Tích phân và Tích lũy thay đổi

AP Giải tích BC · Chủ đề 6

Xem Slides Luyện tập

Bài học video cho chủ đề này Mở trang video

6.1

Khám phá Tích lũy Thay đổi

Chương trình

Hiểu biết bền vững (CHA-4): Tích phân xác định cho phép chúng ta giải quyết các bài toán liên quan đến sự tích lũy thay đổi trên một khoảng.

Mục tiêu học tập CHA-4.A: Giải thích ý nghĩa của các diện tích liên quan đến đồ thị của tốc độ thay đổi trong ngữ cảnh cụ thể.

CHA-4.A.1 Diện tích của vùng nằm giữa đồ thị của hàm tốc độ thay đổi và trục $x$ cho biết giá trị của sự tích lũy thay đổi.
CHA-4.A.2 Trong một số trường hợp, sự tích lũy thay đổi có thể được tính toán bằng cách sử dụng hình học.
CHA-4.A.3 Nếu tốc độ thay đổi mang dấu dương (âm) trên một khoảng, thì sự tích lũy thay đổi cũng mang dấu dương (âm).
CHA-4.A.4 Đơn vị đo của diện tích vùng được xác định bởi tốc độ thay đổi là đơn vị của tốc độ thay đổi nhân với đơn vị của biến độc lập.

Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP

Bể chứa nước: tích phân tích lũy thay đổi – thể tích tổng cộng từ tốc độ dòng chảy

Nơi đạo hàm đo lường một tốc độ, thì tích phân đo lường sự tích lũy – một tổng được xây dựng từ tốc độ đó. Nếu một tốc độ biến thiên tác động qua một khoảng, diện tích giữa đồ thị của nó và trục tọa độ sẽ cho biết sự biến thiên tích lũy ròng. Ý tưởng "diện tích = biến thiên tổng" là nền tảng của giải tích tích phân.

6.2

xấp xỉ Diện tích bằng Tổng Riemann

Chương trình

Hiểu biết bền vững (LIM-5): Tích phân xác định có thể được xấp xỉ bằng các phương pháp hình học và số học.

Mục tiêu học tập LIM-5.A: Xấp xỉ một tích phân xác định bằng các phương pháp hình học và số học.

LIM-5.A.1 Tích phân xác định có thể được xấp xỉ đối với các hàm số được biểu diễn dưới dạng đồ thị, bảng số liệu, biểu thức giải tích và văn bản mô tả.
LIM-5.A.2 Tích phân xác định có thể được xấp xỉ bằng tổng Riemann trái, tổng Riemann phải, tổng Riemann điểm giữa, hoặc tổng hình thang; các giá trị xấp xỉ có thể được tính toán bằng cách sử dụng các phân hoạch đều hoặc không đều.
LIM-5.A.3 Tích phân xác định có thể được xấp xỉ bằng các phương pháp số học, có hoặc không có sự hỗ trợ của công nghệ.
LIM-5.A.4 Tùy thuộc vào tính chất của hàm số, có thể xác định được liệu giá trị xấp xỉ của một tích phân xác định là ước lượng thấp hay ước lượng cao so với giá trị thực tế của tích phân đó.

Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP

The integral as area (Riemann sums)

Trapezoidal sums approximate area

Một tổng Riemann ước tính diện tích dưới đường cong bằng cách cộng diện tích của các hình chữ nhật mỏng. Chia $[a,b]$ thành các khoảng con và sử dụng chiều cao của hàm số tại điểm bên trái, bên phải, hoặc trung điểm của mỗi khoảng. Một tổng hình thang sử dụng các hình thang thay thế, lấy trung bình hai chiều cao đầu mút – thường chính xác hơn. Càng nhiều, càng mỏng các hình chữ nhật thì ước lượng càng tốt.

Tổng Riemann xấp xỉ diện tích dưới đường cong bằng các hình chữ nhật

Các dải có độ rộng h xấp xỉ diện tích dưới đường cong

Kỹ năng thi: có thể tính toán các ước lượng bên trái, bên phải, trung điểm và hình thang từ bảng số liệu hoặc đồ thị, và chỉ ra từng cái ước lượng cao hay thấp dựa trên việc hàm số đang tăng/giảm hay lồi lên/lồi xuống.

Khám phá

Xấp xỉ diện tích bằng hình chữ nhật

y = ax³ + bx² + cx + d

Một tổng Riemann xấp xỉ diện tích dưới đường cong bằng các hình chữ nhật. Thêm nhiều hình chữ nhật mỏng hơn và ước lượng sẽ hội tụ về tích phân xác định chính xác.

Từ vựng Luyện tập

English	Tiếng Việt
integral/ˈɪntɪɡrəl/	tích phân
Riemann sum/ˈriːmən sʌm/	tổng Riemann
trapezoidal sum/ˈtræpɪzɔɪdl sʌm/	tổng hình thang
definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	tích phân xác định

6.3

Tổng Riemann, Ký hiệu tổng, và Ký hiệu tích phân xác định

Chương trình

Hiểu biết bền vững (LIM-5): Tích phân xác định có thể được xấp xỉ bằng các phương pháp hình học và số học.

Mục tiêu học tập LIM-5.B: Diễn giải giới hạn của tổng Riemann dưới dạng tích phân xác định.

LIM-5.B.1 Giới hạn của một tổng Riemann xấp xỉ có thể được diễn giải là một tích phân xác định.
LIM-5.B.2 Một tổng Riemann, đòi hỏi một phân hoạch của khoảng $I$, là tổng của các tích, mỗi tích bao gồm giá trị của hàm số tại một điểm trong phân đoạn nhỏ nhân với độ dài của phân đoạn nhỏ đó trong phân hoạch.

Mục tiêu học tập LIM-5.C: Biểu diễn giới hạn của tổng Riemann dưới dạng tích phân xác định.

LIM-5.C.1 Tích phân xác định của hàm liên tục $f$ trên khoảng $[a, b]$, ký hiệu bởi $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$, là giới hạn của các tổng Riemann khi độ rộng của các đoạn con tiến tới 0. Tức là, $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\Delta x_i$, trong đó $n$ là số lượng đoạn con, $\Delta x_i$ là độ rộng của đoạn con thứ $i$, và $x_i^*$ là một giá trị nằm trong đoạn con thứ $i$.
LIM-5.C.2 Một tích phân xác định có thể được chuyển đổi thành giới hạn của một tổng Riemann liên quan, và giới hạn của một tổng Riemann có thể được viết dưới dạng tích phân xác định.

Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP

Viết một tổng Riemann với ký hiệu tổng $\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x$ và để số lượng hình chữ nhật tiến tới vô cùng sẽ cho diện tích chính xác – tích phân xác định:

$$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x.$$

Tích phân là giới hạn của các tổng Riemann; $a$ và $b$ là giới hạn của tích phân.

6.4

Định lý Cơ bản của Giải tích và Hàm Tích lũy

Chương trình

Hiểu biết bền vững (FUN-5): Định lý Cơ bản của Giải tích kết nối vi phân và tích phân.

Mục tiêu học tập FUN-5.A: Biểu diễn các hàm số tích lũy bằng tích phân xác định.

FUN-5.A.1 Tích phân xác định có thể được sử dụng để định nghĩa các hàm số mới.
- Ví dụ minh họa cho FUN-5.A.1: $f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt$.
FUN-5.A.2 Nếu $f$ là một hàm liên tục trên một khoảng chứa $a$, thì $\dfrac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)\,dt \right) = f(x)$, trong đó $x$ nằm trong khoảng đó.

Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP

Định lý cơ bản của giải tích

Một hàm tích lũy $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ cho biết diện tích tích lũy từ $a$ lên đến $x$. Định lý cơ bản của Giải tích (FTC) nói rằng đạo hàm của nó chính là biểu thức dưới dấu tích phân:

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x).$$

Vi phân và tích phân là các phép toán nghịch đảo. Với cận trên là biến số và quy tắc chuỗi, $\dfrac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt=f(u(x))\,u'(x)$.

Hàm tích lũy cộng diện tích có dấu; Định lý cơ bản của giải tích nói đạo hàm của nó là f

Khám phá

Tích lũy diện tích như một tích phân

y = ax³ + bx² + cx + d

Một hàm tích lũy $\int_a^x f(t)\,dt$ xây dựng diện tích có dấu khi $x$ di chuyển. Định lý Cơ bản nói rằng đạo hàm của nó chỉ đơn giản là $f(x)$.

Từ vựng Luyện tập

English	Tiếng Việt
accumulation/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn/	tích lũy
accumulation function/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn ˈfʌŋkʃn/	hàm tích lũy
Fundamental Theorem of Calculus (FTC)/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/	Định lý cơ bản của Giải tích (FTC)
antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/	nguyên hàm
indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	tích phân bất định

6.5

Giải thích hành vi của các hàm tích lũy

Chương trình

Hiểu biết bền vững (FUN-5): Định lý Cơ bản của Giải tích kết nối vi phân và tích phân.

Mục tiêu học tập FUN-5.A: Biểu diễn các hàm số tích lũy bằng tích phân xác định.

FUN-5.A.3 Các biểu diễn đồ thị, số học, giải tích và văn bản của hàm số $f$ cung cấp thông tin về hàm số $g$ được định nghĩa là $g(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$.

Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP

Vì $g'(x)=f(x)$, đồ thị của $f$ cho bạn biết mọi thứ về $g$: $g$ tăng nơi $f>0$, giảm nơi $f<0$, có cực đại nơi $f$ cắt trục hoành, và lồi lên nơi $f$ đang tăng. Đọc những mối liên hệ này từ đồ thị của $f$ là một nhiệm vụ tự luận kinh điển.

6.6

Áp dụng các tính chất của Tích phân xác định

Chương trình

Hiểu biết bền vững (FUN-6): Nhận ra các cơ hội để áp dụng kiến thức về hình học và các quy tắc toán học có thể đơn giản hóa việc tìm nguyên hàm/tích phân.

Mục tiêu học tập FUN-6.A: Tính toán một tích phân xác định bằng cách sử dụng diện tích và các tính chất của tích phân xác định.

FUN-6.A.1 Trong một số trường hợp, tích phân xác định có thể được tính toán bằng cách sử dụng hình học và mối liên hệ giữa tích phân xác định với diện tích.
FUN-6.A.2 Các tính chất của tích phân xác định bao gồm: tích phân của hằng số nhân với hàm số, tích phân của tổng hai hàm số, đảo ngược cận của tích phân, và tích phân của một hàm số trên các khoảng kề nhau.
FUN-6.A.3 Định nghĩa của tích phân xác định có thể được mở rộng cho các hàm số có điểm gián đoạn có thể loại bỏ hoặc điểm nhảy.

Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP

Tích phân xác định tuân theo các quy tắc hữu ích: đảo ngược các giới hạn sẽ đổi dấu giá trị ($\int_b^a=-\int_a^b$), tích phân trên khoảng có độ rộng bằng không là $0$, chúng cộng lại trên các khoảng liền kề ($\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$), và hằng số có thể đưa ra ngoài. Sử dụng những điều này để kết hợp hoặc tách rời các giá trị tích phân đã cho.

6.7

Định lý cơ bản của Giải tích và Tích phân xác định

Chương trình

Hiểu biết bền vững (FUN-6): Nhận ra các cơ hội để áp dụng kiến thức về hình học và các quy tắc toán học có thể đơn giản hóa việc tìm nguyên hàm/tích phân.

Mục tiêu học tập FUN-6.B: Tính toán các tích phân xác định theo giải tích bằng cách sử dụng Định lý Cơ bản của Giải tích.

FUN-6.B.1 Một nguyên hàm của hàm số $f$ là một hàm số $g$ có đạo hàm là $f$.
FUN-6.B.2 Nếu một hàm số $f$ liên tục trên một khoảng chứa $a$, thì hàm số được xác định bởi $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$ là một nguyên hàm của $f$ đối với mọi $x$ trong khoảng đó.
FUN-6.B.3 Nếu $f$ liên tục trên khoảng $[a, b]$ và $F$ là một nguyên hàm của $f$, thì $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP

Dạng tính toán của FTC tính một tích phân xác định từ một nguyên hàm $F$ (ở đâu $F'=f$):

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

Vậy tích phân của một tốc độ biến thiên trên $[a,b]$ sẽ cho biến thiên ròng của đại lượng – kết quả được sử dụng phổ biến nhất trong khóa học.

Ví dụ mẫu. $\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx$: một nguyên hàm là $F(x)=x^2+x$, nên giá trị là $F(3)-F(1)=12-2=10$.

Một tích phân xác định là diện tích có dấu giữa đường cong và trục x

6.8

Tìm Nguyên hàm và Tích phân bất định

Chương trình

Hiểu biết bền vững (FUN-6): Nhận ra các cơ hội để áp dụng kiến thức về hình học và các quy tắc toán học có thể đơn giản hóa việc tìm nguyên hàm/tích phân.

Mục tiêu học tập FUN-6.C: Xác định nguyên hàm của các hàm số và tích phân không xác định, sử dụng kiến thức về đạo hàm.

FUN-6.C.1 $\int f(x)\,dx$ là nguyên hàm của hàm số $f$ và có thể biểu diễn dưới dạng $\int f(x)\,dx = F(x) + C$, trong đó $F'(x) = f(x)$ và $C$ là bất kỳ hằng số nào.
FUN-6.C.2 Các quy tắc đạo hàm cung cấp nền tảng để tìm nguyên hàm.
FUN-6.C.3 Nhiều hàm số không có nguyên hàm ở dạng đóng (closed-form).

Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP

Một tích phân bất định $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ là họ tất cả các nguyên hàm (do đó có hằng số tích phân $C$). Đảo ngược từng quy tắc vi phân: quy tắc lũy thừa trở thành $\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ (cho $n\neq-1$), với $\int \frac1x\,dx=\ln|x|+C$, và các nguyên hàm của $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, và $\sec^2 x$ thu được trực tiếp từ đạo hàm của chúng.

6.9

Tích phân bằng Phương pháp Đặt ẩn phụ

Chương trình

Hiểu biết bền vững (FUN-6): Nhận ra các cơ hội để áp dụng kiến thức về hình học và các quy tắc toán học có thể đơn giản hóa việc tìm nguyên hàm/tích phân.

Mục tiêu học tập FUN-6.D: Đối với các biểu thức dưới dấu tích phân yêu cầu phép thế hoặc sắp xếp lại thành các dạng tương đương: (a) Xác định các tích phân vô định. (b) Tính các tích phân xác định.

FUN-6.D.1 Đổi biến số là một kỹ thuật dùng để tìm nguyên hàm.
FUN-6.D.2 Đối với tích phân xác định, việc đổi biến số yêu cầu phải thay đổi tương ứng các cận của tích phân.

Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP

u-substitution (thay biến) đảo ngược quy tắc chuỗi: chọn $u=g(x)$ sao cho $g'(x)$ cũng xuất hiện, biến $\int f(g(x))g'(x)\,dx$ thành $\int f(u)\,du$. Nhớ chuyển đổi $dx$ sang $du$ và, đối với tích phân xác định, hoặc thay đổi cận thành các giá trị $u$ hoặc quay trở lại $x$ ở cuối cùng.

Từ vựng Luyện tập

English	Tiếng Việt
u-substitution/juː ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/	đặt ẩn phụ u
Integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/	Tích phân từng phần
Partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/	Phân tích phân thức

6.10

Tích phân bằng Phép Chia Dài và Hoàn thành Bình phương

Chương trình

Hiểu biết bền vững (FUN-6): Nhận ra các cơ hội để áp dụng kiến thức về hình học và các quy tắc toán học có thể đơn giản hóa việc tìm nguyên hàm/tích phân.

Mục tiêu học tập FUN-6.D: Đối với các biểu thức dưới dấu tích phân yêu cầu phép thế hoặc sắp xếp lại thành các dạng tương đương: (a) Xác định các tích phân vô định. (b) Tính các tích phân xác định.

FUN-6.D.3 Các kỹ thuật tìm nguyên hàm bao gồm việc biến đổi sang các dạng tương đương, chẳng hạn như chia đa thức và hoàn thành bình phương.

Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP

Khi hàm dưới dấu tích phân dạng hữu tỷ có "tử cao hơn mẫu" (bậc tử $\ge$ bậc mẫu), phép chia dài viết lại nó thành một đa thức cộng với một phân thức thực mà bạn có thể tích phân được. Hoàn thành bình phương trong mẫu số biến nó về dạng như $u^2+a^2$, dẫn đến nguyên hàm arctangent $\frac1a\arctan\frac{u}{a}+C$.

6.11

Tích phân bằng Phương pháp Tích phân từng phần

Chương trình

Hiểu biết bền vững (FUN-6): Nhận ra các cơ hội để áp dụng kiến thức về hình học và các quy tắc toán học có thể đơn giản hóa việc tìm nguyên hàm/tích phân.

Mục tiêu học tập FUN-6.E: Đối với các biểu thức dưới dấu tích phân yêu cầu tích phân theo phần: (a) Xác định các tích phân vô định. CHỈ DÀNH CHO BC (b) Tính các tích phân xác định. CHỈ DÀNH CHO BC

FUN-6.E.1 Tích phân theo phần là một kỹ thuật để tìm nguyên hàm. CHỈ DÀNH CHO BC

Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP

Tích phân từng phần đảo ngược quy tắc tích:

$$\int u\,dv = uv-\int v\,du.$$

Chọn $u$ để đơn giản hóa khi lấy đạo hàm và $dv$ để dễ dàng tích phân (hướng dẫn LIATE: logarit, lượng giác nghịch đảo, đại số, lượng giác, mũ). Nó xử lý các tích như $\int x e^x\,dx$ và $\int x\ln x\,dx$, đôi khi áp dụng hai lần.

Ví dụ đã giải. Đối với $\int x e^x\,dx$, chọn $u=x$ ($du=dx$) và $dv=e^x\,dx$ ($v=e^x$):

$$\int x e^x\,dx = x e^x-\int e^x\,dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C.$$

6.12

Tích phân bằng Phân tích Phân thức Đơn

Chương trình

Hiểu biết bền vững (FUN-6): Nhận ra các cơ hội để áp dụng kiến thức về hình học và các quy tắc toán học có thể đơn giản hóa việc tìm nguyên hàm/tích phân.

Mục tiêu học tập FUN-6.F: Đối với các biểu thức dưới dấu tích phân yêu cầu tích phân theo phân thức riêng tuyến tính: (a) Xác định các tích phân vô định. CHỈ DÀNH CHO BC (b) Tính các tích phân xác định. CHỈ DÀNH CHO BC

FUN-6.F.1 Một số hàm hữu tỷ có thể được phân tích thành tổng của các tỷ số có mẫu số là các nhân tử tuyến tính, không lặp lại mà các kỹ thuật tích phân cơ bản có thể áp dụng. CHỈ DÀNH CHO BC

Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP

Phân tích phân thức đơn tách một hàm hữu tỷ có mẫu số nhân tử hóa được thành tổng của các phân thức đơn giản hơn:

$$\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b},$$

mỗi cái đều tích phân ra một logarit. Kỹ thuật này rất quan trọng cho phương trình vi phân logistic trong chương tiếp theo.

6.13

Đánh giá Tích phân Không xác định

Chương trình

Hiểu Biết Bền Vững (LIM-6): Việc sử dụng giới hạn cho phép chúng ta chứng minh rằng diện tích của các vùng không bị chặn có thể hữu hạn.

Mục tiêu học tập LIM-6.A: Tính một tích phân không xác định hoặc xác định rằng tích phân đó phân tụ. CHỈ DÀNH CHO BC

LIM-6.A.1 Tích phân improper là tích phân có một hoặc cả hai cận vô hạn, hoặc có hàm dưới dấu tích phân không bị chặn trên khoảng lấy tích phân. CHỈ DÀNH CHO BC
LIM-6.A.2 Tích phân improper có thể được xác định thông qua giới hạn của các tích phân xác định. CHỈ DÀNH CHO BC

Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP

Tích phân không xác định: hội tụ hay phân kỳ

Một tích phân không xác định có cận vô hạn hoặc một điểm gián đoạn vô hạn trong hàm dưới dấu tích phân. Đánh giá nó như một giới hạn: $\int_a^\infty f\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f\,dx$. Nếu giới hạn là một số hữu hạn thì tích phân hội tụ; nếu không thì nó phân kỳ.

Ví dụ đã giải. $\displaystyle\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^b=\lim_{b\to\infty}\left(1-\frac1b\right)=1$, do đó nó hội tụ về $1$. Ngược lại, $\int_1^\infty \frac1x\,dx$ cho kết quả là $\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$ và phân kỳ – cùng một dạng hàm dưới dấu tích phân có thể đi theo cả hai hướng.

Từ vựng Luyện tập

English	Tiếng Việt
improper integral/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl/	tích phân bất thường
converges/kənˈvɜːdʒɪz/	hội tụ
diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/	phân kỳ

6.14

Chọn Kỹ thuật cho Nguyên hàm

Chương trình

Chủ đề này nhằm tập trung vào kỹ năng chọn thủ tục phù hợp để tìm nguyên hàm. Học sinh cần có cơ hội thực hành khi nào và làm thế nào để áp dụng tất cả các mục tiêu học tập liên quan đến tìm nguyên hàm.

Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP

Đề thi BC yêu cầu bạn nhận biết phương pháp nào phù hợp: các quy tắc cơ bản, thế biến (dạng quy tắc chuỗi), tích phân từng phần (một tích), phân tích phân thức đơn (hữu tỷ nhân tử hóa được), hoặc phép chia dài/hoàn thành bình phương. Khả năng nhìn vào một tích phân và chọn công cụ đúng ngay lập tức bản thân nó là một kỹ năng được kiểm tra.

6.14

Mẹo làm bài thi

Tích phân là nguyên hàm; hãy sử dụng quy tắc lũy thừa $\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ và đừng quên thêm $+C$.
Định lý Cơ bản liên kết hai khái niệm: $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$, và $\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$.
xấp xỉ một tích phân xác định bằng tổng Riemann hoặc quy tắc hình thang từ bảng giá trị.
Một tích phân xác định là diện tích có dấu (phía dưới trục hoành tính âm); chia nhỏ tại các điểm đổi dấu để tìm tổng diện tích.
Sử dụng đặt u-substitution và nhớ thay đổi cận (hoặc thế ngược) tương ứng.

Bài học tương tác về chủ đề này

Làm theo từng bước, kèm theo bài tập kiểm tra ngay lập tức.

Nhiều chủ đề hơn trong AP Giải tích BC