Analytical Applications of Differentiation · ⁨Ứng dụng giải tích của phép vi phân⁩

AP Calculus BC · ⁨AP Giải tích BC⁩ · Topic 5 · ⁨Chủ đề 5⁩

View Slides · ⁨Xem Slides⁩ Train · ⁨Luyện tập⁩

Video lesson for this topic · ⁨Bài học video cho chủ đề này⁩ Open the video page · ⁨Mở trang video⁩

5.1

Using the Mean Value Theorem · ⁨Sử dụng Định lý Giá trị Trung bình⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-1): Existence theorems allow us to draw conclusions about a function's behavior on an interval without precisely locating that behavior.

Learning Objective FUN-1.B: Justify conclusions about functions by applying the Mean Value Theorem over an interval.

FUN-1.B.1 If a function $f$ is continuous over the interval $[a, b]$ and differentiable over the interval $(a, b)$, then the Mean Value Theorem guarantees a point within that open interval where the instantaneous rate of change equals the average rate of change over the interval.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (FUN-1): Các định lý tồn tại cho phép chúng ta rút ra kết luận về hành vi của một hàm số trên một khoảng mà không cần xác định chính xác vị trí của hành vi đó.

Mục tiêu Học tập FUN-1.B: Chứng minh kết luận về hàm số bằng cách áp dụng Định lý Giá trị Trung bình trên một khoảng.

FUN-1.B.1 Nếu một hàm số $f$ liên tục trên khoảng $[a, b]$ và khả vi trên khoảng $(a, b)$, thì Định lý Giá trị Trung bình đảm bảo tồn tại một điểm nằm trong khoảng mở đó sao cho tốc độ thay đổi tức thời bằng với tốc độ thay đổi trung bình trên khoảng đó.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

The Mean Value Theorem

The Mean Value Theorem 中值定理 (MVT) links the average rate of change to an instantaneous one:

If $f$ is continuous on $[a,b]$ and differentiable on $(a,b)$, then there is at least one point $c$ in $(a,b)$ where
$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

In words: somewhere inside the interval, the instantaneous rate equals the average rate. Geometrically, some tangent line is parallel to the line joining the endpoints.

Exam skill. Like the IVT, the MVT is an existence theorem, and questions ask you to justify. Full credit needs: (1) state $f$ is continuous on $[a,b]$ and differentiable on $(a,b)$; (2) compute the average rate $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$; (3) conclude "by the MVT there is a $c$ in $(a,b)$ with $f'(c)$ equal to that value." Both hypotheses must be named.

Worked example. For $f(x)=x^2$ on $[1,3]$ the average rate is $\dfrac{9-1}{2}=4$; setting $f'(c)=2c=4$ gives $c=2$, which lies in $(1,3)$ – the guaranteed point.

Tiếng Việt

Định lý Giá trị Trung bình

Định lý Giá trị Trung bình (MVT) liên kết tốc độ thay đổi trung bình với tốc độ tức thời:

Nếu $f$ liên tục trên $[a,b]$ và khả vi trên $(a,b)$, thì tồn tại ít nhất một điểm $c$ trong $(a,b)$ nơi
$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Nói bằng lời: ở đâu đó bên trong khoảng, tốc độ tức thời bằng tốc độ trung bình. Về mặt hình học, có một đường tiếp tuyến nào đó song song với đường nối hai đầu mút.

Định lý Giá trị Trung bình: một đường tiếp tuyến nào đó song song với đường cắt qua khoảng

Kỹ năng làm bài thi. Giống như Định lý Giá trị Trung bình (IVT), Định lý Giá trị Trung bình (MVT) là một định lý tồn tại, và các câu hỏi yêu cầu bạn chứng minh. Điểm tối đa cần: (1) nêu $f$ liên tục trên $[a,b]$ và khả vi trên $(a,b)$; (2) tính tỷ lệ trung bình $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$; (3) kết luận "theo MVT có một $c$ trong $(a,b)$ với $f'(c)$ bằng giá trị đó." Cả hai giả thiết đều phải được nêu tên.

Ví dụ mẫu. Với $f(x)=x^2$ trên $[1,3]$, tốc độ trung bình là $\dfrac{9-1}{2}=4$; đặt $f'(c)=2c=4$ ta được $c=2$, nằm trong $(1,3)$ – điểm được đảm bảo.

Explore · ⁨Khám phá⁩

The Mean Value Theorem in action · ⁨Định lý Giá trị Trung bình trong thực tế⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

The Mean Value Theorem guarantees a point where the tangent is parallel to the secant across an interval — the instantaneous rate equals the average rate somewhere inside. · ⁨ĐGTB đảm bảo tồn tại một điểm mà tiếp tuyến song song với cát tuyến trên một khoảng — tốc độ tức thời bằng tốc độ trung bình tại đâu đó bên trong.⁩

Vocabulary · ⁨Từ vựng⁩ Train · ⁨Luyện tập⁩

English	Tiếng Việt
Mean Value Theorem/miːn ˈvæljuː ˈθɪərəm/	Định lý giá trị trung bình
Extreme Value Theorem/ekˈstriːm ˈvæljuː ˈθɪərəm/	Định lý giá trị cực đại/cực tiểu
critical point/ˈkrɪtɪkl pɔɪnt/	điểm tới hạn
local (relative) extrema/ˈləʊkl ekˈstremə/	cực trị cục bộ (tương đối)
increasing/ɪnˈkriːsɪŋ/	đang tăng
decreasing/ˈdiːkriːsɪŋ/	đang giảm
local maximum/ˈləʊkl ˈmæksɪməm/	cực đại địa phương
local minimum/ˈləʊkl ˈmɪnɪməm/	cực tiểu địa phương
concave up/kɒnˈkeɪv ʌp/	lõm lên
concave down/kɒnˈkeɪv daʊn/	lõm xuống
point of inflection/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/	điểm uốn

5.2

Extreme Values, Global vs Local Extrema, and Critical Points · ⁨Giá trị cực đại/cực tiểu, Cực toàn cục so với Cực cục bộ, và Điểm tới hạn⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-1): Existence theorems allow us to draw conclusions about a function's behavior on an interval without precisely locating that behavior.

Learning Objective FUN-1.C: Justify conclusions about functions by applying the Extreme Value Theorem.

FUN-1.C.1 If a function $f$ is continuous over the interval $(a, b)$, then the Extreme Value Theorem guarantees that $f$ has at least one minimum value and at least one maximum value on $[a, b]$.
FUN-1.C.2 A point on a function where the first derivative equals zero or fails to exist is a critical point of the function.
FUN-1.C.3 All local (relative) extrema occur at critical points of a function, though not all critical points are local extrema.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (FUN-1): Các định lý tồn tại cho phép chúng ta rút ra kết luận về hành vi của một hàm số trên một khoảng mà không cần xác định chính xác vị trí của hành vi đó.

Mục tiêu Học tập FUN-1.C: Chứng minh kết luận về hàm số bằng cách áp dụng Định lý Giá trị Cực đại/Cực tiểu.

FUN-1.C.1 Nếu một hàm số $f$ liên tục trên khoảng $(a, b)$, thì Định lý Giá trị Cực đại/Cực tiểu đảm bảo rằng $f$ có ít nhất một giá trị nhỏ nhất và ít nhất một giá trị lớn nhất trên $[a, b]$.
FUN-1.C.2 Một điểm trên hàm số mà tại đó đạo hàm bậc nhất bằng không hoặc không tồn tại là một điểm tới hạn của hàm số.
FUN-1.C.3 Tất cả các cực (tương đối) đều xảy ra tại các điểm tới hạn của hàm số, mặc dù không phải mọi điểm tới hạn đều là cực.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

The Extreme Value Theorem 极值定理 (EVT) guarantees extremes exist: a function continuous on a closed interval $[a,b]$ attains both an absolute maximum and an absolute minimum on it.

A critical point 临界点 is an interior point where $f'(x)=0$ or $f'(x)$ does not exist. All local (relative) extrema 局部极值 occur at critical points – but not every critical point is an extremum. So critical points are the candidates; you must test each.

Tiếng Việt

Đỉnh núi: các điểm cực đại và điểm tới hạn đánh dấu giá trị cao nhất và thấp nhất

Định lý Giá trị Cực đại (EVT) đảm bảo cực trị tồn tại: một hàm liên tục trên khoảng đóng $[a,b]$ sẽ đạt cả giá trị lớn nhất tuyệt đối và giá trị nhỏ nhất tuyệt đối trên khoảng đó.

Tại cực đại hoặc cực tiểu, đạo hàm bằng không

Một điểm tới hạn là điểm bên trong mà $f'(x)=0$ hoặc $f'(x)$ không xác định. Tất cả cực trị cục bộ (tương đối) đều xảy ra tại các điểm tới hạn – nhưng không phải mọi điểm tới hạn đều là cực trị. Do đó, điểm tới hạn là những ứng viên; bạn phải kiểm tra từng điểm.

5.3

Where a Function Increases or Decreases · ⁨Khi nào hàm số tăng hoặc giảm⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.

FUN-4.A.1 The first derivative of a function can provide information about the function and its graph, including intervals where the function is increasing or decreasing.

Tiếng Việt

Hiểu biết Bền vững (FUN-4): Đạo hàm của một hàm số có thể được sử dụng để hiểu một số hành vi của hàm số đó.

Mục tiêu Học tập FUN-4.A: Chứng minh kết luận về hành vi của hàm số dựa trên hành vi của các đạo hàm của nó.

FUN-4.A.1 Đạo hàm bậc nhất của một hàm số có thể cung cấp thông tin về hàm số và đồ thị của nó, bao gồm các khoảng mà hàm số đồng biến hoặc nghịch biến.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

The first derivative tells you where $f$ rises or falls:

$f'(x) > 0$ on an interval $\Rightarrow$ $f$ is increasing 递增 there;
$f'(x) < 0$ $\Rightarrow$ $f$ is decreasing 递减.

On the exam, "find the intervals where $f$ is increasing" means: find the critical points, then test the sign of $f'$ between them, and justify with the sign of $f'$ (a stated reason, not just an interval).

Tiếng Việt

Đạo hàm bậc nhất cho biết nơi nào $f$ tăng hay giảm:

$f'(x) > 0$ trên khoảng $\Rightarrow$ $f$ là đồng biến tại đó;
$f'(x) < 0$ $\Rightarrow$ $f$ là nghịch biến.

Trong kỳ thi, "tìm các khoảng mà $f$ đồng biến" nghĩa là: tìm các điểm tới hạn, sau đó kiểm tra dấu của $f'$ giữa chúng, và chứng minh bằng dấu của $f'$ (một lý do được phát biểu rõ ràng, không chỉ là khoảng).

5.4

The First Derivative Test for Local Extrema · ⁨Test đạo hàm bậc nhất để tìm cực đại cục bộ⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.

FUN-4.A.2 The first derivative of a function can determine the location of relative (local) extrema of the function.

Tiếng Việt

Hiểu biết Bền vững (FUN-4): Đạo hàm của một hàm số có thể được sử dụng để hiểu một số hành vi của hàm số đó.

Mục tiêu Học tập FUN-4.A: Chứng minh kết luận về hành vi của hàm số dựa trên hành vi của các đạo hàm của nó.

FUN-4.A.2 Đạo hàm bậc nhất của một hàm số có thể xác định vị trí của các cực (cục bộ) của hàm số.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

To classify a critical point $x=c$ as a local max, local min, or neither, check how $f'$ changes sign there:

$f'$ changes $+$ to $-$ at $c$ $\Rightarrow$ local maximum 极大值;
$f'$ changes $-$ to $+$ at $c$ $\Rightarrow$ local minimum 极小值;
$f'$ does not change sign $\Rightarrow$ neither.

Always state the sign change as your justification.

Worked example. For $f(x)=x^3-3x^2$, $f'(x)=3x(x-2)$ is zero at $x=0,2$. Signs give $+,-,+$, so $x=0$ is a local maximum ($f=0$) and $x=2$ a local minimum ($f=-4$).

Tiếng Việt

Để phân loại điểm tới hạn $x=c$ là cực đại cục bộ, cực tiểu cục bộ hay không có, hãy kiểm tra cách $f'$ thay đổi dấu tại đó:

$f'$ thay đổi $+$ sang $-$ tại $c$ $\Rightarrow$ cực đại cục bộ;
$f'$ thay đổi $-$ sang $+$ tại $c$ $\Rightarrow$ cực tiểu cục bộ;
$f'$ không thay đổi dấu $\Rightarrow$ thì không phải là cực trị.

Luôn phát biểu sự thay đổi dấu như là lời chứng minh của bạn.

Ví dụ mẫu. Đối với $f(x)=x^3-3x^2$, $f'(x)=3x(x-2)$ bằng không tại $x=0,2$. Dấu cho thấy $+,-,+$, nên $x=0$ là cực đại cục bộ ($f=0$) và $x=2$ là cực tiểu cục bộ ($f=-4$).

Dấu của f' quyết định nơi hàm số tăng hay giảm và xác định các cực trị cục bộ của nó — Nơi $f' > 0$ đồ thị đi lên và nơi $f' < 0$ nó đi xuống; cực đại cục bộ nằm ở nơi $f'$ chuyển từ $+$ sang $-$, cực tiểu cục bộ nằm ở nơi nó chuyển từ $-$ sang $+$.

5.5

The Candidates Test for Absolute Extrema · ⁨Test Ứng viên cho Cực trị Tuyệt đối⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.

FUN-4.A.3 Absolute (global) extrema of a function on a closed interval can only occur at critical points or at endpoints.

Tiếng Việt

Hiểu biết Bền vững (FUN-4): Đạo hàm của một hàm số có thể được sử dụng để hiểu một số hành vi của hàm số đó.

Mục tiêu Học tập FUN-4.A: Chứng minh kết luận về hành vi của hàm số dựa trên hành vi của các đạo hàm của nó.

FUN-4.A.3 Cực (toàn cục) của một hàm số trên một khoảng đóng chỉ có thể xảy ra tại các điểm tới hạn hoặc tại các đầu mút.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

On a closed interval, absolute (global) extrema occur only at critical points or endpoints. The candidates test:

List all critical points in $[a,b]$ and the two endpoints.
Evaluate $f$ at each candidate.
The largest output is the absolute maximum; the smallest is the absolute minimum.

Show the table of values – the comparison is the argument.

Tiếng Việt

Trên khoảng đóng, cực trị tuyệt đối (toàn cục) chỉ xảy ra tại các điểm tới hạn hoặc đầu mút. Test ứng viên:

Liệt kê tất cả các điểm tới hạn trong $[a,b]$ và hai đầu mút.
Tính giá trị $f$ tại mỗi ứng viên.
Giá trị đầu ra lớn nhất là cực đại tuyệt đối; giá trị nhỏ nhất là cực tiểu tuyệt đối.

Hiển thị bảng giá trị – sự so sánh chính là lập luận.

5.6

Concavity and Points of Inflection · ⁨Độ lồi/Độ lõm và Điểm uốn⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.

FUN-4.A.4 The graph of a function is concave up (down) on an open interval if the function's derivative is increasing (decreasing) on that interval.
FUN-4.A.5 The second derivative of a function provides information about the function and its graph, including intervals of upward or downward concavity.
FUN-4.A.6 The second derivative of a function may be used to locate points of inflection for the graph of the original function.

Tiếng Việt

Hiểu biết Bền vững (FUN-4): Đạo hàm của một hàm số có thể được sử dụng để hiểu một số hành vi của hàm số đó.

Mục tiêu Học tập FUN-4.A: Chứng minh kết luận về hành vi của hàm số dựa trên hành vi của các đạo hàm của nó.

FUN-4.A.4 Đồ thị của một hàm số lồi lên (xuống) trên một khoảng mở nếu đạo hàm của hàm số đó tăng (giảm) trên khoảng đó.
FUN-4.A.5 Đạo hàm bậc hai của một hàm số cung cấp thông tin về hàm số và đồ thị của nó, bao gồm các khoảng độ cong hướng lên hoặc hướng xuống.
FUN-4.A.6 Đạo hàm bậc hai của một hàm số có thể được sử dụng để xác định các điểm uốn cho đồ thị của hàm số gốc.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

The second derivative describes bending:

$f'' > 0$ $\Rightarrow$ $f$ is concave up 上凹 (curving like a cup; $f'$ is increasing);
$f'' < 0$ $\Rightarrow$ $f$ is concave down 下凹 ($f'$ is decreasing).

A point of inflection 拐点 is where concavity changes, i.e. where $f''$ changes sign (not merely where $f''=0$). Report its $x$-coordinate and justify with the sign change of $f''$.

Tiếng Việt

Đạo hàm bậc hai mô tả độ cong:

$f'' > 0$ $\Rightarrow$ $f$ là lõm lên (cong như chiếc cốc; $f'$ đang tăng);
$f'' < 0$ $\Rightarrow$ $f$ là lồi lên ($f'$ đang giảm).

Điểm uốn là nơi độ lồi thay đổi, tức là nơi $f''$ thay đổi dấu (không chỉ đơn thuần là nơi $f''=0$). Báo cáo tọa độ $x$ và giải thích bằng sự thay đổi dấu của $f''$.

Độ lồi/lõm đến từ dấu của đạo hàm bậc hai; nó đảo chiều tại điểm uốn

Explore · ⁨Khám phá⁩

Find where concavity flips · ⁨Tìm nơi độ lõm đổi dấu⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

Concavity is the sign of the second derivative: concave up where the curve holds water, concave down where it spills. A point of inflection is where it switches. · ⁨Độ lõm là dấu của đạo hàm cấp hai: lõm lên nơi đường cong giữ nước, lõm xuống nơi nó đổ nước. Một điểm uốn là nơi nó chuyển đổi.⁩

5.7

The Second Derivative Test for Extrema · ⁨Test đạo hàm bậc hai để tìm cực đại⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.

FUN-4.A.7 The second derivative of a function may determine whether a critical point is the location of a relative (local) maximum or minimum.
FUN-4.A.8 When a continuous function has only one critical point on an interval on its domain and the critical point corresponds to a relative (local) extremum of the function on the interval, then that critical point also corresponds to the absolute (global) extremum of the function on the interval.

Tiếng Việt

Hiểu biết Bền vững (FUN-4): Đạo hàm của một hàm số có thể được sử dụng để hiểu một số hành vi của hàm số đó.

Mục tiêu Học tập FUN-4.A: Chứng minh kết luận về hành vi của hàm số dựa trên hành vi của các đạo hàm của nó.

FUN-4.A.7 Đạo hàm bậc hai của một hàm số có thể xác định xem một điểm tới hạn là vị trí của cực (cục bộ) lớn nhất hay nhỏ nhất.
FUN-4.A.8 Khi một hàm số liên tục chỉ có một điểm tới hạn trên một khoảng thuộc tập xác định và điểm tới hạn đó tương ứng với cực (cục bộ) của hàm số trên khoảng đó, thì điểm tới hạn đó cũng tương ứng với cực (toàn cục) của hàm số trên khoảng đó.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

An alternative way to classify a critical point $c$ where $f'(c)=0$:

$f''(c) > 0$ $\Rightarrow$ concave up $\Rightarrow$ local minimum;
$f''(c) < 0$ $\Rightarrow$ concave down $\Rightarrow$ local maximum;
$f''(c) = 0$ $\Rightarrow$ the test is inconclusive – fall back on the first derivative test.

Special case: if a continuous function has only one critical point on an interval and it is a local extremum, that point is also the absolute extremum there.

Tiếng Việt

Một cách khác để phân loại một điểm tới hạn $c$ khi $f'(c)=0$:

$f''(c) > 0$ $\Rightarrow$ lõm lên $\Rightarrow$ cực tiểu cục bộ;
$f''(c) < 0$ $\Rightarrow$ lồi lên $\Rightarrow$ cực đại cục bộ;
$f''(c) = 0$ $\Rightarrow$ thì test không kết luận được – quay lại sử dụng test đạo hàm bậc nhất.

Trường hợp đặc biệt: nếu một hàm liên tục chỉ có một điểm tới hạn trên một khoảng và điểm đó là cực trị cục bộ, thì điểm đó cũng là cực trị tuyệt đối tại đó.

5.8

Sketching a Function and Its Derivative · ⁨Vẽ sơ đồ hàm số và đạo hàm của nó⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.

FUN-4.A.9 Key features of functions and their derivatives can be identified and related to their graphical, numerical, and analytical representations.
FUN-4.A.10 Graphical, numerical, and analytical information from $f'$ and $f''$ can be used to predict and explain the behavior of $f$.

Tiếng Việt

Hiểu biết Bền vững (FUN-4): Đạo hàm của một hàm số có thể được sử dụng để hiểu một số hành vi của hàm số đó.

Mục tiêu Học tập FUN-4.A: Chứng minh kết luận về hành vi của hàm số dựa trên hành vi của các đạo hàm của nó.

FUN-4.A.9 Các đặc điểm chính của hàm số và đạo hàm của chúng có thể được xác định và liên hệ với các biểu diễn đồ thị, số học và giải tích của chúng.
FUN-4.A.10 Thông tin đồ thị, số học và giải tích từ $f'$ và $f''$ có thể được sử dụng để dự đoán và giải thích hành vi của $f$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

Key features of $f$, $f'$, and $f''$ mirror each other. To sketch or read graphs:

$f$ increasing $\Leftrightarrow$ $f'$ above the axis; $f$ has a local max $\Leftrightarrow$ $f'$ crosses from $+$ to $-$.
$f$ concave up $\Leftrightarrow$ $f'$ increasing $\Leftrightarrow$ $f''$ above the axis; $f$ has an inflection point $\Leftrightarrow$ $f'$ has a local extremum $\Leftrightarrow$ $f''$ crosses zero.

Tiếng Việt

Các đặc điểm chính của $f$, $f'$, và $f''$ phản chiếu lẫn nhau. Để phác thảo hoặc đọc đồ thị:

$f$ đồng biến $\Leftrightarrow$ $f'$ nằm trên trục hoành; $f$ có cực đại cục bộ $\Leftrightarrow$ $f'$ cắt từ $+$ sang $-$.
$f$ lõm lên $\Leftrightarrow$ $f'$ đang tăng $\Leftrightarrow$ $f''$ nằm trên trục hoành; $f$ có điểm uốn $\Leftrightarrow$ $f'$ có cực trị cục bộ $\Leftrightarrow$ $f''$ cắt trục hoành.

5.9

Connecting $f$, $f'$, and $f''$ · ⁨Kết nối $f$, $f'$, và $f''$⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.

FUN-4.A.11 Key features of the graphs of $f$, $f'$, and $f''$ are related to one another.

Tiếng Việt

Hiểu biết Bền vững (FUN-4): Đạo hàm của một hàm số có thể được sử dụng để hiểu một số hành vi của hàm số đó.

Mục tiêu Học tập FUN-4.A: Chứng minh kết luận về hành vi của hàm số dựa trên hành vi của các đạo hàm của nó.

FUN-4.A.11 Các đặc điểm chính của đồ thị $f$, $f'$ và $f''$ có mối liên hệ với nhau.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

This is the skill of reading one graph to describe another. A very common exam setup gives the graph of $f'$ and asks about $f$: where is $f$ increasing (where $f'>0$), where are $f$'s extrema (where $f'$ crosses zero, with a sign change), where is $f$ concave up (where $f'$ is increasing). Answer questions about $f$ using the height and slope of the $f'$ graph.

Tiếng Việt

Đây là kỹ năng đọc một đồ thị để mô tả đồ thị khác. Một cấu trúc đề thi rất phổ biến cung cấp đồ thị của $f'$ và hỏi về $f$: nơi nào $f$ đang tăng (nơi $f'>0$), nơi nào cực trị của $f$ (nơi $f'$ cắt trục hoành, kèm theo sự thay đổi dấu), nơi nào $f$ lõm lên (nơi $f'$ đang tăng). Trả lời các câu hỏi về $f$ bằng cách sử dụng chiều cao và độ dốc của đồ thị $f'$.

Explore · ⁨Khám phá⁩

Read slope and bend off the graph · ⁨Đọc độ dốc và độ cong từ đồ thị⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

Where $f'>0$ the function rises; where $f''>0$ it bends upward. Slide the tangent to connect the shape of $f$ to the signs of its first and second derivatives. · ⁨Nơi $f'>0$ hàm số tăng; nơi $f''>0$ nó cong lên. Trượt tiếp tuyến để liên kết hình dạng của $f$ với dấu của đạo hàm bậc nhất và bậc hai của nó.⁩

5.10

Introduction to Optimization Problems · ⁨Giới thiệu về bài toán tối ưu hóa⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.B: Calculate minimum and maximum values in applied contexts or analysis of functions.

FUN-4.B.1 The derivative can be used to solve optimization problems; that is, finding a minimum or maximum value of a function on a given interval.

Tiếng Việt

Hiểu biết Bền vững (FUN-4): Đạo hàm của một hàm số có thể được sử dụng để hiểu một số hành vi của hàm số đó.

Mục tiêu Học tập FUN-4.B: Tính giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trong các ngữ cảnh ứng dụng hoặc phân tích hàm số.

FUN-4.B.1 Đạo hàm có thể được sử dụng để giải bài toán tối ưu hóa; tức là tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của một hàm số trên một khoảng cho trước.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

Optimisation: the best box

Optimization 最优化 uses the derivative to find the largest or smallest value of a quantity on an interval. It is the candidates/derivative-test machinery applied to a real goal.

Tiếng Việt

Tối ưu hóa: hộp tốt nhất

Tối ưu hóa sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một đại lượng trên một khoảng. Đó là việc áp dụng cơ chế test ứng viên/derivative-test vào một mục tiêu thực tế.

Khu vực được bao quanh bởi hàng rào: tối ưu hóa tìm kích thước để cực đại hóa diện tích với chiều dài hàng rào cố định

Vocabulary · ⁨Từ vựng⁩ Train · ⁨Luyện tập⁩

English	Tiếng Việt
Optimization/ˌɒptɪmaɪˈzeɪʃn/	Tối ưu hóa

5.11

Solving Optimization Problems · ⁨Giải quyết các bài toán Tối ưu hóa⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.C: Interpret minimum and maximum values calculated in applied contexts.

FUN-4.C.1 Minimum and maximum values of a function take on specific meanings in applied contexts.

Tiếng Việt

Hiểu biết Bền vững (FUN-4): Đạo hàm của một hàm số có thể được sử dụng để hiểu một số hành vi của hàm số đó.

Mục tiêu Học tập FUN-4.C: Diễn giải ý nghĩa của các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất đã tính toán được trong các ngữ cảnh ứng dụng.

FUN-4.C.1 Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của một hàm số mang những ý nghĩa cụ thể trong các ngữ cảnh ứng dụng.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

A dependable procedure:

Write the quantity to optimize as a function of one variable (use a constraint equation to eliminate extras).
State the interval of allowed inputs.
Find critical points ($f'=0$ or undefined) and test them (first- or second-derivative test, or candidates test if the interval is closed).
Answer the question asked, with units and interpretation in context – the maximum area, the minimum cost, etc.

Worked example. With $100\ \text{m}$ of fence for a rectangular pen against a wall (only three sides fenced), let the ends be $x$ and the far side $y=100-2x$. The area $A(x)=x(100-2x)=100x-2x^2$ has $A'(x)=100-4x=0$ at $x=25$; since $A''=-4<0$ this is the maximum, giving $y=50$ and $A=1250\ \text{m}^2$.

Tiếng Việt

Một quy trình đáng tin cậy:

Viết đại lượng cần tối ưu thành hàm của một biến (sử dụng phương trình ràng buộc để loại bỏ các biến thừa).
Xác định khoảng giá trị đầu vào cho phép.
Tìm điểm tới hạn ($f'=0$ hoặc không xác định) và kiểm tra chúng (thử nghiệm đạo hàm bậc nhất hoặc bậc hai, hoặc thử nghiệm các ứng viên nếu khoảng là đóng).
Trả lời câu hỏi đã đặt ra, kèm đơn vị và giải thích trong ngữ cảnh – diện tích tối đa, chi phí tối thiểu, v.v.

Ví dụ mẫu. Với $100\ \text{m}$ hàng rào làm chuồng hình chữ nhật dựa vào tường (chỉ ba cạnh có hàng rào), gọi hai đầu là $x$ và cạnh xa nhất là $y=100-2x$. Diện tích $A(x)=x(100-2x)=100x-2x^2$ đạt $A'(x)=100-4x=0$ tại $x=25$; vì $A''=-4<0$ đây là giá trị lớn nhất, mang lại $y=50$ và $A=1250\ \text{m}^2$.

5.12

Exploring Behaviors of Implicit Relations · ⁨Khám phá hành vi của các quan hệ ẩn⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.D: Determine critical points of implicit relations.

FUN-4.D.1 A point on an implicit relation where the first derivative equals zero or does not exist is a critical point of the function.

Learning Objective FUN-4.E: Justify conclusions about the behavior of an implicitly defined function based on evidence from its derivatives.

FUN-4.E.1 Applications of derivatives can be extended to implicitly defined functions.
FUN-4.E.2 Second derivatives involving implicit differentiation may be relations of $x$, $y$, and $\dfrac{dy}{dx}$.

Tiếng Việt

Hiểu biết Bền vững (FUN-4): Đạo hàm của một hàm số có thể được sử dụng để hiểu một số hành vi của hàm số đó.

Mục tiêu Học tập FUN-4.D: Xác định các điểm tới hạn của các quan hệ ẩn.

FUN-4.D.1 Một điểm trên quan hệ ẩn mà tại đó đạo hàm bậc nhất bằng không hoặc không tồn tại là một điểm tới hạn của hàm số.

Mục tiêu Học tập FUN-4.E: Chứng minh kết luận về hành vi của một hàm số được xác định ẩn dựa trên bằng chứng từ các đạo hàm của nó.

FUN-4.E.1 Ứng dụng của đạo hàm có thể được mở rộng sang các hàm số được xác định ẩn.
FUN-4.E.2 Đạo hàm bậc hai liên quan đến đạo hàm ẩn có thể là các quan hệ của $x$, $y$, và $\dfrac{dy}{dx}$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

All of this extends to implicitly defined relations. A critical point of an implicit relation is where $\dfrac{dy}{dx}=0$ (horizontal tangent) or is undefined (vertical tangent). Because $\dfrac{dy}{dx}$ is usually a relation in $x$ and $y$, and the second derivative involves $x$, $y$, and $\dfrac{dy}{dx}$, substitute your first-derivative expression back in when finding $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, then reason about concavity from its sign.

Tiếng Việt

Tất cả những điều này mở rộng sang các quan hệ được định nghĩa ẩn. Điểm tới hạn của một quan hệ ẩn là nơi $\dfrac{dy}{dx}=0$ (tiếp tuyến nằm ngang) hoặc không xác định (tiếp tuyến đứng). Vì $\dfrac{dy}{dx}$ thường là quan hệ giữa $x$ và $y$, và đạo hàm bậc hai liên quan đến $x$, $y$, và $\dfrac{dy}{dx}$, hãy thay thế biểu thức đạo hàm bậc nhất trở lại khi tìm $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, sau đó suy luận về độ lồi từ dấu của nó.

5.12

Exam tips · ⁨Mẹo làm bài thi⁩

English

$f'>0$ means increasing, $f'<0$ decreasing; candidates for extrema are where $f'=0$ or is undefined.
Classify a critical point with the first-derivative sign change or the second-derivative test ($f''>0$ minimum, $f''<0$ maximum).
$f''>0$ is concave up, $f''<0$ concave down; a point of inflection is where concavity changes ($f''$ changes sign).
For an absolute extremum on a closed interval, also check the endpoints.
Justify every conclusion by citing the sign of $f'$ or $f''$ — the exam demands the reasoning, not just the answer.

Tiếng Việt

$f'>0$ có nghĩa là đồng biến, $f'<0$ nghịch biến; các ứng viên cho cực trị là nơi $f'=0$ hoặc không xác định.
Phân loại điểm tới hạn bằng thay đổi dấu đạo hàm bậc nhất hoặc thử nghiệm đạo hàm bậc hai ($f''>0$ là cực tiểu, $f''<0$ là cực đại).
$f''>0$ lõng lên, $f''<0$ lõng xuống; điểm uốn là nơi độ lồi thay đổi ($f''$ thay đổi dấu).
Đối với cực trị tuyệt đối trên khoảng đóng, cũng cần kiểm tra các điểm đầu mút.
Giải thích mọi kết luận bằng cách trích dẫn dấu của $f'$ hoặc $f''$ — bài thi yêu cầu lập luận logic chứ không chỉ đáp án cuối cùng.

Interactive lessons on this topic · ⁨Bài học tương tác về chủ đề này⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Làm theo từng bước, kèm theo bài tập kiểm tra ngay lập tức.⁩

Past Papers · ⁨Đề thi cũ⁩

More topics in AP Calculus BC · ⁨AP Giải tích BC⁩ · ⁨Nhiều chủ đề hơn trong AP Calculus BC · ⁨AP Giải tích BC⁩⁩