y$ của biểu đồ bán-logarit được thu phóng theo thang logarit, dữ liệu hoặc hàm số thể hiện đặc điểm mũ sẽ xuất hiện thành đường thẳng.
• 2.15.A.2 Một ưu điểm của biểu đồ bán-logarit là không cần phải thêm một hằng số nào đó vào các giá trị biến phụ thuộc để làm rõ rằng mô hình mũ là phù hợp.

Mục tiêu học tập 2.15.B: Xây dựng sự tuyến tính hóa của dữ liệu mũ.

• 2.15.B.1 Các kỹ thuật được sử dụng để mô hình hóa hàm tuyến tính có thể áp dụng cho đồ thị semi-log.
• 2.15.B.2 Đối với một mô hình lũy thừa có dạng $y = ab^x$, mô hình tuyến tính tương ứng cho biểu đồ semi-log là $y = (\log_n b)x + \log_n a$, trong đó $n > 0$ và $n \neq 1$. Cụ thể, tốc độ thay đổi tuyến tính là $\log_n b$, và giá trị tuyến tính ban đầu là $\log_n a$.